ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Nội dung Trang LÍ THUYẾT LỚP 10 Chương 1: Mệnh đề - tập hợp…………………………………………………………… Chương 2: Hàm số bậc hàm số bậc hai……………………………………… Chương 3: Phương trình hệ phương trình…………………………………………… Chương 4: Bất đẳng thức………………………………………………………………… Chương 6: Góc lượng giác cơng thức lượng giác…………………………………… 10 Chương 1: Vec tơ……………………………………………………………………… 47 Chương 2: Tích vô hướng hai vec tơ ứng dụng……………………………………… 48 Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng……………………………………… 50 LÍ THUYẾT LỚP 11 Chương 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác…………………………… 13 Chương 2: Tổ hợp – xác suất…………………………………………………………… 15 Chương 3: Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân………………………………………… 18 Chương 4: Giới hạn…………………………………………………………………… 19 Chương 5: Đạo hàm…………………………………………………………………… 23 Chương 1: Phép biến hình……………………………………………………………… 51 Chương 2: Quan hệ song song không gian……………………………………… 56 Chương 3: Quan hệ vuông góc khơng gian……………………………………… 59 LÍ THUYẾT LỚP 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số……………………………………… 27 Chương 2: Hàm số lũy thừa – mũ – logarit……………………………………………… 31 Chương 3: Nguyên hàm – tích phân…………………………………………………… 36 Chương 4: Số phức……………………………………………………………………… 43 Chương 1: Khối đa diện thể tích khối đa diện……………………………………… 61 Chương 2: Mặt trụ - mặt nón – mặt cầu………………………………………………… 63 Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian……………………………………… 65 Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 LÍ THUYẾT ĐẠI SỐ LỚP 10 CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP A Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề: Mệnh đề câu khẳng định hoặc sai Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P, mệnh đề phủ định P là: ‘‘ Không phải P ’’ ta kí hiệu P Chú ý: Mệnh đề P P hai câu khẳng định trái ngược Mệnh đề kéo theo: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề kéo theo là: ‘‘Nếu P Q’’ kí hiệu P  Q Chú ý: + Mệnh đề P  Q sai P đúng, Q sai trường hợp lại + Trong mệnh đề P  Q thì: - P giả thiết ( hay P điều kiện đủ để có Q ) - Q kết luận ( hay Q điều kiện cần để có P ) Mệnh đề đảo: Mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề P Q, mệnh đề tương đương là: ‘‘ P Q ’’ ta kí hiệu: P  Q Chú ý: Mệnh đề P  Q P  Q Q  P Cách phát biểu khác hai mệnh đề tương đương: - P Q - P điều kiện đủ để có Q ( Q điều kiện cần đủ để có P) Mệnh đề chứa biến: Ví dụ cho khẳng định ‘‘ + n = 4’’ Khi thay giá trị cụ thể n vào khẳng định ta mệnh đề Khẳng định có đặc điểm gọi mệnh đề chứa biến Các kí hiệu   :  đọc với mọi,  đọc tồn Ví dụ: Mệnh đề: ‘‘ Với x thuộc X, P(x) đúng’’, ta kí hiệu: ‘‘ x  X, P(x) ’’ Mệnh đề: ‘‘ Tồn x thuộc X để P(x) đúng’’, ta kí hiệu: ‘‘ x  X, P(x) ’’ Mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu ,  + Xét mệnh đề: ‘‘ x  X, P(x) ’’ mệnh đề phủ định là: ‘‘ x  X, P(x) ’’ + Xét mệnh đề: ‘‘ x  X, P(x) ’’ mệnh đề phủ định là: ‘‘ x  X, P(x) ’’ Chú ý: + Phủ định ‘ a > b’ là: ‘a ≤ b’ + Phủ định ‘ a = b’ là: ‘ a ≠ b’ + Phủ định ‘ a < b’ là: ‘ a≥ b’ + Phủ định ‘ a chia hết cho b’ là: ‘ a không chia hết cho b’ B Áp dụng mệnh đề vào suy luận tốn học Định lí chứng minh định lí: Trong tốn học, định lí mệnh đề Nhiều định lí phát biểu dạng: ‘‘ x  X, P(x)  Q(x) ’’ (1) Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 Có cách chứng minh định lí Cách 1: Chứng minh trực tiếp + Lấy x tùy ý thuộc X mà P(x) + Dùng suy luận kiến thức toán học để Q(x) Cách 2: Chứng minh phản chứng + giả sử tồn x0 thuộc X cho P(x0) Q(x0) sai, tức mệnh đề (1) mệnh đề sai + Dùng suy luận kiến thức toán học để mâu thuẫn Điều kiện cần, điều kiện đủ: a) Xét định lí dạng: ‘‘ x  X, P(x)  Q(x) ’’ P(x) gọi giả thiết Q(x) gọi kết luận định lí Định lí phát biểu: P(x) điều kiện đủ để có Q(x), Q(x) điều kiện cần để có P(x) b) Xét định lí ‘‘ x  X, P(x)  Q(x) ’’ ta nói P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) C Tập hợp phép tốn tập hợp Tập con: A tập B phần tử A phần tử B A  B   x, x  A  x  B  Tập hợp nhau: Tập A, B phần tử A phần tử B ngược lại A  B   A  B; B  A  Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B tập hợp gồm tất phần tử thuộc A thuộc B A  B   x : x  A hoac x  B Phép giao: Giao hai tập A B tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A B A  B   x : x  A va x  B Phép lấy phần bù: Cho A tập E Phần bù A E tập hợp gồm phần tử E mà không phần tử A Hiệu hai tập A B tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A không thuộc B A \ B   x : x  A; x  B CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A Đại cương hàm số Sự biến thiên hàm số: Cho hàm số f(x) xác định tập D + f(x) đồng biến D x1, x2  D, x1  x2  f ( x 1)  f ( x2 ) ( đồ thị hàm đồng biến từ lên, từ trái qua phải) + f(x) nghịch biến D x1, x2  D, x1  x2  f ( x 1)  f ( x2 ) ( đồ thị hàm nghịch biến từ xuống dưới, từ trái qua phải) Khảo sát biến thiên hàm số: ta xét đồng biến, nghịch biến hàm số Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 Để khảo sát biến thiên hàm f(x) tập D, ta xét biểu thức: P  f ( x2 )  f ( x1 ) , x1, x2  D x2  x1 + Nếu P > hàm f(x) đồng biến D + Nếu P < hàm f(x) nghịch biến D Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D x  D   x  D + f(x) hàm số lẻ   f ( x)   f ( x) x  D   x  D + f(x) hàm số chẵn   f ( x)  f ( x) - Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 4.Tịnh tiến đồ thị: Cho đồ thị (C) hàm số y = f(x) số a , b, p, q dương Khi đó: + đồ thị hàm y = f(x – a) phép tịnh tiến đồ thị (C) sang phải a đơn vị + đồ thị hàm y = f(x +b) phép tịnh tiến đồ thị (C) sang trái b đơn vị + đồ thị hàm y = f(x) + p phép tịnh tiến đồ thị (C) lên p đơn vị + đồ thị hàm y = f(x) - q phép tịnh tiến đồ thị (C) xuống q đơn vị B Hàm số bậc hàm số bậc hai Hàm số bậc nhất: hàm số có dạng y = ax + b + Hàm số đồng biến a > nghịch biến a < + Bảng biến thiên: x +∞ -∞ y = ax + b a -∞ + Đồ thị hàm số đường thẳng ta gọi a hệ số góc đường thẳng y = ax + b Hàm số bậc hai: hàm số có dạng y = ax2 + bx + c + TXĐ: R b    b + Tọa độ đỉnh I   ;   với ∆ = b2 – 4ac, đồ thị nhận đường thẳng x   làm trục đối xứng 2a  2a 4a  + Bảng biến thiên x -∞ b - 2a ax2+bx+c (a > 0) x -∞ b - Δ - 4a y= - ax2+bx+c (a < 0) b  + a > hàm số nghịch biến khoảng  ;   , đồng biến khoảng 2a   Hoa nở ngậm đủ gió sương 2a +∞ Δ +∞ +∞ y= +∞ 4a -∞ -∞  b    2a ;     Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn Miny =  SĐT: 0374 670 013  b x   , đồ thị có bề lõm hướng lên 4a 2a b  + a < hàm số đồng biến khoảng  ;   , nghịch biến khoảng 2a   Maxy =   b    2a ;      b x   , đồ thị có bề lõm hướng xuống 4a 2a + Vẽ Parabol ta cần lập bảng giá trị gồm điểm Hàm số trị tuyệt đối: Từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) ta suy cách vẽ: a) Đồ thị (C1) hàm số y  f ( x) + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên Ox qua Ox b) Đồ thị (C2) hàm số y  f  x  + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy qua Oy Bài toán tương giao: Xét Parabol (P) y = ax2 + bx + c đường thẳng (d) y = kx + m Xét phương trình hồnh độ giao điểm: ax2 + bx + c = kx + m (1) Số giao điểm (P) đường thẳng d số nghiệm phương trình (1) ngược lại CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Phương trình bậc phương trình bậc hai Phương trình bậc nhất: có dạng ax + b = (1) + Nếu a ≠ pt (1) có nghiệm + Nếu a = b ≠ pt (1) vơ nghiệm + Nếu a = b = pt (1) vơ số nghiệm Phương trình bậc hai: có dạng: ax2 + bx + c = (2) Ta xét trường hợp a ≠ Tính ∆ = b2 – 4ac + Nếu ∆ < pt (2) vơ nghiệm + Nếu ∆ = pt (2) có nghiệm (nghiệm kép) x   + Nếu ∆ > pt (2) có nghiệm phân biệt x  b 2a b   b   ;x 2a 2a Định lí Viet: giả sử x1 ; x2 hai nghiệm pt (2) ta có S  x1  x2   b c ; P  x1x2  a a Các toán liên quan phương trình bậc hai Xét phương trình: ax2  bx  c  Hoa nở ngậm đủ gió sương (1) Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 a) Phương trình (1) có nghiệm trái dấu ac  a   b) Pt (1) có nghiệm dấu    P   a     c) Pt (1) có nghiệm dương  S   P  a     d) Pt (1) có hai nghiệm âm  S  P   x1  k    x2  k    x1  k   e) Pt (1) có hai nghiệm x1 , x2 < k   x2  k   x1  k  x2  k   Định lí đảo tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c Giả sử x1 , x2 nghiệm pt f(x) = Khi đó: a) x1    x2  a f ( )    S  b) x1  x2        2 a f ( )    S  c)   x1  x2      2 a f ( )  a f ( )  d) x1      x2   a f (  )  a f ( )  e) x1    x2     a f (  )  a f ( )  f)   x1    x2   a f (  )    S    2  S g)   x1  x2        2 a f ( )   a f (  )   B Cách giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối B  a) A  B   A  B B  c) A  B    B  A  B b) A  B  A   B d) A  B  A2  B2  ( A  B)( A  B)  Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Chú ý: Đối với phương trình, bất phương trình mà chứa nhiều giá trị tuyệt đối ta thường lập bảng phá dấu trị tuyệt đối để giải  B    A cã nghÜa e) A  B   B   A  B     A  B Phương trình, bất phương trình chứa thức a)  A  0( B  0) A B A  B b) B  A  B  A  B ý: Với phương trình, bất phương trình mà chứa nhiều trước tiên ta tìm điều kiện, sau ta biến đổi hai phương trình khơng âm bình phương c)  B   A  A  B   B     A  B2 e) B  A B A  B d) B   A  B  A   A  B2  Các phương pháp giải phương trình Phương pháp 1: Biến đổi tương đương - Ta đưa phương trình tích A   - Ta đưa tổng số không âm A  B  C   B  C   2 - Ta sử dụng phép liên hợp Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ - Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn( phương trình chứa x ẩn phụ t) Chỉ dùng đưa phương trình bậc hai định thức   b2  4ac số phương - Đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng phương trình tích - Đặt ẩn phụ đưa phương trình hệ phương trình Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta dựa vào điều kiện x để tìm điều kiện cho ẩn phụ t (rất quan trọng) Phương pháp 3: Phương pháp hàm số a) Xét phương trình: f(x) = k (1) - Nếu hàm số y = f(x) đồng biến nghịch biến tập xác định D phương trình (1) có nghiệm nghiệm b) Xét phương trình: f(x) = g(x) (2) - Nếu hai hàm số y = f(x) y = g(x) đơn điệu ngược liên tục tập D (Nghĩa f(x) hàm đồng biến g(x) hàm nghịch biến) phương trình (2) có nghiệm nghiệm c) Xét phương trình: f(u) = f(v) Hoa nở ngậm đủ gió sương (3) Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 - Xét hàm đặc trưng y = f(t) Nếu hàm f(t) đồng biến nghịch biến liên tục tập D ta có: f (u)  f (v)  u  v Chú ý: Điều kiện t hợp điều kiện u v Phương pháp hàm số giải bất phương trình a) Xét phương trình: f (x )  k (1) Bước 1: Nhẩm nghiệm x = x0 cho f(x0) = k Bước 2: Chỉ hàm số y = f(x) đồng biến nghịch biến tập D - Nếu f(x) đồng biến f (x)  f (x0 )  x  x0 - Nếu f(x) nghịch biến f (x)  f (x0 )  x  x0 b) Xét phương trình: f (x )  g(x ) (2) Bước 1: Nhẩm nghiệm x = x0 cho f(x0) = g(x0) Bước 2: Chỉ hàm y = f(x), y = g(x) đơn điệu ngược, giả sử f(x) hàm đồng biến g(x) hàm nghịch biến - Nếu x  x0 g(x)  g(x0 )  f (x0 )  f (x) - Nếu x  x0 g(x)  g(x0 )  f (x0 )  f (x) c) Xét phương trình: f(u) < f(v) (3) + Xét hàm đặc trưng y = f(t) hàm f(t) đơn điệu tập D - Nếu f(t) hàm đồng biến f (u)  f (v)  u  v - Nếu f(t) hàm nghịch biến f (u)  f (v)  u  v D Hệ phương trình Hệ phương trình bậc hai ẩn a1x  b1y  c1 Là hệ phương trình có dạng  a2x  b2y  c2 Ta tính định thức sau: D  a1 b1 a2 b2 ; Dx  c1 b1 c2 b2 ; Dy  a1 c1 a2 c2 Quy tắc nhớ: Anh bạn – cầm bát – ăn cơm a) Nếu D  hệ có nghiệm (x , y) với x  Dy Dx y  D D b) Nếu D  Dx  Dy  hệ vơ nghiệm c) Nếu D  Dx  Dy  hệ vơ số nghiệm Hệ phương trình đối xứng loại f (x , y )  Là hệ có dạng  g(x, y)  Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Trong ta thay đổi vai trị x, y hệ phương trình hệ khơng thay đổi + Nếu (x0 ; y0) nghiệm hệ cặp (y0 ; x0) nghiệm hệ + Điều kiện cần để hệ có nghiệm x0 = y0 Cách giải: - Bước 1: Tìm điều kiện có - Bước 2: Đặt S = x + y P = x.y ( Đk: S2 ≥ 4P) Khi hệ chứa S , P - Bước 3: giải hệ tìm S, P Với S, P tìm x, y nghiệm phương trình: X2 – SX + P = f (x , y )  Là hệ có dạng  g(x, y)  Trong ta thay đổi vai trị x, y phương trình biến thành phương trình hệ Cách giải:- Bước 1: Trừ vế phương trình biến đổi phương trình dạng tích - Bước 2: Kết hợp phương trình tích phương trình hệ để tìm nghiệm CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A Bất đẳng thức Bất đẳng thức a) a  b2  2ab a, b b) a  b2  c2  ab  bc  ca a, b, c c)  a  b  c   3 ab  bc  ca    d) a  b2  c2   a  b  c  e) a  b3  a 2b  ab2 a,b,c a, b, c a, b  f) a 2b2  b2c2  c2a  abc  a  b  c  a,b,c g)  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  h) a  b  c4  abc  a  b  c  i) a  x  b2  y2  a,b,c a, b, c a  b   x  y 2 a, b, x, y Bất đẳng thức Cauchy a) Cauchy cho số a, b  là: a b  ab , dấu ‘=’ xảy a = b b) Cauchy cho số a, b, c  là: a b  c  abc , dấu ‘ = ’ xảy a = b = c c) Cauchy cho n số a1, a2 , , an  là: Hoa nở ngậm đủ gió sương a1  a2   an n  a1a2 an , dấu ‘ = ’ xảy a1 = a2 = … = an n Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Hệ quả: Cho a, b, c > ta có:  a  b 1) ab  a  b  c 4) abc  27 2) 1   a b ab 5) 1    a b c abc 3)  ab  a  b 2 6) 27  abc  a  b  c 3 7) a m n  bmn  a m bn  a n bm Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho a, b, c x, y, z số thực Ta có    1)  ax  by   a  b2 x  y2 , dấu ‘ = ’ xảy   a b  x y  2)  ax  by  cz   a  b2  c2 x  y2  z2 , dấu ‘ = ’ xảy a b c   x y z Hệ quả: Cho a, b, c tùy ý x, y, z > 0, ta có: a b a b2  a  b    a) , dấu ‘ = ’ xảy  x y x y xy a b c a b c2  a  b  c     b) , dấu ‘=’ xảy   x y z x y z xyz B Bất phương trình Dấu nhị thức bậc Nhị thức bậc có dạng f(x) = ax +b Phương trình f(x) =  x   b a b x Bảng xét dấu thể sau: - -∞ trái dấu với a f(x) = ax +b a +∞ dấu với a Quy tắc: Phải – trái khác Dấu tam thức bậc hai Tam thức bậc hai có dạng: f(x) = ax2 + bx + c Tính   b2  4ac a) Nếu ∆ < f(x) dấu với a với x b) Nếu ∆ = f(x) dấu với a với x   b 2a c) Nếu ∆ > f(x) = có hai nghiệm x1 , x2 ta có bảng xét dấu sau: x f(x) = ax2 + bx + c -∞ x1 x2 +∞ dấu với a trái dấu với a dấu với a Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 10 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 b) Phép vị tự tỉ số k biến: + Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm + Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với + Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với + Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính k R Tâm vị tự hai đường trịn Định lí: Với hai đường trịn luốn có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường tròn Cho hai đường tròn (I , R) đường tròn (I’ , R’) xảy trường hợp: M' TH1: Khi I trùng I’ R' R' R' Thì có hai phép vị tự tâm I tỉ số k  tỉ số k   biến đường tròn R R R M I tâm (I , R) thành đường tròn tâm (I’ , R’) TH2: I ≠ I’ R ≠ R’ Thì phép vị tự tâm O, tỉ số k  M' R' phép vị tự tâm O1 R R' tỉ số k1   biến đường tròn tâm (I , R) thành R M R I O R' I' O1 đường tròn tâm (I’ , R’) M'' TH3: I ≠ I’ R = R’ Thì có phép vị tự tâm O1 tỉ số k   M M' R'  1 R biến đường tròn tâm (I , R) thành đường I O1 I' tròn tâm (I’ , R’) M'' D Phép đồng dạng Định nghĩa Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k > biến điểm M, N thành điểm M’ N’ thỏa mãn điều kiện M’N’ = k.MN Nhận xét: + Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k = + Phép vị tự tâm k phép đồng dạng tỉ số k + Phép đồng dạng tỉ số k hợp phép dời hình phép vị tự tỉ số k Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 56 ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 Tính chất phép đồng dạng a) Phép đồng dạng tỉ số k biến: + Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự ba điểm + Đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k + Đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính k.R b) Nếu thực liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k phép đồng dạng tỉ số p ta phép đồng dạng tỉ số pk c) Nếu phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác A’B’C’ Hình đồng dạng Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình CHƯƠNG 2: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHƠNG GIAN A Mở đầu hình học khơng gian Quy tắc vẽ hình khơng gian + Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng + Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song + Dùng nét liền cho đường nhìn thấy, nét đứt cho đường bị che khuất +Trong không gian bảo tồn tính song song, tỉ lệ đoạn thẳng khơng bảo tồn tính vng góc + Hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành khơng gian biểu diễn hình bình hành + Tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều, tam giác thường không gian biểu diễn tam giác thường Tính chất thừa nhận a) Có đường thẳng qua điểm phân biệt b) Có mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng c) Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng đường thẳng nằm mặt phẳng d) Tồn điểm không nằm mặt phẳng e) Nếu mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn điểm chung khác f) Tính chất hình học phẳng không gian Các cách xác định mặt phẳng a) Qua điểm không thẳng hàng có mặt phẳng b) Có mặt phẳng qua điểm đường thẳng Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 57 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 c) Có mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt d) Có mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song e) Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song đường thẳng Đặc điểm hình đặc biệt a) Tứ diện có đặc điểm: + cạnh ( cạnh bên cạnh đáy) + Đường cao từ đỉnh xuống trọng tâm đáy ( tâm đường trịn ngoại tiếp đáy) b) Chóp tam giác có đặc điểm: + Đáy tam giác + Các cạnh bên + Đường cao từ đỉnh xuống trọng tâm đáy c) Hình chóp tứ giác có đặc điểm: + Đáy hình vng + Các cạnh bên ( khác cạnh đáy) + Đường cao từ đỉnh xuống tâm đáy ( tâm đáy giao đường chéo) d) Hình lăng trụ có đặc điểm: + Hai đáy hai đa giác song song + Các cạnh bên song song + Các mặt bên hình bình hành e) Hình lăng trụ đứng có đặc điểm: + Hai đáy song song với + Các mặt bên hình chữ nhật f) Hình lăng trụ đa giác là: + Lăng trụ đứng + Đáy đa giác i) Hình lập phương hình có mặt hình vng Hình hộp chữ nhật hình có mặt hình chữ nhật Hình hộp hình có mặt hình bình hành B Giao tuyến hai mặt phẳng giao điểm đường thẳng mặt phẳng Cách tìm giao tuyến hai mặt phẳng Cách 1: Theo định nghĩa, tức ta tìm hai điểm chung Δ Cách 2: Sử dụng hệ giao tuyến mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song a b giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng P Hoa nở ngậm đủ gió sương Q Page 58 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Cách 3: Sử dụng định lí: a Cho đường thẳng a song song mp(P), mp(Q) chứa a cắt mp(P) theo giao tuyến b b song song với a Q b P Cách tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Để tìm giao điểm đường thẳng a mp(P) ta có cách làm Q Cách 1: Tìm mp(P) có đường thẳng b mà b∩ a = M M = a ∩ mp(P) Cách 2: a + Dựng mp(Q) chứa a mp(P) theo giao tuyến b + Tìm M = a ∩ b b + Kết luận M = a ∩ mp(P) M P Chú ý: Để tìm giao điểm hai đường thẳng không gian ta phải xét chúng mặt phẳng C Các dạng toán Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng a song song với mp(P) ta đường thẳng a song song với đường thẳng nằm mp(P) Cách chứng minh hai mặt phẳng song song Để chứng minh mp(P) song song với mp(Q) ta mp(P) có hai đường thẳng cắt song song với mp(Q) CHƯƠNG 3: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN A Cách chứng minh dạng toán Cách chứng minh hai đường thẳng a, b vuông góc với - Ta có cách: Cách 1: Chứng minh trực tiếp hình học phẳng Cách 2: Chỉ đường thẳng a vng góc mp(P) chứa đường thẳng b Cách chứng minh đường thẳng d vng góc mp(P): Chỉ đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm trong (P) Cách chứng minh hai mp(P) (Q) vng góc Ta có hai cách: Cách 1: Chỉ mp(P) có đường thẳng a vng góc với mp(Q) Cách 2: Tìm góc (P) (Q) góc 900 Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 59 ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 Tính chất hai mp vng góc T/c 1: Nếu (P) (Q) vng góc với P đường thẳng a nằm (P) vng góc P Q a với giao tuyến vng góc với (Q) a T/c 2: Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba b Q R B Cách xác định góc Cách xác định góc hai đường thẳng chéo a b Cách xác định góc đường Cách xác định góc thẳng d mp(P) mp(P) mp(Q) Quy tắc: Ta đưa chung gốc d A a a' M φ a P α b R H O α b Q P B1: Qua O thuộc b, ta kẻ đt a’ // a B1: Tìm giao điểm M = d  (P) B2: Vậy (a, b) = (a’, b) =  B2: Từ A thuộc d, kẻ AH  (P) B3: Vậy (d, (P)) = AMH =  B1:Tìm giao tuyến  = (P)  (Q) B2: Dựng mp(R)   B3: Tìm giao tuyến (R) với (P) (Q) đt a b Vậy ( (P); (Q) ) = (a, b) =  C Khoảng cách Cách xác định khoảng cách từ M đến mp(P) Khoảng cách từ đường thẳng a song song với mp(P) M Q a Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b TH1: a, b chéo a  b M a Δ P H B1: Dựng mp(Q) chứa M mp(Q)  mp(P) B2: Tìm giao tuyến   (P)  (Q) Hoa nở ngậm đủ gió sương K H P Ta có: d(a, (P)) = d(M, (P)) ; với M nằm đường thẳng a H b P B1: Dựng mp(P) chứa đt b vng góc với đt a B2: Tìm giao điểm H = a  (P) Page 60 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 B3:Kẻ MH   B3: Kẻ HK  b HK = d( a, b) MH = d(M, (P)) TH2: a , b chéo a khơng vng góc với b M P H a b B1: Dựng mp(P) chứa b (P) // a B2: d(a, b) = d(a, (P)) = MH LÍ THUYẾT HÌNH HỌC LỚP 12 CHƯƠNG I THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A Khối đa diện Hình đa diện: Hình đa diện (đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn tính chất sau: + Hai đa giác phân biệt có khả năng: - Hoặc khơng có điểm chung - Hoặc có đỉnh chung - Hoặc có cạnh chung + Mỗi cạnh đa giác cạnh chung đa giác Khối đa diện: Là hình đa diện cộng với phần khơng gian giới hạn hình đa diện Khối đa diện lồi: khối đa diện mà đoạn thẳng nối điểm thuộc khối đa diện, nằm khối đa diện Khối đa diện loại {p, q}: khối đa diện lồi thỏa mãn tính chất: + Mỗi mặt đa giác gồm p cạnh + Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 61 ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 Bảng tóm tắt loại khối đa diện Loại Số đỉnh Tên gọi Số cạnh Số mặt {3 , 3} Tứ diện {3 , 4} Bát diện 12 {3 , 5} Hai mươi mặt 12 30 20 {4 , 3} Lập phương 12 {5 , 3} Mười hai mặt 20 30 12 Định lí Ơle: Số đỉnh – số cạnh + số mặt = S B Thể tích khối đa diện 1 Thể tích khối chóp: V  h.S (h đường cao, S diện tích đáy) M Thể tích khối lăng trụ: V  h.S (h đường cao, S diện tích đáy) P Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c (a, b, c độ dài cạnh) Thể tích khối lập phương: V  a (a độ dài cạnh hình lập phương) N A C Tỉ số thể tích (chỉ với khối chóp tam giác) Cho khối chóp S.ABC, điểm M, N, P nằm SA, SB, SC Khi ta có tỉ số thể tích B VS.MNP SM SN SP  VS.ABC SA SB SC C Kiến thức bổ trợ cho việc tính thể tích Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có + AB2  BH.BC ; AC2  CH.CB A + AH2  HB.HC + AB.AC  AH.BC + 1   2 AH AB AC2 B H C Diện tích tam giác a) Tam giác ta có cơng thức tính diện tích S 1 h a a  h b b  h c c 2 S 1 b.c.sin A  a.c.sin B  a.b.sin C 2 S a.b.c 4R ( R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác) Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 62 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 S  p.r ( r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác, p nửa chu vi p  S  p(p  a)(p  b)(p  c) abc ) gọi công thức Hê rông ( dùng tính diện tích biết độ dài cạnh tam giác) b) Tam giác ABC vng A S  AB.AC  S  x  c) Tam giác ABC cạnh x  h  x  Diện tích hình Tam giác: SABC  AH.BC A B Hình thang:  AB  CD  AH SABCD  B A C H D Hình chữ nhật: S  a.b Hình bình hành: SABCD  AH.CD A C H Hình thoi: S  d1.d 2 D H B C Hình vng: S  a a a b d1 d2 CHƯƠNG II KHỐI TRỤ - KHỐI NĨN – KHỐI CẦU A Mặt nón trịn xoay Định nghĩa: a) Hình nón: Cho tam giác BOA vng O Khi quay tam giác xung quanh OA tạo hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) Trong đó: - OA đường cao hình nón - AB đường sinh hình nón - OB bán kính đáy hình nón - góc OAB gọi góc đỉnh mặt nón Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 63 ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 b) Khối nón: Là phần khơng gian giới hạn hình nón kể hình nón Cơng thức diện tích xung quanh, tồn phần thể tích khối nón a) Diện tích xung quanh: Sxq  .r.l ( l đường sinh ) b) Diện tích tồn phần: Stp  Sxq  Sd  .r.l  .r c) Thể tích khối nón: V  .r h (h đường cao) B Mặt trụ tròn xoay Định nghĩa a) Hình trụ: Xét hình chữ nhật ABCD, quanh hình chữ nhật quanh cạnh AB tạo hình gọi hình trụ trịn xoay (gọi tắt hình trụ) Trong đó: - AB gọi đường cao hay trục hình trụ - CD gọi đường sinh ( hình trụ độ dài đường sinh độ dài đường cao) - BC gọi bán kính đáy b) Khối trụ: Là phần khơng gian giới hạn hình trụ kể hình trụ Cơng thức tính diện tích xung quanh, tồn phần thể tích khối trụ a) Diện tích xung quanh: Sxq  2.r.h b) Diện tích tồn phần: Stp  Sxq  2Sd  2.r.h  2.r c) Thể tích khối trụ: V  .r h C Mặt cầu Định nghĩa a) Mặt cầu: Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R Kí hiệu S(O, R) b) Khối cầu: Tập hợp điểm thuộc mặt cầu tâm S(O , R) điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O, bán kính R Vị trí tương đối điểm mặt cầu: Cho mặt cầu S(O, R) điểm A bất kì, nếu: - OA > R điểm A nằm ngồi mặt cầu - OA = R điểm A nằm mặt cầu - OA < R điểm A nằm mặt cầu Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mp(P) mặt cầu S(O , R), gọi H hình chiếu O lên mp(P) OH = d(O, (P)).Khi nếu: - OH > R mp(P) khơng có điểm chung với mặt cầu - OH = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu điểm H H gọi tiếp điểm mp(P) mặt phẳng tiếp diện CHÚ Ý: mp(P) tiếp xúc mặt cầu S(O, R) H mp(P)  OH Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 64 ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 - OH < R mp(P) cắt mặt cầu S(O, R) theo giao tuyến đường tròn tâm H, bán kính r  R  OH Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu S(O , R) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu vng góc O lên ∆ OH = d(O, ∆) Nếu: - OH > R ∆ khơng cắt mặt cầu - OH = R ∆ tiếp xúc mặt cầu H, ta gọi ∆ tiếp tuyến mặt cầu H tiếp điểm CHÚ Ý: ∆ tiếp tuyến mặt cầu S(O, R) ∆  OH điểm H - OH < R ∆ cắt mặt cầu điểm phân biệt A,B Cơng thức tính diện tích, thể tích khối cầu a) Diện tích mặt cầu: S  4.R b) Thể tích khối cầu: V  .R 3 Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp a) Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đỉnh khối chóp thuộc mặt cầu Mặt cầu nội tiếp khối chóp mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối chóp Chú ý: Điều kiện cần để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy khối chóp phải ngoại tiếp đường trịn Điều kiện cần đủ để khối lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đáy có đường tròn ngoại tiếp b) Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Bước 1: Tìm tâm đáy ( tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ) Bước 2: Dựng đường thẳng ∆ qua tâm đáy vng góc với đáy (∆ gọi trục chóp, lưu ý điểm nằm trục cách đỉnh đa giác đáy khối chóp) Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 65 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Bước 3: Dựng đường trung trục cạnh bên, mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt trục ∆ I I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Chú ý: + Tam giác tâm đường trịn ngoại tiếp giao đường trung trực + Tam giác vng tâm đường trịn ngoại tiếp trung điểm cạnh huyền + Tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm + Hình chữ nhật, hình vng tâm đường tròn ngoại tiếp giao đường chéo CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A Vec tơ khơng gian tính chất Vec tơ tính chất Cho u  ( x1 , y1 , z1 ) v  ( x2 , y2 , z2 )  x1  x2  a) u  v   y1  y2 z  z  e) u.v  x1.x2  y1 y2  z1.z2 ( u  v  u.v  ) b) u  v  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ) g) cos(u, v)  f) u  x12  y12  z12 u.v u.v  x1 x2  y1 y2  z1 z2 x12  y12  z12 x22  y22  z22 c) k u  (kx1 , ky1 , kz1 ) d) u , v phương  x1 y1 z1   x y2 z2 Tọa độ điểm Cho A( xA , y A , z A ); B( xB , yB , zB ); C ( xC , yC , zC ) a) Gọi M ( xM , yM , zM ) trung điểm BC xB  xC   xM   y  B  yC  yM   z B  zC   zM   x A  xB  xC   xG   y  yB  yC  b) Gọi G( xG , yG , zG ) trọng tâm tam giác ABC  yG  A  z A  z B  zC   zG   A G B M C c) AB  ( xB  xA , yB  y A , zB  z A ) Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 66 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 d) AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2 B Tích có hướng ứng dụng Định nghĩa: Cho u  ( x1 , y1 , z1 ) v  ( x2 , y2 , z2 ) , tích có hướng hai vec tơ kí hiệu là: [u, v] Công thức [u, v]   y1 z1 y2 z ; z1 x1 z2 x2 ; x1 y1 x2 y2  Tính chất a) [u, v] vng góc với u v b) [u, v]  u v sin(u, v) c) u, v phương  [u, v]  Ứng dụng tích có hướng a) u, v, w đồng phẳng  [u, v].w  b) AB, CD chéo (ABCD tứ diện)  [ AB, AC ] AD  c) ABCD tứ giác (4 điểm A, B, C, D đồng phẳng)  [ AB, AC ] AD  d) điểm A, B, C thẳng hàng  [ AB, AC]  e) Diện tích tam giác ABC: S ABC  A' S  AB, AC   2 f) Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD  g) Thể tích tứ diện S.ABC: VS ABC  D' B' A  SA, SB  SC  6 C' C D A B B C h) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V   AB, AD  AA ' C Phương trình mặt cầu a) Mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R có phương trình là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 b) Phương trình: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = phương trình mặt cầu  a2 + b2 + c2 - d > Khi mặt cầu có tâm I(a, b, c) R  a  b  c  d c) mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R  d ( I ,( P))  R d) mp(P) cắt mặt cầu (S)  d ( I ,( P))  R Khi giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r = R2  IH IH = d(I, (P)) Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 67 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 D Phương trình mặt phẳng Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng n a) Vec tơ n vec tơ pháp tuyến mp(P) n  mp( P) b) Nếu n vec tơ pháp tuyến mp(P) k n vec tơ pháp M tuyến mp(P) Phương trình mặt phẳng a) Nếu mp(P) nhận n  ( A, B, C ) làm vec tơ pháp tuyến qua M ( x0 , y0 , z0 ) phương trình mp(P) là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = b) Phương trình tổng quát mp(P) là: Ax + By + Cz + D = , n  ( A, B, C ) vec tơ pháp tuyến c) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Nếu mp(P) cắt trục Ox, Oy, Oz A(a, 0, 0) ; B(0, b, 0) ; C(0, 0, c) phương trình mp(P) là: x y z   1 a b c d) Phương trình chùm mặt phẳng: Cho mp(P): a1x + b1y + c1z + d1 = mp(Q): a2x + b2y +c2z +d2 = Khi phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến mp(P) mp(Q) có dạng là: m(a1x + b1y + c1z + d1) + n(a2x + b2y +c2z +d2) = (ta thường cho m = để tìm n xong) e) Nếu mp(P) qua điểm A, B, C vec tơ pháp tuyến mp(P) là: n   AB, AC  f) Chú ý: +) Hai mặt phẳng song song vec tơ pháp tuyến +) Hai mặt phẳng vng góc vec tơ pháp tuyến mp song song với mp Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho mp(P): Ax + By + Cz + D = mp(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = a) mp(P) cắt mp(Q)  A : B : C  A ' : B ' : C ' b) mp(P) song song mp(Q)  A B C D    A' B ' C ' D ' c) mp(P) vng góc với mp(Q)  A A ' B.B ' C.C '  d) mp(P) trùng với mp(Q)  A B C D    A' B ' C ' D ' Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho M(x0, y0, z0) mp(P): Ax + By + Cz + D = Khoảng cách từ M đến mp(P) là: d ( M , ( P))  Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Chú ý: mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I, bán kính R  d ( I ,( P))  R ( mp(P) gọi mp tiếp diện) Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 68 ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 Góc hai mặt phẳng Cho mp(P): Ax + By + Cz + D = mp(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = Gọi α góc hai mp(P) (Q) Khi cos   nP nQ  nP nQ AA ' BB ' CC ' A2  B  C A '2  B '2  C '2 E Phương trình đường thẳng Vec tơ phương đường thẳng + Vec tơ u gọi vec tơ phương đường thẳng ∆ giá u song song trùng với ∆ + Nếu u vec tơ phương ∆ k u (k ≠ 0) vec tơ phương ∆ Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng ∆ qua M(x0, y0, z0) nhận u  (a, b, c) làm vec tơ phương có phương trình tham  x  x0  a.t  số là:  y  y0  b.t  z  z  c.t  Phương trình tắc đường thẳng Nếu a.b.c ≠ đường thẳng ∆ có dạng tắc là: x  x0 y  y0 z  z0   a b c Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho đường thẳng ∆1 có vec tơ phương u1 qua M1, đường thẳng ∆2 có vec tơ phương u qua M2   u1 , u     TH1: ∆1 // ∆2     u1 , M1M     u1 , u     TH2: ∆1 ∆2 trùng     u1 , M1M     u1 , u     TH3: ∆1 ∆2 cắt     u1 , u  M1M  TH4: ∆1 ∆2 chéo   u1 , u  M1M  Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng ∆ qua M nhận u vec tơ phương Mặt phẳng (P) có n vec tơ pháp tuyến Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 69 ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 u.n  TH1: ∆ // mp(P)   M  mp(P) u.n  TH2: ∆ nằm mp(P)   M  mp(P) TH3: ∆ cắt mp(P)  u.n  TH4: ∆  mp(P)  u, n phương Góc hai đường thẳng Gọi α góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 cos   u1.u u1 u u1 , u vec tơ phương ∆1 ∆2 Góc đường thẳng mặt phẳng Gọi α góc đường thẳng ∆ mp(P) sin   u.n u.n Trong u, n vec tơ phương vec tơ pháp tuyến ∆ mp(P) Khoảng cách TH1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho M đường thẳng ∆ qua A, nhận u làm vec tơ phương  u, MA    Khoảng cách từ M đến ∆ là: d(M, )  u TH2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho đường thẳng ∆1 có vec tơ phương u1 qua M1, đường thẳng ∆2 có vec tơ phương u qua M2 Khoảng cách hai đường thẳng là: d(1 , 2 )  Hoa nở ngậm đủ gió sương  u1 , u  M1M    u1 , u    Page 70 ... kéo theo là: ‘‘Nếu P Q’’ kí hiệu P  Q Chú ý: + Mệnh đề P  Q sai P đúng, Q sai trường hợp lại + Trong mệnh đề P  Q thì: - P giả thiết ( hay P điều kiện đủ để có Q ) - Q kết luận ( hay Q điều... là: ‘ a không chia hết cho b’ B Áp dụng mệnh đề vào suy luận tốn học Định lí chứng minh định lí: Trong tốn học, định lí mệnh đề Nhiều định lí phát biểu dạng: ‘‘ x  X, P(x)  Q(x) ’’ (1) Hoa nở... Là hệ có dạng  g(x, y)  Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Trong ta thay đổi vai trị x, y hệ phương trình hệ khơng thay đổi + Nếu (x0 ; y0) nghiệm hệ cặp (y0