ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN HỌC PHAN THỊ THU LOAN PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đà Nẵng – Năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC PHAN THỊ THU LOAN PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Giảng viên hướng dẫn: TS CHỬ VĂN TIỆP Đà Nẵng – Năm 2020 Lời cảm ơn Lời khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Chử Văn Tiệp tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập Khoa Toán Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp 16CTUDE nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Vì thời gian kiến thức hạn chế nên thân cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thầy, bạn để khóa luận hoàn thiện Tác giả Phan Thị Thu Loan MỤC LỤC Mở đầu Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 1.3 Bài toán truyền nhiệt Chương Phương trình truyền nhiệt 11 2.1 Bài toán giá trị ban đầu 11 2.2 Phương pháp hàm Green 23 2.3 Bài toán Cauchy 30 2.4 Một số ví dụ minh họa 37 Phụ lục 51 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần vào kỷ XVIII cơng trình nhà tốn học Euler, d’Alembert, Lagrange Laplace cơng cụ quan trọng để mơ tả mơ hình vật lý học (xem [2, 3, 6, 8]) Đến kỷ 19, phương trình đạo hàm riêng trở thành công cụ mạnh dùng lĩnh vực toán học khác toán lý thuyết đặc biệt toán thực tiễn Rất nhiều toán lĩnh vực khác như: thủy động học, điện học, nhiệt học, quang học, lý thuyết đàn hồi, v.v nghiên cứu cơng cụ giống - phương trình đạo hàm riêng Trong loại phương trình đạo hàm riêng, phương trình truyền nhiệt đóng vai trị quan trọng Phương trình truyền nhiệt mơ tả tượng truyền nhiệt vật, khuếch tán phân tử khơng khí, truyền tải tạp chất khí quyển, v.v Các phương pháp nghiên cứu giải tốn truyền nhiệt có ảnh hưởng lớn đến phát triển tổng quát phương trình đạo hàm riêng vào cuối kỷ XIX Đặc biệt phải kể đến phương pháp biến đổi Fourier để giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt nhà toán học nhà vật lý tiếng người Pháp Joseph Fourier Bởi lý trên, định nghiên cứu tham khảo số tài liệu phương trình truyền nhiệt chọn đề tài: "Phương trình truyền nhiệt ứng dụng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu Thực đề tài “Phương trình truyền nhiệt ứng dụng”, hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học cịn thân Từ đó, hình thành khả trình bày vấn đề Tốn học trừu tượng cách logic có hệ thống Khóa luận nhằm nghiên cứu tồn nghiệm toán biên toán Cauchy, cách giải ứng dụng phương trình truyền nhiệt Đối tượng nghiên cứu Phương trình truyền nhiệt, toán giá trị ban đầu, toán Cauchy phương pháp hàm Green Phạm vi nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa tảng kiến thức Giải tích, Giải tích số, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng Trên sở dịch, đọc tìm hiểu kiến thức tài liệu [2, 5, 6, 7, 9, 10] số tài liệu liên quan, từ xếp hệ thống lại kiến thức, chứng minh chi tiết số định lý, bổ đề, hệ quả, giải ví dụ minh họa để hồn thành việc nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu dựa phương pháp: - Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài bao gồm sách kinh điển tiếng Việt tài liệu tiếng Anh - Đọc dịch, tổng hợp, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung chi tiết, ví dụ minh họa - Trao đổi, thảo luận với cán hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn 6.1 Khóa luận góp phần bổ sung thêm tính chất, cách giải toán Cauchy, toán giá trị ban đầu tốn biên 6.2 Khóa luận sử dụng làm tài liệu tham khảo tài liệu tự học cho sinh viên ngành toán ngành vật lý nghiên cứu mảng Cấu trúc khóa luận Khóa luận chia thành hai chương phụ lục: Chương trình bày số kiến thức sử dụng chương sau Chương trình bày tốn phương trình truyền nhiệt với tồn tại, ổn định nghiệm toán Cauchy, toán giá trị ban đầu toán hàm Green ví dụ minh họa có sử dụng phần mềm Matlab để vẽ hình minh họa Phụ lục trình bày code matlab sử dụng khóa luận Chương Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR), khái niệm tính chất chương chúng tơi trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Chi tiết tham khảo tài liệu sau [2, 6, 9] 1.1 Một số khái niệm Phương trình đạo hàm riêng phương trình nêu lên mối quan hệ ẩn hàm hàm nhiều biến, biến độc lập (một số hữu hạn) đạo hàm riêng Ta sử dụng số kí hiệu sau: • Biến độc lập: x = (x1 , , xn ) ∈ Rn • Ẩn hàm: u(x) = u(x1 , , xn ) • Đạo hàm riêng: Sử dụng khái niệm đa số α = (α1 , , αn ) αi số ngun khơng âm, |α| := α1 + + αn , ta ký hiệu ∂ |α| u(x) Dα u(x) = α1 ∂x1 · · · ∂xαnn Với m số nguyên không âm, ta ký hiệu Dm u(x) vectơ đạo hàm riêng cấp m hàm u(x) Trường hợp m = ta có ∂u ∂u Du = , , ∂x1 ∂xn Đôi ta sử dụng ký hiệu tương đương ∂u ∂u ∂ 2u ux = , uy = , uxy = , ∂x ∂y ∂x∂y Cho k số nguyên dương Ω tập mở Rn Định nghĩa 1.1.1 Phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt phương trình đạo hàm riêng) cấp k phương trình có dạng F (x, u(x), Du(x), , Dk u(x)) = 0, x ∈ Ω (1.1) Ở F hàm nhiều biến thể mối liên hệ ẩn hàm, biến độc lập đạo hàm riêng ẩn hàm, có cấp cao k Ví dụ 1.1.2 • Phương trình Laplace: ∆u = uxx + uyy + uzz = • Phương trình truyền nhiệt (hoặc khuyếch tán) : ut − ∆u = • Phương trình truyền sóng D’Alembert đưa vào năm 1752: utt − ∆u = Định nghĩa 1.1.3 (Nghiệm PTĐHR) Giả sử hàm v : Ω → R có đạo hàm riêng đến cấp k Hàm v(x) gọi nghiệm phương trình đạo hàm riêng (1.1) thỏa mãn F (x, v(x), Dv(x), , Dk v(x)) = x ∈ Ω Định nghĩa 1.1.4 (Phân loại phương trình ĐHR) Ta phân loại phương trình ĐHR sau i) Phương trình ĐHR (1.1) gọi tuyến tính có dạng aα (x)Dα u = f (x), |α|≤k aα (x), f (x) hàm số cho Phương trình tuyến tính gọi f ≡ ii) Phương trình ĐHR (1.1) gọi nửa tuyến tính có dạng aα (x)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = |α|=k iii) Phương trình ĐHR (1.1) gọi tựa tuyến tính có dạng aα (x, u, Du, , Dk−1 u)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = |α|=k iv) Phương trình ĐHR (1.1) gọi phương trình phi tuyến hồn tồn phụ thuộc khơng tuyến tính vào đạo hàm bậc cao 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Trong phần này, liệt kê ba lớp đặc biệt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic, hyperbolic parabolic với đại diện chúng phương trình Laplace, phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt Định nghĩa 1.2.1 Phương trình ĐHR cấp hai dạng n n ∂ 2u = f (x, u, ux1 , , uxn ) aij (x) ∂x ∂x i j i=1 j=1 (1.2) gọi phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính cấp hai Đặc biệt phương trình (1.2) gọi tuyến tính viết dạng n n n ∂u ∂ 2u + + c(x)u = g(x) bk (x) aij (x) ∂x ∂x ∂x i j k i=1 j=1 k=1 Trong trường hợp n = phương trình (1.2) trở thành ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u a11 + 2a12 + a22 = f x, y, u, , ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y Sử dụng phép đổi biến sau ξ = ξ(x, y), (1.3) η = η(x, y), hàm ξ, η ∈ C (Ω) thỏa mãn: ∂(ξ, η) ξ ξ = ηx ηy = Ω x y ∂(x, y) Mục đích phép đổi biến đưa phương trình (1.3) dạng hệ số khơng Tính tốn trực tiếp ta có ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η = + , ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η = + ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y 39 ta có nghiệm tầm thường u(t, x) Do đó, X(0) = X(L) = Bây ta giải phương trình (2.70) Có ba trường hợp xảy ra: λ = −m2 , λ = λ = k Nếu λ = −m2 < ta phải giải tốn giá trị biên X − m2 X = 0, X(0) = X(L) = (2.72) Nghiệm tổng quát phương trình (2.72) X(x) = Acosh(mx) + Bsinh(mx) Vì X(0) = 0, theo A = Điều kiện X(L) = dẫn đến B sinh(mL) = Vì sinh(mL) = 0, B = ta có nghiệm tầm thường với λ < Nếu λ = 0, toán giá trị biên tương ứng X (x) = 0, X(0) = X(L) = Nghiệm tổng quát X(x) = C + Dx Từ X(0) = 0, ta có C = Từ X(L) = 0, DL = D = Một lần nữa, ta có nghiệm tầm thường Cuối cùng, ta giả sử λ = k > Giá trị biên tương ứng toán X + k X = 0, X(0) = X(L) = (2.73) Nghiệm tổng quát cho phương trình (2.73) X(x) = E cos(kx) + F sin(kx) Vì X(0) = 0, theo E = 0; từ X(L) = 0, ta F sin(kL) = Với nghiệm không cần thiết, F = sin(kL) = Điều nghĩa kn L = nπ , n = 1, 2, 3, Tóm lại nπx Xn (x) = Fn sin , L 2 λn = nLπ2 Chuyển sang giải phương trình cho biến thời gian, ta dùng λn = n2 π L2 phương trình (2.71) a2 n2 π Tn = Tn + L2 Nghiệm tổng quát tương ứng a2 n2 π Tn (t) = Gn exp − t L2 40 Do đó, ta có hàm nπx a2 n2 π un (t, x) = Bn sin exp − t , n = 1, 2, 3, , L L2 Bn = Fn Gn nghiệm cụ thể phương trình (2.65) thỏa mãn điều kiện biên Sau tìm giá trị riêng λn hàm riêng, ta giải với Tn (t) Nghiệm un (t, x) tích hàm riêng Tn (t) Ta tìm nghiệm cụ thể cho toán, nghiệm tổng quát có dạng: ∞ a2 n2 π nπx exp − t (2.74) u(t, x) = Bn sin L L n=1 Hệ số Bn chọn cho công thức (2.74) thỏa điều kiện ban đầu (2.66) với t = Do đó, đặt t = cơng thức (2.74), ta thấy từ công thức (2.66), hệ số Bn phải thỏa mãn mối quan hệ ∞ nπx , < x < L f (x) = Bn sin L n=1 Đây chuỗi Fourier sin cho f (x) khoảng (0, L) Do đó, cơng thức nπx L f (x) sin dx, n = 1, 2, 3, Bn = L L thu hệ số Bn Ví dụ, L = π u(0, x) = x(π − x) π Bn = x(π − x) sin(nx)dx π π π − (−1)n =2 x sin(nx)dx − x sin(nx)dx = π n3 π Vì thế, u(t, x) = π ∞ n=1 sin[(2n − 1)x] −(2n−1)2 a2 t e (2n − 1)3 Ví dụ 2.4.2 Hãy giải phương trình truyền nhiệt ∂u 2∂ u =a , < x < L, < t, ∂t ∂x2 thỏa mãn điều kiện ban đầu u(0, x) = x, < x < L, điều kiện biên ∂u(t, 0) = u(t, L) = 0, < t ∂x (2.75) 41 2.5 u(x,t) 1.5 0.5 1.5 0.5 t 0 x Điều kiện ux (t, 0) = biểu diễn mặt tốn học khơng có nhiệt truyền qua biên bên trái Một lần nữa, ta sử dụng phương pháp tách biến ví dụ trước, số tách dương tạo nghiệm tầm thường Tuy nhiên, số tách âm X + k X = 0, (2.76) X (0) = X(L) = 0, (2.77) với ux (t, 0) = X (0)T (t) = u(L, t) = X(L)T (t) = Bài tốn (??) có nghiệm (2n − 1)πx , n = 1, 2, Xn (x) = cos 2L Nghiệm thời gian trở thành a2 (2n − 1)2 π t Tn (t) = Bn exp − 4L2 Do đó, theo nguyên lý chồng chất nghiệm, nghiệm tương đương tổng quát có dạng ∞ (2n − 1)πx a2 (2n − 1)2 π exp − t u(t, x) = Bn cos 2L 4L n=1 (2.78) Cuối cùng, ta tìm hệ số Bn Xét phương trình (2.78) t = 0, ∞ (2n − 1)πx u(0, x) = x = Bn cos , < x < L (2.79) 2L n=1 42 Từ đó, Bn tính cơng thức L x cos[(2n − 1)πx/(2L)]dx Bn = L x cos [(2n − 1)πx/(2L)]dx L 4L2 (2n−1)2 π (2n−1)πx 2L cos L + (2n−1)πx 2Lx (2n−1)π sin 2L = L x L + L 2(2n−1)π sin (2n−1)πx L 0 4L (2n − 1)π (2n − 1)π 8L cos − + sin (2n − 1)2 π 2 (2n − 1)π n 4L(−1) 8L − , =− (2n − 1)2 π (2n − 1)π với cos[(2n − 1)π/2] = sin[(2n − 1)π/2] = (−1)n+1 Do đó, nghiệm hoàn chỉnh ∞ 4L (−1)n (2n − 1)πx u(t, x) = − + cos π n=1 (2n − 1)2 π 2n − 2L = (2n − 1)2 π a2 t × exp − 4L2 (2.80) u(x,t) 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.5 0.6 0.4 t 0.2 x Ví dụ 2.4.3 Giải phương trình truyền nhiệt ∂u 2∂ u =a , < x < L, < t, ∂t ∂x2 u(0, x) = u(t, 0) = u(t, L) = θ 43 Ta sử dụng phương pháp tách biến Một lần nữa, ta thu phương trình vi phân thường, phương trình (2.70) phương trình (2.71) Các điều kiện ban đầu điều kiện biên trở thành, nhiên, X(0) = T (0) = 0, (2.81) X(L)T (t) = θ (2.82) Giả sử ta muốn nghiệm toán thời gian dài sau thời điểm ban đầu t = Từ kinh nghiệm thực tế, ta biết tính dẫn nhiệt với điều kiện biên độc lập với thời gian cuối dẫn đến tiến hóa từ điều kiện ban đầu đến nghiệm cân độc lập với thời gian Nếu biểu diễn nghiệm cân w(x), phải thỏa mãn phương trình nhiệt a2 w (x) = 0, (2.83) w(0) = 0; w(L) = θ (2.84) điều kiện biên Ta tích hợp cơng thức (2.83) để w(x) = A + Bx, điều kiện biên (2.84) trở thành θx (2.85) L Rõ ràng phương trình (2.85) khơng thể thỏa mãn điều kiện ban đầu Tuy nhiên, thêm nghiệm v(t, x) phụ thuộc thời gian vào w(x) cho w(x) = u(t, x) = w(x) + v(t, x), thỏa mãn điều kiện ban đầu v(0, x) = u(0, x) − w(x), (2.86) v(t, x) dần t → ∞ Hơn nữa, w (x) = w(0) = w(L) = θ, ∂v ∂ 2v = a2 , < x < L, < t, (2.87) ∂t ∂x với điều kiện biên v(t, 0) = v(t, L) = 0, < t (2.88) 44 Ta giải phương trình (2.86), phương trình (2.87) phương trình (2.88) phương pháp tách biến tương tự Ví dụ 2.4.1 Tuy nhiên, thay cho f (x) ta có u(0, x) − w(x) −w(x) u(0, x) = Do đó, nghiệm v(t, x) ∞ a2 n π nπx exp − t , v(t, x) = Bn sin L L n=1 với L nπx Bn = −w(x) sin dx L L L θx nπx = dx − sin L L L 2θ L2 nπx = − 2 sin L nπ L nπx xL cos − nπ L 2θ = (−1)n nπ Do đó, nghiệm phương trình ∞ θx 2θ nπx (−1)n u(t, x) = + sin exp L π n=1 n L − u(x,t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.15 0.8 0.1 0.6 0.4 0.05 t 0.2 x Ví dụ 2.4.4 Hãy giải phương trình truyền nhiệt ∂u ∂ 2u = a2 , < x < L, < t, ∂t ∂x thỏa mãn điều kiện biên Neumann ∂u(t, 0) ∂u(t, L) = , < t, ∂x ∂x L a2 n2 π t L2 (2.89) 45 điều kiện ban đầu u(0, x) = x, < x < L Bây ta cách nhiệt hai đầu Giả sử u(t, x) = X(x)T (t), T X = = −k , aT X số tách âm Các điều kiện Neumann đặt ux (t, 0) = X (0)T (t) = ux (t, L) = X (L)T (t) = cho X (0) = X (L) = Bài toán X + k X = 0, X (0) = X (L) = 0, cho nghiệm phụ thuộc x với nghiệm riêng: nπx Xn (x) = cos , L kn = nπ/L n = 1, 2, 3, Nghiệm phụ thuộc thời gian thỏa mãn phương trình a2 n π 2 Tn + a kn Tn = Tn + Tn = 0, L2 có dạng a2 n2 π Tn (t) = An exp − t L2 Do đó, nghiệm ứng với số tách âm nπx a2 n2 π un (t, x) = Xn (x)Tn (t) = An cos t exp − L L2 Khơng giống tốn trước, có nghiệm không tầm thường ứng với số tách Trong trường hợp này, nghiệm X(x) có dạng X(x) = Ax + B Các điều kiện biên X (0) = X (L) = buộc A = B lấy tùy ý Do đó, hàm riêng trường hợp cụ thể X0 (x) = 46 Trong trường hợp này, T0 (t) = 0, phần phụ thuộc thời gian số mà ta cho A0 /2 Do đó, nghiệm tương ứng với số tách A0 Nghiệm tổng quát toán tổng tất nghiệm có: ∞ A0 nπx a2 n π u(t, x) = + An cos exp(− t) (2.90) 2 L L n=1 u0 (t, x) = X0 (x)T0 (t) = Khi thay t = vào cơng thức (2.90), ta xác định An ∞ A0 nπx u(0, x) = x = + An cos L n=1 đơn kahi triển Fourier cosin x khoảng (0, L) Ta có L A0 = xdx = L, L L nπx An = x cos dx L L L L2 nπx xL nπx = cos + sin L n2 π L nπ L 2L = 2 [(−1)n − 1] nπ Vậy ∞ L 4L (2m − 1)πx a2 (2m − 1)2 π u(t, x) = − cos t exp − π m=1 (2m − 1)2 L L2 (2.91) u(x,t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.8 0.6 0.1 t 0.4 0.2 x 47 Ví dụ 2.4.5 (Bài tốn hỗn hợp hai chiều) Giải phương trình: ut − a2 (uxx + uyy ) = (a = const; t > 0; ≤ x ≤ L, ≤ y ≤ M ) (2.92) với điều kiện biên: u|x=0 = 0, u|x=L = 0, u|y=0 = 0, u|y=M = điều kiện ban đầu: u|t=0 = f (x, y) Bài tốn giải phương pháp tách biến Giả sử nghiệm riêng tốn thỏa mãn phương trình điều kiện biên viết dạng: u = X(x)Y (y)T (t) Ta thấy ut = XY T , uxx = X Y T, uyy = XY T Thay vào phương trình (2.92) ta có:XY T − a2 (X Y T + XY T ) = Từ ta thu hệ phương trình: X − C1 X = Y − C2 X =  T − a2 (C1 + C2 )T = Bài toán có nghiệm khơng tầm thường khi: C1 = −λ2 < 0, C2 = −µ2 < Khi đó, hệ phương trình  trở thành: X + λ2 X = Y + µ2 X =  T + a2 (λ2 + µ2 )T = (2.93) Từ rút X = C1 cos λx + D1 sin λx; Y = C2 cos µy + D2 sin µy T = A.e−a (λ2 +µ2 )t Để hàm u = XY T thỏa mãn điều kiện biên, ta phải đặt X|x=0 = X|x=L = 0; Y |y=0 = X|y=M = Từ (2.93) ta có λk1 = k1 π k2 π , µk2 = L M 48 Suy 2 k1 k2 + L M2 k1 πx k2 πy , Y (y) = D2 sin L M k1 k2 số nguyên tùy ý khác không T (t) = A.e − π a2 t , X(x) = D1 sin Nghiệm riêng phương trình u = XY T có dạng: uk1 ,k2 = ak1 ,k2 e − 2 k2 k1 + L M2 π a2 t sin λk1 x sin µk2 y Nghiệm tốn có dạng ∞ ∞ ∞ ∞ ak1 ,k2 e uk1 ,k2 = u= − 2 k1 k2 + L M2 π a2 t sin k2 =1 k1 =1 k2 =1 k1 =1 k2 πy k1 πx sin L M Hàm thỏa mãn phương trình (2.92) điều kiện biên Từ điều kiện ban đầu, ta có: ∞ ∞ f (x, y) = ak1 ,k2 sin k2 =1 k1 =1 k2 πy k1 πx sin L M Thành thử để xác định hệ số ak1 ,k2 , ta phải phân tích hàm f (x, y) thành chuỗi Fourier hai lớp theo sin Chú ý rằng: M L k3 πx k2 πy k4 πy LM k1 πx sin dx sin sin dy = δ13 δ24 sin L L M M 0 Suy L M k2 πη k1 πξ f (ξ, η) sin ak1 ,k2 = sin dηdξ LM 0 M L Ví dụ 2.4.6 Giải phương trình: ut − a2 (uxx + uyy ) = 0(a = const; t > 0; ≤ x ≤ L, ≤ y ≤ M ) với điều kiện biên: u|x=0 = 0, u|x=L = 0, u|y=0 = 0, u|y=M = điều kiện ban đầu: u|t=0 = f (x, y) = Axy(L − x)(M − y) Giải toán phương pháp tách biến tương tự ví dụ ta thu cơng thức: ∞ ∞ u= ∞ ∞ − uk1 ,k2 = k2 =1 k1 =1 ak1 ,k2 e k2 =1 k1 =1 k2 k1 + M22 L2 π a2 t sin k1 πx k2 πy sin L M 49 với ak1 ,k2 L M k1 πξ k2 πη sin dηdξ = f (ξ, η) sin LM 0 M L M L k2 πη k1 πξ = Aξη(L − ξ)(M − η) sin sin dηdξ LM 0 M L 16AL2 M − (−1)k1 − (−1)k2 = 3 π k1 k2 Suy ∞ ∞ u= k2 =1 k1 16AL2 M − (−1)k1 − (−1)k2 3 π k1 k2 =1 − ×e 2 k2 k1 + L M2 π a2 t sin k2 πy k1 πx sin L M 50 Kết luận Khóa luận trình bày • Tổng hợp kiến thức để giải phương trình truyền nhiệt • Tính tốn chi tiết sửa số lỗi sai chứng minh • Giải số ví dụ phương trình truyền nhiệt phương pháp tách biến Fourier Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận cịn có sai sót, tác giả mong nhận góp ý q thầy bạn đọc Hướng nghiên cứu tương lai • Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải phương trình truyền nhiệt • Nghiên cứu khái niệm nghiệm yếu • Tìm hiểu thêm phương pháp khác giải phương trình truyền nhiệt ví dụ phương pháp sử dụng biến đổi Laplace, Fourier 51 Phụ lục Phần trình bày số code Matlab để vẽ hình ví dụ khóa luận Ví dụ 2.4.1 clear M = 20; dx = pi/25; dt = 0.05; X = [0:dx:pi]; T = [0:dt:2]; u = zeros(length(T),length(X)); XX = repmat(X, [length(T) 1]); TT = repmat(T’,[1 length(X)]); for m = 1:M temp1 = 2*m-1; coeff = / (pi * temp1 * temp1 * temp1); u = u + coeff * sin(temp1*XX) * exp(-temp1 * temp1 * TT); end surf(XX, TT, u) xlabel(’x’,’Fontsize’,18); ylabel(’t’,’Fontsize’,18) zlabel(’u(x,t)’,’Fontsize’,18) Ví dụ 2.4.2 clear M = 200; dx = 0.02; dt = 0.05; sign = -1; for m = 1:M temp1 = 2*m-1; a(m) = 2/(pi*temp1*temp1) + sign/temp1; sign = - sign; end X = [0:dx:1]; T = [0:dt:1]; u = zeros(length(T),length(X)); XX = repmat(X, [length(T) 1]); TT = repmat(T’,[1 length(X)]); for m = 1:M temp1 = (2*m-1)*pi/2; u = u + a(m) * cos(temp1*XX) * exp(-temp1 * temp1 * TT); end u = -(4/pi) * u; surf(XX, TT, u); axis([0 1 1]); xlabel(’x’,’Fontsize’,18); ylabel(’t’,’Fontsize’,18) zlabel(’u(x,t)’,’Fontsize’,18) Ví dụ 2.4.3 clear 52 M = 1000; dx = 0.01; dt = 0.01; X = [0:dx:1]; T = [0:dt:0.2]; XX = repmat(X, [length(T) 1]); TT = repmat(T’,[1 length(X)]); u = XX; sign = -2/pi; for m = 1:M coeff = sign/m; u = u + coeff * sin((m*pi)*XX) * exp(-(m*m*pi*pi) * TT) ; sign = - sign; end surf(XX, TT, u); axis([0 0.2 1]); xlabel(’x’,’Fontsize’,18); ylabel(’t’,’Fontsize’,18) zlabel(’u(x,t)’,’Fontsize’,18) Ví dụ 2.4.4 clear M = 100; dx = 0.01; dt = 0.01; X = [0:dx:1]; T = [0:dt:0.3]; u = zeros(length(T),length(X)); u = 0.5; XX = repmat(X, [length(T) 1]); TT = repmat(T’,[1 length(X)]); for m = 1:M temp1 = (2*m-1) * pi; coeff = / (temp1*temp1); u = u - coeff * cos(temp1*XX) * exp(-temp1 * temp1 * TT); end surf(XX, TT, u); axis([0 0.3 1]); xlabel(’x’,’Fontsize’,18); ylabel(’t’,’Fontsize’,18) zlabel(’u(x,t)’,’Fontsize’,18) 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Chính Cương (2016) Bài tập phương pháp toán lý, Nhà xuất Đại học Sư Phạm [2] Trần Đức Vân (2005) Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] D Borthwick (2017), Introduction to Partial Differential Equations, Springer International Publishing [4] D.G Duffy (2016) Advanced Engineering Mathematics with MATLAB CRC Press [5] M.R Ebert and M Reissig (2018), Methods for Partial Differential Equations: Qualitative Properties of Solutions, Phase Space Analysis, Semilinear Models, Springer International Publishing [6] L.C Evans (2010), Partial Differential Equations,American Mathematical Society [7] D.F Griffiths, J.W Dold and D.J Silvester (2015), Essential Partial Differential Equations: Analytical and Computational Aspects, Springer International Publishing [8] R.B.Guenther and J.W Lee (2012), Partial Differential Equations of Mathematical Physics and Integral Equations, Dover Publications ă [9] M Marin and A.Ochsner (2018) , Essentials of Partial Differential Equations: With Applications, Springer International Publishing [10] T Olson (2017), Applied Fourier Analysis: From Signal Processing to Medical Imaging, Springer New York ... cơng cụ giống - phương trình đạo hàm riêng Trong loại phương trình đạo hàm riêng, phương trình truyền nhiệt đóng vai trị quan trọng Phương trình truyền nhiệt mô tả tượng truyền nhiệt vật, khuếch... liệu phương trình truyền nhiệt chọn đề tài: "Phương trình truyền nhiệt ứng dụng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu Thực đề tài ? ?Phương trình truyền nhiệt ứng dụng? ??, chúng tơi... biệt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic, hyperbolic parabolic với đại diện chúng phương trình Laplace, phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt