MỤC LỤC Chương Tập hợp lý thuyết số thực 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm ký hiệu 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.3 Lớp tập hợp dãy tập hợp 1.2 Tập hợp số thực 1.2.1 Khái niệm tập hợp số thực 1.2.2 Các tính chất tập hợp số thực 1.2.3 Giới hạn giới hạn 11 1.3 Lực lượng tập hợp 13 Chương Lý thuyết độ đo 19 2.1 Đại số σ-đại số 19 2.1.1 Đại số 19 2.1.2 σ-đại số 21 2.1.3 σ-đại số Borel 22 2.2 Không gian độ đo 23 2.2.1 Các khái niệm 23 2.2.2 Các tính chất 26 2.3 Thác triển độ đo 29 2.3.1 Định lý thác triển độ đo 29 2.4 Độ đo Rk 32 2.4.1 Độ đo Lebesgue R 32 2.4.2 Độ đo Lebesgue không gian Rk 35 2.4.3 Độ đo Lebesgue-Stieltjes R 35 Chương Tích phân Lebesgue 45 3.1 Tích phân Lebesgue hàm đơn giản khơng âm 45 3.1.1 Khái niệm 45 i CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ii G MỤC LỤC 3.1.2 Tính chất 47 3.2 Hàm số đo 49 3.2.1 Định nghĩa phép toán 49 3.2.2 Cấu trúc hàm số đo 53 3.2.3 Hàm số tương đương 54 3.3 Tích phân Lebesgue hàm đo không âm 55 3.3.1 Định nghĩa số tính chất 55 3.3.2 Tính chất cộng tính tích phân Lebesgue 58 3.4 Tích phân Lebesgue hàm đo 60 3.4.1 Khái niệm 60 3.4.2 Các tính chất tích phân 61 3.4.3 Các định lý giới hạn tích phân 64 3.5 Tích phân Lebesgue R 66 3.6 Hội tụ theo độ đo 69 Chương Tích phân Stieltjes 79 4.1 Các khái niệm tính chất 79 4.1.1 Khái niệm tích phân Stieltjes 79 4.1.2 Hàm số có biến phân bị chặn hàm số liên tục tuyệt đối 81 4.1.3 Các tính chất hàm khả tích Stieltjes 86 4.2 Liên hệ tích phân Lebesgue tích phân Stieltjes 88 4.3 Độ đo tích định lý Fubini 92 Chương Không gian Metric 99 5.1 Khái niệm Metric 100 5.1.1 Khái niệm 100 5.1.2 Các ví dụ khơng gian metric 101 5.1.3 Sự hội tụ không gian metric 103 5.2 Tập Đóng Tập Mở 105 5.2.1 Tập mở 105 5.2.2 Tập đóng 107 5.2.3 Tập trù mật Không gian tách 110 5.3 Không gian Đầy đủ Không gian Compact 110 5.3.1 Không gian đủ 110 5.3.2 Không gian metric compact 112 5.4 Hàm số Liên tục 114 5.4.1 Định nghĩa tính chất hàm số liên tục 114 5.4.2 Hàm liên tục tập compact 116 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC G iii Chương Khơng gian hàm khả tích 123 6.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 123 6.1.1 Không gian vectơ 123 6.1.2 Khái niệm khơng gian tuyến tính định chuẩn 124 6.1.3 Sự hội tụ không gian vectơ định chuẩn 126 6.2 Không gian hàm có luỹ thừa bậc p khả tích 128 6.2.1 Các bất đẳng thức cho tích phân 128 6.2.2 Không gian L p 129 6.3 Tốn tử tuyến tính 131 6.3.1 Khái niệm ví dụ 131 6.3.2 Tốn tử tuyến tính liên tục 132 6.3.3 Khơng gian tốn tử L( X, Y ) 134 6.3.4 Phiếm hàm tuyến tính 135 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC § TẬP HỢP 1/ 1.1 Khái niệm ký hiệu Tập hợp khái niệm tốn học Một cách trực quan, ta hiểu tập hợp nhóm đối tượng Thông thường tập hợp gọi tắt "tập” Ta thường sử dụng chữ in ký hiệu cho tập hợp: A, B, X, Y, Nếu đối tượng x phần tử tập X, ta thường ký hiệu x ∈ X đọc x thuộc X Tập khơng có phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu ∅ Một tập hợp A gọi bị chứa X tập X, ta ký hiệu A ⊆ X X ⊇ A tất phần tử A phần tử X Ký hiệu A = B có nghĩa A ⊆ B B ⊆ A Khi đó, ta nói A B hai tập Phương pháp để xác định tập hợp điều kiện mà phần tử thuộc tập thỏa mãn Ký hiệu { x : P} có nghĩa tập hợp tất x thỏa mãn tính chất P Ví dụ, { x : ( x − 4)2 = 4} = {2, 6} = {6, 2} Tuy nhiên, việc định nghĩa tập hợp qua điều kiện dẫn tới mâu thuẫn Ví dụ, lấy R = { X : X ̸∈ X } Khi R ∈ / R suy R ∈ R ngược lại (nghịch lý Bertrand Russell) Chúng ta quy ước chung dấu gạch chéo ký hiệu có nghĩa "khơng", chẳng hạn a ̸= b, có nghĩa "a khơng b", ký tự "̸∈" có nghĩa "khơng phải phần tử của" Như x ∈ / A có nghĩa x phần tử A, ̸∈ {1, 2} Cho hai tập hợp X Y, tích Des Cartes chúng, ký hiệu X × Y tập hợp CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt G TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC tất cặp có thứ tự ( x, y) với x thuộc X y thuộc Y Ta hiểu khái niệm cặp có thứ tự theo nghĩa: ( x, y) = ( x ′ , y′ ) x = x ′ , y = y′ X × Y = {( x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } Ví dụ 1.1 Với X = { x, y, z}, Y = ( a, b), ta có X × Y = {( x, a), ( x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)}; Y × X = {( a, x ), (b, x ), ( a, y), (b, y), ( a, z), (b, z)} Tích Des Cartes n tập hợp định nghĩa ký hiệu tương tự Một ví dụ tích Des Cartes R × R, ký hiệu R2 , gọi mặt phẳng 1/ 1.2 Các phép toán tập hợp Sau phép tốn thơng dụng tập hợp • Phép hợp Ta gọi hợp A B tập A ∪ B = { x : x ∈ A x ∈ B}, tương tự: ∪ Ai = { x : ∃i ∈ I, x ∈ Ai } i∈ I • Phép giao Giao tích A B tập A ∩ B = { x : x ∈ A x ∈ B}, tương tự: ∩ Ai = { x : ∀i ∈ I, x ∈ Ai } i∈ I • Phép trừ Hiệu A B tập A \ B = { x : x ∈ A x ∈ / B } • Phép lấy phần bù Phần bù tập A tập Ac = X \ A = { x : x ∈ / A } • Hiệu đối xứng Hiệu đối xứng A B tập A△ B = A \ B + B \ A Các phép tốn tập hợp có số tính sau: • Tính giao hốn: A ∪ B = B ∪ A; AB = BA; A△ B = B△ A • Tính kết hợp: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ); ( AB)C = A( BC ); A△( B△C ) = ( A△ B)△C • Tính phân phối: A( B ∪ C ) = AB ∪ AC; A ∪ ( BC ) = ( A ∪ B)( A ∪ C ); A( B△C ) = ( AB)△( AC ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.1 Tập hợp G • Cơng thức De Morgan: (∪ Ai )c = i∈ I ∩ i∈ I Aic ; (∩ Ai )c i∈ I = ∪ i∈ I Aic * Chú ý: ( A \ B) ∪ B = A B ⊂ A; ( A ∪ B) \ B = A A ∩ B = ∅ Ví dụ 1.2 Ta có ∞ ∪ (0, − 1/n) = (0, − 1/n] = (0, 1) n =1 n =1 ∞ ∩ ∞ ∩ [1 − 1/n, 2) = n =1 1/ ∞ ∪ (1 − 1/n, 2) = [1, 2) n =1 1.3 Lớp tập hợp dãy tập hợp Tập hợp mà phần tử tập X gọi lớp (các tập X) Ta dùng chữ hoa A , B, C , để ký hiệu lớp Lớp gồm tất tập X ký hiệu 2X : X = { A | A ⊂ X } Chú ý 2X chứa tập ∅ X Hiển nhiên tập X hữu hạn gồm n phần tử 2X có 2n phần tử Ví dụ 1.3 Cho tập hợp X = {1, 2, 3} { } • A = {1}, {2}, {3} lớp tập gồm phần tử X { } • 2X = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Lớp C gồm tập rời gọi phân hoạch tập X ∪ C ∈C C = X Ví dụ 1.4 Lớp gồm tập A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {5} phân hoạch tập X = {1, 2, 3, 4, 5} Lớp gồm số đếm tập { An , n = 1, 2, } gọi dãy (các tập) Ta nói dãy tập { An } đơn điệu tăng (giảm) viết An ↑ ( An ↓), A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ ( A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ ) { } Ví dụ 1.5 Với X = N = {1, 2, }, B = {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, dãy đơn điệu tăng tập X CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt G TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC Giả sử { An } dãy tập X Ta gọi giới hạn giới hạn dãy tập tương ứng sau đây: lim An = lim sup An = ∞ ∪ ∞ ∩ Ak , n =1 k = n lim An = lim inf An = ∞ ∩ ∞ ∪ Ak n =1 k = n Nếu giới hạn giới hạn dãy { An } ta nói dãy { An } có giới hạn viết: lim An = lim sup An = lim inf An Có thể thấy lim An = ∞ ∪ An An ↑; lim An = n =1 Nếu An ↓ ∩∞ n =1 ∞ ∩ An An ↓ n =1 An = A ta viết An ↓ A Nếu An ↑ ∪∞ n =1 An = A ta viết An ↑ A Ví dụ 1.6 Với A, B tập cho trước, xét dãy An = A n lẻ An = B n chẵn Ta có lim An = A ∪ B; lim An = A ∩ B § TẬP HỢP SỐ THỰC 1/ 2.1 Khái niệm tập hợp số thực 1.1 Định nghĩa Tập hợp số thực R tập hợp phần tử x, y, z, có hai phép tốn cộng, nhân quan hệ thứ tự thoả mãn tiên đề đây, gọi hệ tiên đề số thực (I) CÁC TIÊN ĐỀ ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG Phép tốn + : R × R → R, (phép cộng) định nghĩa cách gán cặp có thứ tự ( x, y) gồm hai phần tử x, y thuộc R với phần tử x + y ∈ R đó, gọi tổng x y Phép toán phải thoả mãn điều kiện sau: 1+ Tồn phần tử trung hịa đồng (đọc khơng) cho x + = + x = x, ∀ x ∈ R CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2 Tập hợp số thực G 2+ Với phần tử x ∈ R tồn phần tử − x ∈ R gọi đối x cho x + (− x ) = (− x ) + x = 3+ Phép cộng có tính kết hợp, tức biểu thức x + (y + z) = ( x + y) + z, ∀ x, y, z ∈ R 4+ Phép cộng giao hoán, nghĩa x + y = y + x, ∀ x, y ∈ R (II) CÁC TIÊN ĐỀ ĐỐI VỚI PHÉP NHÂN Mt phộp toỏn ã : R ì R R, (phép nhân) định nghĩa cách gán cặp có thứ tự ( x, y) gồm hai phần tử x, y thuộc R với phần tử x · y ∈ R đó, gọi tích x y Phép toán phải thoả mãn điều kiện sau: 1• Tồn phần tử trung hòa đồng ∈ R \ {0} (gọi phần tử một) cho x · = · x = x, ∀ x ∈ R 2• Với phần tử x ∈ R \ {0} tồn phần tử x −1 ∈ R gọi phần tử nghịch đảo x cho x · x −1 = x −1 · x = 3• Phép nhân • có tính kết hợp, nghĩa x · (y · z) = ( x · y) · z, ∀ x, y, z ∈ R 4• Phép nhân • có tính giao hốn, nghĩa x · y = y · x, ∀ x, y ∈ R (I, II) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN Phép nhân có tính phân phối phép cộng, nghĩa ( x + y) · z = x · z + y · z với x, y, z ∈ R Lưu ý tính giao hốn phép nhân, đẳng thức thứ tự nhân tử hoán đổi vế (III) CÁC TIÊN ĐỀ THỨ TỰ Giữa phần tử R tồn quan hệ ≤, nghĩa với phần tử x, y ∈ R xác định xem liệu x ≤ y không Ở điều kiện sau phải đúng: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt G TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC 1≤ ∀ x ∈ R ( x ≤ x ) 2≤ ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ x ) ⇒ ( x = y ) 3≤ ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ z ) ⇒ ( x ≤ z ) 4≤ ∀ x ∈ R, ∀y ∈ R ( x ≤ y) ∨ (y ≤ x ) Quan hệ ≤ R gọi không (bất đẳng thức) Một tập tồn quan hệ cặp phần tử thoả mãn tiên đề 1≤ , 2≤ , 3≤ , ta biết, gọi phần Nếu có thêm tiên đề 4≤ , nghĩa so sánh hai phần tử bất kỳ, tập hợp tuyến tính Do tập số thực tuyến tính quan hệ khơng phần tử (I, III) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CỘNG VÀ THỨ TỰ TRÊN R Nếu x, y, z phần tử thuộc R, ( x ≤ y ) ⇒ ( x + z ≤ y + z ) (II, III) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ THỨ TỰ TRÊN R Nếu x y phần tử thuộc R, (0 ≤ x ) ∧ (0 ≤ y ) ⇒ (0 ≤ x · y ) (IV) TIÊN ĐỀ VỀ CẬN TRÊN Mọi tập A ⊂ R, A ̸= ∅ bị chặn có cận Trên đây, ta đề cập đến khái niệm tập bị chặn Khái niệm tập bị chặn định nghĩa sau (các quan hệ hiểu theo nghĩa thông thường) 1.2 Định nghĩa Ta nói tập A ⊂ R bị chặn tồn z ∈ R cho x ≤ z với x ∈ A; phần tử z gọi cận tập A Ta nói tập A ⊂ R bị chặn tồn z ∈ R cho x ≥ z với x ∈ A; phần tử z gọi cận tập A 1.3 Định nghĩa Ta nói M phần tử lớn tập A M ∈ A x ≤ M với x ∈ A Khi ta viết M = max A Tương tự ta nói m phần tử bé tập A m ∈ A x ≥ m với x ∈ A Khi ta viết m = A 1.4 Định nghĩa Giả sử A bị chặn trên, z gọi cận A, nếu: +) z cận A, tức x ≤ z, ∀ x ∈ A +) z cận bé A, tức y < z y cận A Cận A ký hiệu sup A CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1 Đại số ? ?-? ?ại số G 21 2/ 1.2 ? ?-? ?ại số 2.4 Định nghĩa Một lớp F tập X gọi ? ?-? ?ại số (σ-trường) nếu: 1) X ∈ F , 2) Với A ∈ F Ac = X A ∈ F 3) Nếu... F Vậy F ? ?-? ?ại số i∞=1 Ai = i =1 A i Như theo mệnh đề trên, ? ?-? ?ại số ln kín việc thực số đếm phép tốn tập hợp Ví dụ 2.3 • Cho X tập hợp 2X ? ?-? ?ại số • Nếu X tập hữu hạn A đại số X A ? ?-? ?ại số Như... gọi không gian đo phần tử thuộc F gọi tập đo Dĩ nhiên, ? ?-? ?ại số đại số Ngược lại, đại số kín phép hợp đếm ? ?-? ?ại số 2.5 Mệnh đề Một lớp F ? ?-? ?ại số F chứa tập rỗng thoả mãn điều kiện i) Với A ∈ F