Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn chuyên đề 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Tài liệu tham khảo PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở khoa học chuyên đề 1.1 Cơ sở lý luận 1.2 Cơ sở thực tiễn Biện pháp thực Nội dung chuyên đề PHẦN III: KẾT LUẬN Trường THCS Tề Lỗ 40 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” CHUYÊN ĐỀ “ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1- Lí chọn chuyên đề Đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành giáo dục đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi nhu cầu cấp thiết xã hội, góp phần khơng nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Chính vậy, năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ngành giáo dục trọng Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Là mơn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu công việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thường xuyên phải làm Trong công tác giảng dạy mơn tốn, việc đào tạo bồi dưỡng học sinh có khiếu mơn tốn giúp cho em trở thành học sinh giỏi thực mơn tốn cơng tác mũi nhọn công tác chuyên môn ngành giáo dục trọng Các thi học sinh giỏi cấp tổ chức thường xuyên năm lần thể rõ điều Chương trình tốn bậc THCS có nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, chun đề : “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” chun đề giữ vai trị quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phương trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện, Tỉnh, … nhiều năm có tốn chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Chính vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chun đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân nhóm tốn chúng tơi quan tâm Vì nhóm tốn định chọn chuyên đề : “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” 2- Mục đích nghiên cứu Thơng qua chun đề chúng tơi muốn trao đổi thêm với bạn đồng nghiệp cụm số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giáo viên nâng cao kiến thức cho học sinh Từ đó: - Trang bị cho học sinh cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng tốn - Giúp cho học sinh có khả phân tích thành thạo đa thức thành nhân tử - Phát huy khả suy luận, phán đốn tính linh hoạt học sinh Trường THCS Tề Lỗ Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” - Thấy vai trị việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn từ giáo dục ý thức học tập học sinh 3- Đối tượng nghiên cứu Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phục vụ cho dạy học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, - Phạm vi nghiên cứu “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” 5- Phương pháp nghiên cứu Để thực chuyên đề này, sử dụng phương pháp sau a) Phương pháp nghiên cứu lý luận b) Phương pháp khảo sát thực tiễn c) Phương pháp quan sát d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hoá e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 6- Tài liệu tham khảo Để thực chuyên đề sử dụng số tài liệu sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán - Chuyên đề bồi dưỡng đại số (Nguyễn Đức Tấn) - “23 chuyên đề giải 1001 tốn sơ cấp” nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh - Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp Trường THCS Tề Lỗ Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” PHẦN II: NỘI DUNG 1.Cơ sở khoa học chuyên đề 1.1 Cơ sở lí luận Mơn Tốn mơn khoa học quan trọng, cầu nối ngành khoa học với đồng thời có tính thực tiễn cao sống xã hội với cá nhân, rèn luyện cho người học tư lôgic sáng tạo khoa học Đối với học sinh bậc THCS, em đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi cần thiết thiết thực Vậy làm để khơi dậy kích thích nhu cầu tư duy, khả tư tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm môn học đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề người giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tịi khám phá, khai thác, dạy học phân hóa, dạy sát đối tượng học sinh, quan tâm bồi dưỡng học sinh giỏi 1.2 Cơ sở thực tiễn Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS việc giúp cho học sinh có kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử toán liên quan công việc quan trọng thiếu Để làm điều người thầy phải cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có bốn phương pháp là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử phối hợp nhiều phương pháp (sgk - Toán Tập 1) với phương pháp học sinh gặp khó khăn q trình giải tốn ( có chưa thể giải khơng có phương pháp tổng qt để giải ) Vì dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh phương pháp khác sgk như: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ (đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng, … Để giúp em biết lựa chọn phương pháp thích hợp gặp dạng tốn khó Trong q trình giảng dạy chúng tơi gặp thuận lợi khó khăn sau: a) Thuận lợi: - Đội ngũ giáo viên nhà trường đào tạo trình độ đạt chuẩn chuẩn - Tập thể có tinh thần đoàn kết cao, hoà nhã quan hệ, tương trợ giúp đỡ lẫn khó khăn công việc - Hầu hết giáo viên ham học hỏi, nghiên cứu soạn bài, thường xuyên sử dụng đồ dùng giảng dạy dạy phương pháp môn - Luôn quan tâm đạo sát BGH, chi Đảng giúp đỡ tổ để tổ hoàn thành tốt nhiệm vụ - Cơ sở vật chất nhà trường tương đối đầy đủ, phịng học mơn có đủ hoạt động tốt thuận tiện cho giảng dạy giáo viên - Học sinh có nề nếp, đa số có ý thức học tập rèn luyện đạo đức Trường THCS Tề Lỗ Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” - Nhận thức phụ huynh ngày nâng cao điều kiện tốt để phối hợp giáo dục Gia đình - Nhà trường - Xã hội b) Khó khăn: - Trong tổ có nhiều mơn khác nên khó việc bồi dưỡng giúp đỡ lẫn chuyên môn - Một số giáo viên lực tổ chức lớp hạn chế - Số giáo viên có chun mơn nghiệp vụ giỏi cịn ít, số giáo viên chưa linh hoạt việc áp dụng phương pháp vào dạy học - Một số giáo viên áp dụng CNTT vào dạy học cịn chưa thành thạo, phịng học có máy chiếu cịn nên sử dụng giáo án điện tử tiết chưa nhiều - Số học sinh giỏi tiểu học đạt giải huyện, tỉnh, quốc gia chuyển học trường chun nên khơng có nguồn để bồi dưỡng - Vẫn phận học sinh chưa cố gắng học tập, ý thức đạo đức chưa tốt - Thiết bị dạy học số mơn cịn thiếu, thiết bị hỏng cịn chưa thay Biện pháp thực hiện: - Cần soạn giảng hệ thống câu hỏi ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu - Nên tạo tình có vấn đề giảng dạy để kích thích tư kĩ thực hành học sinh - Giáo viên nên thường xuyên động viên khen ngợi em, hướng dẫn em cách ghi chép, cách học làm tập nhà, tập có dạng học - Khi tập cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh thực số nội dung sau: + Đọc kỹ nội dung + Nhận dạng toán thuộc dạng toán nào, thực phép " Quy lạ quen " + Xác định rõ yêu cầu tốn + Xác định cho biết gì? Viết điều cho biết dạng khác không? + Kiểm tra xem vận dụng hết điều đề cho biết chưa, sử dụng kiến thức bài? Vận dụng ? + Tự tiến hành trình bày lời giải + Đối chiếu với cách giải bạn, thầy + Tìm thêm lời giải khác cho toán ( ) + Rút kinh nghiệm cho thân - Giáo viên cần đưa dạng tập với mức độ từ thấp đến cao, nâng mức độ khó dần ( kể kiến thức lẫn kĩ năng) Trường THCS Tề Lỗ Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Nội dung chuyên đề A - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức - Các phương pháp 2.1: Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung a) Phương pháp: - Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) b) Ví dụ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 Giải: Ta có: A = 14 x y − 21xy + 28 x y = xy.2 x − xy.3 y + xy.4 xy =7xy.(2x-3y+4xy) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = 15x2y2 - 9x3y + 3x2y3 Giải: Ta có: B = 15 x y − x3 y + 3x y = 3x y.5 y − 3x y.3x + 3x y y = 3x y (5 y − 3x − y ) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax by) Giải: Ta có: A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)[(2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)] = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta có: B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 Trường THCS Tề Lỗ Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” = 3x(y – 2z)[(x – 5(y – 2z)] =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) 2.2: Phương pháp 2: Dùng đẳng thức a) Phương pháp: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ dạng “ tổng hiệu ” đưa dạng “ tích ” 1) A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2) A2 - 2AB + B2 = (A -B)2 3) A2 - B2 = (A - B)(A + B) 4) A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 5) A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) b) Ví dụ: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 9x2 + 6xy + y2 Giải: Ta có: A = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = 4x2 - 12x + Giải: Ta có: B = 4x2 - 12x + = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 =(2x - 3)2 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x + y )2 - (x - y)2 = [(x + y) - (x - y)].[(x + y) + (x - y)] = (x + y - x + y)(x + y + x - y) = 2y.2x = 4xy 2 b) 9x - = (3x) - = (3x - 2)(3x + 2) c) 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 Giải: Ta có: P = 8x + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y +3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Trường THCS Tề Lỗ Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Q = 27 - 27x + 9x2 - x3 Giải: Ta có: Q = 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 32.x + 3.3.x2 - x3 = (3 - x)3 Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 8x3 + y3 Giải: Ta có: A = 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 - 2xy + y2) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = - 27x3y6 Giải: Ta có: B = - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1 - 3xy2)[12 + 1.3xy2 + (3xy2)2] = (1 - 3xy2)(1 + 3xy2 + 9xy4) *) Chú ý: Đôi cần phải đổi dấu hạng tử áp dụng đẳng thức Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = -x4y2 - 8x2y - 16 Giải: Ta có: A = -x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = -[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42] = -(x2y + 4)2 Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Ta có: Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = [(x + y) +(x - y)]3 – 3[(x + y) +(x - y)] (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x[4x2 – 3(x2 – y2)] = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 Trường THCS Tề Lỗ Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” = [(x + y) +(x - y)][(x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 ] = 2x[2(x2 + y2) - (x2 – y2)] = 2x(x2 + 3y2) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) = 3(z – x)(y – z)(x – y) Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: A = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x8 – 28 Giải: Ta có: P = x – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)[(x2)2 – (22)2 ] = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) 2.3 - Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử a) Phương pháp Lựa chọn hạng tử “ thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung dùng đẳng thức bước phải thực b) Ví dụ: *) Nhóm nhằm xuất phương pháp nhân tử chung Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - xy + x - y b) xy - 5y + 2x - 10 c) 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có: a) Cách 1: x2 - xy + x - y = (x2 - xy)+ (x - y) = x(x - y ) + 1.(x - y) = (x - y)(x + 1) Trường THCS Tề Lỗ Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Cách 2: x2 - xy + x - y = (x2 + x) - (xy + y) = x(x + 1) - y(x + 1) =(x + 1)(x - y) b) xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x - 10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = ( x - 5)(y +2) c) 2xy +z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) *) Nhóm nhằm xuất phương pháp đẳng thức Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - 2x + - 4y2 b) x2 + 4x - y2 + Giải: Ta có: a) x2 - 2x + - 4y2 = (x2 - 2x + ) - (2y)2 = (x - 1)2 - (2y)2 = (x - - 2y)(x - + 2y) 2 b) x + 4x - y + = (x2 + 4x + 4) - y2 = (x + 2)2 - y2 = (x + - y)(x + y + 2) *) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - - 4y2 - 4y b) x - x + 3x2y + 3xy2 + y3 - y Giải: Ta có: a) x2 - 2x -4y2 - 4y = (x2 - 4y2) - ( 2x + 4y) = (x - 2y)(x + 2y) - 2(x + 2y) = (x + 2y)(x - 2y -2) b) x - x + 3x y + 3xy2 + y3 - y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) ( x + y) = (x + y)3 - ( x + y) = (x + y) [(x + y)2 - 1] = (x + y)[ (x + y - 1)(x + y + 1)] *) Chú ý: Trong q trình nhóm hạng tử phải ý dấu hạng tử sau nhóm Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x3 + 3x2 + 2x + Giải: Ta có: B = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có: A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) Trường THCS Tề Lỗ 10 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z P khơng thay đổi Thay z=y vào P ta có: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = Do : P  (y – z) Suy P  (z – x) P  (x – y) Từ đó: P  (y – z)(z – x)(z – x) Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x) thương số k, nghĩa là: P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho: x = 2; y = 1; z = 0, ta được: 2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) - = - 2k ⇒ k = Vậy: P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c M khơng thay đổi Thay a = vào M ta có: M = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = Do M  a Suy M  b M  c Từ đó: M  abc Mặt khác M đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia m cho abc thương số k, nghĩa là: M = k.abc Cho a = b = c = 1, ta được: 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 ⇒ k = Vậy: M = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b)= 4abc B.MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ: 1- Bài tốn giải phương trình: a) Phương pháp: Đối với phương trình bậc cao từ bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng Vì sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích A.B = A = B = Khi đa thức A B có số mũ nhỏ nên giúp em giải phương trình dễ dàng Trường THCS Tề Lỗ 30 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” b) Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 9x + 11x - 21=0 (1) Đây phương trình bậc chưa học cách giải Cũng từ suy nghĩ phân tích vế trái phương trình thành nhân tử phương trình coi giải xong Nhận xét: Phương trình (1) thuộc dạng: ax + bx + cx + d = có a + b + c + d = Để phân tích vế trái thành nhân tử ta làm sau: Tách từ hạng tử thứ hai trở thành hai hạng tử cho hạng tử đầu có hệ số đối hạng tử liền trước Từ ta phân tích đa thức vế trái phương thình sau: Giải: x + 9x + 11x – 21 = x3 – x + 10x – 10x + 21x – 21 = x 2(x – 1) + 10x(x – 1) + 21(x – 1) = (x – 1).(x + 10x + 21) = (x – 1)(x + 7)(x + 3) Vậy phương trình (1) trở thành phương trình: (x – 1)(x + 7)(x + 3) =0 Suy : Hoặc x – = x + = x + = Phương trình có nghiệm là: x =1; x = – 7; x3 = – Ví dụ 2: Giải phương trình: ( 4x + 3)2 – 25 = Giải: Áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng: 8(2x – 1)( x+ 2) =   2x − = x = ⇒ ⇔ x+2=0    x = −2 ⇒ x = 1/2 x = – Ví dụ 3: Giải phương trình: 3x2 + 5x - = Giải: Áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc hai vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng: ( 3x – 1)( x + 2) = Trường THCS Tề Lỗ 31 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”   x − = x = ⇒ ⇔ x+2=0    x = −2 ⇒ x= x = – Ví dụ 4: Giải phương trình: (x − 6) + (x − 8) = 16 Giải: Áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng: x3 + 2x2 + x + = ⇔ ( x + 2)(x2 + 1) = Ta có: x2 + ≥ 1> với ∀x nên x + = ⇒ x = - 2 - Bài tốn giải bất phương trình a) Phương pháp: Để giải bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc khơng dễ chút Đối với bất phương trình bậc cao ta nên phân tích vế có chứa ẩn thành nhân tử để đưa hết phương trình dạng bất phương trình tích Đối với bất phương trình có chứa ẩn mẫu ta nên phân tích tử mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức sau giải bất phương trình đơn giản (A.B < 0) (A.B > 0) hay bất phương trình thường: b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x2 + x – 12 > (*) Giải: Ta thấy vế trái bất phương trình đa thức bậc hai, ta phân tích x2 + x – 12 = x2 – 3x + 4x – 12 = (x – 3)( x + 4) Việc giải bất phương trình (*) đưa giải bất phương trình: (x – 3)( x + 4) >0  x − >   x >3 x + > ⇔ ⇔  x − <  x < −4    x + < Vậy: x > x < – Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2x + 10 ⇒ x − < ⇔ x < Vậy: x < Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 0 x −2 x −3 Giải: Ta có: x − >0 x −2 x −3 ⇔ −2 >0 (x − 2)(x − 3) V× – < ⇒ ( x – 2)(x – 3) < x − > x >   x − <  x < ⇒  ⇔ ⇔ 2 Vậy: < x < Ví dụ 4: Đến việc Giải bất phương trình: 3x2 – 10x – > (4) Giải: 2 Ta có: 3x – 10x – = 3x -12x + 2x – = (3x2 -12x) + (2x – 8) = 3x(x – 4) + 2( x – 4) = (x – 4)(3x + 2) Đến việc giải bất phương trình (4) đưa giải bất phương trình sau: ⇒ ( 3x + 2)( x – 4) >   x > −   3x + >     x>4  x − >   x > ⇒ ⇔ ⇔  x < − 3x + <     x < −   x − <    x <   Trường THCS Tề Lỗ 33 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Vậy: x < – x > 3 - Bài toán rút gọn biểu thức: a) Phương pháp: Dựa sở tính chất phân thức đại số phân tích tử nẫu thức thành nhân tử để xuất nhân tử chung rút gọn Đồng thời tìm tập xác định biểu thức thơng qua nhân tử nằm mẫu Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào toán rút gọn, giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức b) Ví dụ: x + y − z + 2xy Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau: A = x − y + z + 2xz Giải: Ta phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử: Tử: x + y − z + 2xy = (x + 2xy + y ) − z = (x + y)2 - z2 = (x + y + z)(x + y – z) Mẫu: x − y + z + 2xz = (x + 2xz + z ) − y = (x + z)2 - y2 = (x + y + z)(x - y + z) x + y − z + 2xy (x + y + z)(x + y - z) (x + y - z) ⇒A= = = x − y + z + 2xz (x + y + z)(x - y + z) (x - y + z) Vậy: A = (x + y - z) (x - y + z) a − b3 + c3 + 3abc Ví dụ 2: Rút gọn phân thức sau: B = (a + b) + (b + c) + (c + a) Giải: Ta xét tử: a − b3 + c3 + 3abc = (a − b)3 + c3 + 3abc + 3a b − 3ab = (a − b + c) (a − b) + (a − b)c + c  + 3ab(a − b + c) = (a − b + c)(a + b + c − 2ab + ac − bc + 3ab) = (a − b + c)(a + b + c + ab + ac − bc) 2 2 2 Mẫu: (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2(a + b + c ) + 2(ab + ac − bc) 2 = 2(a + b + c + ab + ac − bc) Trường THCS Tề Lỗ 34 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” a − b3 + c3 + 3abc (a − b + c)(a + b + c + ab + ac − bc) ⇒B= = (a + b) + (b + c) + (c + a) 2(a + b + c + ab + ac − bc) a −b+c Vậy: B = x y − xy3 + y3 z − yz + z x − xz Ví dụ 3: Rút gọn phân thức sau: C = x y − xy + y z − yz + z x − zx Giải: Phân tích tử: x y − xy + y z − yz + z x − xz = (x – y)(x – z)(y – z)(x + 3 3 y+ z) Phân tích mẫu: x y − xy + y z − yz + z x − zx = (x - y)(x – z)(y – z) x y − xy3 + y3 z − yz + z x − xz = (x- y)(x - z)(y - z)(x + y+ z) ⇒C= (x -y)(x - z)(y - z) x y − xy + y z − yz + z x − zx Vậy: C = (x + y + z) - Bài toán chứng minh chia hết: a) Phương pháp: Ta phân tích đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết cho số cần chứng minh b) Ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n (2n - 1)3 - ( 2n - 1) luôn chia hết cho Giải: Ta có: A = (2n – 1) – ( 2n – 1) = (2n – 1)[(2n – 1)2 – 1] = (2n – 1)(2n – + 1)(2n – – 1) = (2n – 1)2n (2n – 2) = 4n (n – 1)(2n – 1) Với số ngun n ta ln có: + Nếu n chẵn n ⇒ 4n  ⇒ A  + Nếu n lẻ (n – 1)  ⇒ 4(n – 1)  ⇒ A  ⇒ (2n – 1)3 – ( 2n – 1) luôn chia hết cho với ∀n Ví dụ 2: Chứng minh ∀ x ∈ Z ta có biểu thức: P = ( 4x + 3) – 25 chia hết cho Giải: Phân tích: P = ( 4x + 3) – 25 = (4x + – 25)(4x + + 25) = (4x – 22)(4x + 28) = 2(2x –11).4(x + 7) = (2x – 11)(x + 7) Trường THCS Tề Lỗ 35 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Ta có:  nên ⇒ P = 8( 2x – 11)( x + )  n n n Ví dụ 3: Chứng minh rằng: ∀ n ∈ Z biểu thức : + số nguyên + 2n + 3n + n HD: Biến đổi biểu thức dạng: Và chứng minh ( 2n + 3n2 + n3) chia hết cho Giải: n n n3 Ta có: = + + 2n + 3n + n ; 2n + 3n2 + n3 = n(2 + 3n + n2) = n( n + 1)( n + 2) Mà n(n + 1)(n +2) tích số nguyên liên tiếp Vì có thừa số chia hết cho chia hết cho mà (2; 3) = nên tích chia hết cho n n n3 số nguyên + + Ví dụ 4: Chứng minh với n ∈ N, 45n − 45n − 45n +1 chia hết cho 45 Vậy: Với ∀ n ∈ Z biểu thức Giải: n Ta có: 45n − 45n − 45n +1 = 45(n − n − 45 ) Vì: 45  45 nên ⇒ 45(n − n − 45n )  45 Vậy: 45n − 45n − 45n +1 chia hết cho 45 C- Bài dạy minh hoạ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ngày giảng:.23/10./2014 I MỤC TIÊU BÀI HỌC: - Củng cố cho học sinh đẳng thức, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Cung cấp cho học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử - Rèn kỹ biến đổi, phân tích đa thức, kỹ tách hạng tử thêm bớt hạng tử để phân tích - Giáo dục ý thức tự giác học tập, lịng say mê mơn học II CHUẨN BỊ - GV: Nội dung pp phân tích đa thức thành nhân tử, máy chiếu, bảng nhóm Trường THCS Tề Lỗ 36 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” - HS: Kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử III TIẾN TRÌNH BÀI DẠY: Tổ chức: Kiểm tra cũ: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Giáo viên kết hợp Bài mới: - Hãy cho biết phương pháp phân - HS phương pháp tích đa thức thành nhân tử mà em học? * Các phương pháp bản: - Chiếu pp học sau học sinh + Đặt nhân tử chung trả lời + Dùng đẳng thức * Các phương pháp bản: + Nhóm hạng tử - Đặt nhân tử chung + Phối hợp phương pháp - Dùng đẳng thức - Nhóm hạng tử - Phối hợp phương pháp * Các phương pháp mở rộng - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm bớt hạng tử - Phương pháp nhẩm nghiệm - Phương pháp đặt ẩn phụ - Phương pháp hệ số bất định - Phương pháp xét giá trị riêng Hoạt động 1: Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử *Ví dụ1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+ - GV vấn đáp học sinh để tìm hướng giải - Khơng thể sử dụng pp học để làm + Có thể sử dụng phương pháp thông thường học để làm không? + Ta tách hạng tử làm hạng tử - HS tìm cách tách dụng pp nhóm đẳng thức để làm Vậy tách cho phù Cách1: (Tách hạng tử bậc nhất) hợp? 3x2 - 8x + = 3x2 - 6x - 2x+ - GV cho hs đứng chỗ trình bày = 3x(x - 2) - 2(x - 2) hướng tách sau đưa số cách = (x-2)(3x-2) Cách2: (Tách hạng tử bậc 2) tách để phân tích 2 3x - 8x + = 4x - 8x+ 4- x = (2x-2)2-x2 Trường THCS Tề Lỗ 37 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” =(2x-2-x)(2x-2+x) =(2x-2-x)(2x-2+x) =(x-2)(3x-2) Cách3: (Tách hạng tử tự do) 3x2 - 8x + = 3x2- 12 -8x + 16 =3(x2-4) – 8(x-2) =3(x-2)(x+2) – 8(x-2) =(x-2)(3x+ – 8) =(x-2)(3x – 2) - Trong cách tách cách tách dễ làm cả? - Chọn cách làm dễ phân tích - Chú ý: Với cách tách hạng tử bậc hạng tử tự thường làm xuất đẳng thức Với cách tách hạng tử bậc thường làm xuất nhân tử chung - Giới thiệu HS cách tách hạng tử bậc nhất: với đa thức bậc 2: ax2+bx+c Từ cách 1: sau tách hạng tử bậc b=-6 + (-2)=b1+b2 + So sánh b1.b2 (=-6.(-2)) với a.c(=3.4)? -Thấy b1.b2=a.c + Tìm số cho tổng=b; tích =a.c * Vậy để phân tích đa thức ax 2+bx+c thành nhân tử ta làm sau: + Bước 1: Lập tích a.c HS theo dõi bước làm + Bước 2: Phân tích tích a.c thành tích thừa số cách +Bước3:Chọn thừa số có tổng b - Cho HS làm theo nhóm tập 1: *Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2-6x +8 b) 4x2 -3x-1 - Làm theo nhóm 1: a) Cách 1: x2- 6x + 8= x2-2x–4x+8 = (x2-2x) – (4x-8)= x(x-2) -4(x-2) = (x-2)(x-4) Cách 2: x2- 6x+ 8=(x2-6x +9)-1 Cho hs nhóm nhận xét =( x-3) –1=(x-3-1)(x -3 +1) cuối giáo viên nhận xét chốt lại = (x - 2)(x2- 4) Cách 3: x - 6x+ 8=(x2- 4) –(6x –12) cách làm =(x -2)(x +2)– 6(x –2)=(x-2)(x+2–6) =(x-2)(x- 4) Cách 4: x2-6x+8=(x2 –4x+4)–(2x-4) Trường THCS Tề Lỗ 38 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” =(x–2)2-2(x– 2)=(x–2)(x– 2- ) = (x – 2) (x – 4) b) Cách 1: 4x2 -3x-1 =x2 +3x2 -3x-1 =(x2 -1) + (3x2 -3x) =(x-1)(x+1) +3x(x-1) =(x-1)( 4x +1) Cách 2: 4x2 -3x-1 = 4x2 -4x +x -1 = 4x(x-1)+ (x -1) = (x -1)(4x+1) Cách 3: 4x2 -3x-1 =4x2 -3x -4 +3 =4(x-1)(x+1) -3 (x-1) =(x-1)(4x+1) - Đối với đa thức bậc ba trở lên ta tách hạng tử nhằm xuất nhân tử chung đẳng thức *Bài tập 2: Phân tích đa thức sau - HS lên bảng làm học sinh lại làm thành nhân tử: nhận xét a) A= n3 - 7n + b) B= x4 + x2 + a)A= n3 - 7n + = n3 -n -6n + +HD giải: = n(n2 - 1) - 6(n - 1) a) Tách -7n=-n-6n = n(n - 1)(n + 1) - 6(n - 1) b) tách x2=2x2-x2 = (n - 1)[n(n + 1) - 6] - Cho học sinh lên bảng làm, học sinh = (n - 1)(n2 + n - 6) lại làm nhận xét = (n - 1)(n2 - 2n + 3n - 6) = (n - 1)(n (n -2) + (n - 2)) = (n - 1) (n - 2)(n + 3) b) Cách : B = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : B = x4 + x2 + =(x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x)+(x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : B = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + - Cho HS nhận xét sau GV nhận xét = x2(x2 - x + 1) + x(x - x + 1) + (x - x + chốt lại cách làm 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Hoạt động 2: Phương pháp thêm bớt hạng tử Trường THCS Tề Lỗ 39 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Ví dụ2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x4+81 b) 64x4+y4 - GV Trong đa thức thiếu hạng - a) Thêm 36x2 tử xuất đẳng b) Thêm 16x2 thức? lên bảng làm - Cho HS lên bảng làm hs - HS a) 4x +81 =(2x2)2 +2.2x2 9+92 -36x2 dãy làm câu =(2x2 +9)2 -36x2 =(2x2 +9+6x).(2x2+9 -6x) =(2x2 +9+6x).(2x2+9 -6x) b) 64x4+y4=(8x2)2+2.8x2+(y2)2 –16x2 =(8x2+y2)2 – (4x)2 - Cho hs nhận xét sau giáo viên = (8x2 +y2-4x)( 8x2 +y2+4x) nhận xét chốt lại cách làm - Chú ý: Cách làm thêm bớt hạng tử để xuất hẳng đẳng thức Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x7 + x2 + 1; b) x7+x5+1; - GV đưa lời giải câu a cho học sinh bàn nghiên cứu cứu cách làm đứng chỗ cách làm x7+x2+1= =x7+x6+x5– x6-x5-x4+x4+x3+ x2 –x3+ = (x7 +x6+x5)– (x6+x5+x4)+(x4+x3+ x2)– (x3-1) = x5.(x2 +x+1)–x4.(x2 +x+1)+x2.(x2 +x+ 1)–(x-1)(x2+x+1) = (x2+x+1).(x5-x4+x2-x+1) - GV cách làm thêm bớt hạng tử để xuất nhân tử chung - Chú ý: Với đa thức cho dạng x3m+1+x3n+2+1 chứa nhân tử x2+x+1 - Cho HS lên bảng làm câu b HS lại làm nhận xét - Cho học sinh nhận xét cách làm, giáo viên nhận xét chốt lại cách làm 4.Củng cố Trường THCS Tề Lỗ - HS nghiên cứu trình bày cách làm trình bày HS làm câu b; b) x7+x5+1= x7+x6+x5 – x6+1 = x5(x2+x+1) –(x6-1) = x5(x2+x+1) –(x3-1) (x3+1) = x5(x2+x+1) –(x-1) (x2+x+1) (x3+1) =(x2+x+1)(x5 –(x4+x-x3-1)) =(x2+x+1)(x5 –x4+ x3-x+1) 40 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Cho học sinh làm tập áp dụng * Bài 3: Tìm x biết - HS làm tập 3: a) x2 – 6x + 5=0 x2 – 6x + 5=0 b) x - 30x + 31x – 30=0 x2 – x – 5x + 5=0 - HD giải: b) Tách 31x=30x+x x(x – 1) – 5(x – 1)=0 - Cho HS lên bảng làm, học sinh (x – 1)(x – 5)=0 rưới làm nhận xét  x −1 = =>  x − = x = =>  x = b)x4 - 30x2 + 31x - 30 =0 x4 + x - 30x2 + 30x – 30=0 x(x3 + 1) - 30(x2 - x + 1)=0 x(x + 1)(x2 - x + 1) - 30(x2 - x + 1)=0 (x2 - x + 1)(x2 + x - 30)=0 (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6)=0 x + = =>  x − = - Cho HS nhận xét làm sau giáo  x = −6 viên nhận xét chốt lại cách làm =>  *Bài 4: Cho x số nguyên Chứng minh B= x4 -4x3-2x2+12x+9 số phương x = Bài 4: B= x4 -4x3-2x2+12x+9 =(x4-4x3+4x2) –(6x2-12x)+9 =(x2-2x)2-6(x2-2x)+9 =(x2-2x+3)2 Do x∈ Z nên (x2-2x+3) ∈ Z Vậy B số phương Hướng dẫn nhà - Xem lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ta vừa học - Nghiên cứu tiếp phương pháp phân tích đa thức sánh phát triển - Làm tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp tách hạng tử: a) A = 4x2 - 8x + b) B = 15x2 – 31x + c) C = 12x2 - 15x + d) D = x2 + 5x + e) E = x2 – 5x + 14 f) F = x2 – 3x – Trường THCS Tề Lỗ 41 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” g) G = a2 – 7ab + 10b2 h) H = x4 + x3 + 6x2 + 5x + Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp thêm bớt: a) 4x4 + y4 b) x8 + x + c) x4 + 5x3 +10x - d) x7 + x2 + e) x3 + y3 + z3 - 3xyz f) x4 + 64 g) x10 + x5 + Bài 3: Giải phương trình: (x − 6) + (x − 8) = 16 Bài 4: Chứng minh rằng: ∀ n ∈ Trường THCS Tề Lỗ n n n3 Z biểu thức : + số nguyên + 42 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” PHẦN III: KẾT LUẬN 1- Bài học kinh nghiệm giải pháp thực Trong trình thực chuyên đề rút số học kinh nghiệm giải pháp thực sau - Để thực tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật tốn, giải tốn khó cách thành thạo cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tị mị, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính Giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc tốn điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải toán khác thể loại - Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện học tập Bên cạnh cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua khó khăn bước đầu học tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa - Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần tránh cho học sinh biểu tự đắc, cho giỏi Điều làm cho em khó tránh khỏi thất bại tham gia thi lớn Chính vậy, giáo viên cần đưa tốn khó, u cầu cao để em thấy trình học bồi dưỡng học sinh giỏi q trình khơng thể diễn ngày một, ngày hai mà trình lâu dài, thường xuyên, liên tục Tuy nhiên cần tránh cho học sinh tự ti, liên tục khơng giải tốn khó gây cho em nản trí niềm tin vào khả Trường THCS Tề Lỗ 43 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Kết luận: - Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS trình lâu dài bền bỉ Bởi em có q trình năm học tốn Để có học sinh giỏi, cần phải tập trung bồi dưỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục với nỗ lực thầy lẫn trị, chắn có học sinh giỏi thực mơn tốn - Trong q trình thực chun đề chúng tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong có đóng góp, bổ sung bạn đồng nghiệp, nhà quản lý giáo dục để chuyên đề hồn thiện Trên chun đề đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên theo mảnh kiến thức quan trọng chương trình toán học Xin trân thành cảm ơn! Duyệt ban giám hiệu Tề Lỗ, ngày ……tháng…năm 2014 Người viết chuyên đề Phan Thị Thanh Hoa Trường THCS Tề Lỗ 44 Năm học: 2014 - 2015 ... nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức - Các phương pháp 2.1: Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung a) Phương pháp: - Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức. . .Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” CHUYÊN ĐỀ “ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1- Lí chọn chuyên đề Đào tạo, bồi dưỡng... pp phân tích đa thức thành nhân tử, máy chiếu, bảng nhóm Trường THCS Tề Lỗ 36 Năm học: 2014 - 2015 Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” - HS: Kiến thức phân tích đa thức thành