ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——————– * ——————— KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: CƠ SỞ TỐN HỌC CỦA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG MÁY TÍNH CASIO Giảng viên hướng dẫn : ThS Nguyễn Hoàng Thành Sinh viên thực : Trương Hồ Thiên Long Đà Nẵng, Ngày tháng năm 2016 Mục lục Lời mở đầu CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Giới thiệu máy tính Casio f x-570ES 1.1.1 Giới thiệu máy tính Casio 1.1.2 Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio 1.2 Các kiến thức chuẩn bị 1.2.1 Một số vấn đề đa thức 1.2.2 Một số kiến thức khác liên quan GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG MÁY 2.1 Về phương trình đa thức ẩn 2.1.1 Phương trình bậc bốn 2.1.2 Phương trình bậc cao 2.2 Phương trình vơ tỉ 2.2.1 Phương pháp nâng lũy thừa 2.2.2 Phương pháp nhân liên hợp TÍNH DÙNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ GIẢI HỆ 3.1 Phương pháp sơ cấp 3.2 Phương pháp số 3.2.1 Phương pháp lặp đơn 3.2.2 Phương pháp Newton 5 19 19 24 CASIO 29 29 29 43 55 55 65 TRÌNH 70 70 81 81 89 f x-570ES PHƯƠNG Phụ lục 100 Tài liệu tham khảo 101 LỜI MỞ ĐẦU Toán học mơn khoa học mang tính trừu tượng cao lại có ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội Đây mơn học khó khơ khan địi hỏi phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức Một dạng toán khó thường gặp giải phương trình hệ phương trình Dạng tốn địi hỏi phải có tầm nhìn bao qt, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác tìm hướng giải nhanh chóng xác Một cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình máy tính bỏ túi Tuy nhiên nhiều người chưa biết khai thác chức máy tính Máy tính CASIO F X-570ES có chức trội so với loại máy tính khác • Giải phương trình bậc cho kết nghiệm dạng thức • Đạo hàm tích phân, thức, lũy thừa máy tính CASIO F X-570ES ghi giống sách giáo khoa • Tốc độ giải tốn nhanh Vì vậy, việc sử dụng thành thạo máy tính Casio hỗ trợ đắc lực cho việc giải tốn phương trình, hệ phương trình Với mục đích tìm hiểu kĩ thuật giải tốn máy tính Casio, em mạnh dạn chọn đề tài "Cơ sở tốn học việc giải phương trình, hệ phương trình máy tính Casio" Bố cục khóa luận bao gồm chương phụ lục • Chương Trình bày cách sử dụng máy tính Casio số kiến thức đa thức • Chương Trình bày cách sử dụng máy tính Casio để giải phương trình, bao gồm phương trình bậc bốn, phương trình bậc cao hơn, phương trình vơ tỉ • Chương Trình bày phương pháp giải hệ phương trình, gồm phương pháp sơ cấp phương pháp số Sử dụng máy tính Casio giải ví dụ cụ thể • Phụ lục Trình bày cách chia đa thức chia hết máy tính Casio Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Thành, người chấp nhận đề tài này, cung cấp tài liệu tận tình hướng dẫn em suốt q trình học tập thực khóa luận Em xin cảm ơn đến thầy, cô giáo khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng, nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ em suốt trình học tập trường Cũng này, em xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế, nên thực khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý q thầy bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, Ngày tháng năm 2016 Sinh viên Trương Hồ Thiên Long Chương CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 1.1.1 Giới thiệu máy tính Casio f x-570ES Giới thiệu máy tính Casio Casio f x-570ES dịng máy tính dành cho học sinh trung học Đây dịng máy tính Casio ưa chuộng với nhiều tính trội, đáng ý khả hiển thị dạng biểu thức bật ưu việt • Nhiều tính ưu việt Casio f x-570ES sản phẩm nâng cấp từ dòng máy Casio f x-570ES với nhiều tính bổ sung giúp giải hầu hết dạng tốn khó chương trình học phổ thơng Ngồi khả giải loại tốn bản, dịng máy giải tốt dạng tốn cao cấp tích phân, đạo hàm, thống kê, tổ hợp, chỉnh hợp Đặt biệt, dịng máy 570ES có khả tính tổng mà máy khác khơng có Ngồi ra, 570ES cịn có khả tính logarit với số • Hiển thị dạng biểu thức tự nhiên Ngồi tính phong phú đa dạng, máy tính cịn đáng ý khả hiển thị biểu thức dạng tự nhiên (như viết sách giáo khoa) cho đáp số dạng thức phân số tiện lợi q trình tính tốn • Kiểu dáng đại, bắt mắt Với kiểu dáng nắp trượt đại phối hai màu xám bạc tinh tế, máy tính f x-570 ES thể đăng cấp vượt trội so với dòng máy khác kiểu dáng Một đặt điểm trội thiết kế anh chàng ES phím plastic cưc nảy nhạy, giúp cho q trình nhập liệu tính tốn nhanh chóng Ngồi ra, hình hiển thị dòng khả xử lý nhanh dòng máy tính điểm nỗi bật đáng ý Máy tính CASIO f x-570EX loại máy tiện lợi cho học sinh từ Trung học đến Đại học • Máy giải hầu hết toán Trung học phần Đại học • Máy theo quy trình ấn phím (hiện biểu thức, tính thuận) • Máy gọn nhẹ giá phù hợp với học sinh, sinh viên Với tính ấy, chắn loại máy giúp cho ta nhiều học tập hay tính toán sống 1.1.2 Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio f x-570ES MỞ ĐẦU TRƯỚC KHI SỬ DỤNG MÁY TÍNH MODE TÍNH TỐN VÀ CÀI ĐẶT MÁY NHẬP BIỂU THỨC VÀ GIÁ TRỊ 10 n 10 11 12 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 xn 0.8569321089 0.9267850052 0.8316715939 0.7999409353 0.8409801613 0.8516820758 0.8376422123 0.8336739793 0.8388507603 0.8402705323 0.8384147223 0.8379002588 0.8385197447 0.8385311658 0.8385343229 0.8385301984 0.8385290583 0.8385305478 0.8385309595 0.8385304216 0.8385302729 0.8385304672 0.8385305209 yn 0.3745329252 0.5430959276 0.5952535250 0.5273704535 0.5090655944 0.5330307392 0.5397288930 0.5309840893 0.5285757739 0.5317228684 0.5325940042 0.5314560302 0.5315256181 0.5315202698 0.5315272569 0.5315291884 0.5315266651 0.5315259676 0.5315268788 0.5315271307 0.5315268016 0.5315267107 0.5315268295 Chú ý Được kết phải ghi ln vào bảng kết Bài tốn 3.10 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn  y   x − ln −1=0   z     x z y+ − −2=0         z − xy − = 20 Giải Ta có   x X= y  z 87 Ta biến đổi toán hệ  y   x = ln +1   z     x z y =− + +2         z = xy + 20  y ln +1  z    x z g(X) =  − + +    xy +2 20 Với           1 − 5y 5z          x 20 20 11 Với x ∈ [0; 2], y ∈ [ 23 ; 2], z ∈ [2; 52 ] ||J(x, y, z)|| ≤ < 18 3 Chọn X0 = 1, , , lập dãy lặp 2    xn+1 = ln yn +    zn     xn zn yn+1 = − + +2          zn+1 = xn yn + 20      J(X) =   −    y Bây ta dùng máy tính Casio thực phép tính Để thực vịng lặp máy tính Casio ta nhập vào máy lệnh sau X= ln B C +1:Y =− A C AB + +2:D = +2:A=X :B =Y :C =D 20 Bấm CALC, máy lên hỏi A? ta nhập 1, B? ta nhập máy cho kết 83 X = 1, Y = , D = 40 88 3 , C? ta nhập Bấm =, 2 Đây giá trị x1 , y1 , z1 Bấm = máy 623 25 X = 0.9561728941, Y = ,D = 360 12 Đây giá trị x2 , y2 , z2 Cứ tiếp tục trình trên, ta có bảng kết tính sau n xn yn zn 1 83 40 0.9561728941 623 360 25 12 10 11 12 13 14 15 0.9628946625 0.9655743493 0.9650216545 0.9648831678 0.9649256300 0.9649320731 0.9649290425 0.96492880 0.9649290046 0.9649290088 0.9649289957 0.9649289961 0.9649289969 1.753395034 1.749967726 1.748814685 1.749098750 1.749156438 1.749135385 1.749132885 1.749134350 1.749134428 1.749134332 1.749134332 1.749134338 1.749134338 2.082735516 2.084416736 2.084486197 2.084382202 2.084383797 2.084390294 2.084389842 2.084389456 2.084389505 2.084389527 2.084389523 2.084389522 2.084389522 Chú ý Được kết phải ghi ln vào bảng kết 3.2.2 Phương pháp Newton Nội dung phương pháp (Xem [6]) Phương pháp Newton  đượctổng quát hóa để giải hệ phương trình phi tuyến f1  f2  (0)  với x = (x1 , x2 , , xn ), f =    Chọn giá trị ban đầu x tùy ý thuộc lân cận fn (k) nghiệm Kí hiệu x nghiệm gần bước thứ k Phương pháp Newton f (x(k) )(x(k+1) − x(k) ) = −f (x(k) ) Đặt h(k) = x(k+1) − x(k) ⇒ (3.1) f (x(k) )h(k) = −f (x(k) ) Ta đưa (3.1) giải hệ phương x(k+1) = x(k) + h(k) trình tuyến tính J(xk )h(k) = b 89 với b = −f (x(k) ) J(xk ) ma trận Jacobi  ∂f1  ∂x1    ∂f   J(xk ) = f (x(k) ) =  ∂x1      ∂fn ∂x1 Từ f (x(k) )h(k) = −f (x(k) ) ta có  ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂x ∂x1 ∂x2 n  ∂f2 ∂f2 ∂f  ∂x1 ∂x2 ∂xn2   ∂fn ∂fn ∂fn ∂x ∂x1 ∂x2 n ⇒      n   h1     h2 .  hn   ∂f1 ∂f1 ∂x2 ∂xn    ∂f2 ∂f2    ∂x2 ∂xn      ∂fn ∂fn  ∂x2 ∂xn    =    (k) (k) (k) f1 (x1 , x2 , , xn ) (k) (k) (k) f2 (x1 , x2 , , xn ) (k) (k) (k) fn (x1 , x2 , , xn ) ∂fi (k) (k) (k) (k) (k) (x1 , x2 , , x(k) n ) = −fi (x1 , x2 , , xn ) ∂xj j=1 (k+1) xi = (k) xi + (k) hi , i      (3.2) = 1, n Ví dụ Bài tốn 3.11 Giải hệ phương trình x2 + xy − 10 = y + 3xy − 57 = Giải Từ công thức (3.1) ta có xk+1 = (h1 )k + xk yk+1 = (h2 )k + yk (2xk + yk )(h1 )k + xk (h2 )k = −x2k − xk yk + 10 3yk2 (h1 )k + (1 + 6xk yk )(h2 )k = −yk − 3xk yk2 + 57 Bây ta sử dụng máy tính Casio để thực dãy lặp với xấp xỉ ban đầu z0 = (1; 4) Dùng máy tính Casio, trước tiên, ta gán = X cách bấm → SHIFT → RCL → X, gán = Y cách bấm → SHIFT → RCL → Y Tiếp theo ta bấm MODE → → để mở chế độ giải hệ phương trình hai ẩn Dịng ta nhập hệ số 2X + Y , X, −X − XY + 10 Dòng hai ta nhập hệ số 3Y , + 6XY , −Y − 3XY + 57 bấm dấu = Máy hiển thị kết  20     (h1 )0 = 17   −35   (h2 )0 = 17 90 37 20 +X = sau ta gán kết vừa nhận vào biến X 17 17 −35 33 cách bấm SHIFT → RCL → X Xong ta tính +Y = ta gán kết 17 17 vừa nhận vào biến Y cách bấm SHIFT → RCL → Y Vậy ta có 37 33 z1 = ; 17 17 Tiếp theo, để tính (h1 )1 , (h2 )1 ta thực trên, bấm MODE → → để mở chế độ giải hệ phương trình hai ẩn Dòng ta nhập hệ số 2X + Y , X, −X − XY + 10 Dòng hai ta nhập hệ số 3Y , + 6XY , −Y − 3XY + 57 bấm dấu = Máy hiển thị kết Để tính z1 ta nhập (h1 )1 = −0.2756375447 (h2 )1 = 1.274061516 Để tính z2 ta nhập −0.2756375447 + X = 1.900833044 sau ta gán kết vừa nhận vào biến X cách bấm SHIFT → RCL → X Xong ta tính 1.274061516 + Y = 3.215237978 ta gán kết vừa nhận vào biến Y cách bấm SHIFT → RCL → Y Vậy ta có z2 = (1.900833044; 3.215237978) Cứ tiếp tục q trình trên, ta có bảng sau k xk yk 37 17 33 17 1.900833044 1.999127197 1.999999723 3.215237978 2.997166633 3.000002728 Nhìn vào bảng ta kết luận nghiệm hệ phương trình x = 2, y = Chú ý Trong q trình tính tốn (h1 )k , (h2 )k kết phải ghi lại giấy để tiếp tục nhập q trình sau Bài tốn 3.12 Giải hệ phương trình x3 − y + = xy − y − = Giải Từ cơng thức (3.1) ta có xk+1 = (h1 )k + xk yk+1 = (h2 )k + yk 3x2k (h1 )k − 2yk (h2 )k = −x3k + yk2 − yk3 (h1 )k + (3xk yk2 − 1)(h2 )k = −xk yk3 + yk + 91 Bây ta sử dụng máy tính Casio để thực dãy lặp với xấp xỉ ban đầu z0 = (1; 1) Dùng máy tính Casio, trước tiên, ta gán = X cách bấm → SHIFT → RCL → X, gán = Y cách bấm → SHIFT → RCL → Y Tiếp theo ta bấm MODE → → để mở chế độ giải hệ phương trình hai ẩn Dòng ta nhập hệ số 3X , −2Y , −X + Y − Dòng hai ta nhập hệ số Y , 3XY − 1, −XY + Y + bấm dấu = Máy hiển thị kết      (h1 )0 =   21   (h2 )0 = + X = sau ta gán kết vừa nhận vào biến X 4 29 21 +Y = ta gán kết vừa cách bấm SHIFT → RCL → X Xong ta tính 8 29 nhận vào biến Y cách bấm SHIFT → RCL → Y Vậy ta có z1 = ; Tiếp theo, để tính (h1 )1 , (h2 )1 ta thực trên, bấm MODE → → để mở chế độ giải hệ phương trình hai ẩn Dịng ta nhập hệ số 3X , −2Y , −X + Y − Dòng hai ta nhập hệ số Y , 3XY − 1, −XY + Y + bấm dấu = Máy hiển thị kết Để tính z1 ta nhập (h1 )1 = −0.2159969918 (h2 )1 = −0.9332030844 Để tính z2 ta nhập −0.2159969918 + X = 1.534003008 sau ta gán kết vừa nhận vào biến X cách bấm SHIFT → RCL → X Xong ta tính −0.9332030844 + Y = 2.691796916 ta gán kết vừa nhận vào biến Y cách bấm SHIFT → RCL → Y Vậy ta có z2 = (1.534003008; 2.691796916) Cứ tiếp tục q trình trên, ta có bảng sau k xk yk 29 1.534003008 1.252883365 1.059629965 1.002781973 1.000003333 2.691796916 2.205027094 2.022369068 1.999698386 1.999996721 Nhìn vào bảng ta kết luận nghiệm hệ phương trình x = 1, y = Chú ý Trong q trình tính tốn (h1 )k , (h2 )k kết phải ghi lại giấy để tiếp tục nhập q trình sau 92 Bài tốn 3.13 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình sau với xấp xỉ ban đầu t0 = (0; 0; 0)   x − 2yz + x − 0.1 = −y + 3xz + y + 0.2 =  z + 2xy + z − 0.3 = Giải Từ cơng thức (3.1) ta có   xk+1 = (h1 )k + xk yk+1 = (h2 )k + yk  zk+1 = (h3 )k + zk   (2xk + 1)(h1 )k − 2zk (h2 )k − 2yk (h3 )k = −x2k + 2yk zk − xk + 0.1 3zk (h1 )k + (1 − 2yk )(h2 )k + 3xk (h3 )k = yk2 − 3xk zk − yk − 0.2  2yk (h1 )k + 2xk (h2 )k + (1 + 2zk )(h3 )k = −zk2 − 2xk yk − zk + 0.3 Bây ta sử dụng máy tính Casio để thực dãy lặp với xấp xỉ ban đầu t0 = (0; 0; 0) Dùng máy tính Casio, trước tiên, ta gán = X cách bấm → SHIFT → RCL → X, gán = Y cách bấm → SHIFT → RCL → Y , gán = D cách bấm → SHIFT → RCL → D Tiếp theo ta bấm MODE → → để mở chế độ giải hệ phương trình ba ẩn Dòng ta nhập hệ số 2X + 1, −2D, −2Y , −X + 2Y D − X + 0.1 Dòng hai ta nhập hệ số 3Z, − 2Y , 3X, Y − 3XD − Y − 0.2 Dòng cuối ta nhập hệ số 2Y , 2X, + 2Z, −Z − 2XY − Z + 0.3 bấm dấu = Máy hiển thị kết    (h1 )0 =   10      (h2 )0 = −          (h3 )0 = 10 1 +X = sau ta gán kết vừa nhận vào biến X 10 10 1 cách bấm SHIFT → RCL → X Xong ta tính − + Y = − ta gán kết 5 vừa nhận vào biến Y cách bấm SHIFT → RCL → Y Cuối ta tính 3 +D = ta gán kết vừa nhận vào biến D cách bấm SHIFT → 10 10 1 RCL → D Vậy ta có t1 = ;− ; 10 10 Tiếp theo, để tính (h1 )1 , (h2 )1 , (h3 )1 ta thực trên, bấm MODE → → để mở chế độ giải hệ phương trình ba ẩn Dịng ta nhập hệ số 2X + 1, −2D, −2Y , −X + 2Y D − X + 0.1 Dòng hai ta nhập hệ số 3Z, − 2Y , 3X, Y − 3XD − Y − 0.2 Dòng cuối ta nhập hệ số 2Y , 2X, + 2Z, Để tính t1 ta nhập 93 −Z − 2XY − Z + 0.3 bấm dấu = Máy hiển thị kết  (h1 )1 = −0.07754677755      (h2 )1 = 0.02567567568      (h3 )1 = −0.05384615385 Để tính t1 ta nhập −0.07754677755 + X = −0.02245322245 sau ta gán kết vừa nhận vào biến X cách bấm SHIFT → RCL → X Xong ta tính 0.02567567568 + Y = −0.1743243243 ta gán kết vừa nhận vào biến Y cách bấm SHIFT → RCL → Y Cuối ta tính −0.05384615385 + D = 0.24615838462 ta gán kết vừa nhận vào biến D cách bấm SHIFT → RCL → D Vậy ta có t2 = (−0.02245322245; −0.1743243243; 0.24615838462) Cứ tiếp tục q trình trên, ta có bảng sau k xk yk zk 1 10 − 10 -0.02245322245 0.01287850222 0.01282415094 0.01282414583 -0.1743243243 -0.1778108613 -0.1778006638 -0.177800668 0.24615838462 0.2447473608 0.2446880471 0.2446880443 Chú ý Trong trình tính tốn (h1 )k , (h2 )k , (h3 )k kết phải ghi lại giấy để tiếp tục nhập q trình sau Bài tốn 3.14 Cho hệ phương trình sin x − y − = x − cos y − = Bằng phương pháp Newton, tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình, biết nghiệm π ;0 xấp xỉ ban đầu z0 = Giải Từ cơng thức (3.1) ta có xk+1 = (h1 )k + xk yk+1 = (h2 )k + yk cos xk (h1 )k − −(h2 )k = − sin xk + yk + (h1 )k + sin yk (h2 )k = −xk + cos yk + 94 Bây ta sử dụng máy tính Casio để thực dãy lặp với xấp xỉ ban đầu π π π z0 = ; Dùng máy tính Casio, trước tiên, ta gán = X cách bấm → 2 SHIFT → RCL → X, gán = Y cách bấm → SHIFT → RCL → Y Tiếp theo ta bấm MODE → → để mở chế độ giải hệ phương trình hai ẩn Dòng ta nhập hệ số cos(X), −1, − sin(X) + Y + Dòng hai ta nhập hệ số 1, sin(Y ), −X + cos(Y ) + bấm dấu = Máy hiển thị kết  π   (h1 )0 = 0.4292036732 ≈ −   (h2 )0 = −1 π + X = sau ta gán kết vừa nhận vào biến X cách bấm SHIFT → RCL → X Xong ta tính −1 + Y = −1 ta gán kết vừa nhận vào biến Y cách bấm SHIFT → RCL → Y Vậy ta có z1 = (2; −1) Tiếp theo, để tính (h1 )1 , (h2 )1 ta thực trên, bấm MODE → → để mở chế độ giải hệ phương trình hai ẩn Dịng ta nhập hệ số cos(X), −1, − sin(X) + Y + Dòng hai ta nhập hệ số 1, sin(Y ), −X + cos(Y ) + bấm dấu = Máy hiển thị kết Để tính z1 ta nhập (h1 )1 = −0.3970011916 (h2 )1 = 0.0745082168 Để tính z2 ta nhập −0.3970011916 + X = 1.602998808 sau ta gán kết vừa nhận vào biến X cách bấm SHIFT → RCL → X Xong ta tính 0.0745082168 + Y = −0.9254917832 ta gán kết vừa nhận vào biến Y cách bấm SHIFT → RCL → Y Vậy ta có z2 = (1.602998808; −0.9254917832) Cứ tiếp tục trình trên, ta có bảng sau k xk 1.602998808 1.543043913 1.539905906 1.539900667 yk -0.9254917832 -0.9985880926 -1.000472149 -1.000477233 Chú ý Trong q trình tính tốn (h1 )k , (h2 )k kết phải ghi lại giấy để tiếp tục nhập trình sau 95 Phụ lục Chia đa thức chia hết máy tính Casio Bài tốn 2.1 Chia đa thức 4x4 − 25x3 + 16x2 − cho đa thức x2 − 5x − 4X − 25X + 16X − bấm CALC, máy hỏi X? X − 5X − ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 39503 Ta thấy 39503 ≈ 40000 = 4.1002 = 4X Vậy hạng tử 4X Tiếp theo ta bấm 4X − 25X + 16X − − 4X CALC với X = 100 ta kết -497 Ta X − 5X − thấy -497 ≈ −500 = −5.100 = −5.X Vậy hạng tử thứ hai −5X Tiếp theo ta nhập 4X − 25X + 16X − − 4X + 5X CALC với X = 100 ta kết X − 5X − 4X − 25X + 16X − − 4X + 5X − Vậy hạng tử tự Cuối ta bấm X − 5X − CALC với X = 100 ta kết Chứng tỏ phép chia phép chia hết Cách làm Ta nhập máy tính Kết luận 4x4 − 25x3 + 16x2 − = 4x2 − 5x + x − 5x − Bài toán 2.2 Chia đa thức x4 + x3 − 3x2 + 4x − cho đa thức x2 + 2x − X + X − 3X + 4X − bấm CALC, máy hỏi X + 2X − X? ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 9901 Ta thấy 9901 ≈ 10000 = 1002 = X Vậy hạng tử X Tiếp theo ta bấm X + X − 3X + 4X − − X CALC với X = 100 ta kết -99 Ta X + 2X − thấy -99 ≈ −100 = −X Vậy hạng tử thứ hai −X Tiếp theo ta nhập X + X − 3X + 4X − − X + X CALC với X = 100 ta kết Vậy X + 2X − X + X − 3X + 4X − hạng tử tự Cuối ta bấm − X + X − X + 2X − CALC với X = 100 ta kết Chứng tỏ phép chia phép chia hết Cách làm Ta nhập máy tính Kết luận 96 x4 + x3 − 3x2 + 4x − = x2 − x + x + 2x − Bài toán 2.3 Chia đa thức x4 − 6x3 + 8x2 + 2x − cho đa thức x2 − 2x − X − 6X + 8X + 2X − bấm CALC, máy hỏi X − 2X − X? ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 9601 Ta thấy 9601 ≈ 10000 = 1002 = X Vậy hạng tử X Tiếp theo ta bấm X − 6X + 8X + 2X − − X CALC với X = 100 ta kết -399 Ta X − 2X − thấy -399 ≈ −400 = −4.100 = −4.X Vậy hạng tử thứ hai −4X Tiếp theo ta nhập X − 6X + 8X + 2X − − X + 4X CALC với X = 100 ta kết X − 2X − X − 6X + 8X + 2X − Vậy hạng tử tự Cuối ta bấm − X + 4X − X − 2X − CALC với X = 100 ta kết Chứng tỏ phép chia phép chia hết Cách làm Ta nhập máy tính Kết luận x4 − 6x3 + 8x2 + 2x − = x2 − 4x + x2 − 2x − Bài toán 2.4 Chia đa thức x6 − 2x5 − x4 − 9x3 + x2 − 22x − cho đa thức x2 − 3x − X − 2X − X − 9X + X − 22X − bấm X − 3X − CALC, máy hỏi X? ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 101030107 Ta thấy 101030107 ≈ 100000000 = 1004 = X Vậy hạng tử X Tiếp theo ta bấm X − 2X − X − 9X + X − 22X − − X CALC với X = 100 ta kết X − 3X − 1030107 Ta thấy 1030107 ≈ 1000000 = 1003 = X Vậy hạng tử thứ hai X X − 2X − X − 9X + X − 22X − − X − X CALC với Tiếp theo ta nhập X − 3X − X = 100 ta kết 30107 Ta thấy 30107 ≈ 30000 = 3.10000 = 3.1002 = 3X Vậy hạng tử thứ ba 3X Tiếp theo ta nhập X − 2X − X − 9X + X − 22X − − X − X − 3X2 CALC với X = 100 ta X − 3X − kết 107 Ta thấy 107 ≈ 100 = X Vậy hạng tử thứ tư X Tiếp theo ta X − 2X − X − 9X + X − 22X − nhập − X − X − 3X2 − X CALC với X − 3X − X = 100 ta kết Vậy hạng tử tự Cuối ta bấm X − 2X − X − 9X + X − 22X − − X − X − 3X2 − X − CALC với X − 3X − X = 100 ta kết Chứng tỏ phép chia phép chia hết Cách làm Ta nhập máy tính Kết luận x6 − 2x5 − x4 − 9x3 + x2 − 22x − = x4 + x3 + 3x2 + x + x2 − 3x − 97 Bài toán 2.5 Chia đa thức 27x6 − 3x3 − 4x − cho đa thức 3x2 − x − 27X − 3X − 4X − bấm CALC, máy hỏi X? X2 − X − ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 903040202 Ta thấy 903040202 ≈ 900000000 = 9.1004 = 9X Vậy hạng tử 9X Tiếp theo ta bấm 27X − 3X − 4X − − 9X CALC với X = 100 ta kết 3040202 Ta X2 − X − thấy 3040202 ≈ 3000000 = 3.1003 = 3X Vậy hạng tử thứ hai 3X Tiếp theo ta 27X − 3X − 4X − nhập − 9X − 3X3 CALC với X = 100 ta kết X2 − X − 40202 Ta thấy 40202 ≈ 40000 = 4.10000 = 4.1002 = 4X Vậy hạng tử thứ ba 27X − 3X − 4X − − 9X − 3X3 − 4X CALC với 4X Tiếp theo ta nhập X2 − X − X = 100 ta kết 202 Ta thấy 202 ≈ 200 = 2.100 = 2X Vậy hạng tử thứ 27X − 3X − 4X − tư 2X Tiếp theo ta nhập − 9X − 3X3 − 4X − 2X X −X −1 CALC với X = 100 ta kết Vậy hạng tử tự Cuối ta bấm 27X − 3X − 4X − − 9X − 3X3 − 4X − 2X − CALC với X = 100 ta X2 − X − kết Chứng tỏ phép chia phép chia hết Cách làm Ta nhập máy tính Kết luận 27x6 − 3x3 − 4x − = 9x4 + 3x3 + 4x2 + 2x + x2 − x − Bài toán 2.6 Chia đa thức 5x6 − 16x4 − 33x3 − 40x2 + cho đa thức 5x2 + 10x + 5X − 16X − 33X − 40X + bấm CALC, 5X + 10X + máy hỏi X? ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 97999502 Ta thấy 97999502 ≈ 100000000 = 1004 = X Vậy hạng tử X Tiếp theo ta bấm 5X − 16X − 33X − 40X + − X CALC với X = 100 ta kết 5X + 10X + -2000498 Ta thấy -2000498 ≈ −2000000 = −2.1003 = −2X Vậy hạng tử thứ hai 5X − 16X − 33X − 40X + − X + 2X CALC với −2X Tiếp theo ta nhập 5X + 10X + X = 100 ta kết -498 Ta thấy -498 ≈ −500 = −5.100 = −5X Vậy hạng tử thứ ba −5X Tiếp theo ta nhập 5X − 16X − 33X − 40X + − X + 2X + 5X CALC với X = 100 ta 5X + 10X + kết Vậy hạng tử tự Cuối ta bấm 5X − 16X − 33X − 40X + − X + 2X + 5X − CALC với X = 100 ta 5X + 10X + kết Chứng tỏ phép chia phép chia hết Cách làm Ta nhập máy tính Kết luận 98 5x6 − 16x4 − 33x3 − 40x2 + = x4 − 2x3 − 5x + 2 5x + 10x + Bài toán 2.7 Chia đa thức x5 + x4 − 4x2 − 4x − cho đa thức x2 − x − X + X − 4X − 4X − Cách làm Ta nhập máy tính bấm CALC, máy hỏi X2 − X − X? ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 1020301 Ta thấy 1020301 ≈ 1000000 = 1003 = X Vậy hạng tử X Tiếp theo ta bấm X + X − 4X − 4X − − X CALC với X = 100 ta kết 20301 Ta X −X −1 thấy 20301 ≈ 20000 = 2.1002 = 2X Vậy hạng tử thứ hai 2X Tiếp theo ta nhập X + X − 4X − 4X − − X − 2X CALC với X = 100 ta kết X2 − X − 301 Ta thấy 301 ≈ 300 = 3.100 = 3X Vậy hạng tử thứ ba 3X Tiếp theo ta nhập X + X − 4X − 4X − − X − 2X − 3X CALC với X = 100 ta kết X2 − X − Vậy hạng tử tự Cuối ta bấm X + X − 4X − 4X − − X − 2X − 3X − CALC với X = 100 ta kết X2 − X − Chứng tỏ phép chia phép chia hết Kết luận x5 + x4 − 4x2 − 4x − = x3 + 2x2 + 3x + x −x−1 Bài toán 2.8 Chia đa thức x4 − 12x3 + 32x2 + 23x − cho đa thức x2 − 5x − X − 12X + 32X + 23X − bấm CALC, máy Cách làm Ta nhập máy tính X − 5X − hỏi X? ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 9301 Ta thấy 9301 ≈ 10000 = 1002 = X Vậy hạng tử X Tiếp theo ta bấm X − 12X + 32X + 23X − − X CALC với X = 100 ta kết -699 X − 5X − Ta thấy -699 ≈ −700 = −7.100 = −7X Vậy hạng tử thứ hai −7X Tiếp theo ta X − 12X + 32X + 23X − − X + 7X CALC với X = 100 ta kết nhập X − 5X − Vậy hạng tử tự Cuối ta bấm X − 12X + 32X + 23X − − X + 7X − CALC với X = 100 ta kết X − 5X − Chứng tỏ phép chia phép chia hết Kết luận x4 − 12x3 + 32x2 + 23x − = x2 − 7x + x2 − 5x − Bài toán 3.2 a) Chia đa thức x4 + 10x3 + 3x2 − 40x + 26 cho đa thức (x − 1)2 99 X + 10X + 3X − 40X + 26 bấm CALC, máy (X − 1)2 hỏi X? ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 11226 Ta thấy 11226 ≈ 10000 = 1002 = X Vậy hạng tử X Tiếp theo ta bấm X + 10X + 3X − 40X + 26 − X CALC với X = 100 ta kết 1226 (X − 1)2 Ta thấy 1226 ≈ 1200 = 12.100 = 12X Vậy hạng tử thứ hai 12X Tiếp theo ta X + 10X + 3X − 40X + 26 − X − 12X CALC với X = 100 ta kết nhập (X − 1)2 26 Vậy hạng tử tự 26 Cuối ta bấm X + 10X + 3X − 40X + 26 − X − 12X − 26 CALC với X = 100 ta kết (X − 1)2 Chứng tỏ phép chia phép chia hết Cách làm Ta nhập máy tính Kết luận x4 + 10x3 + 3x2 − 40x + 26 = x2 + 12x + 26 (x − 1)2 b) Chia đa thức 4x4 − 13x3 − 42x2 − 39x + 36 cho đa thức x2 − 6x + 4X − 13X − 42X − 39X + 36 bấm CALC, X − 6X + máy hỏi X? ta nhập 100 bấm dấu = Máy trả kết 41112 Ta thấy 41112 ≈ 40000 = 4.1002 = 4X Vậy hạng tử 4X Tiếp theo ta bấm 4X − 13X − 42X − 39X + 36 − 4X CALC với X = 100 ta kết X − 6X + 1112 Ta thấy 1112 ≈ 1100 = 11.100 = 11X Vậy hạng tử thứ hai 11X Tiếp theo 4X − 13X − 42X − 39X + 36 ta nhập − 4X − 11X CALC với X = 100 ta X − 6X + kết 12 Vậy hạng tử tự 12 Cuối ta bấm 4X − 13X − 42X − 39X + 36 − 4X − 11X − 12 CALC với X = 100 ta X − 6X + kết Chứng tỏ phép chia phép chia hết Cách làm Ta nhập máy tính Kết luận 4x4 − 13x3 − 42x2 − 39x + 36 = 4x2 + 11x + 12 x2 − 6x + 100 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Trường Chấng - Nguyễn Thế Thạch, Hướng dẫn sử dụng giải tốn máy tính Casio f x-570ES, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [2] Hoàng Kỳ, Đại số sơ cấp, Nhà xuất giáo dục, 2009 [3] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 2008 [4] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích tập (giáo trình lí thuyết tập có hướng dẫn), Nhà xuất giáo dục, 2005 [5] Đồn Trí Dũng - Bùi Thế Việt, hiệu đính: Nguyễn Khắc Minh, Phương pháp sử dụng máy tính Casio giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, Nhà xuất Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2015 [6] Nguyễn Thị Mùi, Phương pháp số giải phương trình hệ phương trình phi tuyến, Khóa luận tốt nghiệp Đại học sư phạm Đà Nẵng, 2013 [7] TS Nguyễn Văn Cơ, Các đề thi theo hình thức tự luận mơn Tốn thi tuyển sinh vào trường đại học cao đẳng, Nhà xuất đại học sư phạm, 2011 101 ... hiểu kĩ thuật giải tốn máy tính Casio, em mạnh dạn chọn đề tài "Cơ sở tốn học việc giải phương trình, hệ phương trình máy tính Casio" Bố cục khóa luận bao gồm chương phụ lục • Chương Trình bày cách... dụng máy tính Casio số kiến thức đa thức • Chương Trình bày cách sử dụng máy tính Casio để giải phương trình, bao gồm phương trình bậc bốn, phương trình bậc cao hơn, phương trình vơ tỉ • Chương Trình. .. Trình bày phương pháp giải hệ phương trình, gồm phương pháp sơ cấp phương pháp số Sử dụng máy tính Casio giải ví dụ cụ thể • Phụ lục Trình bày cách chia đa thức chia hết máy tính Casio Trước trình