BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ Mã số BAS KHOA PHỤ TRÁCH: CƠ BẢN CHỦ BIÊN: PGS.TS LÊ BÁ LONG Hà Nội – Năm 2015 LỜI NĨI ĐẦU TÁI BẢN Giáo trình đƣợc bổ sung, xếp chỉnh sửa lại từ giáo trình Đại số tác giả, xuất năm 2008- Nhà xuất Bƣu điện Nội dung giáo trình đƣợc xếp phù hợp với đề cƣơng chi tiết theo hình thức đào tạo tín Học viện Cơng nghệ Bƣu Viễn thơng ban hành năm 2012 Chƣơng chƣơng giáo trình cũ đƣợc gộp lại thành chƣơng 3: Ma trận Định thức Các nội dung đánh dấu (*) khơng có đề cƣơng đƣợc xem phần đọc thêm Tác giả bổ sung thêm nhiều ví dụ minh họa, hy vọng ngƣời đọc dễ dàng tiếp thu kiến thức Tác giả xin chân thành cám ơn đồng nghiệp hệ sinh viên Học viện ủng hộ đóng góp ý kiến để giáo trình đƣợc hồn chỉnh Trong trình biên soạn lại Tác giả nhận đƣợc động viên, tạo điều kiện từ Ban lãnh đạo Học viện, hỗ trợ tích cực từ Khoa Cơ 1, đặc biệt Bộ mơn Tốn để tác giả hồn thiện giáo trình Tác giả xin chân thành cám ơn Hà Nội, 2015 PGS TS Lê Bá Long Khoa Học Viện Công nghệ Bƣu Viễn thơng LỜI NĨI ĐẦU XUẤT BẢN LẦN Toán cao cấp A1, A2, A3 chƣơng trình tốn đại cƣơng dành cho sinh viên nhóm ngành tốn nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật Nội dung toán cao cấp A1, A3 chủ yếu phép tính vi tích phân hàm nhiều biến, cịn tốn cao cấp A2 giới thiệu cấu trúc đại số đại số tuyến tính Có nhiều sách giáo khoa tài liệu tham khảo viết chủ đề Tuy nhiên xuất phát từ đặc thù ứng dụng toán học ngành điện tử viễn thông công nghệ thông tin nhu cầu có tài liệu phù hợp với chƣơng trình đào tạo Học viện Cơng nghệ Bƣu Viễn thơng nên chúng tơi biên soạn giáo trình Giáo trình đƣợc biên soạn theo chƣơng trình qui định năm 2007 Học viện Cơng nghệ Bƣu Chính Viễn Thơng Nội dung sách đƣợc tổng kết từ giảng tác giả nhiều năm có tham khảo giáo trình trƣờng đại học kỹ thuật khác Chính thế, giáo trình dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên trƣờng, ngành đại học cao đẳng kỹ thuật Giáo trình gồm chƣơng: Chƣơng I: Lơgich tốn học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số Chƣơng II: Không gian véc tơ Chƣơng III: Ma trận Chƣơng IV: Định thức Chƣơng V: Hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng VI: Ánh xạ tuyến tính Chƣơng VII: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phƣơng Ngồi vai trị cơng cụ cho ngành khoa học khác, tốn học cịn đƣợc xem ngành khoa học có phƣơng pháp tƣ lập luận xác chặt chẽ Vì việc học toán giúp ta rèn luyện phƣơng pháp tƣ Các phƣơng pháp đƣợc giảng dạy cung cấp bƣớc trình học tập phổ thông, nhƣng chƣơng I vấn đề đƣợc hệ thống hoá lại Nội dung chƣơng I đƣợc xem sở, ngôn ngữ toán học đại Một vài nội dung chƣơng đƣợc học phổ thông nhƣng với mức độ đơn giản Các cấu trúc đại số hồn tồn trừu tƣợng địi hỏi học viên phải đọc lại nhiều lần tiếp thu đƣợc Các chƣơng cịn lại giáo trình đại số tuyến tính Kiến thức chƣơng liên hệ chặt chẽ với nhau, kết chƣơng cơng cụ chƣơng khác Vì học viên cần thấy đƣợc mối liên hệ chƣơng Đặc điểm mơn học tính khái qt hố trừu tƣợng cao Các khái niệm thƣờng đƣợc khái qt hố từ kết hình học giải tích phổ thơng Khi học ta nên liên hệ đến kết Giáo trình đƣợc trình bày theo cách thích hợp ngƣời tự học Trƣớc nghiên cứu nội dung chi tiết, ngƣời đọc nên xem phần giới thiệu chƣơng nhƣ mục đích chƣơng để thấy đƣợc mục đích ý nghĩa, u cầu chƣơng Trong chƣơng, nội dung, ngƣời đọc tự đọc hiểu đƣợc cặn kẽ thông qua cách diễn đạt chứng minh rõ ràng Đặc biệt bạn đọc nên ý đến nhận xét, bình luận để hiểu sâu mở rộng tổng quát kết Hầu hết toán đƣợc xây dựng theo lƣợc đồ: Đặt toán, chứng minh tồn lời giải lý thuyết cuối nêu thuật tốn giải tốn Các ví dụ để minh họa trực tiếp khái niệm, định lý thuật tốn, giúp ngƣời đọc dễ dàng tiếp thu học Cuối chƣơng có tập xếp từ dễ đến khó Các tập dễ kiểm tra trực tiếp nội dung vừa học cịn tập khó địi hỏi phải sử dụng kiến thức tổng hợp Một số nội dung sách đƣợc dạy dạy phần phổ thơng Chẳng hạn giải tích tổ hợp, đƣờng conic có chƣơng trình phổ thơng Tuy nhiên tác giả muốn trình bày lại giải tích tổ hợp theo ngơn ngữ ánh xạ Minh họa ứng dụng số quán tính dạng toàn phƣơng để phân loại đƣờng bậc mặt phẳng mặt bậc không gian Tuy tác giả cố gắng, song thiếu sót cịn tồn giáo trình điều khó tránh khỏi Tác giả mong đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp, học viên xa gần xin cám ơn điều Tác giả xin chân thành cám ơn GS Đoàn Quỳnh, PGS TS Nguyễn Xuân Viên, PGS TS Nguyễn Năng Anh, Ths.GVC Nguyễn Tiến Duyên, Ths.GVC Đỗ Phi Nga có đóng góp động viên q báu Cuối chúng tơi bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bƣu Chính Viễn Thơng, Khoa Cơ bạn bè đồng nghiệp khuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành giáo trình Hà Nội, 2008 PGS TS Lê Bá Long Khoa Học Viện Cơng nghệ Bƣu Viễn thơng MỤC LỤC MỤC LỤC .7 BẢNG TRA CỨU .12 CHƢƠNG .17 MỞ ĐẦU VỀ LÔGICH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP 17 ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 17 1.1 SƠ LƢỢC VỀ LÔGICH MỆNH ĐỀ 18 1.1.1 Mệnh đề 18 1.1.2 Các phép liên kết lôgich mệnh đề .18 1.1.3 Các tính chất .19 1.2 TẬP HỢP 20 1.2.1 Khái niệm tập hợp 20 1.2.2.Biểu diễn tập hợp 20 1.2.3.Các tập hợp số thƣờng gặp 21 1.2.4 Tập .22 1.2.5 Các phép toán tập hợp 22 1.2.6 Lƣợng từ phổ biến lƣợng từ tồn 24 1.2.7 Phép hợp giao suy rộng 25 1.3 TÍCH DESCARTES VÀ QUAN HỆ 25 1.3.1.Tích Descartes tập hợp 25 1.3.2 Quan hệ hai ngôi* 26 1.3.3 Quan hệ tƣơng đƣơng* .27 1.3.4 Quan hệ thứ tự* 27 1.4 ÁNH XẠ 29 1.4.1 Định nghĩa ví dụ 29 1.4.2 Phân loại ánh xạ 31 1.4.3 Ánh xạ ngƣợc song ánh 33 1.4.4 Hợp hai ánh xạ .34 1.4.5 Lực lƣợng tập hợp 34 1.5 SƠ LƢỢC VỀ PHÉP ĐẾM, GIẢI TÍCH TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON* 35 1.5.1 Sơ lƣợc phép đếm 35 1.5.2 Hoán vị, phép 36 1.5.3 Chỉnh hợp 37 1.5.4 Tổ hợp 38 1.5.5 Nhị thức Newton .40 1.6 CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ* .41 1.6.1 Luật hợp thành 41 1.6.2 Nhóm 42 1.6.3 Vành 43 1.6.4 Trƣờng 45 1.7 ĐẠI SỐ BOOLE 45 1.7.1 Định nghĩa tính chất đại số Boole 45 1.7.2 Công thức Boole, hàm Boole nguyên lý đối ngẫu 47 1.7.3 Phƣơng pháp xây dựng hàm Boole B2 có giá trị thỏa mãn điều kiện cho trƣớc 49 1.7.4 Ứng dụng đại số Boole vào mạng chuyển mạch(switching networks) 50 BÀI TẬP CHƢƠNG 53 CHƢƠNG 59 KHÔNG GIAN VÉC TƠ 59 2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ 60 2.1.1 Định nghĩavà ví dụ 60 2.1.2 Tính chất 61 2.2.KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON 62 2.2.1 Định nghĩa ví dụ 62 2.2.2 Không gian sinh họ véc tơ 63 2.2.3 Tổng họ không gian véc tơ 65 2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 66 2.4 HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ 68 2.4.1 Hệ độc lập tuyến tính tối đại 68 2.4.2 Hạng hệ hữu hạn véc tơ 69 2.5 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ 70 BÀI TẬP CHƢƠNG 74 CHƢƠNG 80 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 80 3.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN 81 3.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN 82 3.2.1 Phép cộng ma trận 82 3.2.2 Phép nhân số với ma trận 82 3.2.3 Phép nhân ma trận 84 3.2.4 Đa thức ma trận 86 3.2.5 Ma trận chuyển vị 86 3.3.MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ 87 3.3.1.Định nghĩa ma trận hệ véc tơ 87 3.3.2 Ma trận chuyển sở 88 3.4 HẠNG CỦA MA TRẬN 89 3.4.1 Định nghĩa tìm hạng ma trận phép biến đổi tƣơng đƣơng 89 3.4.2 Các ma trận tƣơng ứng với phép biến đổi sơ cấp 90 3.5 KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC 91 3.5.1 Hoán vị phép 92 3.5.2 Định nghĩa định thức 94 3.5.3 Các tính chất định thức .98 3.6 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC 101 3.6.1 Khai triển theo hàng, theo cột 101 3.6.2 Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột) 103 3.7 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO .107 3.7.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo .107 3.7.2 Điều kiện cần đủ để tồn ma trận nghịch đảo 107 3.7.3 Tìm ma trận nghịch đảo theo phƣơng pháp Gauss-Jordan .109 3.8 SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN 110 BÀI TẬP CHƢƠNG 113 CHƢƠNG 122 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .122 4.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .123 4.1.1 Dạng tổng quát hệ phƣơng trình tuyến tính .124 4.1.2 Dạng ma trận hệ phƣơng trình tuyến tính 124 4.1.3 Dạng véc tơ hệ phƣơng trình tuyến tính 125 4.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM 125 4.3 PHƢƠNG PHÁP CRAMER 126 4.3.1 Hệ Cramer cách giải 126 4.3.2 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính trƣờng hợp tổng qt .127 4.4 PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO .128 4.5 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP KHỬ GAUSS 129 4.6 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 132 BÀI TẬP CHƢƠNG 136 CHƢƠNG .140 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 140 5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 141 5.1.1 Định nghĩa ví dụ 141 5.1.2 Các tính chất .142 5.1.3 Các phép toán ánh xạ tuyến tính 143 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 145 5.3 TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU 147 5.3.1 Toàn cấu 147 5.3.2 Đơn cấu .148 5.3.3 Đẳng cấu 149 5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN 150 5.4.1 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 150 5.4.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác 154 5.4.3 Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 157 5.4.4 Ánh xạ tuyến tính hệ phƣơng trình tuyến tính 157 5.5 CHÉO HÓA MA TRẬN 160 5.5.1 Không gian bất biến 160 5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng 161 5.5.3 Đa thức đặc trƣng 162 5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc 165 5.5.5 Thuật toán chéo hoá 166 BÀI TẬP CHƢƠNG 171 CHƢƠNG 180 KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE VÀ DẠNG TOÀN PHƢƠNG 180 6.1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 181 6.1.1 Định nghĩa dạng song tuyến tính 181 6.1.2 Ma trận biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính 182 6.1.3 Biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính sở khác 183 6.2 DẠNG TOÀN PHƢƠNG 184 6.2.1 Định nghĩa dạng toàn phƣơng 184 6.2.2 Dạng cực dạng toàn phƣơng 185 6.2.3 Ma trận biểu thức tọa độ dạng toàn phƣơng 185 6.2.4 Biểu thức tọa độ dạng tắc dạng tồn phƣơng 186 6.2.5 Đƣa dạng tắc theo phƣơng pháp Lagrange 186 6.2.6 Đƣa dạng tắc theo phƣơng pháp Jacobi 189 6.2.7 Luật quán tính 192 6.3 TÍCH VƠ HƢỚNG VÀ KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE 195 6.3.1 Định nghĩa tính chất tích vơ hƣớng 195 6.3.2 Trực giao - trực chuẩn hoá Gram-Shmidt 197 6.3.3 Cơ sở trực chuẩn 199 6.3.4 Không gian trực giao, phần bù trực giao 200 6.4 MA TRẬN TRỰC GIAO VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO 202 6.4.1 Ma trận trực giao 202 6.4.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao* 203 6.4.3 Ma trận tự đẳng cấu trực giao* 204 6.5 CHÉO HÓA TRỰC GIAO, TỰ ĐỒNG CẤU ĐỐI XỨNG 205 6.5.1 Bài toán chéo hoá trực giao 205 6.5.2 Tự đồng cấu đối xứng 205 6.5.3 Ma trận tự đồng cấu đối xứng sở trực chuẩn 205 6.5.4 Thuật toán chéo hoá trực giao 207 6.5.5 Đƣa biểu thức tọa độ dạng tồn phƣơng dạng tắc chéo hoá trực giao 209 10 6.6 ĐƢỜNG BẬC TRONG MẶT PHẲNG VÀ MẶT BẬC TRONG KHÔNG GIAN* 209 6.6.1 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng đƣờng bậc 209 6.6.2 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian mặt bậc 213 BÀI TẬP CHƢƠNG 220 HƢỚNG DẪN BÀI TẬP 227 CHƢƠNG 227 CHƢƠNG 231 CHƢƠNG 234 CHƢƠNG 244 CHƢƠNG 247 CHƢƠNG 257 PHỤ LỤC 265 SỐ PHỨC 265 1.1 Dạng đại số số phức 265 1.2 Các phép toán số phức 265 1.3 Biểu diễn hình học số phức 266 1.4 Luỹ thừa số phức - Công thức Moivre 267 1.5 Căn bậc n số phức 268 PHỤ LỤC 270 ĐA THỨC 270 2.1 Đa thức vành nguyên 270 2.2 Vành đa thức 270 2.3 Phép chia đa thức - Nghiệm .270 2.4 Ƣớc chung lớn nhất, nguyên tố 271 TÀI LIỆU THAM KHẢO 273 11 HƢỚNG DẪN BÀI TẬP 1  c) P     2 1  d) P  1  1 1  cos  6.13 Tồn P     sin  3 0 0    , P 1 AP  0     0    0 0    , P 1 AP  0       0 2   2 1  a12  a21  sin    cho Pt AP    cos   0 0   sin  (    )       a12     6.16 v1  (1,2,1,0), v2  (4,4,0,1) 6.17 W  khơng gian nghiệm hệ phƣơng trình nhất:  x  y  3z  s  2t   2 x  y  z  2s  t  có sở e '1  (2, 1,0,0,0) , e '2  (13,0, 4,1,0) , e '3  (17,0,5,0,1)   6.18 b) p1 (t )  7t  5t , p2 (t )  12t  ,   c) e1 (t )  1, e2 (t )  (2t  1) / 2, e3 (t )  (6t  6t  1) /  0  0    0 1  6.19 b) (i)   (ii) ,         0  1    1   6.20 Áp dụng phƣơng pháp biến đổi Lagrange ta đƣợc:  x1  1 1   y1  a)  x2   0 1   y2  ; Q  y12  y22  y32       x3  0   y3   x1  1   y1  b)  x2    1   y2  ; Q  y12  y22  y32       x3   1  y3   x1  1 1  y1  c)  x2   1 1 1  y2  ; Q  y12  y22  y32       x3  0   y3  259 HƢỚNG DẪN BÀI TẬP  x1  1 1  x  0 d)      x3  0 2     x4  0 1 0 0   y1    y2  37 ; Q  y12  y2  y32  y42   y3      y4   x1  1 2   y1  21 e)  x2   0   y2  ; Q  y12  y22  y32     x3  0   y3  0   y1   x1   49    f) x2  10 1 3  y2  ; Q  y1  y22  y32      10  x3     y3  6.21 Áp dụng phƣơng pháp chéo hoá trực giao ma trận tắc ta đƣợc:  X   x  3    a) y  2 1 3  Y  ; Q  X  6Y  9Z       z   1 2 3   Z   x  1  b)  y   1  z     X   1   Y  ; Q  2 X  3Y  6Z  2   Z   x  1  c)  y   1  z  1  3 1  X     Y  ; Q  X  Y  Z  2   Z  0  x  1  d)  y     z   1  18   X   18   Y  ; Q  X  18Y  18Z  18   Z  4  x   2 18   X    4 18   Y  ; Q  3Y  6Z e)  y     z   1 2 18   Z    6.22 a)   b)   c)     d)    x  5  X  X Y   : Hyperbol 6.23 a)       ;  y   2 5   Y  36 36  x  5  X  X Y   1: Ellipse b)       ;  y   2 5   Y  16 260 HƢỚNG DẪN BÀI TẬP   x   10 10   X  X  10 c)      ; y 26  10 10      Y    x   10 10   X  X  10 d)      ;  y   3 10 10   Y     20 Y  10   : Hyperbol 26   Y  10  2   x   13 13   X  10 24 Y X   : Parabol e)        ; 13Y  13 13  y   2 13 13   Y   x   1    6.24 a)  y     z     X  X  1   Y  ; 17   Z     Z Y2   34 34   1: Ellipsoid  x  0    b)  y   0  z  1   X 1   Y  2  X   1   Y  ; Z       Z    x   2    c)  y     z    : Paraboloid hyperbolic 3  X     Y  ; 1   Z   Z X2 Y2    3  x  1    d)  y   1  z  1  1  x  1    e)  y   1  z  1  1 2  Y 18  : Hyperbolic tầng   Z  16  X     Y  ; 2   X    X Y2 Z2  Y  ;    : Ellipsoid 2  X  3   Z  Z    18  : Hyperbolic tầng 261 HƢỚNG DẪN BÀI TẬP  x     f)  y     z   1  18   X   4 18   Y  ; 18   Z  23  Y    Z  18   : Cặp mặt phẳng 6.25 1)  2) : f (u)  f (v), u  v   f (u), v   f (v), u 2)3): Giả sử A   aij  ma trận f sở trực chuẩn  e1, , en  n  f (ei )   a ji e j  a ji  f (ei ), e j   f (e j ), ei  aij  A   At j 1  y1   x1    3)1): v   xi ei ; f (v)   y j e j    aij        i 1 j 1  yn   xn  n n  x1   x1  f (v), v   y j x j  ( x1, , xn ) At    ( x1, , xn ) A     v, f (v) j 1  xn   xn  n 6.26 a) ): Với X  n ; ( XA  XB)Y t  , Y  n  XA  XB   A  B  b) Sử dụng giả thiết cho X , Y , X  Y  YAX t  XAY t  YBX t  XBY t  Mặt khác A, B đối xứng  YAX t  XAY t  t  XAY t  XAY t  XBY t , X , Y  A  B c) áp dụng 14) 6.27 Giả sử f tự đồng cấu tuyến tính  n có ma trận sở tắc A f ánh xạ trực giao Xét v  (1, ,1)  n , ta có: n n f (v), v   f (ei ), e j  j 1 i 1  n  aij n  aij ; f (v), f (v)  v, v  n i , j 1  f (v), v  f (v), f (v) v, v  n i , j 1 Đẳng thức xảy f (v)  kv Mặt khác f trực giao  k  1 262 HƢỚNG DẪN BÀI TẬP n   aij  i  1, , n  j 1 Vậy đẳng thức có đƣợc  n   aij  1 i  1, , n  j 1 6.28  Nếu  v1, ,  phụ thuộc tuyến tính vế trái  Nếu  v1, ,  độc lập ta trực chuẩn hoá Gram-schmidt: n uk   vk , ui ui  vk ; uk  uk uk i 1 Hệ B '   u1, , un  trực giao hệ B "   u1, , un  trực chuẩn Theo hệ thức Chasles (3.1) ta có: det B  v1, ,   det B  u1, , un  det det B  u1, , un   det B" u1, , un det B '  v1, ,  B '  v1, ,   1,det B" u1, , un   u1 un Mặt khác vk  uk  k 1  vk , ui ui i 1  uk  det B  u1, , un   u1 un Đẳng thức xãy vk  uk với k  1, , n  v1, ,  hệ trực giao hay tồn véc tơ vi  6.29 a) Đặt Dk  vi , v j i , j 1,k Nếu  v1, , vk  phụ thuộc tuyến tính Dk   v1, , vk  độc lập tuyến tính sở không gian Wk  span  v1, , vk  Dk định thức dạng song tuyến tính xác định dƣơng Nếu thu hẹp vào Wk nên Dk  b) Với v V v, v  v, v v, e1 e1, e1 ek , e1 e1, e1 ek , e1 v, ek e1, ek e ,v  ek , ek ek , v e1, ek b1   ek , ek bk v, e1 e1, e1 ek , e1 b1 e1, e1 ek , e1 v, ek e1, ek 0 ek , ek bk e1 , ek ek , ek Đẳng thức xãy v tổ hợp tuyến tính e1, , ek Ngƣợc lại, cho b1, , bk ; Muốn có đẳng thức v  x1e1   xk ek 263 HƢỚNG DẪN BÀI TẬP bi  v, ei  x1 e1, ei   xk ek , ei  bi Vì Dk  nên hệ phƣơng trình k xj j 1 e j , ei  bi ; i  1, , k hệ Cramer tồn nghiệm Vậy tồn v c) Giả sử , dạng cực dạng tồn phƣơng xác định có A   ei , e j  ,   nn n theo b) ( x1, , xn ); Q( x1, , xn )   v, v det  ei , e j  , v   j e j j 1 v0  n  j j 1 6.30 Giả sử e j , ei  v, ei  xi , i  1, , n  Q( x1, , xn )  , ( x1, , xn )   e1, , en  sở trực chuẩn V tích vơ hƣớng   (ei , e j )    (ei , e j )  0, i  j  (ei  e j , ei  e j )     (ei  e j , ei  e j )   (ei , ei )   (e j , e j ) Đặt k   (e1, e1)    (en , en ) u, v V :  (u, v)  k (u, v) 6.31 Giả sử  e1, , ep , ep1, , epq , , en  sở để biểu thức toạ độ Q sở có dạng tắc: Q(v)  x12   x 2p  x 2p1   x 2pq Đặt W1  span  e1, , e p , W2  span  e p1, , e pq  a) v W , v   Q(v)   W  W1  0  dimW  p b) v W , v   Q(v)   W  W2  0  dimW  q c) Nếu dimW  Max( p, q)  u, v W \ 0 : Q(u)  0, Q(v)  Giả sử Q(u)  0, Q(v)  Xét f (t )  Q  tu  (1  t )v   tu  (1  t )v, tu  (1  t )v  t 2Q(u )  2t (1  t ) u, v  (1  t )2 Q(v) f (t ) hàm số liên tục có f (0)  0, f (1)   t0 ,0  t0  cho f (t0 )  Q  t0u  (1  t0 )v    t0u  (1  t0 )v W \ 0 264 PHỤ LỤC PHỤ LỤC SỐ PHỨC Ta biết bình phƣơng số thực khơng âm, trƣờng số thực phƣơng trình x2   vô nghiệm Tuy nhiên ta đƣa vào số ảo i cho i  1 phƣơng trình trở thành x  i  ( x  i)( x  i)  Do phƣơng trình có hai nghiệm x  i Tổng quát ta mở rộng trƣờng số thực lên trƣờng số rộng để phƣơng trình bậc hai có nghiệm 1.1 Dạng đại số số phức Số phức viết dƣới dạng đại số z  a  ib , a, b   , i  1 a đƣợc gọi phần thực số phức z , ký hiệu a  Re z b gọi phần ảo số phức z , ký hiệu b  Im z Hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 đƣợc định nghĩa nhƣ sau: a  a2 z1  z2   b1  b2 (7.1) Tập hợp số phức ký hiệu  1.2 Các phép toán số phức Cho hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 , ta định nghĩa: z1  z2 : (a1  a2 )  i(b1  b2 ) z1z2 : (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2b1 ) (7.2) (7.3) Nói cách khác phép tốn cộng nhân số phức đƣợc thực giống với phép tốn số thực Ta chứng minh đƣợc (, , ) trƣờng (, , ) Số phức z  a  ib đƣợc gọi số phức liên hợp với số phức z  a  ib a  ib  a  ib  có tính chất    a  ib   nên đƣợc gọi số phức 2 a b  a  b2  nghịch đảo số phức z  a  ib , ký hiệu z 1 hay Vậy z Số phức z 1  Ta định nghĩa: a  ib z  2 z a b zz (7.4) z1  z2 : z1  ( z2 )  (a1  a2 )  i(b1  b2 ) ; z1 (a a  b b )  i(a2b1  a1b2 ) z1 z2 : z1  2  z2 z2 z2 z2 a2  b22 (7.5) 265 PHỤ LỤC 1.3 Biểu diễn hình học số phức Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy Mỗi điểm M mặt phẳng hồn tồn xác định tọa độ (a, b) Mặt khác số phức z  a  ib đƣợc xác định phần thực a phần ảo b Vì ta đồng số phức z  a  ib với điểm M (a, b) Do số phức đƣợc đồng với điểm mặt phẳng mà ta gọi mặt phẳng phức Phép cộng số phức: z1  z2 : (a1  a2 )  i(b1  b2 ) tƣơng ứng với phép   cộng hai véc tơ OM1  OM ; M1(a1, b1), M (a2 , b2 ) Hai số phức liên hợp với đối xứng qua trục Ox  OM  a  b2 đƣợc gọi môđun số phức z  a  ib ta ký hiệu z  a  b2  Số đo  góc (Ox, OM ) xác định sai khác bội số 2 đƣợc gọi argument số phức z , ký hiệu Arg z Nếu       đƣợc gọi argument chính, ký hiệu arg z  z ,arg z  tọa độ cực M với trục cực Ox Tƣơng ứng tọa độ Descartes tọa độ cực  a  r cos    b  r sin  (7.6) y z  a  ib z  x O Ngƣợc lại z  a  b2 , cos   a a  b2 , sin   b a  b2 (7.7) Số phức z  a  ib đƣợc viết lại dạng lƣợng giác z  z  cos   i sin   Tính chất: z  z 1) z1  z2  z1  z2 , z1  z2  z1  z2 ,    ;  z2  z2 266 (7.8) PHỤ LỤC 2) Re z  zz zz , Im z  ; z   z  z  Re z ; 2i 3) Giả sử p( z )  a0  a1z   an z n , a1, , an   đa thức với hệ số thực (xem Phụ lục 2) p( z )  a0  a1z   an z n  p( z ) Vì z0 nghiệm phƣơng trình p( z )  z0 nghiệm p( z ), q( z ) hai đa thức với hệ số thực 4) z  , z  ; p( z )  p( z )    q( z )  q( z )  z   z  0; 5) z1  z2  z1  z2 ; z1z2  z1 z2 ; z1  z2  z1  z2 ; 6) z z1  ; z  zz ; z2 z2 z 1  z ; z z  Arg    Arg z1  Arg z2 ;  z2  7) Arg ( z1z2 )  Arg z1  Arg z2 ; 8) z  z ; Arg z  Arg z Công thức Euler ei  cos   i sin  (7.9) Công thức (7.8) đƣợc viết lại z  z ei gọi dạng mũ số phức 1.4 Luỹ thừa số phức - Công thức Moivre Cho số phức z  z ei Tích n lần  z   z đƣợc gọi luỹ thừa bậc n z , n lÇn ký hiệu z n Áp dụng phƣơng pháp quy nạp tính chất 5), 7) ta có z n  z (cos n  i sin n ) n Khi z  ta có cơng thức Moivre: (cos   i sin  )n  (cos n  i sin n ) (7.10) Ví dụ 7.1: Tìm số thực x, y thỏa mãn: 3i( x  iy)  (1  2i)( x  y)   i Khai triển đồng phần thực phần ảo ta đƣợc: x  y  x    5 x  y   y  1 2 z  iw  Ví dụ 7.2: Giải hệ phƣơng trình vói ẩn số phức z, w :  3z  w   2i 267 PHỤ LỤC Nhân i vào hai vế phƣơng trình thứ xong cộng vào phƣơng trình thứ 1 i i 2 29 hai ta đƣợc z    w  i  2i 13 13 13 13 Ví dụ 7.3: a) Quỹ tích điểm z cho z  2i  đƣờng trịn tâm 2i bán kính b) Quỹ tích điểm z cho z  2i  z  đƣờng trung trực đoạn thẳng nối hai điểm 2i c) Quỹ tích điểm z cho z   z   10 đƣờng ellipse có tiêu điểm F1(3,0), F2 (3,0) độ dài trục lớn 2a  10 Ví dụ 7.4: Theo (7.10): (cos   i sin  )3  (cos3  i sin 3 ) Mặt khác (cos  i sin  )3  cos3   i sin   3i cos2  sin   3cos  sin  cos3  cos3   3cos  sin   4cos3   3cos  Vậy  3 sin 3  3cos  sin   sin   3sin   4sin  Ví dụ 7.5: Tính  1  3i  10  1  3i  10 10   2 2   20 20  10     cos  i sin  i sin     cos  3  3     2 2   210  cos  i sin 3  3  10    1  3i    i      1.5 Căn bậc n số phức Căn bậc n số phức z số phức w cho wn  z Ký hiệu w  n z hay w zn Cho z  z  cos   i sin    z ei *) Nếu z  w  n z  , n  1, 2, **) Nếu z  Xét w  w  cos  i sin   w ei w  n z n  w  z   wn  z     2 ; k  0,1, , n  n    k 2    k n n  (7.11) Vậy có n bậc n z ứng với giá trị k  0,1, , n  Các bậc n đỉnh n giác nội tiếp đƣờng trịn tâm O bán kính Ví dụ 7.6: Tính bậc n đơn vị 268 n z PHỤ LỤC Ta có  cos0  i sin Vậy bậc n là: i k 2 k 2  k  cos  i sin e n n Ví dụ 7.7: Tính Vậy 3  2  2i    2  2i  k 2 n ; k  0,1, , n  (7.12) 3 3  Ta có 2  2i  2  cos  i sin 4       3  3    cos   k 2   i sin   k 2   ; 3 3    k  0:    w0   cos  i sin    i ; 4  k  1: 11 11   w1   cos  i sin  ; 12 12   k  2: 19 19   w2   cos  i sin  12 12   5 5     cos  i sin  12 12   0 1 2 269 PHỤ LỤC PHỤ LỤC ĐA THỨC 2.1 Đa thức vành nguyên Cho K tập số: K   ,  ,  ,  hay  p Với dãy (a0 , a1, , an , ) phân tử an  K Biểu thức p( x)  a0  a1x   an x n , an  đƣợc gọi đa thức bậc n biến (hay ẩn) x Các số a0 , a1, , an đƣợc gọi hệ số đa thức Nếu a0  a1   an  ta đƣợc đa thức không, ký hiệu Tập hợp đa thức biến x với hệ số thuộc K đƣợc ký hiệu K  x  Cho hai đa thức p( x)  a0  a1x   an x n , an  ; q( x)  b0  b1x   bm x m , bm  Hai đa thức p( x), q( x) đƣợc ký hiệu định nghĩa nhƣ sau: m  n p ( x)  q ( x)   a  b , , a  b n n  (7.13) 2.2 Vành đa thức Trong tập K  x  , giả sử p( x)  a0  a1x   an x n , an  ; q( x)  b0  b1x   bm x m , bm  Ta định nghĩa tổng p( x)  q( x) tích p( x)q( x) hai đa thức p( x) , q( x) nhƣ sau: p( x)  q( x) : (a0  b0 )  (a1  b1) x  (a2  b2 ) x  k p( x)q( x) : c0  c1x   cnm x nm , ck   a j bk  j , k  0,1, , n  m (7.14) j 1 Với quy ƣớc a j  j  n b j  j  m Ta chứng minh đƣợc  K  x  , ,  vành nguyên bËc  p( x)  q( x)   max  bËc p( x), bËc q( x)  bËc  p( x)q( x)   bËc p( x)  bËc q( x) (7.15) (7.16) 2.3 Phép chia đa thức - Nghiệm Định lý 1: Với hai đa thức p( x), q( x) ; q( x)  tồn hai đa thức s( x), r ( x) cho p( x)  q( x)s( x)  r ( x) , r ( x)  r ( x)  bËc r ( x)  bËc q( x) 270 PHỤ LỤC Ví dụ 7.8: x5  3x3  ( x2  x  5)(2 x3  x2  x  27)  44 x  135 Định nghĩa 1: r ( x) đƣợc gọi dƣ phép chia p( x) cho q( x) Nếu r ( x)  ta nói p( x) chia hết cho q( x) hay q( x) ƣớc p( x) Định nghĩa 2: Số c  K thoả mãn p(c)  a0  a1c   anc n  đƣợc gọi nghiệm đa thức p( x)  a0  a1x   an x n Định lý 2: Phần dƣ phép chia p( x) cho x  c p(c) Hệ 3: c nghiệm đa thức p( x) x  c ƣớc p( x) , nghĩa p( x)  ( x  c)k s( x) Nếu p( x)  ( x  c)k s( x) ( k nguyên, k  ) s(c)  c đƣợc gọi nghiệm bội k đa thức p( x) Định nghĩa 3: Đa thức p( x)  K  x  đƣợc gọi bất khả quy bËc p( x)  p( x)  q( x)s( x) hai đa thức q( x) , s( x) số khác K , nghĩa p( x) chia hết cho kp( x) , với k  K \ 0 Chẳng hạn: Mọi đa thức bậc bất khả quy Đa thức bËc  bất khả quy vơ nghiệm K Định lý 4: Mọi đa thức bËc  trƣờng số phức  có nghiệm Hệ 5: Mọi đa thức p( x)  a0  a1x   an x n   x  phân tích thành p( x)  an ( x  x1) ( x  xn ) , số phức xk trùng Hệ 6: Mọi đa thức hệ số thực p( x)  a0  a1x   an x n    x  phân tích thành tích đa thức bất khả quy đa thức bậc hay đa thức bậc có biệt thức  âm: p( x)  an ( x  b1x  c1)k1 ( x  bm x  cm )km ( x  x1)l1 ( x  xs )ls với b j  4c j  , j  1, , m ; 2k1   2km  l1   ls  n 2.4 Ƣớc chung lớn nhất, nguyên tố Định nghĩa 4: Nếu hai đa thức p( x) , q( x) chia hết cho đa thức d ( x) d ( x) đƣợc gọi ƣớc chung p( x) , q( x) Ngoài ƣớc p( x) , q( x) ƣớc d ( x) d ( x) gọi ƣớc chung lớn p( x) , q( x) Ký hiệu: d ( x)  UCLN ( p( x), q( x)) Nếu d ( x) số khác khơng p( x) , q( x) đƣợc gọi nguyên tố Ký hiệu ( p( x), q( x))  Chú ý d ( x)  UCLN ( p( x), q( x)) xác định sai khác số khác Nghĩa d ( x)  UCLN ( p( x), q( x))  kd ( x)  UCLN ( p( x), q( x)) , với k  K \ 0 271 PHỤ LỤC Để tìm UCLN ( p( x), q( x)) ta thực phép chia Euclide nhƣ sau:  Giả sử bËc p( x)  bËc q( x) p( x)  q( x)s1( x)  r1( x) , bËc r1 ( x)  bËc q( x)  Nếu r1 ( x)  q( x)  UCLN ( p( x), q( x)) ;  Nếu r1 ( x)  lặp lập trình q( x) r1 ( x) q( x)  r1( x)s2 ( x)  r2 ( x) ;  Nếu r2 ( x)   bËc r2 ( x)  bËc r1( x)  Tiếp tục rk 2 ( x)  rk 1( x)sk ( x)  rk ( x) , rk 1( x)  rk ( x)sk 1( x)  c  UCLN ( p( x), q( x))  UCLN (q( x), r1( x))   UCLN (rk ( x), c)  Nếu c  rk ( x)  UCLN ( p( x), q( x)) ;  Nếu c  ( p( x), q( x))  Định lý 7: 1) d ( x)  UCLN ( p( x), q( x)) tồn đa thức u( x), v( x) cho p( x)u( x)  q( x)v( x)  d ( x) 2) ( p( x), q( x))  tồn đa thức u( x), v( x) cho p( x)u( x)  q( x)v( x)  Định lý 8: 1) Hai đa thức p( x), q( x)   x  trƣờng số phức nguyên tố nghiệm chung 2) Hai đa thức p( x), q( x)    x  trƣờng số thực nguyên tố chúng khơng có nghiệm thực hay nghiệm phức chung Hệ 9: p( x), q( x) hai đa thức trƣờng số thực hay số phức thì:  p( x), q( x)   1  pm ( x), q n ( x)   , với số nguyên dƣơng m, n Nhận xét 7.1: Các đa thức bất khả qui với hệ số ứng với bậc cao (chẳng hạn: x  c; x  px  q, p  4q  ) đóng vai trị nhƣ số ngun tố vành  Vì ta chuyển cách tƣơng tự kết vành số nguyên  sang vành nguyên đa thức K  x  Chẳng hạn để tìm d ( x)  UCLN ( p( x), q( x)) ta phân tích p( x) thành tích đa thức bất khả qui Khi d ( x) tích đa thức bất khả qui có mặt đồng thời p( x) q( x)   Ví dụ 7.9: p( x)   x    x  1 x  x  , q ( x )   x  3 272 2  x  15  x2  x  3  d ( x)   x  1 x   2x  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (chủ biên); Đại số tuyến tính hình học giải tích; ĐHQG-HN [2] Kim Cƣơng; Toán cao cấp - Tập 1- Đại số- NXB ĐH-GDCN, Hà Nội, 1990 [3] Lê Đình Thịnh, Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên; Đại số tuyến tính, NXB KH-KT, Hà Nội 1998 [4] Ngơ Thúc Lanh; Đại số tuyến tính, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1970 [5] Ngơ Việt Trung; Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội 2001 [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên); Toán cao cấp tập một; NXB GD 1996 [7] Nguyễn Đình Trí (chủ biên); Bài tập tốn cao cấp tập một; NXB GD 1997 [8] Phan Đình Diệu; Lơgich tốn & sở toán học; NXB ĐHQG Hà Nội 2003 [9] Trần Văn Hãn; Đại số tuyến tính kỹ thuật, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1978 [10] Bellman R ; Mở đầu lý thuyết ma trận Bản dịch tiếng Việt: Nguyễn Văn Huệ, Hoàng Kiếm, NXB KH&KT Hà Nội 1978 [11] B A Cadobnitri ; Tuyển tập toán vô địch sinh viên (tiếng Nga) NXB ĐH Maxcơva 1987 [12] David C Lay; Linear Algebra and Its Applications, Addison-WesleyPuslishing Company, 1997 [13] Edwin F Beckenbach: Toán học đại cho kỹ sƣ, dịch tiếng Việt, Hồ Thuần, Nguyễn Lâm, Lê Thiệu Phố, Phạm văn Ất, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1978 [14] J M Monier ; Algèbre 1, 2, dịch tiếng Việt NXB GD, 1999 [15] Lipshutz S.; Linear Algebra, Mc Graw-Hill, 1987 [16] Lipshutz S.; Theory and problems of Linear Algebra, Schaum's Outline Series Mc Graw-Hill, 1968 [17] Poznyak E G & Ilrin V A.; Linear Algebra, Mir Pub Moscow 1986 [18] ProskuryakovI.U.; Problems in Linear Algebra, Mir Pub Moscow 1978 [19] R Sikorski; Boolean Algebras, Springer-Verlag 1969 273 ... với chƣơng trình đào tạo Học viện Cơng nghệ Bƣu Viễn thơng nên chúng tơi biên soạn giáo trình Giáo trình đƣợc biên soạn theo chƣơng trình qui định năm 2007 Học viện Cơng nghệ Bƣu Chính Viễn Thơng... có tham khảo giáo trình trƣờng đại học kỹ thuật khác Chính thế, giáo trình dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên trƣờng, ngành đại học cao đẳng kỹ thuật Giáo trình gồm chƣơng:... 265 SỐ PHỨC 265 1.1 Dạng đại số số phức 265 1.2 Các phép toán số phức 265 1.3 Biểu diễn hình học số phức 266 1.4 Luỹ thừa số phức - Công thức