BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN HỒNG MINH QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Chun ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn NGUYỄN HỒNG MINH MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.1 QUAN HỆ SONG SONG 1.2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1.3 LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 10 2.1 CHỨNG MINH TÍNH SONG SONG CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 10 2.1.1 Chứng minh hai đƣờng thẳng song song 10 2.1.2 Chứng minh hai mặt phẳng song song 13 2.1.3 Chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng 15 2.2 GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU 18 2.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN 20 2.3.1 Thiết diện đa diện với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng song song với cạnh đa diện 20 2.3.2 Thiết diện đa diện với mặt phẳng qua điểm cho trƣớc song song với hai cạnh đa diện 23 2.3.3 Thiết diện đa diện với mặt phẳng qua điểm cho trƣớc song song với mặt đa diện 26 2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƢƠNG TỰ 29 CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 31 3.1 CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN 31 3.1.1 Chứng minh đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng 31 3.1.2 Chứng minh hai đƣờng thẳng vng góc 34 3.1.3 Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 35 3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN 38 3.2.1 Thiết diện qua đỉnh vng góc với cạnh đa diện 38 3.2.2 Thiết diện chứa cạnh vng góc với mặt đa diện 40 3.3 CÁC BÀI TỐN XÁC ĐỊNH GĨC 42 3.3.1 Xác định góc đƣờng thẳng mặt phẳng 42 3.3.2 Xác định góc hai mặt phẳng 45 3.4 CÁC BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH 52 3.4.1 Xác định khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng 52 3.4.2 Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 53 3.4.3 Xác định khoảng cách từ đƣờng thẳng đến mặt phẳng song song với 58 3.4.4 Xác định khoảng cách hai mặt phẳng song song 59 3.4.5 Xác định khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo 61 3.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƢƠNG TỰ 67 3.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP 69 KẾT LUẬN 76 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học mơn học xuất sớm Khi đời, hình học môn khoa học thực nghiệm nảy sinh từ việc đo đạc, tính tốn đại lượng khoảng cách điểm, diện tích ruộng, thể tích thùng chứa, Thời cổ đại, người tích lũy nhiều kiến thức hình học phong phú, chẳng hạn công thức Py-ta-go, định lý Ta-lét, cơng thức tính thể tích hình chóp, Dần dần, hình học trở thành khoa học suy diễn chặt chẽ, tức thay dùng thực nghiệm để kiểm tra đắn kiện hình học, người ta chứng minh lập luận dựa vào tính chất hình học Ngày nay, hình học phận tách rời công cụ quan trọng việc xây dựng nên môn tốn học đại, đồng thời có nhiều ứng dụng nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, hình học khơng gian mơn học khó, quan hệ song song quan hệ vng góc nội dung Các phương pháp giải tốn hình học không gian thường dùng là: phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song, quan hệ vng góc, phương pháp tổng hợp, Nhằm tìm hiểu quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian, tơi chọn đề tài "Quan hệ song song quan hệ vng góc giải tốn hình học khơng gian" cho luận văn thạc sĩ khoa học Mục tiêu nghiên cứu - Tìm hiểu quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian - Nghiên cứu việc vận dụng quan hệ song song quan hệ vng góc vào giải tốn hình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian - Các tốn hình học khơng gian chương trình tốn trung học phổ thơng - Phương pháp giải tốn hình học khơng gian quan hệ song song quan hệ vng góc Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu hình học khơng gian có liên quan đến đề tài, đặc biệt tài liệu quan hệ song song quan hệ vng góc - Nghiên cứu tài liệu thu thập để thực đề tài - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn chia thành 03 chương: Chương Quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian Chương trình bày sơ lược quan hệ song song, quan hệ vng góc hình học khơng gian, nhằm làm sở cho chương sau Chương Quan hệ song song giải tốn hình học khơng gian Chương trình bày việc vận dụng quan hệ song song để giải số lớp tốn hình học khơng gian Chương Quan hệ vng góc giải tốn hình học khơng gian Phần đầu chương trình bày việc vận dụng quan hệ vng góc để giải tốn hình học không gian Phần cuối chương giới thiệu số toán giải hai quan hệ song song quan hệ vng góc CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Chương trình bày sơ lược quan hệ song song, quan hệ vng góc khơng gian, đủ để làm sở cho chương sau Các kiến thức liên quan chứng minh chi tiết xem tài liệu [7], [8], [11] 1.1 QUAN HỆ SONG SONG Định nghĩa 1.1.1 Trong không gian, hai đường thẳng gọi song song với chúng đồng phẳng điểm chung Định lí 1.1.1 [11] Trong khơng gian, cho đường thẳng d điểm A nằm đường thẳng d Lúc tồn đường thẳng a qua A song song với đường thẳng d Hình 1.1 Định lí 1.1.2 [11] Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Định lí 1.1.3 [7](Định lí giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song Hệ 1.1.1 [7] Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến giao tuyến song song với hai đường thẳng trùng với chúng Hình 1.2 Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian, đường thẳng d mặt phẳng (P ) gọi song song với chúng khơng có điểm chung, kí hiệu d (P ) Định lí 1.1.4 [6] Điều kiện cần đủ để đường thẳng song song với mặt phẳng đường thẳng khơng nằm mặt phẳng song song với đường thẳng chứa mặt phẳng Hệ 1.1.2 [6] Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P ) cắt (P ) theo giao tuyến song song với d Định lí 1.1.5 [11] Nếu hai mặt phẳng song song chứa đường thẳng chúng cắt giao tuyến chúng song song trùng với đường thẳng Định lí 1.1.6 [11] Cho điểm A hai đường thẳng a, b chéo Lúc tồn mặt phẳng (P ) qua A cho (P ) song song chứa a song song chứa b Trong trường hợp A thuộc hai đường thẳng a b, Định lí 1.1.6 cho ta hệ quan trọng sau Nó cho phép xác định khái niệm mặt phẳng qua đường thẳng song song với đường thẳng khác Hệ 1.1.3 [11] Cho hai đường thẳng a, b chéo Lúc tồn tai mặt phẳng (P ) qua a song song với b Định lí 1.1.7 [11] Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ) Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a b song song thuộc mặt phẳng (P ) Hình 1.3 Hệ 1.1.4 [11] Cho đường thẳng mặt phẳng song song với Nếu đường thẳng qua điểm thuộc mặt phẳng cho song song với đường thẳng cho đường thẳng phải thuộc mặt phẳng Hình 1.4 Định nghĩa 1.1.3 Trong khơng gian, hai mặt phẳng (P ) (Q) gọi song song với chúng khơng có điểm chung Định lí sau cho phép đưa việc chứng minh hai mặt phẳng song song chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Định lí 1.1.8 [4] Cho hai mặt phẳng (P ), (Q) Lúc (P ) (Q) song song với mặt phẳng (Q) tồn hai đường thẳng a, b cắt cho a b song song với (P ) Định lí 1.1.9 [4] Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng Định lí cho ta hệ sau: Hệ 1.1.5 [4] Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) Lúc tồn mặt phẳng qua d song song với (P ) Hệ 1.1.6 [4] Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Định lí 1.1.10 [4] Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với 1.2 QUAN HỆ VUÔNG GĨC Định nghĩa 1.2.1 Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song song với a b Định nghĩa 1.2.2 Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90◦ Định nghĩa 1.2.3 Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Khi đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P ) ta cịn nói mặt phẳng (P ) vng góc với a a (P ) vng góc với kí hiệu a ⊥ (P ) (P ) ⊥ a Định lí 1.2.1 [7] Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hệ 1.2.1 [7] Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước Hệ 1.2.2 [7] Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước 64 Bước 4: Từ H dựng Hx Từ I dựng Iy AB cắt SC I AH cắt AB J Khi IJ đoạn vng góc chung SC AB Bài tốn 3.25 [11] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều, SA vng góc với đáy Gọi I trung điểm cạnh BC Xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng SI AB Lời giải Bước 1: Gọi M trung điểm AC Suy IM đường trung bình ABC nên IM AB Hình 3.31 Trong mặt phẳng (ABC) dựng AQ ⊥ IM Q Khi ta có  AQ ⊥ AB SA ⊥ AB ⇒ (SAQ) ⊥ AB Do (SAQ) mặt phẳng vng góc với AB A Bước 2: Dựng hình chiếu SI lên (SAQ) Ta có IM AB mà AB ⊥ (SAQ) nên IM ⊥ (SAQ) Suy SQ hình chiếu SI lên (SAQ) Bước 3: Dựng AH ⊥ SQ H Khi H hình chiếu A SQ Bước 4: Từ H dựng đường thẳng song song với AB cắt SI K Từ K dựng đường thẳng song song với AH cắt AB G Vậy KG đoạn vng góc chung hai đường thẳng SI AB 65 Bài toán 3.26 [5] Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác vng cân B, SA = 2a, AB = a Gọi M trung điểm đoạn thẳng AC a) Dựng đoạn vuông góc chung SM BC b) Tính độ dài đoạn vng góc chung Lời giải Cách Bước 1: Gọi N trung điểm AB Khi M N đường trung bình ABC Suy M N BC Do (SM N ) mặt phẳng chứa M N song song với BC Hình 3.32 Bước 2: Ta có  M N ⊥ AB M N ⊥ SA ⇒ M N ⊥ (SAB) ⇒ (SM N ) ⊥ (SAB) Ta có (SM N ) ∩ (SAB) = SN giao tuyến Dựng BH ⊥ SN H Suy BH ⊥ (SM N ) Bước 3: Từ H dựng Hx Từ K dựng Ky BC cắt SM K HB cắt BC F Vậy KF đoạn vng góc chung SM BC Cách Bước 1: Ta có  BC ⊥ AB BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) 66 Do (SAB) mặt phẳng qua B thuộc BC vng góc BC Bước 2: Gọi N trung điểm AB Khi M N đường trung bình ABC, nên M N BC Suy M N ⊥ (SAB) Do SN hình chiếu vng góc SM (SAB) Bước 3: Dựng BH ⊥ SN H Vì SN ⊂ (SM N ) nên BH ⊥ (SM N ) Khi H hình chiếu B lên SN Bước 4: Từ H dựng Hx Từ K dựng Ky BC cắt SM K HB cắt BC F Vậy KF đoạn vng góc chung SM BC b) Vì SAN BHN hai tam giác vng đồng dạng nên ta có BN SA.BN BH = ⇒ BH = SA SN SN √ AB a với BN = = ; SN = SA2 + AN = √2 2a 17 Suy BH = 17 √ 2a 17 Vậy d(SM, BC) = KF = BH = 17 √ 17 a a (2a)2 + ( )2 = 2 Cách (áp dụng cho trường hợp a ⊥ b) Hình 3.33 • Bước 1: Dựng mặt phẳng (P ) chứa b, vng góc với a A • Bước 2: Dựng AB ⊥ b B Khi AB đoạn vng góc chung a b Bài tốn 3.27 [15] Cho hình lập phương ABCD.A B C D Hãy dựng đoạn vng góc chung AC CD 67 Lời giải Bước 1: Ta có    CD ⊥ C D   CD ⊥ AD    AD ∩ C D = D ⇒ CD ⊥ (AC D) ⇒ CD ⊥ AC Khi (AC D) mặt phẳng chứa AC vng góc với CD Hình 3.34 Bước 2: Gọi I = CD ∩ (AC D) Dựng IH ⊥ AC cắt AC H Vậy IH đoạn vng góc chung phải tìm 3.5 MỘT SỐ BÀI TỐN TƯƠNG TỰ Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với đáy Gọi AE, AF đường SAB SAD a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Chứng minh SC ⊥ (AEF ) Cho tứ diện ABCD, có ABC vng cân B, AB = a, DA vng góc với mặt phẳng (ABC), AD = a Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng qua B vng góc với AC Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi (P ) mặt phẳng qua A vng góc với SB Xác định thiết diện (P ) cắt hình chóp S.ABCD 68 Cho tứ diện S.ABC có đáy tam giác đều, SA vng góc với đáy (ABC) Gọi (P ) mặt phẳng qua B vng góc SC Tìm thiết diện tứ diện S.ABC cắt mặt phẳng (P ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, SA vng góc với đáy Gọi M điểm cạnh AB (P ) mặt phẳng qua M vng góc với AB Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD mặt phẳng (P ) Cho hình chóp S.ABC, ABC vng A, với AB = a, ABC = 60◦ , SC = a, SC ⊥ (ABC) a) Tìm thiết diện qua M thuộc SA vng góc SA b) Đặt AM = x Tính diện tích thiết diện c) Vẽ đường biểu diễn diện tích Tìm vị trí điểm M để thiết diện đạt diện tích lớn Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I,M , N , P trung điểm AB √ trung điểm BC, SD, SB, IS ⊥ (ABCD) a Dựng tính đoạn vng góc chung cặp đường thẳng SI = a) AB SD b) SA BD c) N P AC d) M N AP Cho hình chóp S.ABC ABC tam giác vng B có √ AB = 2a, BC = a SA vng góc với đáy, SA = 2a Gọi M trung điểm AB a) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng CM c) Tính góc hai mặt phẳng (SCM ) (ABC) d) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCM ) 69 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đội vng góc với OA = OB = OC = a Gọi K, M , N trung điểm cạnh AB, BC AC, E điểm đối xứng O qua K a) Chứng minh BCE OM E tam giác vng mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (OCK) b) Gọi I giao điểm CE (OM N ) Chứng minh (OM N ) ⊥ CE M N ⊥ OI Tính diện tích tứ giác OM IN c) Tính khoảng cách đường thẳng OB CE d) Gọi H điểm di động cạnh OA, CH đường cao BCF Tìm tập hợp điểm M 3.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP Mục giới thiệu số toán giải quan hệ song song quan hệ vng góc Bài tốn 3.28 [3] Cho tứ diện S.ABC có ba mặt vng góc S SA = x, SB = y Gọi I trung điểm BC Hãy dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng SC AI Tính độ dài đoạn vng góc chung Lời giải Theo đề bài, ta có  SC ⊥ SA SC ⊥ SB ⇒ SC ⊥ (SAB) Gọi I trung điểm SB Khi II đường trung bình Suy II SC Do II ⊥ (SAB) Do hình chiếu vng góc AI lên mặt (SAB) AI Ta có II ⊥ (SAB) ⇒ (AII ) ⊥ (SAB) Từ S dựng SJ ⊥ AI , cắt AI J Từ J dựng JK Từ K dựng KH II , cắt AI K SJ, cắt SC H BCS 70 Hình 3.35 Vì SC ⊥ (SAB) mà SJ ⊂ (SAB) nên SC ⊥ SJ Khi ta có  KH SJ SC ⊥ SJ Mà KH ⇒  (AII ) ⊥ (SAB) AI ⊥ SJ SC ⊥ KH ⇒ (*) SJ ⊥ (AII ) SJ nên KH ⊥ (AII ) ⇒ KH ⊥ AI (**) Từ (*) (**) kết luận đoạn KH đoạn vng góc chung SC AI Trong tam giác ASI vng S, có 1 1 4x2 + y = + = 2+ y 2= SJ SA2 SI x x2 y 2 xy xy Suy SJ = Mà SJ = KH Vậy KH = 4x2 + y 4x2 + y Bài toán 3.29 [1] Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân √ B, AC = a 2, SA vng góc với đáy, SA = a 71 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (P ) qua AG song song với BC cắt SB, SC M , N Tính thể tích khối chóp S.AM N Lời giải a) Ta có SA ⊥ (ABC) nên VS.ABC = SABC SA Hình 3.36 √ Tam giác ABC cân B có AC = a suy AB = a Theo giả thiết, tam giác ABC vuông B nên SABC = a2 1 a3 Vậy VS.ABC = a a = b) Gọi I trung điểm BC SG Theo giả thiết, G trọng tâm ABC nên ta có = SI Mặt khác (P ) BC ⇒ M N BC ⇒ SM SN SG = = = SB SC SI Suy VS.AM N SM SN = = VS.ABC SB SC 2a3 Vậy thể tích khối chóp S.AM N VS.AM N = VS.ABC = 27 Bài tốn 3.30 [1] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy hình vng ABCD có cạnh a, mặt bên tạo với đáy hình chóp góc 72 60◦ Mặt phẳng (P ) chứa cạnh AB cắt SC, SD M N Cho biết góc tạo mặt phẳng (P ) mặt đáy hình chóp 30◦ Tứ giác ABM N hình ? Tính diện tích tứ giác ABM N theo a Lời giải Hai mặt phẳng (SDC) (ABM N ) qua hai đường thẳng song song CD AB mà cắt nên M N CD AB Hình 3.37 Gọi P , Q trung điểm AB CD; O giao điểm AC BD; R giao điểm M N SQ Vì S.ABCD hình chóp nên mặt tam giác cân Suy SAB tam giác cân Do SP ⊥ AB P Ta lại có ABCD hình vuông nên P Q ⊥ AB P Khi góc (SAB) (ABCD) góc SP P Q Suy SP Q = 60◦ hay SP O = 60◦ Mặt khác, S.ABCD hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) Suy SO ⊥ AB Khi ta có  AB ⊥ P Q AB ⊥ SO Vì M N ⇒ AB ⊥ (SQP ) ⇒ AB ⊥ P R AB nên P R ⊥ M N Do ABM N hình thang có đường cao P R Trong tam giác SOP ta có OP = SP cos 60◦ , suy 2OP = SP = P Q Vì SP Q√là tam giác đều, có SP = P Q = 2OP P R đường cao a PR = 73 Tương tự trên, ta có P Q ⊥ AB P R ⊥ AB nên góc (P ) (ABCD) góc QP R Suy QP R = 30◦ Áp dụng định lí hàm số cos tam giác P QR ta M N = a Khi ta có diện tích ABM N tính √ √ 1 a a 3a2 SABM N = (M N + AB).P R = ( + a) = 2 2 √ 3a2 Vậy diện tích ABM N Bài tốn 3.31 [5] Tứ diện SABC có ABC tam giác vng cân đỉnh B, AB = a, SA vng góc với (ABC), SA = a Gọi (P ) mặt phẳng qua trung điểm M AB vng góc với SB a) (P ) cắt tứ diện SABC theo thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện Lời giải a) Dựng AH ⊥ SB (H ∈ SB) Vì SA = AB = a, nên H trung điểm SB Gọi N trung điểm BH Khi M N AH Suy M N ⊥ SB (∗) Hình 3.38  BC ⊥ AB Mặt khác, ta có BC ⊥ SA Dựng M Q ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC, cắt BC Q Suy M Q ⊥ SB Từ (∗) (∗∗) suy (P ) mặt phẳng (M N Q) BC ⊥ SB (∗∗) 74 Vì (M N Q) BC nên (M N Q) cắt (SBC) theo giao tuyến N P BC cắt SC P Nối P Q ta thiết diện hình thang M N P Q Vì M Q BC nên M Q ⊥ (SAB) Mà M N ⊂ (SAB), M Q ⊥ M N Vậy thiết diện hình thang vuông M N √ a 1 a b) Ta có M Q = BC = ; M N = AH = SB = ; 2 4 SN 3 NP = = ⇒ N P = a BC SB 4 Khi ta có √ √ a 3a a 5a2 + = SM N P Q = (M Q + N P ).M N = 2 4 32 √ 5a2 Vậy diện tích thiết diện M N P Q 32 Bài toán 3.32 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh M N vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng M N AC Lời giải Ta có SEAD hình bình hành nên SE AD SE = AD Hình 3.39 Vì ABCD hình vng nên AD BC AD = BC Do SEBC hình bình hành Suy SC BE 75 Gọi P trung điểm AB Khi ABE ABC có MP BE N P AC Từ suy (M N P ) (SAC) (*) Gọi O tâm hình vng ABCD Vì S.ABCD hình chóp tứ giác nên SO ⊥ (ABCD) Mặt khác ta có  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) BD ⊥ SO Từ (*) (**) đến BD ⊥ (M N P ) Suy BD ⊥ M N Vì M N ⊥ (SAC) nên √ a d(M N ; AC) = d(N ; (SAC)) = d(B; (SAC)) = BD = 4 √ a Vậy d(M N ; AC) = (**) 76 KẾT LUẬN Luận văn " Quan hệ song song quan hệ vng góc giải tốn hình học khơng gian" thực mục tiêu đề ra, cụ thể vấn đề sau: 1) Tìm hiểu trình bày tóm tắt quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian 2) Vận dụng quan hệ song song quan hệ vng góc để giải tốn hình học khơng gian Ngồi ví dụ minh họa, luận văn cịn giới thiệu số tốn tương tự 3) Trình bày quy trình giải cho số lớp tốn hình học khơng gian Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hồn thiện nữa, nhằm làm tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thơng trung học học mơn hình học khơng gian 77 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Quốc Anh (2001), Tuyển tập 230 tốn hình học không gian chọn lọc, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đào Văn Dũng (2007), Ba phương pháp giải tốn hình học khơng gian, Nhà xuất giáo dục [3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2009), Hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, (2009), Bài tập Hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [5] Cam Duy Lễ, Lê Khắc Bảo, Trần Lưu Cường (2001), Chun đề Hình học khơng gian, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [6] Trần Thành Minh( Chủ biên), Trần Đức Huyên, Trần Quang Nghĩa, Nguyễn Anh Trường (2004), Giải Toán Hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [7] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2009), Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [8] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, (2009), Bài tập Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [9] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2009), Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Việt Nam 78 [10] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân, (2009) Bài tập Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [11] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Văn Như Cương, Nguyễn Đăng Phất, Lê Bá Khánh Trình (2010), Tài liệu chun Tốn Hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [12] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Văn Như Cương, Nguyễn Đăng Phất, Lê Bá Khánh Trình (2010), Tài liệu Bài tập chun Tốn Hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [13] Đỗ Thanh Sơn (2011), Nâng cao phát triển hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [14] Đặng Phúc Thanh (Chủ biên), Nguyễn Đăng Diên, Châu Trí Trung (2009), Hình học khơng gian, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [15] Trần Văn Thương, Lê Văn Đỗ (2003), Hình học khơng gian, Nhà xuất Đà Nẵng ... CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.1 QUAN HỆ SONG SONG 1.2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1.3 LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC... dụng quan hệ vng góc để giải tốn hình học không gian Phần cuối chương giới thiệu số toán giải hai quan hệ song song quan hệ vng góc 3 CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC... Chương Quan hệ song song quan hệ vng góc hình học khơng gian Chương trình bày sơ lược quan hệ song song, quan hệ vuông góc hình học khơng gian, nhằm làm sở cho chương sau Chương Quan hệ song song giải