Chuyên đề: Một số ý tưởng toán tồn số học Thực hiện: Lê Đình Văn Số học từ lâu đề khai thác giữ vị trí quan trọng kì thi HSG Tốn Quốc gia Quốc tế Đặc biệt năm trở lại đây, yếu tố tồn khai thác nhiều với hướng tiếp cận khác CRT, Định giá pAdic… Chuyên đề em muốn giúp bạn đọc có nhìn rõ yếu tố tồn số học, đặc biệt ứng dụng yếu tố giải tích số học I Kiến thức trọng tâm: Định lí thặng dư trung hoa: Cho k số nguyên dương đôi nguyên tố ( m1 , m2 , , mk ) (a1 , a , ,a k ) tùy ý nguyên Khi hệ đồng dư tuyến tính: �x �a1 (mod m1 ) �x �a (mod m ) � 2 � � � �x �ak (mod mk ) có nghiệm theo mod m1m2 mk Phi hàm Euler: Cho n số nguyên dương a số nguyên tố với (n) n a �1 (mod n) Hệ quả: Cho k số nguyên khác 0: (a1 , a , , a k ) m số nguyên dương N n ( n ) �aiN (mod n) i 1; 2; ; k lớn Khi tồn N đủ lớn mà: Chứng minh: t Xét m �p j j k j 1 Chọn N max ki , i 1; 2; ; t Nếu , p j | N n ( m ) mà kj pj | m , đó: đó: kj j �1(mod p ) p |a, Nếu j i , hiển nhiên có Do ta có Hệ Yếu tố giải tích: a Nếu dãy số nguyên n có giới hạn hữu hạn a, tồn n đủ lớn mà với n �N an a Định giá pAdic trường Q: Xét p nguyên tố r số hữu tỉ: i ii iii Nếu r=0 v p (r) � v p (r ) k � r p k Nếu r �0 Xét x,y số hữu tỉ; đó: a (k �Z , a, b �Z , p | ab ) b v p ( xy ) v p ( x ) v p (y) v p ( x / y ) v p ( x ) v p (y) v p (x y) �min{ v p ( x), v p (y)} II Bài tập vận dụng Dạng 1: Sử dụng yếu tố quy nạp toán học vấn đề hệ thặng dư: a a Bài 1: Chứng minh tập ước nguyên tố dãy n vô hạn , với n xác định n bởi: an [ log(2019 1)] Giải: Phản chứng, Khi ý an 1 an , ta chọn số nguyên tố khơng thuộc tập ước ngun tố p1 , , p6 , theo định lí CRT tồn số N mà: pi | N k k 1; 2;3; 4;5;6 Gọi x số lớn cho ax �N , ax 1 N , mà ax , ax1 � N 1, N 2, , N 6 0 (mâu thuẫn) Ta có đpcm Bài 2: Chứng minh với số nguyên dương n, tồn vô hạn m nguyên cho: 2m mMn Giải: Ta chứng minh quy nạp mệnh đề sau: Với số nguyên dương d, với số nguyên dương N tồn số nguyên dương b0 , b1 , , bd 1 b mà bi N i thỏa mãn bi �i (mod d) i 0, d Thật vậy, + d=1;2 hiển nhiên + Giải sử toán với d0, tồn số tự nhiên mà có l chữ số tận lập từ {1;2} mà số d chia hết cho , với d cho trước d Với k>2, tồn dl) Bài 8.1(Iran 2004): Cho số nguyên dương a1 ; a2 ; ; an không đồng thời Xét n dãy {uk }: uk �ai k Chứng minh dãy có vơ hạn ước nguyên tố Bài 9: (IMO Shortlist 2015) Tìm tất M nguyên dương cho dãy số � a0 M � � � ak 1 ak ak k �0 � chứa số nguyên Giải: M = 1, không thỏa mãn Ta chứng minh quy nạp theo v2 ( M ) tất M>1 thỏa mãn, a1 M ( M ) số nguyên Nếu v2 ( M 1) , M số chẵn, � � 2M M 1 a1 M � M � N 2 2, � 2� Nếu v2 ( M 1) k , �(2 M 3)( M 1) � v2 ( N 1) v2 � � k � � Ta có , Như ta thay đổi dãy số đưa xét v2 ( N 1) thực tượng tự vậy, theo quy nạp ta có điều phải chứng minh Bài 10(IMO 2018): Cho a1 ; a2 ; dãy vô hạn số nguyên dương Giả sử tồn N �Z mà a a a1 a2 n 1 n �Z n �N a2 a3 an a1 Chứng minh tồn M đủ lớn mà am1 am m �N p 1 Bài 11: Cho p số nguyên tố thỏa mãn số nguyên tố.Lấy a,b,c không chia hết cho p n n n Chứng minh có tối đa p số nguyên dương n cho n3 Khi p p p số nguyên tố lẻ tồn ước nguyên tố lẻ khác p a b , đồng thời ước ngun tố khơng ước a+b (Chứng minh: Sử dụng bổ đề LTE định giá pAdic) Quay lại toán, k 2.3 Xét p số nguyên tố lớn m+2, n m p , ta có: m n n m m n (m �p 2.3k 1 � m� k � 3k � � � � k p m ) k k 2.3 Mà p>3 nên | p , v3 ( p Khi đặt a m p 2.3 1) k � 3k �Z , �p2.3k 1 � m� k � � � � � ; b p m , áp dụng bổ đề ta có đpcm Bài 14: Giả sử N>1 số nguyên dương d0, tồn x �Z cho N d có ước nguyên tố p k Dạng 4: Sử dụng yếu tố giải tích Bài 15: Cho dãy (an ) dãy số nguyên dương tăng ngặt thỏa mãn: a1 a2 an 1 Mann �2019, n �Z * Chứng minh tồn N �N mà n �N , a1 a2 an 1 an Giải: Với n �2019, đặt Ta có kn 1 kn a1 a2 an 1 an , kn �N an (kn 1) kn an 1 kn 1 kn, n �2019 Mà kn bị chặn dưới, tồn , � N : kn L n �N Ta chứng minh L=1, k �L � L 1 an k � an an n �N �.an �L � L Ta có , Nếu L>1, xét p ước nguyên tố L, chọn k đủ lớn mà an k �Z9(>< với m đủ lớn) Mở rộng: Dãy (un ) xác định bởi: phương un � n 2� � � Chứng minh dãy (un ) có vơ hạn số n n Bài 19: Cho a,b số tự nhiên lớn thỏa mãn: b 1Ma với n Chứng minh b lũy thừa a Bài 20: Chứng minh với n nguyên dương, tồn x1 x2 xn mà ( x1 ) (x ) ( xn ) (Gọi ý: Chứng minh quy nạp sử dụng định đề Bertrand) Bài 21: Chứng minh tồn vô hạn n để (n) 2n số ước nguyên tố n lớn 2019 pi k (gợi ý: Xét III n �pii i 1 , từ GT �p i , sau sử dụng LIM) Tổng kết: Bài viết cịn số sai sót, song qua mong muốn tạo nguồn tham khảo để người đọc có nhìn hứng thú phần số học Tài liệu tham khảo: https://artofproblemsolving.com/ Diễn đàn tốn học Tạp chí Pi Số học dãy số - Phan Huy Khải Số học – Hà Huy Khoái Một số tài liệu Internet khác ... Xét tập A tập số nguyên dương n thỏa mãn: Trong biểu diễn hệ số 10 không số tổng Các chữ số n ước n Chứng minh tồn vô hạn phần tử A mà chữ số xuất biểu diễn số 10 xuất số lần Chứng minh với k nguyên... c (Gọi ý: Sử dụng nghịch đảo modulo vấn đề cấp số nguyên) Dạng 3: Ứng dụng hàm Phi-Euler toán chứng minh tồn k Bài 12: Cho n �Z , Chứng minh tồn số nguyên dương k cho 2019 có n ước nguyên... un � n 2� � � Chứng minh dãy (un ) có vơ hạn số n n Bài 19: Cho a,b số tự nhiên lớn thỏa mãn: b 1Ma với n Chứng minh b lũy thừa a Bài 20: Chứng minh với n nguyên dương, tồn x1 x2