BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Hồi Nhân HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Hồi Nhân HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH Chun ngành : Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc chân thành tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ bảo thầy thời gian làm luận văn Tôi xin gởi lời cám ơn đến Q Thầy Cơ Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Phịng Sau Đại Học – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC BỔ SUNG 0.1 Giới thiệu toán 0.2 Các kết bổ sung 0.2.1 Định lí 0.1: 0.2.2 Định nghĩa 0.1: 0.2.3 Định nghĩa 0.2: 0.2.4 Mệnh đề 0.2: Chương ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Định lý 1.1 mệnh đề 1.2 1.1.1 Định lý 1.1 1.1.2 Mệnh đề 1.2: 11 1.2 Định lý 1.3, hệ mệnh đề 14 1.2.1 Định lý 1.3: 14 1.2.2 Hệ 1.4 16 1.2.3 Hệ 1.5 17 1.2.4 Mệnh đề 1.6 18 1.2.5 Mệnh đề 1.7 21 1.2.6 Hệ 1.8 23 1.2.7 Hệ 1.9 28 1.2.8 Hệ 1.10 30 1.2.9 Mệnh đề 1.11 32 1.3 Định lý 1.12 33 Chương HỆ QUẢ CHO TOÁN TỬ VỚI ĐỐI SỐ LỆCH 35 2.1 Định lý 2.1, hệ mệnh đề 36 2.1.1 Định lý 2.1 36 2.1.2 Hệ 2.2 38 2.1.3 Mệnh đề 2.3 39 2.2 Định lý 2.4 40 2.3.1 Định lý 2.5 43 2.3.2 Hệ 2.6 45 2.3.3 Hệ 2.7 46 2.3.4 Mệnh đề 2.8: 47 2.4 Định lý 2.9 48 2.5 Định lý 2.10 49 2.6 Phản ví dụ 49 2.6.1 Ví dụ 49 2.6.2 Ví dụ 50 2.6.3 Ví dụ 51 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỘT SỐ KÍ HIỆU Những kí hiệu sau sử dụng luận văn: •  : tập hợp số tự nhiên •  : tập hợp số thực • = + [0, +∞ ] •  n khơng gian vectơ cột n chiều x = (x i )in=1 với phần tử x i ∈ � � 1, , n ) chuẩn (i = n x = ∑ xi i =1 • n n n = i 1, , n} + {(x i )i = ∈  : x i ≥ 0,= • n  n × n không gian ma trận n × n : X = (x ik )i,k =1 với thành phần x ik ∈  (i,k=1, ,n) chuẩn: X = n ∑ i,k =1 x ik n • Nếu x, y ∈ yy , X, Y ∈ n × n , x ≤ y x i ≤ yi với i = 1, , n x < y x i < yi với i = 1, , n X ≤ Y x ik ≤ yik với i, k = 1, , n • Nếu x ∈  n x = ( x i [ x ]+ = ( x + x), )in=1 [x]− = ( x − x) • E ma trận đơn vị, θ ma trận khơng • X −1 ma trận nghịch đảo X ∈  n × n • r(X) bán kính phổ ma trận X n ì n ã X T l ma trận chuyển vị từ ma trận X • Nếu x i ∈  (i =1, ,n)  x1  x2 diag(x1 , , x n ) =      0 •           xn  C([a, b];  n ) không gian Banach vectơ hàm liên tục u : [a,b] →  n trang bị với chuẩn: = u C max { u(t) : t ∈ [a, b]} • n C∑ ( σ1 , , σn ) với σi ∈ {−1,1} (i =1, , n), tập a ([a, b];  + ) , Σ = hợp hàm u ∈ C([a, b];  n ) với : = u(a) 0, diag(σ1 , , σn )u(t) ∈  n+ , t ∈ [a,b] •  C([a, b];  n ) tập hợp vectơ hàm liên tục tuyệt đối u : [a,b] →  n • L([a, b];  n ) khơng gian Banach vectơ hàm khả tích Lebesgue h : [a,b] →  n trang bị với chuẩn b h L = ∫ h(s) ds a • n ab tập hợp tốn tử tuyến tính bị chặn  : C([a, b];  n ) → L([a,b]; n ) Chúng viết Lab thay cho L1ab Với n , tốn tử ϕi : C([a, b];  n ) → L([a,b];), ϕ ∈ Lab ϕik : C([a, b]; ) → L([a,b];) (i,k=1, ,n) ma trận Pϕ :[a, b] →  n × n làm rõ sau:  v ∈ C([a, b];  n ), ϕi ( v ) thành phần thứ i vectơ hàm ϕ(v) ˆ  Với z ∈ C([a, b]; ) , đặt ϕik (z) = ϕi (z), hàm k − th  zˆ = (0, ,0, z, 0, ,0)T Hiển nhiên, ϕik ∈ Lab , i,k = 1, , n n  Với t ∈ [a, b] , đặt Pϕ (t) = (ϕik (1)(t))i,k = MỞ ĐẦU Lý thuyết toán biên cho phương trình vi phân đời từ kỉ 18 song phát triển mạnh mẽ nhờ vào ứng dụng vật lí, học, kĩ thuật, kinh tế, nơng nghiệp… Một mục đích việc nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân hàm xem xét tồn nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm phương trình vi phân đối số lệch Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính số nhà toán học nghiên cứu Phát triển theo hướng năm gần nhiều nhà tốn học Cộng hịa Séc, Cộng hịa Grugia…đã nghiên cứu tính giải ứng dụng số hệ bất phương trình vi phân hàm tuyến tính Tính giải số bất phương trình vi phân hàm tuyến tính ứng dụng chúng nhiều vấn đề cần xem xét Nội dung luận văn trình lại báo “ON SYSTEMS OF LINEAR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL INEQUALITIES” kết tác giả JIŘÍ ŠREMR [18] - thuộc viện hàn lâm khoa học Cộng hòa Séc – đăng tạp chí Georgian Mathematical Journal n Luận văn trình bày điều kiện cần đủ để toán tử  ∈ ab thuộc tập n, S hợp Sab (a) Ngồi luận văn cịn trình bày trường hợp đặc biệt tốn tử tuyến tính bị chặn  với đối số lệch Luận văn gồm chương: Chương CÁC KIẾN THỨC BỔ SUNG Chương trình bày số định nghĩa, ý, định lý cần thiết việc chứng minh định lý chương chương Chương ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH n Chương trình bày điều kiện cần đủ để tốn tử  ∈ ab thuộc n, S tập hợp Sab (a) Chương 2.HỆ QUẢ CHO NHỮNG TOÁN TỬ VỚI ĐỐI SỐ LỆCH Trong chương áp dụng kết chương để đưa điều n, S kiện đủ để  ∈ Sab (a)  toán tử với đối số lệch định nghĩa tương ứng (2.1), (2.2), (2.3) 42 Do đó: t*   x ∫ p(s)ds   tik (t)  x e a  x ∫ p(s)ds ≤ ln  *  t  x ∫ p(s)ds  t e a − e   t* tik (t) Khi đó: ∫ x0 p(s)ds x t e e ∫ p(s)ds a t* tik − e.e x0 ∫ p(s)ds ≤ x e t x0 ∫ p(s)ds a Do có tik (t) x0 e ∫ t p(s)ds − e ≤ x0e a x ∫ p(s)ds a 1, , n (2.19) với t ∈ [a, b], i, k = Đặt  x t p(s)ds   a∫  γ i (t) = si  e − e     1, , n với t ∈ [a, b], i = (2.20)  Hiển nhiển γ = ( γ i )in=1 ∈ C([a, b];  n ) bất phương trình (1.20) thỏa mãn Ngồi ra, theo (2.18), (2.19), (2.10), có t = si γ i′ (t) x p(t)e x ∫ p(s)ds a t ≥ n ∑ pik (t) x e x ∫ p(s)ds a k =1  tik (t)   tik (t)  x p(s)ds n n  ∫   x ∫ p(s)ds  a a ≥ ∑ pik (t)  e − e  = ss − e i ∑ pik (t) k  e     = k 1= k     n = σi ∑ pik (t)γ k (tik (t)) = σi  i ( γ )(t) 1, , n với t ∈ [a, b], i = k =1 Vì γ thỏa điều kiện (1.21) vậy, sử dụng định lý 1.3, có n,Σ  ∈ Sab (a) Từ hệ 2.7 ta có định lý  43 2.3 Định lý 2.5, hệ mệnh đề 2.3.1 Định lý 2.5 Giả sử điều kiện (2.4) thỏa mãn Y :[a, b] →  n × n ma trận hàm hệ n n×n (1.48), = ma trận hàm P (p ik )i,k xác định sau: =1 :[a, b] →  với i = 1, , n, p ii ≡ t   = pik (t) pik (t) exp  ∫ [ p kk (s) − pii (s) ]  ds   a  (2.21) với t ∈ [a,b], i, k =1, , n,i ≠ k Ngoài ra, giả sử bất phương trình (1.51) thỏa mãn, = với q (q i )in=1 ∈ L([a, b];  n ) xác định sau: n tik (t)  ∑ p (t) w (t) ∑ ik ik j = k 1=  q i (t) = n w ik (t) = ∫ (1 + sgn ( tik (t) − t ) ) t  p kj (s) ds  e   t − ∫ pii ( η)dη a 1, , n, với t ∈ [a,b], i = (2.22) 1, , n, với t ∈ [a,b], i = (2.23) b  b p (s)ds  ∫ pnn (s)ds   a∫ ii B = diag  e , ,e a      (2.24) n,Σ Khi toán tử  = ( i )in=1 xác định (2.1) thuộc tập hợp Sab (a) Chứng minh Ta chứng minh dựa vào hệ 1.8, nghĩa ta chứng minh điều kiện (1.50), (1.51) thỏa Theo giả thiết ta có (1.51) thỏa Ta chứng minh (1.50) thỏa 44 n xác định (2.1) Thật rõ ràng rằng, Thật vậy, giả sử toán= tử  ( i )in=1 ∈ ab n theo (2.4),  ∈ abn,Σ Hơn nữa, giả sử toán= tử  ( i )in=1 ∈ ab xác định sau:  n tik (t)  i (v)(t) = si ∑ pik (t) ωik (t)  ∑ ∫ p kj (s) s j v j (tkj (s))ds  j t  = k 1=   def n 1, , n với t ∈ [a, b], i = (2.25) ωik (i, k = 1, , n) cho (2.23) Hiển nhiên,  ∈ abn,Σ Thật vậy,  ∈ abn,Σ Ta có: ( ) 1, , n diag(σ1 , , σn )v(t) ≥ với v(t) ∈ C [ a, b ] ;  n , t ∈ [a, b], i = Do diag(ss , , n )  (v(t))  n tik (t)   = ∑ pik (t) (1 + sign( tik (t) − t) ) ∑ ∫ p kj (s) s j v j ( tkj (s))ds  ≥ j t  k 1= =   n 1, , n với t ∈ [a, b], i = Và n   σi   i ( ϕ(v) ) (t) − ∑ pik (t)ϕk (v)(t)    k =1   n  n  =si  ∑ pik (t)ϕk (tik (t)) − ∑ pik (t)ϕk (v)(t)    =  k =k  = n ∑ sss i k pik (t) k ( ϕk ( tik (t)) − ϕk (v)(t) ) k =1 t  tik (t)      p (t) (v)(s)ds (v)(s)ds = s − ∑ ik k  ∫ k ∫ k  k =1 a  a  n  tik (t)  = ∑ pik (t) sk  ∫  k (v)(s)ds    k =1  t  n 45  tik (t) n    = s t p (t) p (t)v ( (s))ds ∑ ik  k ∫ ∑ kj j kj  = k 1= t j   n  n tik (t)   = ∑ pik (t)  ∑ ∫ sss t p (t) v ( (s))ds k j kj j j kj   = k 1= j t  n  n tik (t)   = ∑ pik (t) ∑ ∫ p kj (s) s j v j tkj (s) ds  j t  = k 1=   n ≤ σi i (v)(t) ( ) n 1, , n , v ∈ CΣ với t ∈ [a, b], i = a ([a, b];  + ) (2.26) với ϕ cho (1.35) Vì vậy, bất đẳng thức (1.50) thỏa tập hợp n CΣ a ([a, b];  + ) n,Σ Theo hệ 1.8, ta có  ∈ Sab (a)  Trong hai hệ sau đây, ma trận hàm Y hệ (1.48) thỏa (1.51) trường hợp ma trận hàm P cho (2.21) 2.3.2 Hệ 2.6 Giả sử điều kiện (2.4) thỏa mãn e b     max  ∫ pii (s)ds:i =1, ,n  b a    b ∫ p(x)dx s h(s)e ds < 1, ∫ (2.27) a Trong đó, h p cho tương ứng (1.73) (1.74), p ik , q i (i, k = 1, , n) xác định (2.21)-(2.23) Khi ấy, toán tử  = ( i )in=1 n,Σ cho (2.1) thuộc tập hợp Sab (a) Chứng minh Ta chứng minh hệ 2.6 dựa vào hệ 1.9, nghĩa ta chứng minh điều kiện (1.50) (1.72) thỏa mãn n xác định (2.1) Theo (2.4) dễ thấy Thật vậy, giả sử toán tử  ( i )in=1 ∈ ab =  ∈ ab2, ∑ Tương tự cho việc chứng minh định lý 2.5 ta bất đẳng 46 ( ) thức (1.50) thỏa tập hợp Ca∑ [ a, b ] ;  2+ , ϕ cho (1.35) n xác định (2.25) Ngoài ra, theo (2.27), bất đẳng thức =  ( i )in=1 ∈ ab (1.72) thỏa mãn n, ∑ Do đó, theo hệ 1.9 có  ∈ Sab (a)  Chú ý 2.4 Bất đẳng thức chặt (2.27) hệ cuối khơng thay bất đẳng thức khơng chặt (ví dụ trang 52) 2.3.3 Hệ 2.7 Cho n = 2, giả sử điều kiện (2.4) thỏa giả sử b  b p (s)ds  ∫ p 22 (s)ds 11 ∫   a max λ1e a , λ 2e  cho: n ∑ pik (t) [δk (tik (t) − a) + ε] ≤ δi 1, , n với t ∈ [a, b], i = (2.29) k =1 Đặt γ i (t) = σi [ δi (t − a) + ε ] 1, , n với t ∈ [a, b], i =  Chắc chắn, γ = ( γ i )in=1 ∈ C([a, b];  n ) bất đẳng thức (1.20) thỏa mãn Ngồi ra, theo (2.29), ta có: σi γ i′ (t) = δi ≥ n ∑ pik (t) δ  k ( tik (t) − a ) + ε k =1 n n = σi ∑ pik (t)σk δk ( tik (t) − a ) + ε = σi ∑ pik (t) γ k (tik (t)) = k 1= k = σi  i ( γ )(t) 1, , n với t ∈ [a, b], i = (2.30) Do đó, điều kiện (1.21) thỏa mãn n,Σ Theo định lý 1.3, có  ∈ Sab (a)  48 n xác định (2.2) Sau kết trường hợp =  ( i )ni =1 ∈ ab Định lý 2.9 2.4 Giả sử gi (t)(µi (t) − t) ≤ 1, , n, với t ∈ [a,b], i = với i ∈ {1, , n} điều kiện sau thỏa mãn: b (a) ∫ gi (s)ds ≤ a (b)  s   ∫ gi (s) ∫ gi (x) exp  ∫ gi (η).dη  dxds ≤ a µi (s)  µi ( x )  (c) gi ≡ b s  t    ess sup  ∫ gi (s)ds : t ∈ [a, b] < ηi*   µi (t)  Trong            x 1   = ηi* sup  ln  x + : x >   b x       exp  x ∫ gi (s)ds  −        a         n,Σ Khi tốn tử  = ( i )in=1 xác định (2.2) thuộc tập hợp Sab (a) Chứng minh Ta chứng minh định lý 2.9 dựa vào định lý 1.12 n xác định (2.2) Dễ thấy − ∈ abn,Σ  ik ≡ với Giả sử toán= tử  ( i )in=1 ∈ ab = i, k 1, , n, i ≠ k Ngoài ra, theo kết [6], điều kiện (a)-(c) định lý đảm bảo bao hàm thức  ii ∈ Sab (a) n,Σ Do đó, theo định lý 1.12 ta có:  ∈ Sab (a)  49 n xác định (2.3) Sau kết trường hợp =  ( i )ni =1 ∈ ab 2.5 Định lý 2.10 Giả sử hàm pik , τik (i, k = 1, , n) thỏa mãn giả thiết định lý 2.1-2.4 hệ 2.6 2.7, ngồi rahàm gi , µi (i = 1, , n) thỏa mãn giả thiết định lý 2.9 Khi đó, n,Σ tốn tử  = ( i )in=1 xác định (2.3) thuộc tập hợp Sab (a) Chứng minh Từ định lý 1.1 định lý 2.1-2.4, hệ 2.6 2.7, ta có kết toán tử  = ( i )in=1 n,Σ xác định (2.3) thuộc tập hợp Sab (a) 2.6  Phản ví dụ 2.6.1 Ví dụ Giả sử ε ∈ (0,1) đặt pik ,gi ∈ L([a, b];  + ) (i, k = 1, 2) thỏa: b b ∫ pi1 (s)ds + ∫ pi2 (s)ds = a b 1+ ε , a ∫ gi (s)ds < với i = 1, 2, (2.31) a b ∫ p21 (s)ds > ε (2.32) a − + T Giả sử=   + −  − ,  + = (1+ , = (1− ,  − )T ∈ ab2,(1,1) xác ) ,  định sau:  +i (v)(t) def = ∑ pik (t)vk (b) 1, 2, với t ∈ [a, b], i = (2.33) 1, 2, với t ∈ [a, b], i = (2.34) k =1 def  −i (v)(t) = gi (t)vi (a) Theo (2.31) hệ 2.2 với δ1 =δ2 =1, ta có: 2,(1,1) (1 − ε) + ∈ Sab (a) Ngoài ra, theo (2.31) định lý 2.9 (a), có: 2,(1,1) − − ∈ Sab (a) 50 Trước tiên tốn (1.4) có nghiệm tầm thường Thật vậy, giả sử uˆ = (uˆ , uˆ )T nghiệm toán (1.4) Dễ thấy: b b = uˆ i (b) uˆ (b) ∫ pi1 (s)ds + uˆ (b) ∫ pi2 (s)ds a với i = 1, (2.35) a ˆ= Theo (2.31) (2.32), ta có: uˆ= (b) u (b) Khi đó, từ (1.4) có u '(t) (u)(t) + q(t), uˆ ≡ Theo định lý 0.1 với q ≡ c = (1, 0)T tốn:= u(a) = c có nghiệm u = (u1 , u )T Hiển nhiên, u thỏa (1.1), (1.2) với n = σ1 =σ2 =1 Nói cách khác, dễ dàng chứng minh được: b b b a a a u i (b)= − u i (a) u1 (b) ∫ pi1 (s)ds + u (b) ∫ pi2 (s)ds − u i (a) ∫ gi (s)ds với i = 1, (2.36) Sử dụng (2.31), từ (2.36) có b b  −ε  ∫ p12 (s)ds + ∫ p 21 (s)ds − ε  u1 (b)=   a a   b  b  1 − ∫ g1 (s)ds  ∫ p 21 (s)ds − ε  ,     a  a  2,(1,1) Tức là, u1 (b) < Do đó,  ∉ Sab (a) Ví dụ cho thấy giả thiết (1.5) định lý 1.1 thay giả thiết n,Σ  + ∈ Sab (a), n,Σ −(1 − ε) − ∈ Sab (a), Dù cho ε > nhỏ tùy ý 2.6.2  Ví dụ Giả sử ε ∈ (0,1) giả sử pij ,gi ∈ L([a, b];  + ) (i, j = 1, 2) thỏa: b b b ∫ pi1 (s)ds + ∫ pi2 (s)ds < 1, ∫ gi (s)ds = a a a 1+ ε với i = 1, (2.37) 51 − + T Giả sử =   + −  − ,  + = (1+ , = (1− ,  − )T ∈ ab2,(1,1) xác ) ,  định tương ứng (2.33) (2.34) Theo (2.37) hệ 2.2 với δ1 =δ2 =1 , có: 2,(1,1)  + ∈ Sab (a) Ngoài ra, theo (2.37) định lý 2.9(a), có: 2,(1,1) −(1 − ε) − ∈ Sab (a) Trước tiên, toán (1.4) có nghiệm tầm thường Thật vậy, giả sử uˆ = (uˆ , uˆ )T nghiệm tốn (1.4) Khi đó, (2.35) ˆ= Theo (2.37) kết hợp với (2.35) cho ta uˆ= (b) u (b) Bởi vậy, từ (1.4) có uˆ ≡ Theo định lý 0.1 toán = u '(t) (u)(t) + q(t), u(a) = c, toán với q ≡ c = (1,0)T có nghiệm u = (u1 , u )T Hiển nhiên, u thỏa mãn (1.1), (1.2) với n = σ1 =σ2 =1 Mặt khác, dễ thấy (2.36) thỏa mãn Sử dụng (2.37), từ (2.36) nhận b  b   b  b  b  1 − ∫ p11 (s)ds 1 − ∫ p 22 (s)ds  − ∫ p12 (s)ds ∫ p 21 (s)ds  u1 (b) = −ε 1 − ∫ p 22 (s)ds        a  a  a  a   a 2,(1,1) Tức là, u1 (b) < Do đó,  ∉ Sab (a) Ví dụ giả thiết (1.5) định lý 1.1 thay giả thiết n,Σ (a),  + ∈ Sab n,Σ −(1 − ε) − ∈ Sab (a), Dù cho ε > nhỏ tùy ý 2.6.3  Ví dụ Giả sử τik ≡ b với i, k = 1, Chọn pik ∈ L([a, b],  + ) (i, k = 1, 2.) thỏa: p11 ≡ p 22 , p12 ≡ p 21 b b a a ∫ p11 (s)ds + ∫ p12 (s)ds = 52 xác định (2.1) với n = Hiển nhiên, Giả sử toán tử  (1 ,  )T ∈ ab =  ∈ ab2,(1,1) với m > k , điều kiện (1.32) với σ1 =σ2 =1 α =1 thỏa mãn, ρm (m = 2,3, ) xác định (1.34) ρ1 =(1,1)T Ngoài ra, điều kiện (1.37) với δ1 =δ2 =1 bất đẳng thức (1.50) với σ1 =σ2 =1 thỏa tập hợp C(1,1) ([a, b];  +2 ) , ϕ cho (1.35) a  ( 1 , 2 ) ∈ ab2,(1,1) xác định bởi: = b  i (v)(t) = ∑ pij (t)  ∫ ∑ p jk (s)v k (b)ds   k  =j = t  def 1, với t ∈ [a, b], i = Vì b  ∫ ∑ piv (η)dη )d  e s v=1 ds = ∫ ∑ pij (s)  ∫ ∑ p jk (ξξ  = a j 1= sk  b b với i = 1, Điều kiện e b b     max  ∫ 11 (1)(s)ds, ∫  22 (1)(s)ds  b a  a   b ∫ p(x)dx s h(s)e ds = ∫ a Và b  b  (1)(s)ds  11 ∫ ∫  22 (1)(s)ds   a max λ1e , λ ea 1, =     thỏa mãn, h, p λ1 , λ cho (1.73), (1.74) với n = , tương ứng (1.78) (chú ý p 12 ≡ p 12 ≡ p12 ≡ p 21 q i cho (1.52) với σi =1 với i = 1, ) Mặt khác, hàm u = (u1 , u )T , đó: t = u i (t) t ∫ pi1 (s)ds + ∫ pi2 (s)ds a a 1, với t ∈ [a, b], i = 53 nghiệm không tầm thường tốn (1.4) Do đó, theo ý 1.1, 2,(1,1) có  ∉ Sab (a) Ví dụ cho thấy giả thiết α ∈ [0,1) hệ 1.1 định lý 2.1 thay giả thiết α ∈ [0,1] bất đẳng thức chặt (2.6), (2.27), (2.28) hệ tương ứng 2.1, 2.2, 2.3 thay bất đẳng thức không chặt  54 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại báo “On systems of linear functional differential inequalities” tác giả Jiří Šremrvề hệbất phương trình vi phân hàm tuyến tính áp dụng cho hệ phương trình vi phân đối số lệch Trong chương trình bày số kiến thức phục vụ cho việc chứng minh cho kết chương 1, chương Trong chương trình bày điều kiện cần đủ cho toán tử  ∈ Lnab thuộc tập n, S hợp Sab (a) Các kết chương là: định lý 1.1, trường hợp  ∈ abn,Σ ta có định lý 1.3, trường hợp − ∈ abn,Σ ta có định lý 1.12 Trong chương áp dụng kết chương để đưa điều kiện n,Σ cho toán tử vi phân đối số lệch  ∈ Sab (a)  định nghĩa (2.1), (2.2), (2.3): n xác định (2.1) có kết quả:  Đối với trường hợp =  ( i )in=1 ∈ ab định lý 2.1, định lý 2.4 n  Đối với trường hợp xác định (2.2) có kết quả: =  ( i )in=1 ∈ ab định lý 2.9 n  Đối với trường hợp xác định (2.3) có kết quả: =  ( i )in=1 ∈ ab định lý 2.10 Vì thời gian có hạn nên chưa có điều kiện xem xét ứng dụng hệ bất phương trình tuyến tính việc chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình vi phân với điều kiện biên khác nhau, ứng dụng nghiên cứu nghiệm tính bị chặn, tính ổn định, tính ổn định đều, tính ổn định tiệm cận… Do hiểu biết thân hạn hẹp nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý bảo quý Thầy Cô hội đồng để luận văn hoàn thiện 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO N V Azbelev, V P Maksimov, and L F Rakhmatullina, Introduction to thetheory of functional differential equations (Russian) Nauka, Moscow, 1991 E Bravyi and A Lomtatidze, and B Půža, A note on the theorem on differentialinequalities Georgian Math J 7(2000), no 4, 627–631 N Dilnaya and A Rontó, Multistage iterations and solvability of linear Cauchyproblems Miskolc Math Notes 4(2003), no 2, 89–102 A Domoshnitsky and Ya Goltser, One approach to study of stability ofintegrodifferential equations Proceedings of the Third World Congress of Nonlinear Analysts, Part (Catania, 2000) Nonlinear Anal 47(2001), no 6,3885–3896 R Hakl, I Kiguradze, and B Půža , Upper and lower solutions of boundaryvalue problems for functional differential equations and theorems on functionaldifferential inequalities Georgian Math J 7(2000), no 3, 489–512 R Hakl, A Lomtatidze, and B.Půža, On nonnegative solutions of first orderscalar functional differential equations Mem Differential Equations Math Phys.23(2001), 51–84 R Hakl, A Lomtatidze, and J Šremr, On nonnegative solutions of a periodictype boundary value problem for first order scalar functional differentialequations Funct Differ Equ 11(2004), no 3-4, 363–394 R Hakl, A Lomtatidze, and J Šremr, Some boundary value problems for firstorder scalar functional differential equations Folia Facult Scien Natur Univ Masar Brunensis, Brno, 2002 R Hakl and S Mukhigulashvili, On a boundary value problem for n-th orderlinear functional differential systems Georgian Math J 12(2005), no 2, 229–236 56 10 I.Kiguradze, The initial value problem and boundary value problems for systems ofordinary differential equations Vol I Linear theory (Russian) Metsniereba,Tbilisi, 1997 11 I Kiguradze and B Půža, Boundary value problems for systems of linearfunctional differential equations Folia Facultatis Scientiarium Naturalium Universitatis Masarykianae Brunensis Mathematica, 12 Masaryk University, Brno, 2003 12 I Kiguradze and Z Sokhadze, On singular functional-differential inequalities.Georgian Math J 4(1997), no 3, 259–278 13 A Lomtatidze and H Štěpánková, On sign constant and monotone solutions of second order linear functional differential equations Mem Differential Equations Math Phys 35(2005), 65–90 14 A D Myshkis, Linear differential equations with retarded argument (Russian)Nauka, Moscow, 1972 15 A Rontó, On the initial value problem for systems of linear differentialequations with argument deviations Miskolc Math Notes 6(2005), no 1, 105-127 16 A N Ronto, Exact conditions for the solvability of the Cauchy problem forsystems of first-order linear functional-differential equations defined by (σ ,σ , ,σ N ; ) -positive operators (Russian) Ukraăn Mat Zh 55(2003), no 11, 1541–1568; English transl.: Ukrainian Math J 55(2003), no 11, 1853– 1884 17 Š Schwabik, M Tvrdý, and O Vejvoda, Differential and integral equations Boundary value problems and adjoints D Reidel Publishing Co., Dordrecht– Boston, Mass.– London, 1979 18 Jiří Šremr , On systems of linear functional differential inequalities, Georgian Mathematical Journal, Volume 13 (2006), Number 3, 539-572 ... nghiên cứu tính giải ứng dụng số hệ bất phương trình vi phân hàm tuyến tính Tính giải số bất phương trình vi phân hàm tuyến tính ứng dụng chúng nhiều vấn đề cần xem xét Nội dung luận văn trình lại... trình vi phân hàm xem xét tồn nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm phương trình vi phân đối số lệch Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính số nhà toán học nghiên cứu Phát... chương chương Chương ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH n Chương trình bày điều kiện cần đủ để toán tử  ∈ ab thuộc n, S tập hợp Sab (a) Chương 2.HỆ QUẢ CHO NHỮNG TOÁN TỬ VỚI