TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHAMLIEN PHONXAYYAVONG VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG SINH BỞI BỐN PHẦN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHAMLIEN PHONXAYYAVONG VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG SINH BỞI BỐN PHẦN TỬ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN ĐỖ MINH CHÂU THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết trình bày luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 18 tháng năm 2020 Người viết luận văn Khamlien PHONXAYYAVONG Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học TS Trần Đỗ Minh Châu i Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa 26 đào tạo thạc sỹ trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn khoa học TS Trần Đỗ Minh Châu, giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian công sức để bảo hướng dẫn từ điều nhỏ nhặt tới vấn đề khó khăn Cơ ln kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tơi để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân gia đình giúp đỡ, động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái ngun, ngày 18 tháng năm 2020 Người viết Luận văn Khamlien PHONXAYYAVONG ii Mục lục Một số khái niệm nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Tập Apery chiều nhúng 1.3 Số Frobenius số giả Frobenius 1.4 Nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng 10 Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bốn phần tử 19 2.1 Biểu diễn phần tử f + nk với f ∈ P F (H) 19 2.2 Cấu trúc ma trận RF 26 2.3 Trường hợp nửa nhóm số giả đối xứng sinh phần tử 36 2.4 Kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử 41 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 iii MỞ ĐẦU Một nửa nhóm số H vị nhóm N với phép toán cộng cho phần bù H N hữu hạn Cho H nửa nhóm số có hệ sinh tối tiểu {n1 , , ne } K[H] = K[tn1 , , tne ] vành nửa nhóm số tương ứng với H, t biến, K S trường Ta viết K[H] dạng thương K[H] = vành đa thức IH S = K[x1 , , xe ] iđêan IH với IH hạt nhân K-đại số đồng cấu từ S vào K[H], xác định xi → tni Iđêan IH iđêan sinh nhị thức gọi iđêan định nghĩa K[H] Trong nửa nhóm số, lớp nửa nhóm số hầu đối xứng có nhiều tính chất thú vị Chúng mở rộng tự nhiên lớp nửa nhóm số đối xứng hoàn toàn phân biệt với lớp nửa nhóm số đối xứng (theo Nari [8]) Chú ý rằng, năm 1970, Kunz [6] chứng minh H đối xứng K[H] vành Gorenstein Sau ú, Barucci v Frăoberg [1] ó gii thiu khái niệm vành hầu Gorenstein (là mở rộng vành Gorenstein) áp dụng vào vành nửa nhóm số dẫn đến khái niệm nửa nhóm số hầu đối xứng Lý thuyết vành hầu Gorenstein tiếp tục nghiên cứu sâu S Goto, Takahashi Taniguchi [2] đạt nhiều kết quan trọng Mục đích luận văn tìm hiểu nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết số kết báo: J Herzog, K Watanabe (2019), Almost symmetric numerical semigroups, Semigroup Forum 98, 589–630 Nội dung luận văn gồm hai chương Chương trình bày số khái niệm nửa nhóm số bao gồm khái niệm nửa nhóm số, tập Apery, chiều nhúng, số Frobenius, số giả Frobenius, nửa nhóm số đối xứng, số giả đối xứng, hầu đối xứng Chương nội dung luận văn, trình bày số kết nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử Cho H = n1 , n2 , n3 , n4 nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử Kí hiệu P F (H) tập số giả Frobenius H Tiết 2.1 tìm hiểu biểu diễn phần tử f + nk , với f ∈ P F (H) (Bổ đề 2.1.8, Bổ đề 2.1.10) Nội dung tiết chuẩn bị quan trọng cho tiết sau Tiết 2.2 trình bày cấu trúc ma trận RF (f ), với f ∈ P F (H) (Hệ 2.2.10, Mệnh đề 2.2.13, Mệnh đề 2.2.15) Tiết 2.3 trình bày cấu trúc ma trận RF (F (H)/2) H nửa nhóm số giả đối xứng sinh phần tử Chú ý nửa nhóm số giả đối xứng hầu đối xứng (Định lí 2.3.3, Định lí 2.3.4) Tiết 2.4 trình bày lại chứng chi tiết kết quả: kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử không vượt Chương Một số khái niệm nửa nhóm số Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cho việc theo dõi chương sau khái niệm nửa nhóm số, tập Apery, chiều nhúng, số Frobenius, số giả Frobenius, nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng 1.1 Nửa nhóm số Mỗi nửa nhóm số vị nhóm Vì để nghiên cứu nửa nhóm số trước hết ta nhắc lại khái niệm tính chất vị nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một nửa nhóm cặp (H, +) với H tập hợp + phép tốn hai ngơi H thỏa mãn tính chất kết hợp Từ trở đi, nửa nhóm H nhắc đến có tính chất giao hốn, nghĩa a + b = b + a với a, b ∈ H Để cho tiện ta viết H thay cho (H, +) Định nghĩa 1.1.2 Một nửa nhóm T nửa nhóm H tập H, đóng kín với phép tốn hai ngơi H Rõ ràng, giao nửa nhóm nửa nhóm H nửa nhóm H Vì cho A tập H, nửa nhóm nhỏ H chứa A giao tất nửa nhóm H chứa A, kí hiệu A , gọi nửa nhóm sinh A Ta dễ dàng kiểm tra A = λ1 a1 + + λn an | n, λ1 , , λn ∈ N \ {0} a1 , , an ∈ A , N tập số ngun khơng âm Ta nói H sinh A ⊆ H H = A Trong trường hợp A hệ sinh H Nếu A có hữu hạn phần tử ta nói H hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.3 Một nửa nhóm M gọi vị nhóm có phần tử đơn vị, nghĩa tồn phần tử M, kí hiệu 0, cho + a = a + = a, với a ∈ M Một tập N M gọi vị nhóm M nửa nhóm M ∈ N Từ suy {0} vị nhóm M gọi vị nhóm tầm thường M Hồn tồn giống nửa nhóm, giao tất vị nhóm vị nhóm vị nhóm vị nhóm Nếu M vị nhóm A tập M vị nhóm nhỏ M chứa A tập A = λ1 a1 + + λn an | n, λ1 , , λn ∈ N a1 , , an ∈ A , gọi vị nhóm M sinh A Cũng giống phần nửa nhóm, tập A hệ sinh M A = M, ta nói M sinh A Vì thế, vị nhóm M hữu hạn sinh M có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử Chú ý rằng, ∅ = {0} = Dễ dàng kiểm tra tập số tự nhiên N với phép toán cộng vị nhóm Tiết dành để nghiên cứu vị nhóm N Ta chứng minh vị nhóm N phân lớp sai khác đẳng cấu vị nhóm có phần bù hữu hạn N Định nghĩa 1.1.4 Một vị nhóm N có phần bù N hữu hạn gọi nửa nhóm số Nhận xét 1.1.5 Từ Định nghĩa 1.1.4, ta thấy tập H ⊂ N nửa nhóm số H thỏa mãn điều kiện sau: (1) ∈ H; (2) a + b ∈ H với a, b ∈ H; (3) ♯ N \ H < ∞ Với tập khác rỗng A N, vị nhóm A N sinh A nửa nhóm số ước chung lớn phần tử A Bổ đề 1.1.6 Cho A tập khác rỗng N Khi A nửa nhóm số gcd(A) = Chứng minh Giả sử A nửa nhóm số d = gcd(A) Rõ ràng, h thuộc A d | h Vì A nửa nhóm số nên N \ A hữu hạn Suy N \ A có phần tử lớn x Vì x + x + thuộc A Suy d | x + 1, d | x + Do đó, d = Để chứng minh chiều ngược lại, ta cần chứng minh N \ A tập hữu hạn Vì gcd(A) = nên tồn số nguyên z1 , , zn a1 , , an cho z1 a1 + z2 a2 + + zn an = Bằng cách đánh số lại chuyển số hạng chứa zi âm sang vế phải, ta tìm i1 , , ik , j1 , , jl tập {1, , n} cho zi1 ai1 + + zik aik = − zj1 ai1 − − zjl ajl Đặt h = −zj1 ai1 − − zjl ajl Khi h ∈ A h + ∈ A Ta chứng minh n ≥ (h − 1)h + (h − 1), n ∈ A Thật vậy, chia n cho h ta tìm số nguyên q r cho n = qh + r với ≤ r ≤ h − Vì n = qh + r ≥ (h − 1)h + (h − 1) nên q ≥ h − ≥ r Do n = (rh + r) + (q − r)h = r(h + 1) + (q − r)h ∈ A Vậy tập N \ A hữu hạn A nửa nhóm số Mệnh đề 1.1.7 Cho M vị nhóm khơng tầm thường N Khi M đẳng cấu với nửa nhóm số m m | m ∈ M } Suy gcd{ | m ∈ M } = d d m Vì thế, H nửa nhóm số theo Bổ đề 1.1.6 Xét ánh xạ f : M → H cho f (m) = d Rõ ràng f đẳng cấu vị nhóm Chứng minh Đặt d = gcd(M ) H = { Giả sử A B tập tập số nguyên Z Kí hiệu A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} Với H nửa nhóm số, ta viết H ∗ = H \ {0} Khi H ∗ + H ∗ tập phần tử H viết dạng tổng hai phần tử khác H Với kí hiệu này, ta có Bổ đề sau Bổ đề 1.1.8 Cho H vị nhóm N Khi H ∗ \ H ∗ + H ∗ hệ sinh H Hơn nữa, hệ sinh H chứa H ∗ \ H ∗ + H ∗ mâu thuẫn với định nghĩa α3 Vì c = α3 − Định lý sau kết mục Định lý 2.3.3 Cho H = n1 , n2 , n3 , n4 giả sử P F (H) = {F (H)/2, F (H)} Khi cách đánh lại số thứ tự phần tử sinh H, ta có  −1 α2 − −1 α3 − −1 α42    RF (F (H)/2) =  α1 −  α1 −      α4 − 1  −1 F (H)/2 + nk có biểu diễn với k, nghĩa RF (F (H)/2) xác định Chứng minh Để chứng ming định lý ta sử dụng ma trận A cho Mệnh đề 2.3.2 xác định giá trị a, a′ , b, d A (1) Lấy hiệu hàng thứ hàng hai (tương ứng hàng thứ hai hàng thứ ba) A ta (∗2) α2 n2 = n1 + (α3 − 1)n3 , (∗3) α3 n3 = an1 + n2 + dn4 (2) Nếu a′ ≥ α1 thành phần thứ (4,3) RF (F/2) phải biểu diễn nên ta có α1 n1 = α2 n2 Do (1) nên ta có biểu diễn khác RF (F/2) với thành phần (4,3) dương, mâu thuẫn Do đó, a′ ≤ α1 − Tương tự, ta có b ≤ α2 − Lấy hiệu hàng thứ thứ tư ta (α2 − − b)n2 + n4 = (a′ + 1)n1 Vì a′ ≤ α1 − nên a′ = α1 − Hơn nữa, n4 phần tử sinh tối tiểu H nên ta có b < α2 − Suy (∗1) α1 n1 = (α2 − − b)n2 + n4 Suy a < α1 , ngược lại ta có biểu diễn khác RF (F/2) với thành phần (3,2) dương 38 (3) Nếu d ≥ α4 α4 n4 = α1 n1 thành phần (3,2) RF (F/2) = biểu diễn, mâu thuẫn với (∗1) Lấy hiệu hàng thứ ba hàng thứ tư ta (d + 1)n4 = (α1 − − a)n1 + bn2 + n3 Do d ≤ α4 − nên d = α4 − (∗4) α4 n4 = (α1 − − a)n1 + bn2 + n3 Từ tất lập luận ta tính     (†) RF (F (H)/2) =    −1 α2 − 0 −1 α3 − a −1 α1 − b = α42 0      α4 − 1  −1 Hơn nữa, ta có α12 = α2 − − b > 0, α13 = 0, α14 = 1, α21 = 1, α23 = α3 − 1, α24 = 0, α31 = a, α32 = 1, α34 = α4 − 1, α41 = α1 − − a, α42 = b, α43 = (4) Để kết thúc chứng minh, ta cần chứng tỏ b > 0, a > a = α1 − Nếu b = cộng hàng thứ hai thứ tư ma trận, ta (α1 − 1)n1 + (α3 − 1)n3 = F (H) + n2 + n4 Từ (αi − 1)ni ∈ Ap(nk , H) với k = i từ Bổ đề 2.1.1, ta F (H) + n2 − (α1 − 1)n1 = (α3 − 1)n3 − n4 ∈ P F ′ (H) Dẫn đến (α3 − 1)n3 = n4 + F (H)/2 = (α1 − 1)n1 điều mâu thuẫn Do ta có b > Nếu a = cộng hàng thứ hàng thứ ba ma trận tương tự chứng minh trên, ta có (α2 − 1)n2 = F (H)/2 + n3 = (α4 − 1)n4 , mâu thuẫn Tiếp theo ta a = α1 − Ta thấy a ≤ α1 − Nếu a < α1 − ta có α41 > theo Bổ đề 2.1.10, F (H) + n1 có biểu diễn Ta điều mâu thuẫn Cộng hàng thứ hàng thứ hai RF (F (H)/2), ta thu F (H) + n1 = (α2 − 2)n2 + (α3 − 1)n3 Do F (H) + n1 có biểu diễn nên (F (H) + n1 ) − (α4 − 1)n4 ∈ / H theo Bổ đề 2.1.1, ta có (α4 − 1)n4 = F (H)/2 + n1 Do F (H)/2 + n1 = (α2 − 1)n2 , mâu thuẫn Vì a = α1 − 39 Định lý 2.3.4 Nếu F (H)/2 ∈ P F (H) RF (F (H)/2) có dạng Định lý 2.3.3 ta có: (i) F (H) + n2 có biểu diễn n2 = α1 α4 (α3 − 1) + (ii) Mỗi phần tử sinh IH RF (F (H)/2)-hệ thức Cụ thể là, IH = (xα2 − x1 xα3 −1 , xα1 − xα2 −1−α42 x4 , xα3 − xα1 −1 x2 x4α4 −1 , xα3 −1 x4 −xα1 −1 xα2 42 +1 , xα4 −xα2 42 x3 ) (Hiệu hàng thứ hàng thứ ba không cho phần tử sinh tối tiểu IH ) (iii) H hầu đối xứng t(H) = Ta Mệnh đề 2.4.5 e = F (H)/2 ∈ P F (H) RF (F (H)/2) phát biểu Định lý 2.3.3, e = H nửa nhóm số hầu đối xứng với F (H) chẵn t(H) = Chứng minh Vì αi2 = với i = nên theo Bổ đề 2.1.10(i), F (H) + n2 có biểu diễn Cộng hàng thứ hàng thứ RF (F (H)/2) ta F (H) + n2 = (α1 − 1)n1 + (α3 − 2)n3 + (α4 − 1)n4 Theo Bổ đề 2.1.10(ii) ta có n2 = α1 α4 (α3 − 1) + t(H) − ≥ α1 α4 (α3 − 1) + (do t(H) ≥ 2) Ta chứng minh t(H) = cách chứng tỏ n2 = α1 α4 (α3 − 1) + Trước hết ta xác định phần tử sinh tối tiểu IH Ký hiệu I ′ iđêan sinh nhị thức xα2 − x1 xα3 −1 , xα1 − x2α2 −1−α42 x4 , xα3 − xα1 −1 x2 x4α4 −1 , x3α3 −1 x4 − xα1 −1 x2α42 +1 , xα4 − xα2 42 x3 Vì nhị thức tương ứng với hiệu vectơ hàng RF (F (H)/2) nên I ′ ⊆ IH Để chứng minh I ′ = IH , trước hết ta S/(I ′ , x2 ) = S/(IH , x2 ) Chú ý S/(IH , x2 ) ∼ = K[H]/(tn2 ) Vì thế, dimK S/(IH , x2 ) = n2 Do I ′ ⊆ IH nên ta có tồn cấu S/(I ′ , x2 ) → S/(IH , x2 ) Suy dimK S/(I ′ , x2 ) ≥ n2 Theo lập luận ta có n2 = α1 α4 (α3 − 1) + t(H) − Hơn nữa, từ đẳng cấu S/(I ′ , x2 ) ∼ = K[x1 , x3 , x4 ]/(x1 xα3 −1 , xα1 , xα3 , xα3 −1 x4 , xα4 ) ta có dimK S/(I ′ , x2 ) = α1 α4 (α3 − 1) + Kéo theo α1 α4 (α3 − 1) + ≥ α1 α4 (α3 − 1) + t(H) − 40 Suy t(H) ≤ Vì t(H) = S/(I ′ , x2 ) = S/(IH , x2 ) Xét dãy khớp → IH /I ′ → S/I ′ → S/IH → Tác động hàm tử Tor(∗, S/(x2 )) lên dãy khớp ta dãy khớp dài · · · → Tor1 (S/IH , S/(x2 )) → (IH /I ′ ) ⊗S S/(x2 ) → S/I ′ ⊗S S/(x2 ) → S/IH ⊗S S/(x2 ) → 0, hay ta có dãy khớp · · · → Tor1 (S/IH , S/(x2 )) → (IH /I ′ )/x2 (IH /I ′ ) → S/(I ′ , x2 ) → S/(IH , x2 ) → Vì S/IH miền nguyên nên x2 phần tử quy S/IH Do ta có Tor1 (S/IH , S/(x2 )) = Chú ý S/(I ′ , x2 ) = S/(IH , x2 ) theo chứng minh Vì từ dãy khớp cuối ta suy (IH /I ′ )/x2 (IH /I ′ ) = Theo Bổ đề Nakayama ta có IH /I ′ = 2.4 Kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử Mục tiêu tiết chứng minh kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử không vượt Kỹ thuật dùng để chứng minh khái niệm hàng đặc biệt ma trận RF (f ) với f ∈ P F (H) Trong suốt tiết giả thiết H = n1 , , n4 nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử Định nghĩa 2.4.1 Mỗi hàng ma trận RF (f ) có dạng (αi − 1)ei − ek gọi hàng đặc biệt, ei vectơ đơn vị thứ i Z4 Ví dụ 2.4.2 Hàng thứ thứ ma trận RF (F (H)/2) Định lý 2.3.3 hàng đặc biệt Bổ đề 2.4.3 Giả sử e = 4, {n1 , n2 , n3 , n4 } = {ni , nj , nk , nl } H hầu đối xứng Khi (i) Tồn hai hàng ma trận RF (F (H)/2) có dạng (αi − 1)ei − ek 41 (ii) Nếu f = f ′ ∈ P F (H) cho f + f ′ ∈ / H có bốn hàng RF (f ) RF (f ′ ) có dạng (αi − 1)ei − ek (iii) Với cặp {f, f ′ } ⊂ P F ′ (H), f = f ′ , f + f ′ ∈ / H với j ∈ {1, 2, 3, 4} tồn s cho (αj − 1)nj = f + ns (αj − 1)nj = f ′ + ns Chứng minh (i) Hiển nhiên theo Mệnh đề 2.3.2 (ii) Theo Bổ đề 2.2.3, có 12 thành phần hai ma trận RF (f ) RF (f ′ ) Hơn nữa, theo Hệ 2.2.10, hàng RF (f ) chứa thành phần dương Thêm vào đó, theo Bổ đề 2.1.4(ii), hàng thứ k RF (f ) −ek + bei b ≥ αi − Kết hợp với Mệnh đề 2.2.13, ta suy hàng RF (f ), RF (f ′ ) có ba dạng sau (a) Chứa thành phần dương, (b) qes − et với q ≥ αs , (c) (αs − 1)es − et Nếu hai ma trận có dạng (b), ma trận có hai thành phần khác hàng thứ t dương Vì thế, ta gọi a, b, c số hàng có dạng (a), (b), (c), ta có 2(a + b) + c ≤ 12 Vì a + b + c = 8, nên c ≥ (iii) Trong (ii) ta chứng minh có hàng RF (f ) RF (f ′ ) có dạng (αi − 1)ei − ek Vì thế, ta giả sử với số i, k, l ta có hệ thức nk + f = (αi − 1)ni = nl + f ′ Theo Mệnh đề 2.2.15(iii), αi ni có hai biểu diễn khác (5.7.1) αi ni = pnj + qnk = p′ nj + rnl Hơn nữa, ta có (xem chứng minh Mệnh đề 2.2.15(iii)) (5.7.2) f + ni = pnj + (q − 1)nk , f ′ + ni = p′ nj + (r − 1)nl Ta viết RF (f ) = (mst ) RF (f ′ ) = (m′st ) có biểu diễn f + ns = ta nói mst = với thành phần (s, t) mst = biểu diễn f + ns = mst nt t 42 t mst nt Tương tự RF (f ′ ) = (m′st ) Trong lập luận trên, vai trò k, l tương tự nên ta giả sử p′ ≥ p từ (5.7.1) ta có qnk = (p′ − p)nj + rnl Suy q ≥ αk Nếu q ≥ αk + αk nk = αj nj theo Mệnh đề 2.2.13 Vì pnj + qnk = (p + αj )nj + (q − αk )nk = p′ nj + rnl Do r ≥ αl , mâu thuẫn Vì q = αk ta có (5.7.2′ ) f + ni = pnj + (αk − 1)nk , f ′ + ni = p′ nj + (r − 1)nl Vì mil = mkl = (tương ứng m′ik = m′lk = 0) nên mjl > (tương ứng m′jk > 0) theo Bổ đề 2.2.9 Đặt f + nj = sni + tnk + unl (u > 0) Vì f ′ = f + nk − nl , nên ta có f ′ + nj = sni + (t + 1)nk + (u − 1)nl Ta xét hai trường hợp s s > s = Trường hợp (a) Nếu s > 0, theo Bồ đề 2.2.9 ta có mjl = m′jk = mij = m′ij = theo Bổ đề 2.2.3 Do ta có p = p′ = Suy (5.7.3) f + ni = (αk − 1)nk , f ′ + ni = (αl − 1)nl theo Bổ đề 2.1.4 mil = m′ik = Hơn nữa, theo Hệ 2.2.10, s > 0, mli = m′ki = nên mlk = m′lk = theo Bổ đề 2.2.3 Vì ta có f + nl = (αj − 1)nj (tương ứng f ′ + nk = (αj − 1)nj ) mlk = (tương ứng m′lk = 0), điều phải chứng minh Trường hợp (b) Giả sử s = Ta đặt (5.7.4) f + nl = ani + bnj + cnk , f ′ + nk = b′ nj + d′ nl (do mik = αk − > 0, nên ta có m′ki = theo Bổ đề 2.2.3) Kéo theo  −1 p   −1  RF (f ) =  αi −  a b 43 αk − t −1 c   u  , 0  −1  −1    ′ RF (f ) =    αi − Chú ý theo Bổ đề 2.2.3 ta có p′ r−1   −1 t + u − 1   b′ −1 d′   −1 a(r − 1) = b(u − 1) = b′ t = cd′ = Ta tiếp tục lập luận theo trường hợp c > c = Trường hợp (b1) c > Khi d′ = 0, b′ = αj − t = Do đó, u = αl − ta cần có hàng thứ s hàng đặc biệt (αk − 1)ek − es Trong trường hợp này, theo Hệ 2.2.10, ta có b = a = Nếu b > u = hàng thứ hai RF (f ′ ) (αk − 1)ek − ej với αk = Nếu a > hàng thứ RF (f ′ ) p′ ej − ei điều mâu thuẫn với tính chất hàng thứ ba RF (f ′ ) (αj − 1)ej − ek kéo theo ni = nk Nếu a = b = hàng thứ tư RF (f ) hàng đặc biệt cần tìm Trường hợp (b2) c = b > Khi ta có t + = αk − Nếu a > ta có r = p′ = αj − b′ = t = Trong trường hợp, ta thu hàng đặc biệt Nếu a = b = αj − hàng thứ tư RF (f ) (αJ − 1)ej − el Nếu b′ = d′ = αl − hàng thứ ba RF (f ′ ) hàng đặc biệt Nếu b′ > t = hai hàng RF (f ) RF (f ′ ) cho ta hàng đặc biệt Bổ đề 2.4.4 Giả sử H nửa nhóm số hầu đối xứng với F (H) lẻ giả sử tồn f ∈ P F ′ (H) cho hàng RF (f ) có thành phần dương Khi ta có: (i) Sau đánh lại số, ta giả sử  −1 α2 − 0 −1 α3 − 0 −1 α1 − 0    RF (f ) =    44      α − 1  −1 (ii) Trong trường hợp này, ta đặt f ′ = F (H) − f  −1 α2 − α3 −    RF (f ′ ) =  α1 −  −1   α − α − 1  −1 α1 − α2 −  α − 2  −1 (iii) Ta có t(H) = với P F (H) = {f, f ′ , F (H)}, số phần tử sinh tối tiểu µ(IH ) = phần tử sinh tối tiểu IH có cách lấy hiệu hai hàng RF (f ), cụ thể IH = (xα1 − xα2 −1 x4 , xα2 − xα3 −1 x1 , xα3 − x4α4 −1 x2 , xα4 − xα1 −1 x3 , x1 x4α4 −1 − xα2 −1 x3 , xα1 −1 x2 − xα3 −1 x4 ) (iv) Ta có n1 = (α2 − 1)(α3 − 1)α4 + α2 , n2 = (α3 − 1)(α4 − 1)α1 + α3 , n3 = (α4 − 1)(α1 − 1)α2 + α4 , n4 = (α1 − 1)(α2 − 1)α3 + α1 Chứng minh Giả sử thành phần (i, ) RF (f ) dương Khi (a1 , a2 , a3 , a4 ) cho hoán vị (1, 2, 3, 4) khơng có điểm cố định Do đó, ta giả sử (a1 , a2 , a3 , a4 ) = (2, 1, 4, 3) (a1 , a2 , a3 , a4 ) = (2, 3, 4, 1) Vì f + n1 = (α2 − 1)n2 , nên ta có f + n1 + n2 = α2 n2 = (α3 − 1)n3 + n1 Suy α21 = 1, α23 = α3 − 1, α24 = Tương tự, ta có α12 = α2 − 1, α13 = 0, α14 = 1, α31 = 0, α32 = 1, α34 = α4 − 1, α41 = α1 − 1, α42 = 0, α43 = Theo Bổ đề 2.2.3, ma trận RF (f ′ ) có dạng  −1 p2 p3      −1 q q 4  ′ RF (f ) =    r1 −1 r4    s1 s2 −1 Khi ta phải có p2 < α2 α21 = > p3 < α4 α34 > Suy F (H) + n1 = (α2 − 1)n2 + f ′ = (α2 − 2)n2 + q3 n3 + q4 n4 = p2 n2 + p3 n3 + f = (p2 − 1)n2 + (α3 − + p3 )n3 = p2 n2 + (p3 − 1)n3 + (α4 − 1)n4 Do ta có p2 = α2 − q4 = α4 − Lặp lại trình này, ta tìm RF (f ′ ) phát biểu bổ đề 45 Mệnh đề 2.4.5 Giả sử e = Nếu F (H) chẵn F (H)/2 ∈ P F (H) t(H) = Nghĩa là, e = H hầu đối xứng kiểu chẵn t(H) = Chứng minh Theo Định lý 2.3.4, ta cần chứng minh RF (F (H)/2) có dạng phát biểu Định lý 2.3.3 Chúng ta lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.3.3 để b = α42 > a = α1 − ma trận (†) sau     (†) RF (F (H)/2) =    −1 α2 − −1 a α1 − b = α42 0   α3 −    −1 α − 1  −1 Nếu b = 0, cộng hàng thứ hai thứ tư (†), ta F (H) + n2 + n4 = (α1 − 1)n1 + (α3 − 1)n3 Do (α1 − 1)n1 − n2 , (α3 − 1)n3 − n4 ∈ / H, nên theo Bổ đề 2.1.1, ta có (α1 − 1)n1 = f + n2 = F (H)/2 + n4 (α3 − 1)n3 = f ′ + n4 = F (H)/2 + n2 với f, f ′ ∈ P F ′ (H) thỏa mãn f + f ′ = F (H) Suy ta có f + n1 = α1 n1 − n2 = (α2 − 2)n2 + n4 , f + n3 = an1 + n2 + (α4 − 2)n4 Theo Bổ đề 2.4.3, ta có hàng đặc biệt (α2 −1)e2 −ej , (α4 −1)e4 −ek RF (f ) RF (f ′ ) Ta ký hiệu RF (f ) = (mij ) RF (f ′ ) = (m′ij ) Ta vừa m13 = m23 = Do ta có m43 > theo Bổ đề 2.2.9 Suy m′34 = α4 − = 0, hay α4 = Vì m21 = α1 − > nên m′12 = Do đó, (α2 − 1)e2 − ej hàng thứ ba RF (f ), kéo theo m31 = m34 = 0, m32 = α2 − (α2 − 1)n2 = f + n3 Do (α2 − 1)n2 = F (H)/2 + n1 (α1 − 1)n1 = f + n2 = F (H)/2 + n4 , nên ta có n1 + n2 = n3 + n4 Vì từ F (H)/2 − f ′ = n4 − n2 = n1 − n3 , ta có n4 = (α4 − 1)n4 = f ′ + n1 Ta thấy f + n1 = (α2 − 1)n2 + n4 Thay n4 = (α4 − 1)n4 = f ′ + n1 ta f + n1 = (α2 − 2)n2 + n4 = (α2 − 2)n2 + f ′ + n1 f = (α2 − 2)n2 + f ′ , mâu thuẫn với f = f ′ f ′ ∈ P F (H) Vì b = α42 > 46 Trong phần cuối chứng minh Định lý 2.3.3(3), ta có α12 = α2 − − b > 0, α13 = 0, α14 = 1, α21 = 1, α23 = α3 − 1, α24 = 0, α31 = a, α32 = 1, α34 = α4 − 1, α41 = α1 − − a, α42 = b, α43 = Vì b > 0, nên F (H) + n2 có biểu diễn theo Bổ đề 2.1.10 Tiếp theo a = α1 − Ta có a ≤ α1 − phần chứng minh Định lý 2.3.3 Nếu a < α1 − ta có α41 > theo Bổ đề 2.1.10, F (F ) + n1 có biểu diễn Ta mâu thuẫn Cộng hàng thứ thứ hai (†), ta có F (H) + n1 = (α2 − 2)n2 + (α3 − 1)n3 Do biểu diễn nhất, nên F (H) + n1 − n4 ∈ / H theo Bổ đề 2.1.1 ta có F (H) + n1 − n4 ∈ P F ′ (H) Ta đặt f = F (H) + n1 − n4 , f ′ = F (H) − f = n4 − n1 Vì H hầu đối xứng, nên f ′ ∈ P F ′ (H) Do theo Mệnh đề 2.2.13, α4 = Suy f ′ + n4 = 2n4 − n1 = α4 n4 − n1 = (α1 − − a)n1 + bn2 + n3 Theo Hệ 2.2.10, b > 0, nên ta có α1 − − a = 0, a = α1 − Vì thành phần (4, 2), (4, 3) RF (f ′ ) dương, nên thành phần (2, 4), (3, 4) RF (f ) phải theo Bổ đề 2.2.3 Do theo Bổ đề 2.2.9, thành phần (1, 4) RF (f ) dương, kéo theo f + n1 ≥H n4 = f ′ + n1 Vì f ′ ≤H f, mâu thuẫn với giả thiết f, f ′ ∈ P F ′ (H) Như ta F (H)/2 ∈ P F (H) RF (F (H)/2) có dạng phát biểu Định lý 2.3.3 Ta chứng minh H hầu đối xứng với F (H) chẵn t(H) = Định lý 2.4.6 Nếu H = n1 , , n4 hầu đối xứng t(H) ≤ Chứng minh Nếu H hầu đối xứng F (H) chẵn theo Mệnh đề 2.4.5 t(H) = Giả sử F (H) lẻ Theo Bổ đề 2.4.3, có hàng đặc biệt RF (f ) RF (f ′ ), f + f ′ = F (H) Mặt khác, ta Mệnh đề 2.2.15 với ni cố định tồn nhiều hai hệ thức dạng f + nk = (αi − 1)ni Vì có tất phần tử sinh ni nên tồn nhiều hàng đặc biệt RF (f ) với trường hợp f ∈ P F ′ (H) Điều kéo theo lực lượng P F ′ (H) không vượt 47 t(H) ≤ Hơn nữa, lập luận chứng tỏ với ni , có hai hàng đặc biệt dạng (αi − 1)ei − ek ma trận RF (f ) với f ∈ P F ′ (H) Giả sử t(H) = P F (H) = {f1 , f2 , f2′ , f1′ , F (H)} với f1 < f2 < f2′ < f1′ f1 + f1′ = f2 + f2′ = F (H) Ta điều mâu thuẫn Theo Bổ đề 2.4.3, cặp f, f ′ ∈ P F (H) với f +f ′ = F (H) với ni , tồn hàng đặc biệt thứ k dạng (αi − 1)ei − ek RF (f ) RF (f ′ ) Do ta có hệ thức dạng f + nk = (αi − 1)ni = f ′ + nl , có hai hàng đặc biệt (αi − 1)ei − ek RF (f ) (αi − 1)ei − el RF (f ′ ), dẫn đến có hàng đặc biệt RF (f ) RF (f ′ ), mâu thuẫn với tính chất có nhiều hàng đặc biệt hai ma trận Vì vậy, có hệ thức dạng f + nk = (αi − 1)ni = f ′ + nl , f + f ′ = F (H) Do tồn bốn cặp {f, f ′ }, cụ thể là, {f1 , f2 }, {f1′ , f2 }, {f1 , f2′ }, {f1′ , f2′ }, ta có hệ thức sau np , , ny ∈ {n1 , n2 , n3 , n4 } Cho {i, j, k, l} hoán vị {1, 2, 3, 4} giả sử n1 < n2 < n3 < n4 Ta có hệ thức sau f1 + np = (αi − 1)ni = f2 + nq (2.2) f1′ + nr = (αj − 1)nj = f2 + ns (2.3) f1 + nt = (αk − 1)nk = f2′ + nu (2.4) f1′ + nx = (αl − 1)nl = f2′ + ny (2.5) Từ đẳng thức f2 − f1 = f1′ − f2′ , ta có np − nq = f2 − f1 = f1′ − f2′ = ny − nx (2.6) ns − nr = f1′ − f2 = f2′ − f1 = nt − nu (2.7) Ta chia trường hợp theo số phần tử khác hai tập {np , nq , nx , ny } {nt , nu , nx , ny } 48 Trường hợp 1: Giả sử np = ny nq = nx Do ta giả sử {i, j, k, l} hoán vị {1, 2, 3, 4} ni , nl khác với np , nq , nên ta có {nl , nk } = {np , nq } Khi từ đẳng thức (2.4), (2.5), ta có nr = nu < ns = nt {ni , nl } = {nr , ns } Giả sử ni > nl (do ni = ns = nt nl = nr = nu ) ta điều mâu thuẫn Tương tự, ta giả sử ni < nl kéo theo mâu thuẫn Ta kiểm tra ma trận RF f1 , f2 , f2′ , f1′ {ni , np , nq , nl } Các đẳng thức (2.3), (2.6) cho ta hàng thứ p RF (f1 ) (αi − 1, −1, 0, 0) Do thành phần thứ (q, i) RF (f1′ ) αi − nên thành phần thứ (i, q) RF (f1 ) = theo Bổ đề 2.2.3 Do theo Bổ đề 2.2.9, thành phần thứ (l, q) RF (f1 ) dương Từ đẳng thức (2.5), để thành phần thứ (l, q) RF (f1 ) dương, ta phải có nk = nq nj = np Từ (2.3), ta có αi ni = (f1 + ni ) + np = (f2 + ni ) + nq Nhưng từ (2.4), (2.5), ta biết f1 + ni = (αq − 1)nq , f2 + ni = (αp − 1)np ta có (αq − 1)nq + np = (αp − 1)np + nq , kéo theo αp = αq = từ (2.4), (2.5) ta có np = f1′ + nl = f2 + ni , nq = f1 + ni = f2′ + nl Do từ (2.3), (2.6), ta αi ni = (f1 + ni ) + np = np + nq = (f1′ + np ) + nl = αl nl Tiếp theo ta tính f1 + nl Ta có f1 + nl < np , nq Suy ta có f1 + nl = cni với số nguyên dương c Nhưng theo Bổ đề 2.2.13, ta có c ≥ αi − Suy f1 + nl + ni ≥ αi ni = np + nq , mâu thuẫn với np = f1′ + nl nq = f1 + ni Do trường hợp không xảy Trường hợp 2: Nếu ♯ {np , nq , nx , ny } = np = nx nq = ny 2np = nq + ny 2nq = np + nx , dẫn đến αp = αq = Giả sử 2nq = np + nx αq = Từ (2.3)-(2.6), tồn f, f ′ ∈ P F ′ (H) cho (∗) (αq − 1)nq = nq = f + nv = f ′ + nw Từ nq không số lớn số n1 , n4 lớn giá trị khác ta suy nq = n3 Ta giả sử n1 < n2 < n3 = nq < n4 tính lại n1 + f1 Theo (∗), n1 + f1 < n3 ta phải có n1 + f1 = cn2 với c số nguyên dương Ta có cα2 − n1 + f1 = (α2 − 1)n2 theo (2.3)-(2.6), n1 + f1 = (α2 − 1)n2 = nw + f điều khơng thể suy từ n1 + f1 < n3 Nếu c ≥ α2 ta có mâu thuẫn từ n1 + f1 khơng thể chứa n1 , n3 , n4 Do trường hợp không xảy Dễ dàng thấy ♯{nr , ns , nt , nu } = kéo theo mâu thuẫn 49 Trường hợp 3: Để chứng minh Định lý 2.4.6, ta giả thiết {np , nq , nx , ny } {nr , ns , nt , nu } phần tử khác mâu thuẫn Theo (2.3)-(2.6), ta giả sử n1 < n2 < n3 < n4 với n2 − n1 = n4 − n3 = f2 − f1 n3 − n1 = n4 − n2 = f2′ − f1 Do n4 − n1 = (f1′ − f2 ) + (f2 − f1 ) = f1′ − f1 ta có f1 + n1 = f1′ + n4 Hơn nữa, f1 + n4 khơng có dạng (αw − 1)nw , nên ta có f1 + n4 = f1′ + n1 = bn2 + cn3 với c, d > Do từ Bổ đề 2.2.3 ta có RF (f1 )2,1 = RF (f1 )3,1 = Vì hàng thứ tư RF (f1 ) (0, b, c, 0), nên thành phần cột thứ RF (f1 ) 0, mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.9 50 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử Luận văn đạt kết sau: - Tìm hiểu nửa nhóm số khái niệm nửa nhóm số tập Apery chiều nhúng, số Frobenius số giả Frobenius, nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng - Tìm hiểu biểu diễn phần tử f + nk H với f ∈ P F (H) - Tìm hiểu cấu trúc ma trận RF nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử - Trình bày chứng minh chi tiết kết quả: kiểu nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử không vượt 51 Ti liu tham kho [1] V Barucci, R Frăoberg (1997), One-dimensional almost Gorenstein rings, J Algebra 188, 418–442 [2] S Goto, R Takahashi, N Taniguchi (2015), Almost Gorensteinrings-towards a theory of higher dimension, J Pure Appl Algebra 219, 2666–2712 [3] J Herzog (1970), Generators and relations of abelian semigroups and semigroup rings, Manuscr Math 3, 175–193 [4] J Herzog, K Watanabe (2019), Almost symmetric numerical semigroups, Semigroup Forum 98, 589–630 [5] J Komeda (1982), On the existence of weierstrass points with a certain semigroup generated by elements, Tsukuba J Math 6, 237–270 [6] E Kunz (1970), The value-semigroup of a one-dimensional Gorenstein rings, Proc Am Math Soc 25, 748–751 [7] A Moscariello (2016), On the type of an almost Gorenstein monomial curve, J Algebra 456, 266–277 [8] H Nari (2013), Symmetries on almost symmetric numerical semigroups, Semigroup Forum 86, 140–154 [9] T Numata (2013), Almost symmetric numerical semigroups generated by four elements, Proc Inst Nat Sci Nihon Univ 48, 197–207 [10] J C Rosales, M B Branco (2003), Irreducible numerical semigoups, Pacific J Math 209, 131-143 [11] S Selmer (1977), On a linear Diophantine problem of Frobenius, J Reine Angew Math 293/294 , 1–17 52 ... 1.4.13, H giả đối xứng L(H) = nửa nhóm số đối xứng giả đối xứng hầu đối xứng Vì khái niệm nửa nhóm số hầu đối xứng khái niệm mở rộng nửa nhóm số đối xứng giả đối xứng (3) Nửa nhóm số hầu đối xứng kiểu... 1.3 Số Frobenius số giả Frobenius 1.4 Nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng 10 Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bốn phần tử 19 2.1 Biểu diễn phần tử f... (H), với ≤ i ≤ t − Vậy H hầu đối xứng 18 Chương Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bốn phần tử Cho H nửa nhóm số hầu đối xứng sinh phần tử Mục tiêu chương tìm hiểu biểu diễn phần tử f + nk , f ∈ P F (H),