Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp Chuyên đề đại số tổ hợp. NỘI DUNG Đ1 : Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng .  Lý thuyết: * Qui tắc cộng, qui tắc nhân. * Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. Các dạng toán ứng dụng. 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. Đ2: Nhị thức Newtơn và ứng dụng.  Lý thuyết: Nhị thức Newtơn.  Các dạng toán ứng dụng. 2.1. Dạng 1: Tính tổng tổ hợp. 2.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 2.3. Dạng 3: Xác định hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newtơn. Đ1: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng.  Lý thuyết: I. Qui tắc cộng, qui tắc nhân . 1. Quy tắc cộng: Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 , có m 2 cách chọn đối tượng x 2 , . m n cách chọn đối tượng x n và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng với đối tượng x j nào( i khác j; i, j = 1,2, ,n) thì có m 1 + m 2 + + m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho. 2. Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m 1 cách, bước 2 có m 2 cách, bước n có m n cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 .m 2 .m n cách khác nhau. II. Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp . 1. Hoán vị: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. * Số hoán vị của n phần tử : P n = n! = 1.2.3.4.5….n ( ; n 1)n N∀ ∈ ≥ ; Qui ước 0! 1= . 2. Chỉnh hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. * Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : )1) .(1( +−−= knnn A k n (1 ≤ k ≤ n) Trang 1 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp ! ( )! n k A n n k = − (1 ≤ k ≤ n) 3. Tổ hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. * Số tổ hợp chập k của n phần tử : )!(! ! knk n C k n − = (0 ≤ k ≤ n)  Các dạng toán thường gặp: 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 1- Dạng 1: rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1. Phương pháp: Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức đại số tổ hợp: * ! n P n = ( * n N∈ ) * ! ( )! n k A n n k = − (1 ≤ k ≤ n) * ! !( )! n k C n k n k = − (0 ≤ k ≤ n) 2. Một số ví dụ: VÍ DỤ 1 Rút gọn biểu thức: 1 ! 2 n k A n k k − = ∑ = Bài giải Ta có nhận xét: ( ) 1 1 1 ! 1 ! ! k k k k − = − − Suy ra ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 ! 1! 2! 2! 3! 1 ! ! ! 2 n k A n k n n n k − = = − + − + + − = − ∑ − = Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 6 5 4 A A n n A A n + = Bài giải Ta có 2 )4()5)(4(4 )3) .(1( )4) .(1()5) .(1( −=−−+−= −− −−+−− = nnnn nnn nnnnnn A Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: 1 . 1 2 2 1 − +++= n n C n n C n n C n C n CA Bài giải: Ta lần lượt có: 1 n C n = Trang 2 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp ! 2 2!.( 2)! 2 2. 1 1 ! 1!.( 1)! n C n n n n C n n − = = − − . 1 1 1 ! 1!.( 1)! n C n n n n C n n = = − − ( 1) suy ra : 1 . 2 1 . 2 n n A n n + = + − + + + = 3. Bài tập tự luyện: <1> Rút gọn biểu thức: 1 1 ( 1) n n k C k k = = + ∑ <2>Rút gọn biểu thức: 5! ( 1)! . ( 1) 3!( 1)! m A m m m + = + − <3> Rút gọn biểu thức: 12 11 10 9 49 49 17 17 10 8 49 17 - A A A A B A A + + = 2-Dạng 2: chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1. Phương pháp: Thực hiện các bước sau: • Sử dụng các công thức: * ! n P n = ( * n N∈ ) * ! ( )! n k A n n k = − (1 ≤ k ≤ n) * ! !( )! k n n C k n k = − (0 ≤ k ≤ n) * -1 (0 ) -1 -1 k k k C C C k n n n n = + < < đưa đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường. • Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra đpcm. 2. Một số ví dụ: Ví dụ 1: CMR với k, n ∈ N, 3≤ k ≤ n ta có: n kn Ak n kn A n kn A + = + + + + + 212 Bài giải ( )! ( )! ( )! 1 2 1 1 ( 2)! ( 1)! ( 2)! 1 2 2 ( )! ( )! ( )! 2 ( 1)( 2)! ( 1).( 2)! ! n k n k n k n n VT A A n k n k k k k k k n k k n k k n k n k A VP n k k k k k k k + + +   + + = + = + = + =  ÷ + + − − − −   + + + = = = = = + − − − − Trang 3 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 2 2 ( !) ( ) ( , 2) 2 n n n n n n Z n + < < ∈ > (1) Bài giải Biến đổi BĐT (1) về dạng: 1 2 2 (1.2.3 ) ( ) 2 n n n n n + < < 2 1 2 [(1. )2.( 1)].3.( 2) . ( 1)] ( ) 2 n n n n n n n k n k + ⇔ < − − − + < (2) a.Ta có đánh giá: ( 1) (*) ( , 1)k n k n k n k− + ≥ ∀ < > do (*) ( 1) ( 1) 0 ( )( 1) 0n k k k n k k⇔ − − − > ⇔ − − ≥ đúng , 1k n k∀ < > áp dụng BĐT (*) với k = 2,…, n -1 ta được 1. 2.( 1) ( 1) . .1 n n n n k n k n n n ≥   − >     − + >    ≥   n bất đẳng thức. Suy ra 2 [(1. )2.( 1)].3.( 2) . ( 1) .( 1).2( .1)] a) n n n n k n k n n n − − − + − > b. Sử dụng BĐT Côsi tacó : 1 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) 2 2 k n k n k n k + − + + − + ≤ = (**) 0,k n k∀ ≥ ≥ áp dụng BĐT (**) với k =1,2,…, n ta được 2 2 2 1 1. 2 2 1 2( 1) 2 1 ( 1) BDT 2 1 ( 1)2 2 2 1 1. 2 n n n n n k n k n n n n n  +    ≤       +    − ≤         +    − + ≤         +    − ≤        +    ≤       Suy ra 2 1 (1. )[2.( 1)].3.( 2) . ( 1) .( 1)2( .1) 2 n n n n n k n k n n +   − − − + − <     b) Từ a) và b) suy ra (2) được chứng minh , suy ra (1) được chứng minh Ví dụ 3: CMR a. 1 2 3 3 3 3 k k k k k C C C C C n n n n n − − − + + + = + Trang 4 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp b. -1 -2 2 (2 ) 2 k k k k C C C C k n n n n n = + + ≤ ≤ + c. 1 2 3 3 2 2 5 4 3 2 k k k k k k C C C C C C n n n n n n + + + + + + + + = + + + Bài giải a. Ta có : 1 1 2 2 3 ( ) 2( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 k k k k k k VT C C C C C C n n n n n n k k k k k k k C C C C C C C n n n n n n n k k k C C C VP n n n − − − − − = + + + + + − − − − − = + + = + + + + + + + + + + − = + = = + + + b. Ta có: -1 -2 2 (2 ) 2 k k k k C C C C k n n n n n = + + ≤ ≤ + Nên: ( ) ( ) ( ) ( ) -1 -1 - 2 -1 1 1 2 k k k k k k k VP C C C C C C C VT n n n n n n n = + + + = + = = + + + c. ( ) 1 1 2 3 1 2 3( ( ) ) k k k k n n n n k k VT C C n n C C C C + + + + + = + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 1 1 1 k k k C C C n n n + + + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 k k k k C C C C n n n n k k C C n n k k k k k C C C C C VP n n n n n + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + = + = + + + + + Ví dụ 4: CMR: 2 . ( ) (0 ) (1) 2 2 2 - n n n C C C k n n n k n k ≤ ≤ ≤ + Bài giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 . ( ) (0 ) (1) 2 2 2 - 2 2 ! 2 ! 2 ! 2 . ( 1) .( ) ( 1) .( ) ( 1) .( ) !. ! !. ! !. ! 2 ( 1)( 2) .( ) ( 1)( 2) .( ) ( 1) .( ) ( 1 n n n C C C k n n n k n k n k n k n n k n k n n k n k n n n n n k n n k n n n n k n k n k n n k n k n k n n n n n k ≤ ≤ ≤ + + −   ⇔ ≤ ⇔ + + + + − + − + ≤ + +  ÷ + −   ⇔ + + + + + + − + − + − + ≤ + + ⇔ + + [ ] [ ] [ ] 2 )( 1) . ( )( ) ( 1) .( ) (*)n k n k n n k n n n n − + + + − + ≤ + + Theo BĐT Cauchy ta có ( ) 2 ( )( ) 0 k n; n k i n k i n i+ + − + ≤ + ∀ ≤ ≤ i = 1 .n Cho ni ,1 = ta được BĐT (*) Vậy BĐT (*) đúng ⇒ (1) được chứng minh. 3. Bài tập tương tự Trang 5 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp Bài 1: 1 . ( 1) ( , ) n m n C m C m n Z m n m n + + = + ∈ + + Bài 2: 2 2 ( 2, ) 1 C C n n n Z n n + = + ≥ ∈ + Bài 3: - . . ( , , , , ) - r k k r k C C C C r k n N r n k r n r n n r = ∈ ≤ ≤ Bài 4: 1 2 -1 1 ( ) 2 2 2 2 2 n n C C C n Z n n n + + + = ∈ + Bài 5: -1 -1 n r r C C n n r = Bài 6 * : ( ) 2 3 1 1 2. 3 . 1 2 -1 -1 2 p n C C C C n n n n n n C p n n p n C C C C n n n n + + + + + + + = Bài 7: , 2 n N n∀ ∈ ≥ ta có ( ) 1 1 1 1 . 2 2 2 2 3 n n A A A n − + + + = Bài 8: CMR: -2 ( -1) ( 1) -2 k k k k C n n C n n = − Bài 9: CMR: -1 (0 ) -1 -1 k k k C C C k n n n n = + < < Bài 10: CMR: 2 . ( ) 0 )(1) 2 2 2 - n n n C C C k n n n k n k ≤ ≤ ≤ + Bài 11: CMR: 1 1 1 k k k A A kA n n n − = + − − Bài 12: CMR: 1 2 3 1 2 3 . 1 n n P P P nP P + + + + + = − Bài 13: CMR: 3 3 2 2 32 4 1 52 + + + + + = + + + + + + k m C k m C k n C k n C k n C k n C Bài 14: CMR: ),2( 2 21 2 nk k n C k n C k n C k n C ≤≤ + = − + − + Bài 15: CMR: . . . ( , ; , , ) r k k n k a C C C C r n k r n r k Z n r n r k − = ≤ ≤ ∈ − + + .+ 1 . ( ) 1 1 2 1 . ( ) 1 2 1 n r r r b C C r n n r r r r r c C C C C r n n n n r = = − < − − − − < − − − Bài 16: CMR: 0 1 1 2 2 5 5 1) . . . . . 5 5 5 5 5 1 2 1 2) 1 2 1 1 2 3 4 3) 4. 6. 4. 4 3 1 2 4) 3. 3 3 k k k k k C C C C C C C C C n n n n n r r r r C C C C n n n r k k k k k k C C C C C C n n n n n n k k k k k C C C C C n n n n n − − − + + + + = + − − − = + + + − − − − − − − + + + + = + − − − + + + = + 1 1 1 5) 2 2 m m m n n n m C C C C n + + − + + = + Trang 6 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp 3 1 2 6) 3 3 3 1 2 3 2 3 7)2 5. 4. 2 3 k k k k k C C C C C n n n n n k k k k k k C C C C C C n n n n n n − − − + + + = + + + + + + + + + = + + + Bài 17: CMR: 1000 (0 k 2000) 2001 2001 2001 2001 1 1001 k k C C C C + ≤ + ≤ ≤ + ( ĐHQGHN – A –99- 00 ) Bài 18: CMR: 210 100 2 50 100 210 100 2 << C 3- Dạng 3: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp . * Định nghĩa: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp là phương trình, bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu: ! n , n P , k n A , k n C . * Cách giải : • Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Nhớ rằng: - ! n có nghĩa ⇔ ∈n N - n P có nghĩa ⇔ ∈n N * - k n A có nghĩa ⇔ ∈nk, N; 1 k n≤ ≤ - k n C có nghĩa ⇔ ∈nk, N; nk ≤≤0 • Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp sang phương trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp: - 1.2.3 .n ! = n với mọi 1, ≥∈ nNn (nhớ: 0! = 1) - !nP n = với mọi ∈n N * - )!( ! )1) (2)(1( kn n knnnnA k n − =+−−−= với mọi    ≤≤ ∈ nk Nnk 0 , - ! !( - )! k n n C k n k = với mọi ∈nk, N; nk ≤≤0 - 1 1 1 k k k n n n c c c − − − + = ( ∈nk, N; nk ≤≤0 ) - k n k n n c c − = ( ∈nk, N; nk ≤≤0 ) • Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường để tìm ẩn. • Bước 4: Đối chiếu với tập xác định, kết luận. * Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1 1 1 . 72 y x x y x A P P + + − − = Lời giải + Điều kiện của x; y: , ; x 2; y x-1x y N ∈ ≥ ≤ (*) Trang 7 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp + Biến đổi phương trình về dạng: 2 ( 1)! ( )! ( )! 72 ( 1) 72 ( 1)! 8 72 0 9 x x y x y x x x x x x x + × − − = ⇔ + = − =  ⇔ + − = ⇔  =−  Đối chiếu với điều kiện ( * ) suy ra nghiệm của phương trình là 8x = . 1 7y ≤ ≤ . ( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phương trình sau: Ví dụ 2: 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x − ≤ + Lời giải + Điều kiện của x: 3 x N≤ ∈ + Biến đổi bất phương trình về dạng: 1 (2 )! ! 6 ! 10 2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)! 1 6 ( 2)( 1) (2 1)2 ( 1) 10 2 3! (2 1) ( 1) ( 2)( 1) 10 3 12 0 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x × − ≤ × × + − − − − − ⇔ − − − ≤ × + ⇔ − − − ≤ − − + ⇔ − ≤ ⇔ ≤ + Kết hợp với Điều kiện (*) 3; 4x x ⇒ = = + Vậy nghiệm của bất phương trình là 3; 4x x = = ( HVBCVT- 98- + TNTHPT 02- 03): Ví dụ 3: Giải hệ: 2:5:6:: 11 1 = −+ + y x y x y x CC C + Điều kiện của x, y ; ; 0 1 1 0 1 1 0 1 x y N x y N y x y y x x y y x ∈  ∈   ≤ ≤ +   ⇔ ≥   ≤ + ≤   ≥ +   ≤ − ≤  + Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 5 : : 6 :5: 2 6 5 2 5 2 y y x x y y y y y y x x x x x x y y x x C C C C C C C C C C + + + − + − + + + −  =   = ⇔ = = ⇔   =   1 ( 1)! 1 ( )! 6 !( 1 )! 5 ( 1)!( 1)! 1 ( )! 1 ( )! 5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)! x x y x y y x y x x y x y y x y +  × = ×  + − + − −  ⇔   × = ×  + − − − − +  5( 1)( 1) 6( )( 1) 2( )( 1) 5 ( 1) x y x y x y x y x y y y + + = − − +  ⇔  − − + = +  5( 1)( 1) 3.5 ( 1) 2( )( 1) 5 ( 1) x y y y x y x y y y + + = +  ⇔  − − + = +  1 3 2( )( 1) 5 ( 1) x y x y x y y y + =  ⇔  − − + = +  3 1 2(3 1 )(3 1 1) 5 ( 1) x y y y y y y y = −  ⇔  − − − − + = +  2 3 1 3 9 x y y y = −  ⇔  =  3 1 8 3 3 x y x y y = − =   ⇔ ⇔   = =   Vậy nghiệm của hệ là x = 8; y = 3 Trang 8 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp * Bài Tập Tương Tự: <1> Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1. 79 21 =++ −− x x x x o x CCC 6. xCA x xx 14 23 =+ − (TNTHPT - 98 - 99) 2. 3 3 8 6 5 x x x C A + + + = 7. xxCCC xxx 14966 2321 −=++ (ĐHNN - 99- 00) 3. 2 7 321 x CCC xxx =++ 8. xAA xx 215 23 ≤+ (ĐHQGHN - 98- 99) 4. 10 6 2 1 322 2 +≤− xxx C x AA 9. 3 1 4 1 3 1 14 n n n C A P − − + < ( ĐHHH – 1999 ) 5. 1 4 2 1 1 6 711 ++ =− xxx CCC 10. 4 1 3 1 14 n n n n A P C + − − < 15. 2 5 3 60 ( )! k n n P A n k + + + ≤ − (TNTHPT – 03 – 04 ) 16. 1 2 2 2 5 2 n n n n n C C A − − + + > (TNTHPT – 04 – 05 ) <2> Tìm các số âm trong dãy số 1 2 3 ; ; , ., n x x x x với 4 4 2 143 4 n n n n A x P P + + = − , n = 1,2,3,…,n. <3 > Giải các hệ phương trình sau: a.      = = − −− 1 12 35 y x y x y x y x CC CC b. 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C  + =   − =   c. 1 1 1 1 1 ( ): : 10: 2:1 y y y y x x x x A yA A C − − − − − + = < 4 > Cho khai triển nhị thức: 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 (2 2 ) (2 ) (2 ) (2 ) . (2 )(2 ) (2 ) x x x x x x x x n n n n n n n n n n n C C C C − − − − − − − − − − − + = + + + + ( n là số nguyên dương ). Biết trong khai triển đó 3 1 5 n n C C= và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. ( ĐHCĐ -A- 2002 ) < 5 > Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 . (2 1)2 2005 n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = ( ĐHCĐ -A- 2005 ) < 5 > Tính giá trị của biểu thức: 4 3 1 3 ( 1)! n n A A M n + + = + biết rằng 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = ( ĐHCĐ -D- 2005 ) IV- Dạng 4 : Bài Toán Đếm Số Phương Án 1. Ghi nhớ : 1. Đối với loại toán đếm số phương án, ta cần chú ý - Đọc kỹ đầu bài, phân tích câu văn cặn kẽ, nắm chắc bản chất của hành động, đối tượng để thấy được các khả năng có thể. - Sử dụng phép mô hình hoá cùng các quy tắc đếm cơ bản. Trang 9 Lưu Phi Hoàng Tài liệu bồi dưỡng kiến thức lớp 11 phần đại số tổ hợp - Trong một số bài toán, có thể ta phải sử dụng đến phần bù. Nguyên lý bù trừ: Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lặp, vì những cách làm cả 2 việc sẽ được tính 2 lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc. Đó là nguyên lý bù trừ. 2. Sử dụng qui tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số phương án: Thực hiện các bước: • Bước 1: Phân tách công việc H thành k công việc nhỏ liên tiếp: 1 2 , , ., k H H H • Bước 2: Nếu ta có: - 1 n cách khác nhau để thực hiện 1 H . - ứng với mỗi cách thực hiện xong 1 H ,ta có 2 n cách thực hiện 2 H … - ứng với mỗi cách thực hiện xong 1 2 1 , , ., k H H H − , ta có k n cách thực hiện k H • Bước 3: Khi đó ta có tât cả 1 2 . k n n n cách để thực hiện hành động H 3. Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán đếm số phương án: Ta thực hiện theo các bước: • Bước 1: Phân tách các phương án thành k nhóm độc lập với nhau: 1 2 , , ., k H H H • Bước 2: Nếu ta có: - 1 n cách khác nhau để thực hiện 1 H . - 2 n cách khác nhau thực hiện 2 H … - k n cách khác nhau thực hiện k H • Bước 3: Khi đó ta có tât cả n 1 + n 2 + . + n k cách để thực hiện hành động H 4. Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm: Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: • Tất cả n phần tử đều có mặt. • Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần. • Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử. • Gọi P n là số hoán vị của n phần tử, ta có P n = n! 5. Sử dụng chỉnh hợp để giải bài toán đếm: Để nhận dạng bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau: a) Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước b) Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn c) Gọi A n k là số phần tử chập k của n phần tử, ta có ( 1) .( 1) k n A n n n k = − − + . 6. Sử dụng tổ hợp để giải bài toán đếm: Để nhận dạng 1 bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: • Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước Trang 10 . tam giác ABC, xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với AC. Hỏi các đường thẳng này tạo. - 99 - 00): Một đoàn tầu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tầu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: