BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN HỒNG VINH ỨNG DỤNG TOÁN RỜI RẠC TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 9/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN HỒNG VINH ỨNG DỤNG TOÁN RỜI RẠC TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN ĐÀ NẴNG, 9/2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Trịnh Đào Chiến Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Phan Hồng Vinh MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… 1 Lý chọn đề tài…………………………… …………………….1 Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu…….……………………………2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………………….2 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài………………………… Cấu trúc luận văn……………………………………………… CHƯƠNG I ĐỊNH LÝ HALL…………………………………………… 1.1 ĐỊNH LÝ HALL……………………………………………… 1.2 MỘT SỐ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ HALL……………… 13 1.3 ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HALL ……………….…….… 18 CHƯƠNG II ĐỊNH LÝ TURAN………………………………………… 34 2.1 MỞ ĐẦU VỀ ĐỒ THỊ……………………………………… 34 2.2 ĐỊNH LÝ TURAN………………………………….………… 37 2.3 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TURAN…… …… 44 CHƯƠNG III ĐỊNH LÝ PICK VÀ LƯỚI ĐIỂM NGUYÊN …….…… 60 3.1 ĐỊNH LÝ PICK………………………………………………… 60 3.2 LƯỚI ĐIỂM NGUYÊN VÀ ÁP DỤNG ……………………… 66 KẾT LUẬN………………………………………………………………… 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI ( sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong đề thi chọn học sinh giỏi số nước Olympic Tốn quốc tế thường có số tốn bất quy tắc, khơng mẫu mực khó có phương pháp quen thuộc để giải Đa số toán đặc biệt hóa tổng hợp thêm từ kết cổ điển số lý thuyết chuyên ngành liên quan, chẳng hạn Lý thuyết Tổ hợp, Lý thuyết Đồ thị hữu hạn, Dưới góc độ phổ thơng, người ta gọi chung dạng tốn Tốn rời rạc (hay cịn gọi Tốn tổ hợp) Chúng có sơ cấp hóa từ kết tốn đại, với lời giải hồn tồn sơ cấp Cái khó là, làm để phát “cái gốc” Các Tốn rời rạc từ lâu đóng vai trị quan trọng việc rèn luyện tư toán học kỹ giải toán Bài Tốn rời rạc có số đặc điểm quan trọng mang tính khác biệt sau: Khơng địi hỏi nhiều kiến thức, giảng dạy bậc lớp khác nhau; Khơng có khn mẫu định cho việc giải (giống việc giải phương trình, khảo sát hàm số, tính tích phân), ln địi hỏi sáng tạo từ phía học sinh; Thường phát biểu lời văn, đòi hỏi học sinh phải có kỹ đọc, hiểu rút trích thơng tin, biết cách phát biểu lại ngơn ngữ tốn học Bài Tốn rời rạc thường mang tính thực tế tính thẩm mỹ cao, khiến học sinh yêu thích, ghi nhớ Các Toán rời rạc đa dạng, chia thành nhóm chủ đề sau: Các toán đếm, toán tập hợp, ánh xạ; Các toán đồ thị, đường đi, quan hệ; Các tốn trị chơi; Các tốn tơ màu; Các tốn phủ hình; Các tốn hình học tổ hợp (góc, độ dài cạnh, đường kính, diện tích …); Các tốn bảng vng; Các toán xác suất; Các toán lưới nguyên; Các toán liên quan đến định lý, Định lý Hall, Định lý Turan, Định lý Pick, Định lý Helly, Định lý Ramsey, Bổ đề Burnside, Bổ đề xích, Định lý Dilworth, Định lý Erdos - Szekeres, Định lý Mantel, Định lý Ward - Szabo, Định lý Sperner, Định lý Erdos-Ko-Rado, Luận văn đề cập đến phần nhỏ lớp kết này, Định lý Hall, Định lý Turan, Định lý Pick, lưới điểm ngun tìm tịi ứng dụng chúng để giải sáng tác số toán phổ thơng, đặc biệt hệ chun Tốn Đây định lý thường ẩn sau nhiều tốn khó đề thi chọn học sinh giỏi đề thi Olympic Tốn Do đó, việc nghiên cứu luận văn cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Đề cập đến việc ứng dụng số kết Toán rời rạc giải tốn Trung học phổ thơng, đặc biệt hệ chuyên Toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Định lý Hall, Định lý Turan, Định lý Pick, lưới điểm nguyên ứng dụng chúng Phạm vi nghiên cứu thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Từ tài liệu sưu tầm được, luận văn đề cập đến Định lý Hall, Định lý Turan, Định lý Pick, lưới điểm ngun tìm tịi ứng dụng chúng để giải sáng tác số tốn phổ thơng, đặc biệt hệ chuyên Toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài góp phần nghiên cứu phương pháp giải toán rời rạc phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Sau bảo vệ góp ý thầy hội đồng, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên, học sinh phổ thông quan tâm đến lĩnh vực Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành ba chương Mở đầu Giới thiệu sở khoa học tính thực tiễn đề tài, mục đích đề tài, nội dung đề tài số vấn đề khác theo quy định Chương Định lý Hall Giả sử có tình đặt sau: Có chàng trai tên Hùng, Dũng, Thắng cô gái tên Mai, Lan, Đào, Hồng Hùng quen với Mai, Đào Dũng quen với Lan Thắng quen với Mai, Lan, Hồng Tình tạo đến phương án ghép cặp với nhau, có tình mà chọn phương án ghép cặp Câu hỏi đặt là: có phương án ghép cặp này, để tổ chức đám cưới tập thể cho họ? Một tình thường ngày nêu lại đặt toán cho toán học toán giải Bằng ngôn ngữ tập hợp, điều khẳng định phát biểu dạng định lý: Định lý Hall Bởi nội dung trên, Định lý Hall gọi cách dân gian Định lý Đám cưới (Hall’s Marriage Theorem) Định lý lần phát biểu nhà toán học Philip Hall từ năm 1935 biết đến cách đầy đủ với chứng minh kết nhà toán học Marshall Hall năm 1948 Định lý Hall cho điều kiện cần đủ để họ tập hợp có hệ đại diện phân biệt Định lý Hall gốc số toán rời rạc, đề thi chọn học sinh giỏi số nước giới, có Việt nam Với tầm quan trọng ấy, toàn Chương đề cập đến Định lý Hall ứng dụng giải tốn phổ thông Chương Định lý Turan Định lý Turan dạng tổng quát hóa Định lý Mantel tính chất tối ưu đặc trưng đồ thị Nó đề cập đến kết đồ thị nói chung đồ thị lưỡng phân nói riêng Với tầm quan trọng ấy, toàn Chương đề cập đến Định lý Turan ứng dụng giải tốn phổ thơng Chương Định lí Pick lưới điểm nguyên Trong mặt phẳng tọa độ, điểm có hồnh độ tung độ số nguyên gọi điểm nguyên tập hợp điểm nguyên gọi lưới điểm nguyên hay lưới Gauss Do giới hạn tập số nguyên, nên việc sử dụng lưới điểm nguyên tỏ thuận lợi giải toán Số học Định lý Pick định lý cổ điển bản, cho ta cơng thức tính diện tích tam giác nguyên thông qua số điểm nguyên nằm bên tam giác Kết luận Nêu tóm tắt kết mà luận văn đạt Tài liệu tham khảo CHƯƠNG I ĐỊNH LÝ HALL Trong chương này, luận văn tập trung tìm hiểu nội dung định lý Hall số hệ định lý Từ áp dụng Định lý Hall để giải số tốn chương trình tốn Trung học phổ thơng, đặc biệt hệ Chun tốn 1.1 ĐỊNH LÝ HALL Giả sử có tình đặt sau: Có chàng trai tên Hùng, Dũng, Thắng cô gái tên Mai, Lan, Đào, Hồng Hùng quen với Mai, Đào Dũng quen với Lan Thắng quen với Mai, Lan, Hồng Tình tạo đến phương án ghép cặp với nhau, có tình mà chọn phương án ghép cặp Câu hỏi đặt là: có phương án ghép cặp này, để tổ chức đám cưới tập thể cho họ? Tổng quát hơn, giả sử có n chàng trai quen với số gái Mỗi chàng trai quen với nhiều gái, gái khơng quen q chàng trai Tìm điều kiện cần đủ để tổ chức đám cưới tập thể cho chàng trai cưới gái quen Có thể mơ hình hóa tốn tập hợp Ta có định lý sau: Định lý 1.1 ( Định lý Hall ) Gọi Ai , i  1,2, , n tập hợp cô gái mà chàng trai thứ i quen Khi với i1,i , , ik 1,2, , n thỏa mãn Ai1 Ai2 Aik  k (Điều kiện Hall) tồn  a1, a2 , , an   A1  A2   An cho  a j với i  j 67 điểm nguyên ( hay lưới Gauss) Do giới hạn tập nên việc sử dụng lưới điểm nguyên tỏ thuận lợi giải toán Số học Bài toán 3.2 Cho p , q   p 2p q q        p, q   Chứng minh   q  1 p   q   2q      q    p  p    p  1 q   p  1 q  1   p    a  phần nguyên số a, tức số nguyên lớn không vượt a Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét điểm nguyên nằm hình chữ nhật đường chéo OA , với A  p, q  Ta thấy có  p  1 q  1 điểm Do  p, q   nên khơng có điểm nằm đường chéo, OA chia chúng thành hai phần đối xứng Xét phần nằm OA , ta thấy số điểm nằm đường thẳng x  i,0  i  p 68  iq    p  MN    Vậy số điểm nằm đường chéo OA p 1  iq  i 1    p    p  1 q  1  Do tính đối xứng p q nên ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.3 Với số thực t  0, gọi d  t  số phân số tối giản mà  p , q  t  Với m , n   p q , tính tổng m m S d d  1 2 m  d  n Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta đồng phân số a ( không b thiết tối giản) với điểm M  a, b   Xét điểm ngun khơng nằm ngồi hình chữ nhật đường chéo AB, với A 1,1 B  m, n   Giả sử đường thẳng l qua O chứa điểm nguyên  p, q  ,  p,2q  , ,  kp, kq  với  p, q   1 Vì kp  m kq  n nên ta có p m m   k k 1 Suy phân số tối giản m m m d  , d  , , d    1 2 k  m n n , q   k k 1 n   p q lần số tính k 69 Điều cho thấy S số điểm khơng nằm hình chữ nhật đường chéo AB, ta có S  mn  Bài tốn 3.4 a) Chứng minh với n  N , tồn xn , yn  N cho 2n   xn  yn   3xn  yn  b) Với cặp  xn , yn  tìm câu a), chứng minh x1  x2   x2015  y1  y2   y2015  41664  Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi Tn điểm thứ n dãy điểm hình vẽ 70 Dễ dàng chứng minh tọa độ Tn  xn , yn  ta có  xn  yn   3xn  yn  2n  Do đó, kết câu a) hiển nhiên Bây giờ, ta chứng minh câu b) Để ý T2015 điểm thứ 62 trục hoành  2015 2015  V   OTi    xi ,  yi   i 1 i 1  i 1  2015 Gọi v vecto đường chéo hình vng đơn vị Dễ thấy tổng vecto OTi với điểm Ti nằm cạnh huyền tam giác cạnh k vuông cân O k  k  1 v , v 1      62  63 v  1        62  63   64  61   41664v  V Từ suy điều phải chứng minh Ứng dụng lưới điểm nguyên, có phương pháp thuận tiện để thiết lập chứng minh công thức tổ hợp Trong hệ tọa độ Oxy, người ta gọi đường từ M tới N đường gấp khúc nối M N , đường ngắn đường tạo đoạn thẳng đơn vị ngang dọc cho số đoạn thẳng Phương pháp chứng minh cơng thức tổ hợp số đường ngắn gọi phương pháp quỹ đạo 71 Chẳng hạn, công thức quen thuộc Cnk  Cnk11  Cnk1 nhìn nhận sau: có Cnk đường ngắn để từ O  0,0  tới A  n, n  k  , gồm Cnk11 đường ngắn từ O tới B  k  1, n  k  Cnk1 đường ngắn từ O tới C  k , n  k  1 ( lưu ý đường từ O tới A thiết phải qua B C ) Bài toán 3.5 Cho m, n, k   m  k Chứng minh Cmk n1  Cmk Cn0  Cmk 11Cn11   Cm0 k Cnkk  Lời giải Có Cmk n1 đường nối O  0,0  với M  m n  k  1, k  Mặt khác, dễ thấy có Cmk iiCni i đường cắt đường thẳng x  n  điểm có tung độ i  i  0,1, , k  gồm: Cni i đường nối O với điểm  n, i  , đường nối điểm  n, i  với điểm  n  1, i  Cmk ii đường nối điểm  n  1, i  với M Từ đó, ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.6 Có m  n người mua vé  n  m  , có m người mang tiền loại đồng, n người mang tiền loại đồng vé giá đồng Biết ban đầu người bán vé không mang theo tiền, hỏi có cách xếp m  n người vào mua vé để người thối tiền ( có) ? Lời giải Đặt  x1  x2   xi , xi  người thứ i mang tiền loại đồng -1 ngược lại 72 Bài toán quy việc đếm số đường qua điểm Ai  i,  mà khơng nằm trục hồnh mặt phẳng tọa độ Oxy Muốn ta tính số đường cắt đường thẳng  d  : y  1 Xây dựng song ánh từ đường Q đến đường Q đường nhận từ Q cho đối xứng phần Q kể từ điểm gặp  d  Nếu Q có x đoạn hướng lên y đoạn hướng xuống x  y  m  n y  x  n  m  , suy y  n  Vậy số đường Q Cmn1n , từ suy đáp số cần tìm Cmn n  Cmn1n  Để thấy rõ hiệu phương pháp , ta dùng cách khác để giải toán trường hợp đặc biệt m  n , cụ thể : Giả sử có 2n người khách, n người có đồng n người cịn lại có đồng Ta cần tính số cách xếp 2n người thỏa mãn điều kiện đề bài, tức người bán vé bán vé cho người khách mà phải đứng chờ 73 Ta xét tốn hình thức khác cho dễ lập luận Đặt 2n số, bao gồm n số n số lên hàng đánh số chúng từ đến 2n theo chiều từ trái sang phải Với  i  2n , ta gọi , bi số số số số tính từ vị trí i trở trước, dễ thấy i   bi , i  1,2, ,2n Chúng ta cần tính số trường hợp thỏa  bi , i Ta gọi S tập hợp hoán vị t1, t2 , , t2n  2n phần tử thỏa đề T tập hợp lại Khi đó, T  C2nn  S ta tính T trước Do cách xác định T nên với phần tử t   t1, t2 , , t2 n  T , ta thấy tồn số i thỏa  bi Gọi f  t  số thứ tự thỏa mãn  bi , tức trước đó, khơng bé bi thời điểm bi phần tử, tức f  t  phải số lẻ f  t    bi Khi đó, ta tính a f t   f t   f t   , b f t   , t f t   2 Tại thời điểm này, số số số số đơn vị nên ta đổi giá trị vị trí phía sau t f t  , từ sang 2, từ sang ta có hốn vị n  số n  số Xét ví dụ minh họa trường hợp n  sau T  1,2,2,1,2,2,2,1,2,1,1,1 ,  1,1,1,2,2,2,2,3,3,4,5,6 , bi  0,1,2,2,3,4,5,5,6,6,6,6 , f  t   3, a2  1, b2  1, t3  , 74 g  t   1,2,2,2,1,1,1,2,1,2,2,2 Khi đó, g ánh xạ từ T sang U , với U hoán vị n  số n  số Ta chứng minh g song ánh Thật vậy, gọi u phần tử U Ta đếm số số số số từ trái sang phải Gọi i vị trí nhỏ cho tính từ trước số số lớn số số 1, cách xác định U nên vị trí ln tồn Tiếp tục chuyển đổi sang 2, sang vị trí phía sau i Ban đầu, số số số số đơn vị i vị trí đầu điều 2n  i vị trí sau Sau thay đổi số số số số đơn vị 2n  i vị trí sau; nghĩa số số số số nhau; tức tương ứng với phần tử T Do g tồn ánh Tiếp theo, ta chứng minh g đơn ánh Gọi t t  hai phần tử khác T Giả sử i vị trí mà số t t  khác Khơng tính tổng qt, giả sử ti  ti  Khi dễ thấy f  t   i Ta có hai trường hợp: Nếu f  t   i , f  t  f  t  i  vị trí đầu, số giống Mà vị trí thứ i , ti  1, ti  nên g  t   g  t  Xét trường hợp f  t   i Khi vị trí thứ i g  t  ti  i  vị trí đầu, hai bên giống nên f  t    i Do đó, vị trí thứ i g  t   ti  Tức ta có g  t   g  t  Như vậy, ta ln có g  t   g  t  với t  t nên g đơn ánh Kết hợp với trên, suy g song ánh Và ta tính T  U  C2nn1 , suy S  C2nn  C2nn1 75 Kết tương ứng với điều ta thu toán rõ ràng để nhận điều bước lập luận rắc rối nhiều Bài toán 3.7 Cho p, q    p, q   Hỏi có tập S gồm số tự nhiên cho  S x  S x  p x  q thuộc S ? Lời giải Mỗi số nguyên n biểu diễn dạng px  qy , với  x  q , nên ta đồng số nguyên n với điểm  x, y  mặt phẳng tọa độ Rõ ràng S chứa điểm n khơng nằm trục hồnh, nên tốn quy việc tìm số cách đánh dấu điểm nằm tam giác vuông cạnh huyền OA với A  q,  p  , cho điểm đánh dấu điểm bên phải nằm đánh dấu Ta thấy cách đánh dấu tương ứng với chuỗi gồm q số p số thể đường từ 76 O đến A ( sang phải, xuống ) mà nằm hoàn toàn đường OA ( để ý trừ hai đầu mút, đoạn OA không chứa điểm nguyên nào) Phân hoạch tất chuỗi thành lớp, mà hai chuỗi lớp hốn vị vịng quanh Dễ thấy lớp có p  q chuỗi, lớp có chuỗi thỏa mãn Từ ta có kết C pp q pq Dưới số tập giải phương pháp áp dụng Lưới điểm nguyên Bài toán Cho a, b    a, b    Tìm số tự nhiên n cho n ax  by x, y   Bài tốn Có cách đánh dấu điểm nguyên nằm hình chữ nhật đường chéo OM ( M điểm nguyên dương) cho điểm N đánh dấu tất điểm nằm cạnh hình chữ nhật ON ( tất nhiên trừ N ) không đánh dấu? Bài tốn Cho số ngun dương đơi ngun tố a1, a2 , , an Hãy tìm số tất số tự nhiên m cho m a1x1  a2 x2    an xn | xi  Bài toán Chứng minh với n  N , C2mn   Cn1    Cn2   2   Cnm  Bài tốn Tìm số dãy hữu hạn  i 0 thỏa đồng thời tính chất: n i) a0   N , i 1,2, , n ; 77 ii)  ai1  , i 1,2, , n  1 Bài toán Giả sử A  a,  , B  b,   điểm có tọa độ nguyên , b  a  ,   ,   A  a,   điểm đối xứng với A qua trục Ox Chứng minh số đường từ A đến B cắt trục Ox có điểm chung với Ox số đường từ A đến B Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ, cho bốn điểm phân biệt A  0,0  , B  p,0  , C  m, q  , D  m, n  với m , n , p , q bốn số nguyên dương thỏa mãn p  m n  q Xét đường f từ A đến D đường g từ B đến C thỏa mãn điều kiện: đường theo chiều dương trục tọa độ đổi hướng ( từ hướng dương trục tọa độ sang hướng hương trục tọa độ ) điểm có tọa độ nguyên Gọi S số cặp đường  f , g  cho chúng khơng có điểm chung Chứng minh S  Cmn nCmq q p  Cmq qCmn n p Bài toán Cho số nguyên dương n Ký hiệu  n số ước số n  n tổng ước số n Chứng minh i)     ii)     n n n        1 2 n  ; n n n n     2   1 2 Bài toán Cho m, n   n  n  n m  2n  Chứng minh Cmm  Cmm11  Cmm21   Cmmn1  78 Bài toán 10 Trong bầu cử , ơng A có a phiếu bầu, ơng B có b phiếu bầu  a  b  Giả thiết phiếu bầu cho A bầu cho B , khơng có phiếu trắng khơng có phiếu gạch bỏ hai Hỏi xác suất mà ông A thắng ông B thời điểm ? 79 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Đề cập đến Định lý Hall ứng dụng giải tốn phổ thông - Đề cập đến Định lý Turan ứng dụng giải tốn phổ thơng - Đề cập đến Định lý Pick, lưới điểm nguyên ứng dụng giải tốn phổ thơng - Luận văn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh phổ thông, giảng viên sinh viên Toán trường Sư phạm 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trịnh Đào Chiến – Áp dụng số kết toán rời rạc giải tốn phổ thơng – Kỷ yếu Hội nghị Toán học Miền Trung – Tây Nguyên lần thứ – Trường Đại học Quy Nhơn, 12-14/8/2015 [2] Trịnh Đào Chiến – Các dạng toán đề thi chọn học sinh giỏi cấp quốc gia Trung học phổ thông năm gần – Kỷ yếu hội thảo khoa học “Các chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Trung học phổ thông” – Sở Giáo dục Đào tạo Đăk Lăk, 14-15/3/2015 [3] Trần Nam Dũng - Tổ hợp qua định lý toán - Trang web http://123doc.org/document/1299431-to-hop-qua-cac-dinh-ly-va-bai-toan.htm [4] Phùng Hồ Hải - Xấp xỉ tốt, phân số liên tục, dãy Farey Định Lý Pick Thơng tin Tốn học - Hội Tốn học Việt Nam - Tập 17, Số - Tháng 9/2013 [5] Trần Minh Hiền – Định lý Turan - Thơng tin Tốn học - Hội Toán học Việt Nam - Tập 18, Số - Tháng 9/2014 [6] Nguyễn Tuấn Minh - Định lý Hall SDR - Tạp chí tốn học MathVn - Số 01 - 2009 81 ... VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN HỒNG VINH ỨNG DỤNG TOÁN RỜI RẠC TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng... nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Đề cập đến việc ứng dụng số kết Toán rời rạc giải toán Trung học phổ thơng, đặc... điểm ngun tìm tịi ứng dụng chúng để giải sáng tác số toán phổ thơng, đặc biệt hệ chun Tốn 3 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài góp phần nghiên cứu phương pháp giải toán rời rạc phù hợp với