Cac PP tinh tich phan

TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. 5.[r]

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN BẢNG NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm hàm số

sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số

thường gặp

Nguyên hàm hàm số hợp

∫dx=x+C ∫xαdx=xα+1

α+1+C(α ≠1) ∫dxx =ln|x|+C(x ≠0) ∫exdx=ex+C ∫axdx= a

x

lna+C(0<a ≠1)

∫cos xdx=sinx+C ∫sin xdx=−cosx+C ∫cos12

x dx=tanx+C

∫sin12

x dx=−cotx+C

∫d(ax+b)=1

a(ax+b)+C

∫(ax+b)αdx=1

a

(ax+b)α+1

α+1 +C(α ≠1) ∫dxax+b=1

aln|ax+b|+C(x ≠0)

∫eax+bdx=1

ae ax+b

+C ∫cos(ax+b)dx=1

asin(ax+b)+C

∫sin(ax+b)dx=−1

acos(ax+b)+C

∫cos2(ax1

+b) dx=

a tan(ax+b)+C

∫

sin2(ax+b) dx=−

1

acot(ax+b)+C

∫du=u+C ∫uαdu=uα+1

α+1+C(α ≠1) ∫duu =ln|u|+C(u ≠0) ∫eudu=eu+C ∫audx= a

u

lna+C(0<a ≠1)

∫cos udu=sinu+C ∫sin udu=−cosu+C ∫cos12

udu=tanu+C

∫sin12

u du=−cotu+C

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

I Phương pháp đổi biến số :

'

( ) ( ( )) ( )

f x dx f  t  t dt

∫ ∫

Một số công thức đổi biến số đặc biệt:

1

√a2− x2 đặt: x = asint ⇒dx=acos tdt

2

√a2

+x2 đặt: x = atant ⇒dx=

a

cos2t dt

3

√x2− a2 đặt: x= a

cost ⇒dx=

sint

cos2t dt (tiếp tục đổi biến số, đặt: u = sint)

4

√x(a − x) đặt: x = asin

2t

II Phương pháp tích phân phần: ∫

a b

udv=uv¿ab−∫ a b

vdu

1

¿

u=¿dv=¿ { ¿

∫P(x) hàm mũ 3 ∫P(x) hàm logarit P(x)

hàm mũ

2. ∫P(x) hàm lượng giác 4. ∫❑ hàm mũ hàm lượng giác

1

1

Đặt:

¿

u=hàm logarit dv=P(x)

¿ { ¿

Đặt:

¿

u=P(x) dv=hàm l giác

¿ { ¿

Đặt: tùy ý (thường u = l.giác)

Ngồi ra:

1 Dưới dấu tích phân chứa hàm logarit hàm lượng giác ngược

Đặt: u = logarit or lượng giác ngược Ví dụ 1: I=∫ln xdx

¿

u=lnx dv=dx

→

¿du=dx

x v=x ⇒I=xlnx −∫dx

¿{ ¿

Ví dụ 2: I=∫xarctanxdx ¿

u=arctanx

dv=xdx

→

¿du=dx 1+x2 v=x

2

2 (v=

x2+1 ) ⇒I=x

2

+1

2 arctanx − 2∫dx ¿{

¿

2.Dưới dấu tích phân chứa hàm: sin(lnax), cos(lnax), …

Đặt: u = sin(lnax), cos(lnax), … (tích phân phần lần)

Ví dụ:

¿ sin(lnx)dx→

u=sin(lnx) dv=dx

→

¿du=1

xcos(lnx)dx v=x

⇒I=xsin(lnx)−∫cos(lnx)dx(I1)

¿I=∫❑{ ¿

III Tích phân hàm phân thức hữu tỉ dạng: P(x)

Q(x) (với P(x), Q(x) đa thức)

1 Nếu bậc P(x) Q(x): dùng PP chia đa thức Nếu bậc P(x) < Q(x): dùng PP đồng thức

IV Tích phân chứa trị tuyệt đối: I = ∫

a b

|f(x)|dx

- Bước 1: Lập bảng xét dấu f(x) [a,b]

Ví dụ:

- Bước 2: Chia tích phân I thành tích phân nhỏ dựa vào bảng xét dấu (ghi kèm dấu)

I = ∫

a b

|f(x)|dx=∫ a x1

f(x)dx−∫ x1 x2

f(x)dx+∫ x2 b

f(x)dx

V Tích phân hàm lượng giác

Dạng: ∫R(sinx ,cosx)dx (R hàm hữu tỉ theo sinx cosx)

PP chung: Đặt

t=tan x 2→

x=2 arctant

dx= 1+t2dt

¿ {

sinx= 2t

1+t2;cosx=

1−t2

1+t2

Ví dụ: I=∫dx

8−4 sinx+7 cosx

Đặt:

t=tan x 2→

x=2 arctant

dx= 1+t2dt

¿ { ⇒I=2∫dt

t2−8t

+15=2∫ dt

(t −3)(t −5) (dùng PP đồng hệ số để giải) Chú ý:

+ Nếu R hàm lẻ sinx: R(-sinx) = - R(sinx) → đặt: t = cosx Ví dụ: I=∫sinx

1+cos2xdx→t=cosx

+ Nếu R hàm lẻ cos: R(-cosx) = - R(cosx) → đặt: t = sinx Ví dụ: I=∫cosx

1+sin2xdx→ t=sinx

+ Nếu R hàm chẳn theo sinx, cosx → đặt: t = tanx Ví dụ: I=∫sin

2 x

cos4x dx→ t=tanx

1 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ. a Đổi biến số dạng :

Bài 1: Tính tích phân sau:

a  

2

3

0

I cos x cos x.dx



∫ 

b

1

2

0

5 I ∫x x  dx

c

 

2

sin 1 cos

J x xdx



∫ 

d

1

2

1

I dx

x 

 ∫

e

2

2

4

J ∫  x dx

Bài : Tính tích phân sau:

a/

1 01

dx I

x 

 ∫

b/

3

0 2

dx J

x x





 

∫

c /E=

1

1

2 2dx

x  x ∫

d/

1

0

dx F

x x



  ∫

3 BÀI TẬP

a x b

1

x 2

0 - 0

x

+ +

b Đổi biến số dạng :

Bài 1: Tính tích phân sau:

a)

 

1

5

0

2x1 dx

∫

b)

2

ln

e e

dx x x

∫

c)

1

4

x

dx

x x

  

∫

d)

2

2

1 (2 1)

dx x ∫

e)

2

3

2

cos(3 )

3

x dx





 

∫

f/

2

ln

e

e dx I

x x ∫

g/

ln

ln 3

x x dx K

e e



 

∫

h/ 3ln

e dx E

x x



 ∫

i/

1

1

F ∫x  xdx

j/

3

(1 )

dx G

x x



 

∫

k/

1

0

1

x

H dx

x  

 ∫

l/

2

11

x

J dx

x 

 

∫

m/

1 3ln ln

e

x x

M dx

x  ∫

n/

2

( 1)

ln

x dx N

x x x

 

 ∫

o

1

2

0

5 I ∫x x  dx

Bài 2: Tính tích phân sau:

a/

4

3

sx (sinx+cosx)

co

J dx



∫

b/

2

0

sin sin x

1 3cos

x L

x



 

 ∫

c/

2

0

sin cos

1 sx

x x

I dx

co



  ∫

d/

2

2

0

sin

s 4sin

x

M dx

co x x





 ∫

e/ N=

/ 3

2

sin cos

x dx x



∫

f/

2

2

sin x-cosx (sinx+cosx)

K dx





∫

Bài 3: Tính tích phân sau:

a/

3

sin

I xtgxdx



∫

b/

2

cos

J xdx



∫

c/

2

4

0

cos sin

M x xdx



∫

d/

2

0 cos sin

dx N

x x





 

∫

(đ

x t tg

) e/ L=

2

4

s x

xco dx



∫

f/

4

4 cos 2007x

x

I dx



 



 ∫

g/

4

1 sin 2x cos

J dx

x



 ∫

h/

4

0

3sin cos

sin cos

x x

A dx

x x



 

 ∫

2.TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.

Bài 1: Tính tích phânsau:

a/ A=

1

x

x e dx ∫

b/ B=

1

x

x e dx

∫

c/ C=

ln

0 x

x e dx

∫

d/ D=

3

1

.x x e dx ∫

e/ E=

1

0 x x dx ∫

f/ F=

1

2

0

( 1) x

x  e dx ∫

g/ G=

3 1/

.x x e dx ∫

Bài 2: Tính tích phân sau:

a/ A=

.sin

x x dx



∫

b/ B=

/

0

(x 1).cos x dx



 ∫

c/ C=

/ 2

.cos

x x dx



∫

d/D =

(2 x).sin x dx ∫

e/ E=EMBED Equation.DSMT4

2

.cos3

x

e x dx

∫

f/ F=

EMBED Equation.DSMT4

/

s

x

e co x dx



∫

g/ G=

2

0

.sin

x

e x dx



∫

h/ H=

/ 2

(x 2x 3).sin x dx



 

∫

i/ I=

2/ 4

0

sin x dx



∫

k/ K=

cos(ln )

e

x dx



∫

l/L=

/ /

ln(sin ) cos

x dx x



∫ m/

3 2

ln( )

M ∫ x  x

Bài 1: Tính tích phânsau:

a/

1

x

x e dx ∫

b/

1

x

x e dx

∫

c/

ln

0 x

x e dx

∫

d/

3

1

.x x e dx ∫

e/

1

0 x x dx ∫

f/

1

2

0

(x 1).e dxx

 ∫

g/

3 1/

.x x e dx ∫

Bài 2: Tính tích phân sau:

a/ 0

.sin

x x dx



∫

b/

/

0

(x 1).cos x dx



 ∫

c/

/ 2

.cos

x x dx



∫

d/

/

0

(2 x).sin x dx



 ∫

e/

/ 2

.cos3

x

e x dx



∫

f/

/

0

s

x

e co x dx



∫

g/

2

0

.sin

x

e x dx



∫

h/

/ 2

(x 2x 3).sin x dx



 

∫

i/

/ 2 / 4sin

x dx x



∫ j/

/

cos

x dx x



∫

k/

/

0

cos nx dx



∫

l/

/

n tg x dx



∫

Bài 3: Tính tích phân sau:

a/ ln

e x dx ∫

b/

5

2

2 ln(x x1).dx ∫

c/

2

1

(2x1).ln x dx ∫

d/

 2

1

ln

e

x dx ∫

e/

2

.ln

e

x x dx ∫

f/

2

(1 ln )

e

x dx 

∫

g/

3

ln

e

x dx ∫

h/

1

2

.ln(1 )

x x dx ∫

i/

2

ln

e

e x

dx x ∫

j/

2

1 ln

e x

dx x ∫

k/

2

ln( 1)

1

e

x x dx

x

 

   



 

∫

Bài 4: Tính tích phân sau:

a/

2

2

1

ln ln

e

e

dx

x x

 



 

 

∫

b/

/ /

ln(sin ) cos

x dx x



∫ c/

cos(ln )

e

x dx



∫

d/  

2

2

ln 1x  x dx

∫

e/

 2

1

2

.ln

x x x

dx x

 

 ∫

f/

2/ 4

0

sin x dx



∫

g/

2

2 /

cos x dx



∫ h/

2

.ln

e

x x dx ∫

Bài 5: Tính tích phân sau:

a/

sin(ln )

e

x dx x ∫

b/

cos(ln )

e

x dx



∫

c/

/

/ 6sin cot

dx

x gx



∫

d/

cos

( x )sin

e x x dx



 ∫

e/ I =  

/

3

sin sinx x dx



 ∫

f/ J =

 

/

2

sin cos cosx x x dx



 ∫

g/ K =

 

/

0

sin ln cos x x dx



 ∫

h/ H =  

 

/

2

1 tg x ln tgx dx



 

∫

3 TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1: Tính tích phân sau: a/ 2 3

A x x dx



∫  

b/

2

01

dx D x    ∫

c/  

2

1

C x x dx



∫  

Bài 2: Tính tích phân sau :

a/ A= dx x ∫   sin b/ 2

5 cos 4sin

B x xdx

 ∫   c/ s2x

E co dx



∫ 

MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1: Tính tích phân sau:

a/

1

3

0

( 1)

x x  dx ∫

b/

1

5

(1 ) x dx ∫ c/ x dx x  ∫ d/

(1x) (2x3)dx ∫

e/

1

2

0

(1 )n

x x dx ∫ f/ y dy y

∫  g/

3 16 x dx x  ∫ h/ 1 x dx x   ∫ i/ 1 x dx x   ∫ j/ 1 1dx x  ∫ k/ 3 3dx x  ∫ l/ 2 1 9dx x  ∫ m/ 2 1

6 9dx

x  x ∫

n/ o/

1

0

x

dx x  x ∫ p/ 2 x dx x x    ∫ q/ 4 x dx x x    ∫ r/ x dx x   ∫ s/ 1 dx x x ∫ t/

4 3dx

x  x  ∫ u/ x dx x  ∫ v/

2 3dx

x x  ∫

Bài 2: Tính tích phân sau:

a/

2

1

2

x x dx ∫ b/ 3 4 x dx x   ∫ c/ 3 4 x dx x    ∫ d/ 1 x dx x   ∫ e/ 3 x dx x  ∫ f/ 3

x x dx ∫

g/

7 / 3 x dx x   ∫ h/

8 4 xdx ∫ i/

x x  dx ∫

j/

1

0 2 x dx ∫

k/

5

1/

2

x x dx ∫ l/ 2

x  x dx ∫ m/ 3

x x  dx ∫ n/ 2 3 x dx x  ∫ o/

x x  dx ∫

p/

4

0 1x dx ∫

q/

1

0 1 xdx ∫

r/

 2

3 1 x dx x   ∫ s/ x dx x  ∫ t/ 1 dx x x ∫

Bài 3: Tính tích phân sau:

a/

1

1

x  dx ∫

b/

1

2

1 x dx ∫

c/  

1 2 1 dx x ∫  c”/ 1

1 1dx

x  x ∫

d/

1

2 /

1 x dx x  ∫ e/ dx x  ∫ f/ 2 x dx x  ∫ g/ 2 1 x dx x  ∫ h/ x dx x  ∫ i/

1/ 2

2 x dx x  ∫

j/  

1 1 dx x  ∫ k/ 3 2 9dx

x x  ∫

l/

2

2 /

x  x dx ∫

m/

2 1 x x dx x    ∫

Bài 4: Tính tích phân sau:

a/

/

sin ( )

4 x dx

   ∫ b/ / /

cotgx dx



∫ c/

 

0

2cos3x 3sin 2x dx

  ∫ d/ /

sin cos x x dx

 ∫ e/ / tgx dx  ∫ f/ cos dx x ∫ g/ / sin 3cos x dx x   ∫ h/

/ 3

2 sin cos x dx x  ∫ i/

/

0 4sin cos x dx x   ∫ j/ / / 4sin

dx x



∫ k/

/ cos sin x dx x   ∫ l/ / 2

0 9cos 4sin

dx x x   ∫ m/

/ 4

8 sin cos x dx x  ∫ n/ / tg xdx  ∫ o/ /

0 sin 2cos

dx

x x



 

∫

p/  

/

5

0

sin x cos x dx

  ∫ q/ / sin cos 2sin x x dx x    ∫ r/ /

cos3 sin x x dx



∫

s/

/

2 sin

dx x   ∫ t/ / cos sin cos x dx x x   ∫ u/ / sin sin cos x dx x x   ∫ v/ /

0 sin

dx x   ∫ w/

/

/ cos sin x dx x 

∫ x/

/

0 cos

2 sin

x sinx dx x    ∫ a’/ /

1 4sin cos x x dx



 ∫

b’/

/

0 cos

dx x



 ∫

c’/

sin cos

sin 2cos

x x dx x x      ∫ d’/ / cos cos

x dx x   ∫ e’/ / cos dx x  ∫ f’/ / cos 2sin x dx x   ∫ g’/ /

1 2sin cos x dx x   ∫ h’/ / 2 /

sin cos x x dx



∫ i’/

/ / 6sin cos

dx

x x



∫ j’/

/ sin sin x dx x   ∫ k’/ /12

0 sin 4

3 dx x          ∫ l’/ / cos

.sin

x

e x dx



∫

m’/

/

2

0 sin 2sin cos 8cos

dx

x x x x



 

∫

Bài 5: Tính tích phân sau:

a/

1

x e dx

∫ b/ x e x dx ∫ c/ 2 x x e e dx

       ∫ d/ 1 x dx e  ∫ e/ ln 1 x x e dx e   ∫ f/ x e dx x ∫ g/

(ln 2) / x x e dx e  ∫ h/ ln ln(3/ 2) x e  dx ∫

i/

2ln

ln x

dx e  ∫ j/ 1 x x e dx e  ∫ k/ ln ln e x dx

x  x

∫

l/

1 ln e x dx x  ∫ m/

ln ln

e x x dx x  ∫

n/ ln

e

dx

x  x

∫ o/ / sin cos x

e x dx