Trang 1 Trang 2 Trang 3 MỤC LỤC …∗… I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .3 II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN .10 III.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT .29 IV.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM SỐ 35 V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 42 VI.TRẮC NGHIỆM .4 Trang 4 …      … I.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cơ sở của phương pháp là biến đổi sơ cấp các phương trình lượng giác của đề ra về một trong bốn dạng chuẩn sau và được chia thành 2 loại: 1.Phương trình lượng giác cơ bản: Có bốn dạng: sin ,cos ,tan ,cotx m x m x m x m= = = = Công thức nghiệm; k ∈ Z Phương trình Điều kiện có nghiệm Dạng 1 Dạng 2 Sinx = m 1 1− ≤ ≤m x ( 1) arcsin= − + π k m k 2 2 ( sin ) π = α + π   = − α + π  = α x k x k m Cosx = m 1 1− ≤ ≤m arccos 2= ± + πx m k x 2 ( cos ) = ±α + π = α k m Tanx = m ; 2 π ∀ ≠ + πm x k arctan= + πx m k ( tan ) = α + π = α x k m Cotx = m ;∀ ≠ π m x k x arccot= + π m k ( cot ) = α + π = α x k m ∗ Chú ý: sin 1 2 ;cos 1 2 2 π = ⇔ = + π = ⇔ = π x x k x x k sin 0 ;cos 0 2 sin 1 2 ;cos 1 2 2 π π = ⇔ = π = ⇔ = + π = − ⇔ = − + π = − ⇔ = −π+ π x x k x x k x x k x x k 2 . Phương trình lượng giác thuộc dạng cơ bản: Có một trong các dạng sau: Sin[f(x)] = m; cos[f(x)] =m; tan[f(x)] = m; cot[f(x)] = m với f(x) là biểu thức chứa biến x Hoặc là : sin[f(x)] = sin[g(x)]; cos[f(x)] = cos[g(x)] Tan[f(x)] = tan[g(x)]; cot[f(x)] = cot[g(x)] Ta sử dụng các công thức nghiệm như trên PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN PHẦN I Trang 5 II.VÍ DỤ: Giải phương trình: Ví dụ 1 tan tan 2 x x= 2 x 2 2 x 2 ⇔ = + π ⇔ = + π ⇔ = − π ( ∈Ζ) x x k x k k k Vậy phương trình có 1 họ nghiệm 2x k π = − (k ∈ )Z . Ví dụ 2 sin 2 sin5 cos 2 sin5 sin cos 2 sin5 2 sin 4 sin 5 sin 4 5 2 4 5 4 2 16 5 24 3 x x x x x x x x x x x x k x x x k x k π π π π π π π π π π = + ⇔ = −   ⇔ = −       ⇔ = −        = − +       ⇔ ∈    = − −        = − +  ⇔ ∈   = +   (k ) (k ) Z Z Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 2 2 5 24 3 (k π π π π  = +  ∈ )   = +   Z x k x k Trang 6 Ví dụ 3 2 1 sin 2 sin 2 1 cos2 1 sin 2 2 2 2 sin 2 cos2 0 sin 2 1 cos2 2 1 tan 2 2 1 2 arctan 2 1 1 x arctan 2 2 x x x x x x x x x x k k π π + = ⇔ + − = ⇔ 2 − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ ⇔ = + ∈ (k ) (k ) Z Z Vậy phương trình có 1 họ nghiệm 1 1 arctan 2 2 (k ) π = + ∈ Z x k Ví dụ 4 3sin cos 2sin3 0 3 1 sin cos sin3 0 2 2 sin .sin cos cos sin3 0 3 3 cos sin3 0 3 cos sin3 3 cos cos 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 24 2 5 12 x x x x x x x x x x x x x x x x x k x x k k x x k π π π π π π π π π π π π π π π π − + = ⇔ − + = ⇔ − + =   ⇔ − + + =       ⇔ + =         ⇔ + = −          + = − +  ⇔   + = − +    = +  ⇔  = −  ∈   (k )Z Trang 7 Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 24 2 5 12 (k Z) π π π π  = +  ∈   = −   k x x k Ví dụ 5 1 tan 2 2 sinx x+ = (1) Điều kiện : cosx 0≠ 2 x k π π ⇔ ≠ + Với điều kiện trên (1) sin 1 2 2 sin cos x x x ⇔ + = cosx sin 2 2 sin .cos 2 sin 2 sin 2 4 2 2 4 2 2 4 2 4 (k ) 2 4 3 (loaïi) π π π π π π π π π π ⇔ + =   ⇔ + =      = + +   ⇔    = − + +        = +  ⇔ ∈   = +   Z x x x x x x x x k x x k x k k x 2 x 4 3 k π π ⇔ = + (k )Z∈ Vậy phương trình có một họ nghiệm 2 x 4 3 π π ⇔ = + k (k )∈ Z Trang 8 Ví dụ 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 sin .cos3 cos .sin 3 sin 4 sin (4cos 3cos ) cos (3sin 4sin ) sin 4 4sin .cos 3sin .cos 3sin .cos 4sin .cos sin 4 3sin .cos (cos sin ) sin 4 3 sin 2 .cos2 4sin 4 2 3sin 4 4sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = 3 4 3sin 4 4sin 4 0 sin12 0 x 12 x x x x k π ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∈ (k Z) Vậy phương trình có một họ nghiệm x 12 (k ) π = ∈ Z k Ví dụ 7 sin cot 5 1 cos9 x x x = (1) Điều kiện : 5 sin5 0 5 (k ) cos9 0 9 2 18 9 π π π π π π  ≠ ≠   ≠    ⇔ ⇔ ∈    ≠ ≠ +    ≠ +    Z k x k x x x k x k x cos5 (1) sin . cos9 sin5 sin .cos5 cos9 .sin 5 sin 6 sin 4 sin14 sin 4 sin14 sin 6 14 6 2 14 6 2 8 2 20 2 4 ( ) 20 10 π π π π π π π π ⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = = +  ⇔  = − +  =  ⇔  = +   =  ⇔ ∈   = +   x x x x x x x x x x x x x x x x k x x k x k x k k x k Z k x Trang 9 Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 4 ( ) 20 10 π π π  =  ∈   = +   Z k x k k x III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: 2 4 4 2 1) 2 tan 3 3 0 2 2)sin cos2 3 3)cos2 sin 0 4)2sin 2cosx 1 3 sin 2 5) 2cos 0 1 sin 2 6)2tan cot x 3 sin 2 sin cos 1 7) (tan cot x) sin 2 2 8)cos sin 2 cos3 1 1 1 9) sin 2 cos2 sin 4 10)cos10 2cos 4 6c π − =   − =     − = − = − + = + + = + + = + − = + = + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 2 2 os3 .cos x cos 8cos .cos 3 11)tan cot x 2(sin 2 cos2 ) cot tan 12) 16(1 cos4 ) cos2 = + + = + − = + x x x x x x x x x x x Trang 10 IV.HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 2 1) . 9 3 7 2 7 2) ; 2 . cos2 sin 2 18 3 6 2 1 1 cos 2 3) arccos . sin 3 2 2 3 1 4) 2 ; 2 . sin 6 3 12 2 2 2 5) . 6 3 Hướng dẫn : Hướng dẫn : Hướng dẫn : Hướng d π π π π π π π π π π π π π π π +     + − + = −         −   ± + =       − + − + =     − + k k k x x x k x k k k ( ) ( ) 4 4 2 2 cos ) 0 2 6) . 3 sin 2 7) sin 2 0,sin cos 1 2sin .cos 8) ; . 8 16 2 ẫn : ĐK 1+ sinx 0 , đưa pt ve àdạng 2(sin2x + Hướng dẫn : tanx + cotx = Vo ânghiệm . Hướng dẫn : ĐK Hướng dẫn : π π π π π π ≠ =   +     ≠ + = − + − + x k x x x x x x k k ( ) ( ) 4 4 2 2 3 cos sin. 2 4 9) sin cos 1 2sin cos 10) 2 . cos3 4cos 3cos 11) Vo ânghiệm. Hướng dẫn : ĐK sin2x 0, Hướng dẫn : chuyện vế đặt nhân tử chung,áp dụng công thức π π π     − = +         ≠ + = − = − x x x x x x x k x x x 2 2 2 ; . 8 2 4 2 sin 2 4cos2 12) . , cos 2 16 8 sin 2 .cos2 Hướng dẫn : Tìm ĐK, phương trình = 2(sin2x + cos2x) Hướng dẫn : Viết vế trái dưới dạng vế phải dưới dạng 32 π π π π π   + + ⇔       +     k k x k x x x x [...]... nghi m 14 K t qu : x = kπ Trang 29 PH N III PHƯƠNG PHÁP GI I CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC T NG QT … … I PHƯƠNG PHÁP GI I Phương pháp 1: m t s phương trình lư ng giác khơng d ng chính t c, ta có th s d ng các cơng th c lư ng giác thích h p bi n i ưa v d ng phương trình tích: f(x).g(x).h(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 ∨ h(x) = 0 (f(x), g(x), h(x) là các hàm s lư ng giác) Phương pháp 2: khi phép phân tích thành tích... c: B1: bi n i sơ c p ưa phương trình gi thi t v d ng 1.( ơn gi n)hay t ng qt (d ng hai) B2: gi i các phương trình tương ương mà các phương trình trogn h có cách gi i ơn gi n ã c:  f1 ( x) = 0  f ( x) = 0  2 cho d ng t ng qt  ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅  f n ( x) = 0  B3:thơng thư ng ph i tìm nghi m chung cho h t ng qt ã bi t k t lu n nghi m D ng 5 Các phương trình lư ng giác có phương pháp gi i t ng qt 1.asinx...M T S D NG PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC ƠN GI N PH N II … … I PHƯƠNG PHÁP GI I D ng 1 D ng bình phương c a các phương trình lư ng giác cơ b n D ng chu n Cơng th c nghi m; ∀k ∈ Z a ] = sin 2  g ( x) ]  b cos 2  f ( x)  tan 2  f ( x)  ] = cos 2  g ( x) ]  2 ] = tan ... α ⇔ x = arccot α + kπ D ng 3 i s hóa phương trình lư ng giác Cơ s c a phương pháp c n thc hi n ba bư c: • B1 nh n d ng R( x) = R (sin x; cos x) và t : ( K: x ≠ (2k + 1)π ; k ∈ Z ) • B2: s d ng các bi n i 2t sin x = 1+ t2 cos x = 1 − t1 1 + t1 t = tan tan x = x 2 2t 1− t2 ưa R( x) = R (sin x; cos x) v phương trình b c hai: f (t ) = at 2 + β t + γ = 0 Hay phương trình b c cao g (t ) = 0 ph i có cách... h ng b ng m t hàm s lư ng giác duy nh t, ó là n s c a phương trình Có th ch n n s b ng quy t c sau: _N u phương trình khơng thay i khi ta th : a) x b i − x, ch n n la cosx b) x b i π − x, ch n n là sinx c) x b i π + x, ch n n là tanx _N u c ba cách u th c hi n ư c, ch n n là cos2x _N u c ba cách u khơng th c hi n ư c, ch n n là tan x 2 Trang 30 II VÍ D Ví d 1: Gi i phương trình : sinx + sin3x + sin5x... Gi i phương trình: sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x GI I Nh n xét: N u thay x b i − x , π − x hay π + x thì phương trình khơng là cos2x t t = cos2x, t ∈ [ −1,1 ] Phương trình tr thành: 3 3 2 2 1− t  1+ t  1− t  1+ t    +  =  +   2   2   2   2  ⇔ 1 + 3t 2 = 2(1 + t 2 ) ⇔ t2 = 1 ⇔ cos 2 x = ±1  x = kπ ⇔  x = π + kπ  2 ⇔x=k i.Ch n n ( k ∈ Z) π 2 Trang 32 Ví d 5: Gi i phương. .. Gi i phương trình 1 1 1 1  (s inx + cos x) + 1 +  t anx + c otx + + =0 2 2 s inx cos x   s inx ≠ 0 π i u ki n  ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k 2 cos x ≠ 0 Bi n i phương trình v d ng: 1 s inx + cos x + =0 sin x cos x sin x cos x π  t u = s inx + cos x = 2 sin  x +  4  s inx + cos x + 2 + Ta ư c u 2 = 1 + 2sin x cos x ≠ 1 ⇒ sin x cos x = − 2 ≤ u ≤ 2  u ≠ ±1   Và i u ki n c a u:  Phương trình. .. c a phương trình: a sin x + b sin x = c x = (2k + 1)π ; k ∈ Z khi a + b + c = 0 Trang 12 D ng 4 S d ng h ng t khơng âm Cơ s c a phương pháp là s d ng các tìm nghi m ngun c a phương trình phi tuy n c bi t:  A1[ f1 ( x)]    A, B ≥ 0  2m 1 + A2 [ f 2 ( x)] 2m 2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + An [ f n ( x)] 2m n  f1 ( x) = 0  f ( x) = 0 =0  ⇔ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅   f n ( x) = 0 Qua ba bư c: B1: bi n i sơ c p ưa phương. .. ( x)  f ( x ) = ± g ( x ) + kπ  π   f ( x ) ≠ + kπ 2   f ( x), g ( x)   f ( x ) = ± g ( x ) + kπ   f ( x ) ≠ π + kπ  f ( x), g ( x)  D ng 2 Phương trình b c hai ưa v m t hàm lư ng giác D ng 1 2 3 4 Phương trình b c hai i v i hàm s lư ng giác: i u ki n(a,b,c ∈ R; a ≠ 0 ) Cách gi i 2 sin x =t a sin x + b sin x + c =0 t sin f ( x) = t a sin 2 [ f ( x) + b sin[ f ( x)] + c = 0 cos x =t a cos... π + kπ  3  Ví d 2: Gi i phương trình : tan3x + tan2x − 3tanx = 3 GI I π + k 2π , k ∈ Z 2 tan 3 x + tan 2 x − 3 tan x − 3 = 0 i u ki n: x ≠ ⇔ tan 2 x(tan x + 1) = 0 ⇔ ( tan 2 x − 3)(tan x + 1) = 0  tan 2 x − 3 = 0 ⇔  tan x + 1 = 0 π  x = ± + kπ (nhậ) n  3 ⇔  x = − π + kπ (nhậ) n   4 Ví d 3:Gi i phương trình: 1 + tan 2 x = i u ki n 2 x ≠ π GI I + kπ ⇔ x ≠ 2 Phương trình tương ương: π 4 +k π . GIẢN .10 III.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT .29 IV.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM. 3 MỤC LỤC …∗… I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .3 II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN .10