BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG CHU TRỌNG TRUNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ c p Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng d n khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà N ng - N m 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Chu Trọng Trung MỤC LỤC MỞ ĐẦU chọ đề ụ đ ệ ụ ươ ứ đề ứ Đố ượ ĩ ộ ứ ọ ủ ự ậ ễ ủ đề ă CHƯƠNG MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG GI Ộ Ố Ấ ẵ ẻ ủ ầ ố Ế ĐỔ Ố ĐỒ ƯỢ ố Ị Ủ Ộ Ủ ủ Ứ Ề Ơ Ả CƠ BẢN ƯỢ Ể Ấ ộ ố đồ ấ ộ ố đồ ấ Ứ Ứ ĐẠ ứ CHƯƠNG PHƯƠNG PH ƯỢ Ố Ở ƯỢ đế T ONG BẤT ĐẲNG LƯỢNG GI THỨC Ộ Ố Ấ ĐẲ ứ đạ ố ộ ố ấ ứ ượ Ấ ĐẲ Ứ ƯỢ Ằ ƯƠ Ậ Ậ ƯƠ Ố ộ ố ấ Ứ Ứ Ứ ĐẠ Ạ Ấ ĐẲ ƯỢ Ứ Ử ĐƯỢ CH NG PH NG PH TO C C IS 3.1 MỘT SỐ NH T C A ẠN L NG GI T ONG B I 42 TOÁN T Á TRỊ LỚN NH T, Á TRỊ NH Ể THỨC ĐẠ SỐ .42 3.2 MỘT SỐ Ứ VÀO Ả CÁC TOÁN L N QUAN .55 K T LU N .64 T I LI U THAM KH O .65 Q T ĐỊNH GIAO ĐỀ T I LUẬN V N ản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình phổ thơng toán bất đẳng thức cực trị đại số ln dạng tốn khó, hay đa dạng Để giải dạng tốn địi hỏi người học phải tư duy, tìm tịi có sáng tạo cao, đặc biệt cần phải có kiến thức tổng hợp Trong đề thi tuyển sinh đại học, đề thi học sinh giỏi quốc gia, đề thi Olympic tốn khu vực quốc tế thường có toán bất đẳng thức, toán cực trị đại số mà lời giải tìm phương pháp lượng giác Đề tài “Phương pháp lượng giác bất đẳng thức toán cực trị đại số” nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất lượng giảng dạy cho học sinh nhà trường phổ thông Đề tài liên quan đến chuyên đề bất đẳng thức, toán cực trị đại số, số tốn liên quan phương trình, hệ phương trình bất phương trình hồn tồn phù hợp với thực tế mà thân công tác Với lí trên, tơi lựa chọn đề tài “Phương pháp lượng giác bất đẳng thức toán cực trị đại số” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Mục đích luận văn nhằm hệ thống dạng toán bất đẳng thức tốn cực trị đại số sử dụng phương pháp lượng giác để giải Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn xác định dạng toán bất đẳng thức toán cực trị đại số sử dụng phương pháp lượng giác để giải Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu tiếng anh, trang Wed, từ trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các dạng toán bất đẳng thức dạng tốn cực trị đại số sử dụng phương pháp lượng giác để giải Dựa lớp toán thường xuất đề thi tuyển sinh đại học, kỳ thi Olympic 30 - 4, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, đề thi Olympic khu vực quốc tế, từ đưa dạng toán cụ thể Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài “Phương pháp lượng giác bất đẳng thức toán cực trị đai số” nhằm đáp ứng nguyện vọng thân phương pháp phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất lượng giảng dạy cho học sinh nhà trường phổ thơng Nội dung luận văn tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thông quan tâm đến phương pháp lượng giác để giải toán bất đẳng thức toán cực trị đại số Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương Chương trình bày hệ thống hệ thức lượng giác, bất đẳng thức, số tính chất liên quan Chương trình bày dạng tốn bất đẳng thức sử dụng phương pháp lượng giác để giải Chương trình bày dạng tốn cực trị sử dụng phương pháp lượng giác để giải số toán liên quan phương trình, hệ phương trình Luận văn hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy CHƯƠNG MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1.1 Tính chẵn, lẻ hàm số Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1.([1]-[3]) a) Hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R gọi hàm số chẵn K, K ⊂ D(f ) nếu: ∀x ∈ K ⇒ −x ∈ K f (−x) = f (x), ∀x ∈ K b) Hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R gọi hàm số lẻ K, K ⊂ D(f ) nếu: ∀x ∈ K ⇒ −x ∈ K f (−x) = −f (x), ∀x ∈ K Nhận xét 1.1 Hàm số y = cos x hàm số chẵn, hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ tập xác định chúng 1.1.2 Tính tuần hồn hàm số Định nghĩa 1.2.([1]-[3]) a) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ T (T ∀x ∈ K ⇒ x ± T ∈ K > 0) K K ⊂ D(f ) f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ K b) Cho f (x) hàm số tuần hồn K, T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng tuần hồn với chu kỳ bé T Nhận xét 1.2 Hàm số y = cos x, y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π 1.2 CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC i) Công thức cộng cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y (1.1) cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y (1.2) sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x (1.3) sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x (1.4) tan x + tan y − tan x tan y (1.5) x, y, x + y = π + kπ; k ∈ Z tan(x − y) = tan x − tan y + tan x tan y (1.6) x, y, x − y = π + kπ; k ∈ Z tan(x + y) = ii) Công thức nhân đôi sin 2x = sin x cos x (1.7) cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2cos2 x − = − 2sin2 x (1.8) tan 2x = iii) Công thức nhân ba tan x − tan2 x sin 3x = sin x − 4sin3 x cos 3x = 4cos3 x − cos x (1.9) (1.10) (1.11) iv) Cơng thức biến đổi tích thành tổng [cos(x + y) + cos(x − y)] sin x sin y = − [cos(x + y) − cos(x − y)] sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x − y)] cos x cos y = (1.12) (1.13) (1.14) v) Công thức biến đổi tổng thành tích x+y x−y cos 2 x+y x−y cos x − cos y = −2 sin sin 2 x−y x+y cos sin x + sin y = sin 2 x+y x−y sin x − sin y = cos sin 2 cos x + cos y = cos (1.15) (1.16) (1.17) (1.18) 1.3 MIỀN GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC π π |sin t| ≤ cos t ≥ - Nếu tập giá trị t − ; 2 - Nếu tập giá trị t [0; π] |cos t| ≤ sin t ≥ - Nếu tập giá trị t [0; 2π] tập giá trị a cos t + b sin t √ √ − a2 + b2 ; a2 + b2 c2 - Điều kiện để phương trình a cos x+b sin x = c có nghiệm a2 +b2 ≥ 1.4 MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC ĐẠI SỐ SINH BỞI HÀM LƯỢNG GIÁC Phần đưa số đồng thức sinh hàm số lượng giác, nhờ đồng thức đại số lượng giác mà ta nhận biết tốn có liên quan đến lượng giác, đồng thời áp dụng phương pháp lượng giác để giải toán hiệu 1.4.1 Một số đồng thức liên quan đến hàm sin, hàm cosin Ví dụ 1.1 Với điều kiện biến x là: |x| ≤ k, k > Ta đặt ẩn phụ là: π π x = k sin t, t ∈ − ; 2 Khi sở lượng giác |x| = |k sin t| ≤ k Hoặc đặt ẩn phụ là: x = k cos t, t ∈ [0; π] Khi sở lượng giức |x| =√|k cos t| ≤ k Ví dụ 1.2 Biểu thức đại số − x2 Ta đặt ẩn phụ là: π π x = sin t, t ∈ − ; 2 Khi cơng thức lượng giác Hoặc đặt ẩn phụ là: − sin2 t = |cos t| = cos t x = cos t, t ∈ [0; π] √ Khi cơng thức lượng giác − cos2 t = |sin t| = sin t Ví dụ 1.3 i) Biểu thức đại số 4x3 − 3x Ta đặt ẩn phụ là: x = cos t, t ∈ [0; π] Khi cơng thức lượng giác 4cos3 t − cos t = cos 3t ii) Biểu thức đại số 3x − 4x3 Ta đặt ẩn phụ là: x = sin t, t ∈ π π − ; 2 Khi cơng thức lượng giác sin t − 4sin3 t = sin 3t iii) Biểu thức đại số 2x2 − Ta đặt ẩn phụ là: x = cos t, t ∈ [0; π] Khi cơng thức lượng giác 2cos2 t − = cos 2t 51 Lời giải Với x ∈ R, đặt P = = √ π π 2x = tan t, t ∈ − ; Khi 2 + 4tan2 t + 3tan4 t (1 + tan2 t) 3cos4 t + 4sin2 t.cos2 t + 3sin4 t cos2 t + sin2 t =3 sin2 t + cos2 t =3 − sin2 2t Do ≤ sin2 2t ≤ nên 2 − 2sin2 t.cos2 t ≤ P ≤ Ta có √ P = ⇔ sin2 2t = ⇒ x = 2 √ P = ⇔ sin2 2t = ⇒ x = 2 Vậy: P = , max P = Bài tốn 3.14 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: P = (a + b)(1 − ab) (1 + a2 )(1 + b2 ) Lời giải Dấu hiệu chuyển sang lượng giác là: + a2 , + b2 π π Khi ta có Đặt a = tan α, b = tan β; α, β ∈ − ; 2 P = (tan α + tan β)(1 − tan α tan β) (a + b)(1 − ab) = 2 (1 + a )(1 + b ) (1 + tan2 α)(1 + tan2 β) sin(α + β) cos α cos β − sin α sin β cos α cos β cos α cos β = sin(α + β) cos(α + β) = sin [2(α + β)] 1 Do−1 ≤ sin [2(α + β)] ≤ nên − ≤ sin [2(α + β)] ≤ 2 1 Hay − ≤ P ≤ 2 = cos2 αcos2 β 52 Ta có P = − ⇔ sin [2 (α + β)] = −1 Suy ra: a = −1 b=0 a=0 b = −1 a=1 a=0 ⇔ sin [2 (α + β)] = Suy ra: b = b = 1 Vậy: P = − , max P = 2 Bài toán 3.15 (Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2008– Khối D) Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: Ta có P = P = (x − y) (1 − xy) (1 + x)2 (1 + y)2 Lời giải Đặt x = tan α, y = tan β; α, β ∈ 0; P = π Khi ta có (tan α − tan β) (1 − tan α tan β) (1 + tan α)2 (1 + tan β)2 sin α sin β sin α sin β − 1− cos α cos β cos α cos β = sin β sin α 1+ 1+ cos α cos β (sin α cos β − cos α sin β) (cos α cos β − sin α sin β) = (sin α + cos α)2 (sin β + cos β)2 sin 2α − sin 2β sin (α − β) cos (α + β) = = (1 + sin 2α) (1 + sin 2β) (1 + sin 2α) (1 + sin 2β) 1 + sin 2α − − sin 2β 1 = − = (1 + sin 2α) (1 + sin 2β) + sin 2β + sin 2α Do ≤ 2α, 2β ≤ π nên ≤ sin 2α ≤ 1, ≤ sin 2β ≤ 1 Suy ra: − ≤ P ≤ 4 Ta có π sin 2α = x=1 α= P = ⇔ sin 2β = ⇔ Suy ra: y = β=0 Ta có 53 α=0 π Suy ra: x = y=1 β= Bài tốn 3.16 Tìm a b cho biểu thức sau đạt giá trị lớn 4, giá trị nhỏ −1: P =− ⇔ sin 2α = sin 2β = ⇔ P = ax + b x2 + Lời giải Do biểu thức y xác định với x có mặt đại lượng + x2 ta lượng gíac hóa cách đặt: x = tan α Khi đó, hàm số y trở thành: a b b a tan α + b = a sin α cos α + bcos2 α = sin 2α + cos 2α + + tan α 2 √ √ Áp dụng công thức: − a2 + b2 ≤ a sin u + b cos u ≤ a2 + b2 b 1√ b 1√ a + b2 ; M inP = − a + b2 Ta được: M axP = + 2 2 Đến đây, việc tìm a b thỏa yêu cầu tốn quy việc giải hệ phương trình:  b 1√   + a + b2 = a=4 a−4 2 ⇔ b=3 ∨ √ b=3 b   − a2 + b2 = −1 2 P = Dạng toán 3.5 Sử dụng lượng giác tốn có xuất biểu thức x2 + y hay (x + a)2 + (y + b)2 Khi tốn có chứa (x + a)2 + (y + b)2 Thì đặt x + a = Asint, y + b = Acost Bài toán 3.17 Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn 3x+4y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 + y Lời giải Bài tốn có chứa kiện x2 + y giúp ta nghĩ đến việc đặt: x = Asint y = Acost 54 ⇒ x + y = A2 Khi giả thiết cho trở thành: 3A sin t + 4A cos t =5   cos α= sin t + cos t = tức |A.sin(α+t)| = với hay A  5  sin α= 2 Vì |sin(α+t)| ≤ nên |A| ≥ ⇔ A ≥ Suy  x +y ≥1   sin t= Đẳng thức xảy sin t + cos t = tức hay  5  cos t =   x=  y= Vậy giá trị nhỏ cần tìm Bài tốn 3.18 Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn: 14xy + 23x2 − 25y − 24 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 + y Lời giải Bài tốn có chứa kiện x2 + y giúp ta nghĩ đến việc đặt: x = Asint 2 y = Acost ⇒ x + y = A Khi giả thiết cho trở thành: A2 (14 sin t cos t + 23cos2 t − 25sin2 t) − 24 = ⇔ A2 (7 sin 2t + 24 cos 2t − 1) − 24 =    cos α= 25 Vậy: A2 [25 (sin(2t+α) − 1] = 24, với 24   sinα= 25 Từ kết trên, kết hợp với tập giá trị hàm sin x ta suy ra: < 25 sin (2t + α) − ≤ 24 Do A2 ≥ Đẳng thức xảy khi: sin(2t + α) = Vậy: Giá trị nhỏ cần tìm M inP = Bài toán 3.19 Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn: |5x + 12y + 7| = 13 55 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y + 2(y − x) + Lời giải Ta biến đổi biểu thức P = (x − 1)2 + (y + 1)2 − Như tốn có xuất dấu hiệu (x + a)2 + (y + b)2 x − = A sin t Đặt y + = A cos t P = A2 − Điều kiện cho trở thành: |5(A sin t + 1)+12(A.cost − 1) + 7| = 13 ⇔ |5A sin t + 12A.cost| = 13 ⇔ |13A sin(t + α)| = 13 ⇔ |A sin(t + α)| =    cos α= 13 Với 12   sinα= 13 Từ suy |A|≥ 1hayP =A2 − 1≥ 18    x−1= x= 13 13 sin(t + α) = hay 12 ⇔  −1   y+1= y= 13 13 Vậy: Giá trị nhỏ cần tìm M inP = Đẳng thức xảy 3.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Trong mục này, tơi trình bày số dạng tốn sử dụng phương pháp lượng giác để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Bài tốn 3.20 Giải phương trình: 1+ − x2 (1 + x)3 − (1 − x)3 = + − x2 56 Lời giải Đặt x = cos t, ≤ t ≤ π Ta có phương trình: √ + sin t (1 + cos t)3 − (1 − cos t)3 = + − cos2 t t t t t √ t t + cos2 + sin cos cos3 − sin3 2 = + sin t 2 2 2 √ t t (2 + sin t) = + sin t ⇔ cos2 − sin2 2 √ ⇔ (2 + sin t) 2cost − = ⇔ sin2 Vì + sin t > nên phương trình có nghiệm cos t = √ tức √ x= Bài tốn 3.21 Tìm nghiệm phương trình sau khoảng (0; 1): 32x x2 − 2x2 − = − x π Lời giải Điều kiện x ∈ (0; 1), ta đặt x = cos t với t ∈ 0; Ta có phương trình: 32 cos t cos2 t − cos2 t − ⇔8 sin2 2t cos2 2t = − cos t ⇔ cos t = − 2sin2 4t ⇔ cos t = cos8t =1− cos t Giải phương trình kết hợp với điều kiện ≤ t ≤ nghiệm:  2π 2π x = cos t=   7   2π 2π  t= ⇔  x = cos  9   4π 4π t= x = cos 9 Bài tốn 3.22 Giải phương trình sau với |x| ≤ 1: √ 1 √ √ + =√ 1− 1−x 1+ 1−x 1−x  π ta 57 Lời giải Đặt x = cos t, (0 < t ta có x+ − x≤2⇔x=0 58 √ √ x Khi a > , từ ≤ x ≤ a suy ≤ ≤1 a √ π Đặt x = a cos t với ≤ t ≤ Khi đó: (3.6) ⇔ a (1 + cos t) + a (1 − cos t) ≤ √ t t ≤2 ⇔ 2a cos + sin 2 t π ⇔ cos − ≤√ a π t π π Vì: ≤ t ≤ suy − ≤ − ≤ 4 √ t π Do ≤ cos − ≤1 2 √ ≤ √ ⇔0 a = 0; a ∈ ; Ta có cos α 2 ta có |a| cos α cos α 2a2 cos α cos α ≤ |a| tan α + cos α |a| |a| |a| |a| ⇔ ≤ sin α + 2cos2 α ⇔ 2sin2 α − sin α − ≤  −1   ≤ sin α ≤ −π π ⇔ ⇔α∈ ; π −π   mα ∈ ; 2 −1 −1 −1 ⇔ tan α ∈ √ ; +∞ ⇔ tan α ≥ √ ⇔ x ≥ |a| √ 3 59 Vậy nghiệm bất phương trình là: −1 x ≥ |a| √ Bài toán 3.25 Cho ba số a, b, c > Giải hệ phương trình sau: x+y+z =a+b+c 4xyz = abc + a2 x + b2 y + c2 z x, y, z ≥ Lời giải Từ giả thiết ta có abc a2 b2 c2 + + + =1 4xyz 4yz 4zx 4xy Đặt: b c a cos A = √ , cos B = √ , cos C = √ yz zx xy Khi ta có hệ thức sau: cos2 A + cos2 B + cos2 C + cos A cos B cos C = < cos A, cos B, cos C < Theo Bài tốn 2.26, A, B, C ba góc tam giác Từ a + b + c = x + y + z suy (theo Ví dụ 2.13) √ √ √ x + y + z = yz cos A + zx cos B + xy cos C ≤ x + y + z Khi dấu "=" ln xảy ra, ta có √ √ √ y x x z y z = = ⇒ = = sin A sin B sin C sin2 A sin2 B sin2 C Vậy nghiệm hệ phương trình là: x= c+a a+b b+c ;y = ;z = 2 Bài tốn 3.26 Giải hệ phương trình sau: √ x − y + y − x2 = (1 − x) (1 + y) = 60 Lời giải Điều kiện: −1 ≤ y ≤ 1; −1 ≤ x ≤ Đặt: x = cos α; y = cos β với α, β ∈ [0, π] Hệ phương trình cho trở thành: cos αsinβ+cosβsinα= (1 − cos α) (1 + cos β) = ⇔ ⇔ sin (α+β) = (1 − cos α) (1 + cos β) = π α+β = − cos α+sinα−sinαcosβ= √ 1−t2 π ,ta có sin α cos α= Đặt t = sin α − cos α= sin α − Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: − t2 t− − = ⇔ t2 + 2t − = ⇔ t = t = −3 (loại) π π = √ ⇔ α = (do ≤ α ≤ π ) Vậy: sin α − 2 π Từ: α + β = suy β = Khi x = cos α= 0; y = cosβ= Vậy hệ cho có nghiệm nhất:(0; 1) Bài tốn 3.27 Giải hệ phương trình:   2x + x2 y = y 2y + y z = z  2z + z x = x Lời giải Hệ phương trình cho viết thành:   2x = y − x2 2y = z − y  2z = x − z Từ dễ thấy x = ±1, y = ±1, z = ±1 ta có  2x   y=   − x2   2y z=  − y2   2z   x= − z2 61 π π Đặt x = tan α ⇒ α = ± + kπ, + kπ , ta có  tan α   y = = tan 2α    − tan2 α  tan 2α z= 2α = tan 4α  − tan   tan 4α   x= = tan 8α − tan2 4α Do ta có phương trình: π tan α = tan 8α ⇔ 8α = α + kπ ⇒ α = k Cho k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta nghiệm hệ phương trình là: 2π 4π 4π π 2π π , tan ; tan ; tan (0; 0; 0) , tan ; tan ; tan 7 7 7 6π 5π π 2π 3π 4π tan ; tan ; tan , tan ; tan ; tan , 7 7 7 5π 6π 3π 6π 5π 3π tan ; tan ; tan , tan ; tan , tan 7 7 7 , Bài toán 3.28 Với a, b số khác cho trước Giải hệ phương trình: x2 + a2 = y + b2 = (x − b)2 + (y − a)2 |a| ≤ |R| |x| ≤ |R| x = R cos α Khi ta đặt a = Rsinα Với α ∈ [0; π] y = R cos β Ta được: b2 +y = R2 nên tương tự b = Rsinβ với β ∈ [0; π] ⇒ R2 = (x − b)2 + (y − a)2 ⇔ R2 = (R cos α−Rsinβ)2 + (R cos β−Rsinα)2  π α+β = π ⇔ sin (α + β) = = sin ⇔  5π α+β = +)Với: π π α+β = ⇒β = −α 6 √ π π π x a ⇒ y = R cos − α = R cos cos α+sin sin α = + (3.7) 6 2 Lời giải Vì: a2 + x2 = R2 ⇒ 62 Ta có: √ π π π x a b = R sin − α = R sin cos α−sinαcos = − 6 2 (3.8) Từ (3.7) (3.8) ta suy nghiệm hệ phương trình là: √ √ x = 2b + a 3; y = 2a + b +) Với: α+β = 5π 5π ⇒β= −α 6 5π −α ⇒ y = R cos √ 5π 5π x a = R cos cos α+Rsin sin α = − + 6 2 (3.9) Ta có 5π b = R sin −α √ 5π 5π x a = R sin cos α − R sin α cos = + 6 2 (3.10) Từ (3.9) (3.10) ta suy nghiệm hệ phương trình là: √ √ x = 2b − a 3; y = 2a − b Bài toán 3.29 (Đề đề nghị Olympic 30 tháng 4, năm 2008) Giải hệ phương trình:   x − 3z − 3z x + z = y − 3x − 3x2 y + x3 =  z − 3y − 3y z + y = Lời giải Hệ phương trình cho tương đương với:   x(1 − 3z ) = 3z − z y(1 − 3x2 ) = 3x − x3  z(1 − 3y ) = 3y − y 63 Ta thấy x, y, z = ± √ ,  3z − z    x=   − 3z   3x − x3 y=  − 3x2    3y − y   z =  − 3y Ta đặt: π π π \ ± x = tant, t ∈ − ; 2 Khi (3.11) kπ (k ⊂ Z) 26 Như với điều kiện (3.11) hệ phương trình có nghiệm là:  kπ   x = tan   26  3kπ y = tan  26     z = tan 9kπ 26 tan 27t = tan t ⇔ t = (k = 0; ±1; ±2; ; ±12) 64 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn khoa học Nhà giáo nhân dân, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, với nỗ lực học tập, nghiên cứu thân tác giả, kết luận văn Phương pháp lượng giác bất đẳng thức toán cực trị đại số giải vấn đề sau: Hệ thống hệ thức lượng giác, bất đẳng thức liên quan, đồng thời nhận dạng tốn bất đẳng thức sử dụng phương pháp lượng giác để giải Trình bày dạng tốn cực trị đại số tìm lời giải từ phương pháp lượng giác số tốn liên quan phương trình, hệ phương trình Ngồi tác giả cố gắng chọn lọc, sưu tầm đưa vào luận văn số toán kỳ thi tuyển sinh đại học, tạp chí tốn học tuổi trẻ, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, kỳ thi Olympic toán khu vực quốc tế Trong chương trình phổ thơng toán bất đẳng thức cực trị đại số ln dạng tốn khó đa dạng Nhưng người học có phương pháp để nhận dạng tốn việc giải dạng toán cải thiện Trong suốt chương trình phổ thơng vấn đề lượng giác trình bày cách hệ thống năm học, tác giả hy vọng luận văn góp phần nhỏ để giải toán bất đẳng thức, toán cực trị đại số nhà trường phổ thông trở nên dễ dàng 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Quốc Bá Cận, Trần Quốc Anh (2010), Sử dụng bất đẳng thức AM - GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [2] Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cận, Lê Phúc Lữ (2011), Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (1993), Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lý áp dụng, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc (2005), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn (2008), Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) (2005), Bất đẳng thức số vấn đề liên quan, Tài liệu dùng cho lớp bồi dưỡng giáo viên THPT chuyên Hè 2005 [8] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đức Hiền (Chủ biên) (2014), Kỷ yếu hội thảo khoa học, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - THPT chuyên năm [9] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XV - 2009, Toán học, NXB Giáo dục [10] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVI - 2010, Toán học, NXB Giáo dục ... + 2γ = π 10 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC 2.1.1 Một số bất đẳng thức đại số Định lý 2.1 ([3]-[6], Bất đẳng thức AM - GM ) Giả... CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG ĐƯỢC PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC Dạng toán 2.1 Sử dụng đẳng thức lượng giác bản, công thức biến đổi lượng giác, miền giá trị hàm số lượng giác đồng thức đại số sinh... pháp lượng giác bất đẳng thức toán cực trị đại số? ?? cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Mục đích luận văn nhằm hệ thống dạng toán bất đẳng thức tốn cực trị đại số sử dụng phương