Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012 HUYỆN HOẰNG HỐ MƠN THI: TỐN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm)
Cho biểu thức A = 2
1
:
1 1
x x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > 0.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: ( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)
7
4
x
b) Tính giá trị biểu thức P = x y x y
Biết x2 – 2y2 = x y ( x + y ≠ 0, y ≠ 0).
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – = 0
b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + 3n + (n N) số phương n chia hết cho 40
Bài 4:(6,0điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh ABD ACE
b) Chứng minh BH.HD = CH.HE
c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b Bài 5: (3.0điểm)
a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ Chứng minh rằng: a2 + b2 +
2
ab a b
≥ 2.
………HẾT………
(2)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2011- 2012
MƠN THI: TỐN - LỚP 8
Bài Nội dung Điểm
Bài 1 (3,0điểm)
a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ±
A = 2
1 2
:
1
x x x x
x x
=
2
2
1 2
x
x x x
0,25đ 0,75đ 1,0đ
b) (1,0 điểm) A > – 2x > x <
1 Đối chiếu ĐKXĐ, ta - ≠ x <
1 2.
0,5 đ 0,5đ
Bài 2 (4,0điểm)
a) (2,0 điểm) ( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)
7
4
x
= 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x +
7 4 =
77
2,0đ
b) (2,0 điểm) x2 – 2y2 = xy
x2 – xy – 2y2 = (x + y)(x – 2y) = Vì x + y ≠ nên x – 2y = x = 2y
Khi A =
2
2 3
y y y y y y
0,75đ 0,75đ 0,5đ Bài 3
(4,0điểm)
a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – =
(x3 + 1)(x3 – 8) = (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*)
Do x2 – x + = (x –
1 2)2 +
3
4 > x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x, nên (*) (x + 1)(x – 2) = x {- 1; 2}
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) (2,0 điểm)
Cách 1:
Giả sử:2n+1=a2 (1) 3n+1=b2 (2) (a,b số tự nhiên) =>Từ (1) => a lẻ mà 2n=(a-1)(a+1)
nên (a-1)(a+1) chia hết n chẳn
từ (2) => b lẻ mà 3n=(b-1)(b+1) chia hết cho ( tích hai số chẳn liên tiếp chia hết cho 8)
=> n chia hết cho (3)
mọi số phương chia cho dư 0,1,4
Nếu n chia cho dư 2n+1 chia cho dư ( vơ lý số dư 0,1,4) Nếu n chia cho dư 2n+1 chia cho dư ( vơ lý số dư 0,1,4) Nếu n chia cho dư 2n+1 chia cho dư ( vơ lý số dư 0,1,4) Nếu n chia cho dư 2n+1 chia cho dư ( vơ lý số dư 0,1,4) Vậy n chia hết cho (4)
Từ (3) (4) n chia hết cho 40 Cách 2:
Do 2n + số phương lẻ nên 2n + chia cho dư 1, suy n
(3)số chẵn
Vì 3n + số phương lẻ nên 3n + chia cho dư 1, suy 3n n (1)
Do 2n + 3n + số phương lẻ nên có tận 1; 5; chia cho có dư 1; 0;
Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + , 2n + 3n + chia cho dư Suy 2n 3n n (2)
Từ (1) (2) n BCNN(5; 8) hay n 40
Bài 4 (6,0điểm)
a) (2,0điểm)
Chứng minh ABD ACE
2,0đ
b) (2,0điểm)
Chứng minh BHE CHD Suy BH.HD = CH.HE
1,0đ 1,0đ c) (2,0điểm)
Khi AB = AC = b ABC cân A Suy DE // BC
DE AD BC AC
DE =
AD BC AC
Gọi giao điểm AH BC F AF BC, FB = FC =
a
DBC FAC
DC BC FC AC
DC BC FC
AC
= 2
a b DE =
AD BC AC =
(AC DC BC)
AC
=
2
( )
2
a
b a
b b
=
2 2
(2 )
2
a b a b
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ
Bài 5 (3,0điểm)
a) (1,5điểm)
Cách 1: Ta có
2
2 2
2 2
8 4( 1) 3(1) (8 1)( 1) 3( 1) 3( 1) ( 1) 4( 1)(2)
x x x
x x x x x
x x x x
Từ (1) (2) để phương trình có nghiệm x=1
Cách 2: 0,25đ
A
B C
D E
H A
B C
D E
(4)Nhận thấy x = - nghiệm phương trình Với x ≠ - PT cho tương đương với
2
2
8 1
4
x x x x
x x
Ta có
2 2
2 2
1 4 3( 1) ( 1)
2 4( 1) 4( 1)
x x x x x x x x
x x x x x x
=
2
3 ( 1)
4 4( 1)
x x
Đẳng thức xảy x – = x = 1(1)
Lại có:
2
2
8 4( 1) 3
( 1)
4 4
x x x x
x
Đẳng thức xảy x – = x = (2)
Từ (1) (2) suy phương trình có nghiệm x =
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b) (1,5điểm)( đề thi vào lớp 10 năm 2005-2006 tỉnh Thanh Hóa)
Cách 1: Đặt
1
ab c
a b
=> ac+bc-ab=1
2 2
2
2( )
0
a b c ac bc ab
a b c
Cách 2:
Ta có a2 + b2 +
2
ab a b
≥ (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2 (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥
(a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ suy đpcm