BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐỒN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN TS TRỊNH TUẤN ANH HÀ NỘI-2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trịnh Tuấn Anh Các kết trình bày luận án trung thực, trí đồng tác giả đưa vào luận án chưa cơng bố cơng trình, luận văn, luận án khác Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận án thực mơn Giải tích, khoa Tốn-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trịnh Tuấn Anh Tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, đặc biệt PGS.TS Lê Văn Hiện, có định hướng đắn dẫn sát cho suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả nguồn động lực lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua khó khăn nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Tốn-Tin thầy giáo, giáo mơn Giải tích ln giúp đỡ, động viên, tạo mơi trường thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn bạn nghiên cứu sinh thành viên xemina Phương trình vi phân tích phân mơn Giải tích quan tâm, trao đổi góp ý cho tơi q trình học tập làm luận án Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp tổ Toán-Tin, trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên suốt trình học tập nghiên cứu Sau cùng, tơi xin dành tình cảm lịng biết ơn chân thành tới gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tơi vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Tác giả MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 15 1.1 M-ma trận 15 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ tính ổn định Lyapunov 16 1.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn 18 1.3.1 Khái niệm ổn định thời gian hữu hạn 18 1.3.2 Mối liên hệ tính ổn định thời gian hữu hạn với tính ổn định theo Lyapunov 19 1.3.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn hợp biến thiên 20 1.4 Tính tiêu hao số lớp phương trình vi phân có trễ 22 1.4.1 Cách tiếp cận bất đẳng thức Halanay số cải biên 23 1.4.2 Tính tiêu hao lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách tiếp cận phương pháp đổi biến 25 1.5 Một số kết bổ trợ 26 1.5.1 Đạo hàm Dini 26 1.5.2 Một số bổ đề bổ trợ 27 TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ 28 2.1 Mơ hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ 28 2.2 Tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ không đồng 30 2.3 Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng nghiệm mơ hình (2.1) 34 2.4 Ví dụ minh họa 36 2.5 Kết luận Chương 42 TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MƠ TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ 43 3.1 Thiết lập sơ 44 3.2 Tính tiêu hao tồn cục mơ hình (3.1) 46 3.2.1 Trường hợp hệ số phản hồi quy 46 3.2.2 Trường hợp hệ số phản hồi suy biến 50 3.3 Ví dụ minh họa 55 3.4 Kết luận Chương 59 TÍNH HÚT TỒN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN DƯƠNG CỦA MỘT MƠ HÌNH NICHOLSON CĨ TRỄ 61 4.1 Kết sơ 61 4.2 Nghiệm dương tồn cục tính bền vững 64 4.2.1 Sự tồn nghiệm dương toàn cục 64 4.2.2 Tính bền vững 67 4.3 Tính hút tồn cục nghiệm tuần hoàn dương 69 4.4 Điểm cân dương tính hút tồn cục 75 4.5 Ví dụ mơ 78 4.6 Kết luận Chương 80 Kết luận chung 82 Danh mục cơng trình cơng bố 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN Tập hợp n số nguyên dương {1, 2, , n} [n] a b b biểu thức định nghĩa a R+ Tập số thực không âm Rn Không gian Euclide n chiều x ∞ Rm×n maxi∈[n] |xi |, chuẩn max vectơ x = (xi ) ∈ Rn Tập hợp ma trận cấp m × n A⊤ Ma trận chuyển vị ma trận A A>0 Ma trận A xác định dương, tức x⊤ Ax > 0, ∀x = Sn+ Tập ma trận đối xứng xác định dương Rn×n In Ma trận đơn vị Rn×n diag{a1 , , an } Ma trận chéo với phần tử a1 , a2 , , an đường chéo [A]ij A A≻0 x y Rn+ ξ + (t.ư ξ+ ) λ(A) Phần tử dòng i cột j ma trận A Ma trận không âm, tức [A]ij ≥ với i, j Ma trận dương, tức [A]ij > với i, j xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn y = (yi ) ∈ Rn Orthant dương {x ∈ Rn : x 0} maxi∈[n] ξi (t.ư mini∈[n] ξi ) với ξ ∈ Rn , ξ ≻ Tập hợp giá trị riêng ma trận A λmax (A), λmin (A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)} C([a, b], Rn ) Tập hàm giá trị Rn liên tục [a, b] D + v(t) lim suph→0+ v(t+h)−v(t) , h đạo hàm Dini bên phải MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết định tính phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải nhiều vấn đề đặt thực tiễn ứng dụng từ học, vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin đến mơ hình sinh thái học quần thể, kinh tế môi trường [1, 21] Trong thực tiễn, nhiều mơ hình ứng dụng mơ tả lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38] Sự xuất độ trễ ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ nói chung tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ mơ hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình thực tiễn vấn đề nghiên cứu có tính thời thu hút quan tâm nhiều tác giả nước năm gần [13] Đối với lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản lớp hệ tuyến tính dừng, hệ có trễ số vv, phương pháp hàm Lyapunov công cụ quan trọng hiệu để nghiên cứu tính ổn định Bằng việc xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, điều kiện ổn định hệ thiết lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Khi đó, cơng cụ giải số số thuật toán tối ưu lồi vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận lớp điều kiện LMIs đảm bảo tính ổn định hệ Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ mơ hình thực tiễn nhân tạo, hệ sinh thái, thường có cấu trúc phức tạp, dạng phi tuyến khơng dừng [30] Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng, cho lớp hệ đòi hỏi phải tiếp tục phát triển công cụ phương pháp nghiên cứu đặc thù Nhiều vấn đề mở hướng nghiên cứu lý thuyết định tính dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt lớp phương trình mơ tả mơ hình sinh thái học, cần tiếp tục nghiên cứu phát triển Đó lí động lực chúng tơi chọn chủ đề nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình sinh thái Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Trong hai thập kỉ gần đây, hệ động lực có cấu trúc mạng nơron nghiên cứu ứng dụng thành công nhiều lĩnh vực xử lí tín hiệu số, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số đặc biệt lĩnh vực trí tuệ nhân tạo [28, 34] Trong mơ hình đó, việc đảm bảo tính ổn định mạng nơron thiết kế quan trọng [40] Mặt khác, mơ hình mạng nơron, yếu tố trễ truyền tải khơng tránh khỏi q trình xử lí truyền tín hiệu qua kênh với băng thông hạn chế Sự xuất trễ thời gian thường dẫn đến hiệu suất nguy làm tính ổn định mạng Trong cơng trình cơng bố, tính ổn định tính đồng nghiên cứu cho số mơ hình mạng nơron với trọng số kết nối nơron trễ bị chặn Các kết khơng áp dụng cho mơ hình mạng nơron với trễ tỉ lệ, lớp trễ sử dụng phổ biến mô tả động lực hệ có cấu trúc mạng [41] Chẳng hạn, với cấu trúc mạng nơron có nhiều tầng (layers), q trình xử lí truyền tín hiệu tầng thường mơ tả tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian Về dáng điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ với khoảng thời gian Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mơ hình mạng nơron với trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn so với lớp trễ khác, kể lớp trễ không bị chặn dạng phân phối Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov ứng dụng thành công nhiều toán thực tiễn phát triển cách sâu rộng, khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định khoảng thời gian ngắn) mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng [2] Ra đời từ nửa sau kỉ XX [20], khái niệm ổn định thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt mơ hình điều khiển học [2] Một hệ động lực gọi ổn định thời gian hữu hạn cho trước ngưỡng điều kiện đầu (chẳng hạn lân cận trạng thái cân bằng), quỹ đạo nghiệm tương ứng hệ không vượt ngưỡng cho trước khoảng thời gian xác định trước Như vậy, khác với tính ổn định theo Lyapunov (LS), khái niệm thiên định tính, xác định dáng điệu nghiệm vô hạn, ổn định hữu hạn (FTS) khái niệm có tính định lượng Hơn nữa, LS FTS hai khái niệm độc lập theo nghĩa hệ FTS khơng ổn định theo Lyapunov ngược lại (xem phản ví dụ [16]) Trước báo [1] Danh mục công bố luận án này, chúng tơi chưa tìm thấy kết nghiên cứu đề cập đến tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Đây chủ đề chúng tơi nghiên cứu trình bày Chương luận án Cụ thể hơn, dựa báo [1] Danh mục cơng trình cơng bố, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau n x′i (t) = − (t)xi (t) + bij (t)fj (xj (t)) j=1 (1) n + j=1 cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), i ∈ [n], t > Dựa số kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi phân, Nhận xét 4.3.1 Các điều kiện (4.20) (4.21) bị ràng buộc số µ > liên quan đến tốc độ độ biến hàm τk (t) Tuy nhiên, số bỏ điều kiện (4.20), (4.21) trở thành điều kiện sau p νk βk+ k=1 ̺b− < + b (4.33) Chính xác hơn, chúng tơi phát biểu định lí Định lí 4.3.2 Với giả thiết (A4.1), (A4.2), giả sử điều kiện (4.18a), (4.18b) (4.33) thỏa mãn Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) có nghiệm ω -tuần hoàn dương N ∗ (t) hút tồn cục C0+ Chứng minh Kí hiệu V (t) = |N(t + ω) − N(t)|, tương tự (4.27), ta có p + − −(r ∗ +ǫ) D V (t) ≤ −b e |Nω (t)| + k=1 βk+ νkǫ |Nω (t − τk (t))| p ≤ −b− e−(r Vì ≤ p + ǫ k=1 βk νk < b− e−(r ∗ ∗ +ǫ) , +ǫ) βk+ νkǫ V (t) + k=1 sup V (t + s) (4.34) −τM ≤s≤0 áp dụng kết đánh giá bất đẳng thức Halanay Hệ 3.1 [19], tồn λ > cho V (t) ≤ V (T )e−λ(t−T ), t ≥ T (4.35) Từ (4.35) suy ∞ T |Nω (t)|dt ≤ ∞ V (T ) λ |Nω (t)|dt < ∞ Phần lại chứng minh trình bày tương tự Định lí 4.3.1 Nhận xét 4.3.2 Dựa lý thuyết bậc giải tích hàm phi tuyến, cách sử dụng phương pháp Định lí 2.1 [7] phương trình (4.2) có nghiệm tuần hồn dương N ∗ (t) (A4.1), (A4.2) 74 điều kiện b− > 0, a+ a > e p − k=1 βk+ γk− thỏa mãn Điều kiện sau điều cho (4.18) Tuy nhiên, phương pháp [7] khơng tính hút nghiệm N ∗ (t) Vì vậy, Định lí 4.3.1, 4.3.2 chương hoàn thiện kết [7] 4.4 Điểm cân dương tính hút tồn cục Trong mục áp dụng kết tổng qt trình bày mục trước cho mơ hình Nicholson mơ tả p ′ N (t) = −D(N(t)) + k=1 (4.36) βk N(t − τk (t))e−γk N (t−τk (t)) , t ≥ t0 ≥ 0, βk ≥ 0, γk > hệ số biết trước, p k=1 βk > Hàm tốc độ suy giảm dân số cho D(N) = a − be−N với a > b > số Trễ biến thiên τk (t) hàm liên tục với giá trị đoạn [0, τM ] Với mơ hình (4.36), điều kiện (4.18a) (4.18b) quy điều kiện kép sau e p k=1 βk < a < b γk (4.37) Mệnh đề 4.4.1 Giả sử điều kiện (4.37) thỏa mãn Khi đó, với ϕ ∈ C0+ , ta có ln b a ≤ lim inf N(t, t0 , ϕ) ≤ lim sup N(t, t0 , ϕ) ≤ ln t→+∞ t→+∞ b a− e p βk k=1 γk (4.38) Chứng minh Kết suy từ (4.19) Định lí 4.4.1 Giả sử q βk k=1 νˆk + eγk 75 < a < b, (4.39) 1 − γk ln( ab ) , b e2 eγk ln( a ) νˆk = max Khi đó, mơ hình (4.36) có điểm cân N ∗ hút toàn cục C0+ Chứng minh Chú ý điểm cân (4.36) nghiệm phương trình phi tuyến p Φ(N) −D(N) + (4.40) βk Ne−γk N = k=1 Do (4.38), điểm cân (4.36), có, thuộc đoạn [θ1 , θ2 ], b a θ1 = ln b , ̺ˆ = a − ̺ˆ e and θ2 = ln Vì Φ(N) hàm liên tục [θ1 , θ2 ], Φ(θ1 ) = k=1 k=1 βk γk p −γk θ1 k=1 βk θ1 e p Φ(θ2 ) = p βk θ2 e−γk θ2 − eγk > < 0, nên tồn N ∗ ∈ (θ1 , θ2 ) cho Φ(N ∗ ) = Với N1 , N2 ∈ (θ1 , θ2 ), ta có −N1 Φ(N1 ) − Φ(N2 ) = b e p −N2 −e βk N1 e−γk N1 − N2 e−γk N2 + k=1 p − be−ξ1 + = k=1 βk e−γk ξ2 (1 − γk ξ2 ) (N1 − N2 ), ξ1 , ξ2 giá trị trung gian N1 N2 Chú ý p −ξ1 −be p −γk ξ2 βk e + k=1 − ln( ̺bˆ ) (1 − γk ξ2 ) < −be νˆk βk + k=1 p = −a + βk νˆk + k=1 eγk < Vì vậy, Φ(N1 ) = φ(N2 ) N1 = N2 Điều chứng tỏ điểm cân N ∗ Thêm nữa, lập luận tương tự chứng minh Định lí 4.3.2, kết luận lim |N(t, t0 , ϕ) − N ∗ | = t→∞ 76 với ϕ ∈ C0+ Điều tính hút điểm cân N ∗ C0+ Định lí chứng minh Nhận xét 4.4.1 Khi γk = 1, điều kiện (4.39) trở thành điều kiện sau νˆ0 + νˆ0 = max a , e2 b β ∗ < a < b, e p k=1 βk β ∗ = − ln ab Nhận xét 4.4.2 Theo phương pháp [9,24], mô hình (4.2) có nghiệm tuần hồn dương N ∗ (t) hút toàn cục tồn số M cho γk+ ≤ κ ˜ , M supt≥0 k = 1, 2, , p, − a(t) + b(t)e−M + t≥0 −M − b(t)e + e 0 (4.41a) , (4.41b) (4.41c) k=1 1−κ = κe−κ = κ ˜ e−˜κ Rõ κ e e − σ b −M ràng điều kiện (4.41b) kéo theo (C4.1) (C4.2), ≤ − e e a κ ∈ (0, 1) κ˜ > số thỏa mãn Hơn nữa, để có điều kiện kiểm chứng thông qua cận hệ số, điều kiện (4.41b) (4.41c) dẫn đến  p βk+  + −M   b e + < a−  −  e γ   k=1 k  b− − a+ >   p      βk+ < b− e−M  e2 k=1 Từ suy b− b+ a − e − p βk+ γ− k=1 k > e p βk+ k=1 Do vậy, điều (C4.3) (C4.4) thỏa mãn Các kiểm chứng rằng, tồn nghiệm dương, tính bền vững, tính tiêu hao 77 tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương (4.2), phương pháp cho điều kiện hiệu với chứng minh đơn giản so với phương pháp [9, 24] 4.5 Ví dụ mơ Trong mục chúng tơi trình bày hai ví dụ để minh họa cho kết lý thuyết đưa chương Ví dụ 4.5.1 Xét mơ hình (4.2) với tham số sau a(t) = + λa sin2 (ω0 t), b(t) = + λb cos2 (ω0 t), β1 (t) = β1 | sin(ω0 t)|, β2 (t) = β2 | sin(2ω0 t)|, γk (t) = + 0.1| cos(ω0 t)|, τk (t) = τM sin2 (ω0 t), k = 1, 2, ω0 > 0, τM > số không âm cho trước λa , λb , β1 , β2 Rõ ràng, giả thiết (A4.1) (A4.2) thỏa mãn Hơn nữa, ta có a− = 1, βk+ = βk , a+ = + λa , b− = 2, b+ = + λb , γk− = 1, k = 1, Do vậy, điều kiện đưa Định lí 4.3.1 thỏa mãn ≤ λa < 1, β1 + β2 < 1, e ν(β1 + β2 ) < (1 − ω0 τM ) − (4.42a) β1 + β2 , e + λb (4.42b) ν = max 1 + λa − ln , e + λa Cho τM = 1, ω0 = 0.5 β1 + β2 = Có thể kiểm chứng điều kiện (4.42a) (4.42b) thỏa mãn với λa = 0.1 λb = 0.25 Theo Định lí 4.3.1, hệ (4.2)–(4.4) có nghiệm 2π -tuần hồn dương N ∗ (t) hút toàn cục C0+ 78 Kết mơ cho Hình 4.1 thực với β1 = β2 = 0.5 giá trị khác điều kiện khoảng [0.5, 1.5] Như ta thấy Hình 4.1 quỹ đạo tương ứng hệ (4.2)–(4.4) bị chặn chung dải [r∗ , r ∗ ] hội tụ tới nghiệm tuần hoàn dương Điều minh họa cho kết lý thuyết Hệ 4.2.1 Định lí 4.3.1 State trajectories N(t) 1.5 1.25 Eventually upper bound r * = 1.2696 Eventually lower bound r * = 0.5978 0.75 0.5 t 10 15 20 25 30 Hình 4.1: Sự hội tụ nghiệm tuần hồn dương Ví dụ 4.5.2 Xét mơ hình (4.36) với γk = p k=1 βk = Khi đó, điều kiện (4.39) thỏa mãn 1 a b + max , − ln e e b a < a < b Gọi κ∗ nghiệm dương phương trình 1 − ln κ = κ e Khi đó, < κ∗ < e (κ∗ ≃ 2.0576) (4.43) tương đương với b = κa,    + 1−ln κ if κ ∈ (1, κ∗ ) e κ a>  1 + e if κ ≥ κ∗ e2 Miền chấp nhận (a, b) Hình 4.2 79 (4.43) b "! 1 e e 1 a e Hình 4.2: Admissible region of (a, b) e Để minh họa, ta cho a = , b = Theo Định lí 4.4.1, điểm cân dương N ∗ = (4.36) hút tồn cục với độ trễ τk (t) ∈ [0, τM ] Kết mô cho Hình 4.3 lấy với τk (t) = τ (t) Có thể thấy quỹ đạo nghiệm tương ứng (4.36) hội tụ đến N ∗ , điều kiểm chứng kết lý thuyết thu Chú ý thêm rằng, với ví dụ này, điều kiện [39] trở thành a+ e ≥ τM , a> , e ln b a > Do vậy, phương pháp [39] (Định lí 2.6) khơng cho nghiệm khả dụng τM > b e < ≤ e Điều minh họa cho tính hữu hiệu a phương pháp so với phương pháp [39] 4.6 Kết luận Chương Chương trình bày số kết tồn tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ với 80 1.2 Response N(t) 1.1 0.9 τ (t) = 10| sin(t)| τ (t) = + | cos(t)| τ (t) = + 10 sin2 (4t) 0.7 0.6 t 10 20 25 30 Hình 4.3: Tính hút tồn cục điểm cân N ∗ hàm tốc độ suy thoái phi tuyến Dựa kĩ thuật cải tiến từ nguyên lí so sánh bất đẳng thức vi-tích phân, chúng tơi thiết lập điều kiện đảm bảo tính bền vững, tính tiêu hao tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương mơ hình Các kết đạt bao gồm: Chứng minh tồn tồn cục nghiệm dương, tính bền vững tính tiêu hao C0+ (các Định lí 4.2.1-4.2.3, Hệ 4.2.1); Chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn dương hút tồn cục (Định lí 4.3.1) Chỉ tồn chứng minh tính hút tồn cục điểm cân dương mơ hình Nicholson với hệ số hàm suy thoái phi tuyến (Định lí 4.4.1) 81 KẾT LUẬN CHUNG Luận án nghiên cứu tính ổn định nghiệm số lớp hệ phương trình vi phân có trễ xuất mơ hình sinh thái Cụ thể, luận án nghiên cứu ba vấn đề sau: (1) Tính ổn định thời gian hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ; (2) tính tiêu hao lớp hệ phương trình vi phân mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ; (3) tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ với hàm tốc độ suy thối phi tuyến Phương pháp chúng tơi sử dụng xun suốt luận án phát triển cải tiến từ nguyên lí so sánh với bất đẳng thức vi-tích phân Các điều kiện ổn định thiết lập dựa cách tiếp cận lý thuyết M-ma trận Các kết đạt Thiết lập số điều kiện đủ thơng qua tính chất phổ M-ma trận đảm bảo tính ổn định hữu hạn (Định lí 2.2.1) tính đồng nghiệm với tốc độ lũy thừa (Định lí 2.3.1) Đưa điều kiện chứng minh tính tiêu hao tồn cục hệ hai trường hợp hệ số phản hồi thỏa mãn điều kiện quy (Định lí 3.2.1) hệ số phản hồi suy biến (Định lí 3.2.2) Thiết lập đánh giá mũ suy rộng lớp bất đẳng thức vi phân dạng Halanay với trễ tỉ lệ (Hệ 3.2.3) Chứng minh tồn toàn cục, tính bền vững tính tiêu hao C0+ nghiệm dương mơ hình Nicholson có trễ với hàm tốc độ suy thoái phi tuyến (Định lí 4.2.1-4.2.3, Hệ 4.2.1) 82 Chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn dương hút tồn cục mơ hình Nicholson nói (Định lí 4.3.1) Một áp dụng với mơ hình Nicholson hệ số số chứng minh tồn điểm cân dương hút toàn cục đưa (Định lí 4.4.1) Các kết kiểm chứng minh họa ví dụ số Các kết mơ tính vượt trội kết lý thuyết nhận Điều khẳng định tính hiệu cách tiếp cận mà sử dụng luận án Một số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu như: • Tính tiêu hao, tính đồng nghiệm hệ phương trình vi phân mơ tả mạng nơron khuếch tán với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ • Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn dương mơ hình Nicholson có trễ hàm tốc độ suy thoái dạng phân thức D(t, N) = a(t)N N + b(t) 83 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] L.V Hien, D.T Son (2015), Finite-time stability of a class of non-autonomous neural networks with heterogeneous proportional delays, Applied Mathematics and Compution, vol 251, pp 14–23 (SCIE) [2] L.V Hien, D.T Son, H Trinh (2018), On global dissipativity of nonautonomous neural networks with multiple proportional delays,IEEE Transactions on Neural Network and Learning Systems, vol 29, pp 225–231 (SCI) [3] D.T Son, L.V Hien, T.T Anh (2019), Global attractivity of positive periodic solution of a delayed Nicholson model with nonlinear density-dependent mortality term, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No 8, pp 1-21 (SCIE) 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Văn Hiện, Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐHSP Hà Nội, 2010 [2] F Amato, R Ambrosino, M Ariola, C Cosentino, G De Tommasi, FiniteTime Stability and Control, Springer-Verlag, London, 2014 [3] L Berezansky, E Braverman, L Idels, Nicholson’s blowflies differential equations revisited: Main results and open problems, Appl Math Model 34 (2010) 1405–1417 [4] L Berezansky, L Idels, L Troib, Global dynamics of Nicholson-type delay systems with applications, Nonlinear Anal Real World Appl 12 (2011) 436– 445 [5] A Berman, R.J Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, SIAM, Philadelphia, 1994 [6] D Caetano, T Faria, Stability and attractivity for Nicholson systems with time-dependent delays, Electron J Qual Theory Differ Equ No 63 (2017) 1–19 [7] Z Chen, Periodic solutions for Nicholson-type delay system with nonlinear density-dependent mortality terms, Electron J Qual Theory Differ Equ No (2013) 1–10 [8] T Chen, L Wang, Power-rate global stability of dynamical systems with unbounded time-varying delays, IEEE Trans Circuit Syst.-II 54 (2007) 705– 709 [9] W Chen, W Wang, Almost periodic solutions for a delayed Nicholson’s blowflies system with nonlinear density-dependent mortality terms and patch structure, Adv Differ Equ No 205 (2014) 1–19 85 [10] L Duan, L Huang, Pseudo almost periodic dynamics of delay Nicholson’s blowflies model with a linear harvesting term, Math Meth Appl Sci 38 (2015) 1178–1189 [11] L Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, SIAM, Philadelphia, 2004 [12] T Erneux, Applied Delay Diferential Equations, Springer, Berlin, 2009 [13] E Fridman, Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control, Birkhăauser, 2014 [14] A Halanay, Differential Equations, Academic Press, New York, 1996 [15] J.K Hale, S.M Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1993 [16] L.V Hien, An explicit criterion for finite-time stability of linear nonautonomous systems with delays, Appl Math Lett 30 (2014) 12–18 [17] L.V Hien, Global asymptotic behaviour of positive solutions to a nonautonomous Nicholson’s blowflies model with delays, J Biol Dyn (2014) 135–144 [18] L.V Hien, T.T Loan, B.T Huyen-Trang, H Trinh, Existence and global asymptotic stability of positive periodic solution of delayed Cohen– Grossberg neural networks, Appl Math Comput 240 (2014) 200–212 [19] L.V Hien, V.N Phat, H Trinh, New generalized Halanay inequalities with applications to stability of nonlinear non-autonomous time-delay systems, Nonlinear Dyn 82 (2015) 563–575 [20] G Kamenkov, On stability of motion over a finite interval of time, J Appl Math Mech 17 (1953) 529–540 [21] X Liao, L Wang, P Yu, Stability of Dynamical Systems, Elservier, New York, 2007 [22] B Liu, The existence and uniqueness of positive periodic solutions of Nicholson-type delay systems, Nonlinear Anal Real World Appl 12 (2011) 3145–3151 86 [23] B Liu, Global dynamic behaviors for a delayed Nicholson’s blowflies model with a linear harvesting term, Electron J Qual Theory Differ Equ., No 45(2013) 1–13 [24] B Liu, Almost periodic solutions for a delayed Nicholson’s blowflies model with a nonlinear density-dependent mortality term, Adv Differ Equ No 72 (2014) 1–16 [25] B Liu, Global exponential stability of positive periodic solutions for a delayed Nicholson’s blowflies model, J Math Anal Appl 412 (2015) 212–221 [26] Q.L Liu, H.S Ding, Existence of positive almost-periodic solutions for a Nicholson’s blowflies model, Electron J Differ Equ No 56 (2013) 1–9 [27] F Long, Positive almost periodic solution for a class of Nicholson’s blowflies model with a linear harvesting term, Nonlinear Anal Real World Appl 13 (2012) 686–693 [28] C Modi, D Patel, B Borisaniya, H Patel, A Patel, M Rajarajan, A survey of intrusion detection techniques in Cloud, J Netw Comput Appl 36 (2013) 42–57 [29] A.J Nicholson, An outline of the dynamics of animal populations, Aust J Zool 2(1954) 9–65 [30] H Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences, Springer-Verlag, New York, 2011 [31] T Insperger, T Ersal, G Orosz, Time Delay Systems: Theory, Numerics, Applications, and Experiments, Springer, Switzerland, 2017 [32] R Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer, Berlin, 1988 [33] Z Tu, J Jian, B Wang, Positive invariant sets and global exponential attractive sets of a class of neural networks with unbounded time-delays, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 16 (2011) 3738–3745 [34] P Venketesh, R Venkatesan, A survey on applications of neural networks and evolutionary techniques in web caching, IETE Tech Rev 26 (2009) 171–180 87 [35] L Wang, Almost periodic solution for Nicholson’s blowflies model with patch structure and linear harvesting terms, Appl Math Model 37 (2013) 2153–2165 [36] L Wen, Y Yu, W Wang, Generalized Halanay inequalities for dissipativity of Volterra functional differential equations, J Math Anal Appl 347 (2008) 169–178 [37] L Wen, S Li, Dissipativity of Volterra functional differential equations, J Math Anal Appl 324 (2006) 696–706 [38] E Witrant, E Fridman, O Sename, L Dugard (Eds.), Recent Results on Time-Delay Systems: Analysis and Control, Springer, Basel, 2016 [39] W Xiong, Delay effect in the Nicholson’s blowflies model with a nonlinear density-dependent mortality term, Electron J Qual Theory Differ Equ No 20 (2017) 1–11 [40] H Zhang, Z Wang, and D Liu, A comprehensive review of stability analysis of continuous-time recurrent neural networks, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst 25 (2014) 1229–1262 [41] L Zhou, Global asymptotic stability of cellular neural networks with proportional delays, Nonlinear Dyn 77 (2014) 41–47 [42] L Zhou, Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Process Lett 38 (2013) 347–359 [43] L Zhou, Dissipativity of a class of cellular neural networks with proportional delays, Nonlinear Dyn 73 (2013) 1895–1903 [44] L Zhou, Global asymptotic stability of cellular neural networks with proportional delays, Nonlinear Dyn 77 (2014) 41–47 [45] L Zhou, X Chen, Y Yang, Asymptotic stability of cellular neural networks with multiple proportional delays, Appl Math Comput 229 (2014) 457–466 88 ... nghiệm hệ nói chung tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ mơ hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình thực tiễn vấn đề nghiên cứu có. .. chọn chủ đề nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình sinh thái Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng... cứu định tính hệ phương trình vi phân ứng dụng Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết tính tiêu hao số lớp phương trình vi phân có trễ bổ trợ cho vi? ??c trình bày kết Chương luận án Xét hệ phương