ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN —————– DƯƠNG LỆ TRÚC DÙNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Hà Phương Đà Nẵng, 05/2016 Mục lục MỞ ĐẦU Các kiến thức chuẩn bị lượng giác 1.1 Khái niệm lịch sử hình thành hàm lượng giác 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Lịch sử hình thành 1.2 Bảng giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt 1.3 1.4 Công thức lượng giác 1.3.1 Các công thức 1.3.2 Công thức cộng 1.3.3 Công thức nhân 10 1.3.4 Công thức biến đổi 11 Hệ thức lượng tam giác 12 1.4.1 Định lý sin 1.4.2 Định lý cosin 12 12 Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, hệ phương trình 13 2.1 Một số kỹ thuật thường dùng để giải phương trình, hệ phương trình 13 2.2 Các bước giải tốn phương trình, hệ phương trình: 15 2.3 Một số phương trình dùng phương pháp lượng giác hóa: 15 2.4 Một số hệ phương trình dùng phương pháp lượng giác hóa: 26 Dùng phương pháp lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức 37 3.1 Một số bổ đề thường dùng để chứng minh bất đẳng thức: 37 3.2 Một số bất đẳng thức lượng giác bản: 38 3.3 Một số bất đẳng thức sử dụng luận văn 38 3.4 Các bước giải toán chứng minh bất đẳng thức 39 3.5 Một số toán cụ thể 39 Dùng phương pháp lượng giác hóa để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức 49 4.1 Các bước giải toán cực trị: 49 4.2 Một số toán cụ thể: 50 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Trong cấu trúc đề thi tuyển sinh thi học sinh giỏi nay, toán phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ dạng tập khó, khơng có phương pháp chung để giải tất chúng Đôi công cụ học sinh biết không đủ để giải tập khó tìm hướng để dẫn đến lời giải Đứng trước hàng loạt phương pháp giải toán như: đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, bất đẳng thức, dùng đồ thị, hình học, Việc lựa chọn phương pháp giải cho toán vấn đề quan trọng để đưa toán từ phép biến đổi phức tạp đơn giản Có hệ phương trình ẩn phương trình có phương trình có số mũ lớn việc sử dụng phương pháp thơng thường khó khăn để đưa đến kết Nhưng thật may mắn thay, số phương trình, hệ phương trình lại có điều kiện bó hẹp biến giúp ta liên tưởng đến số cơng thức lượng giác, từ mà ta biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển toán dạng lượng giác, cách giải dễ dàng nhiều Trong trình học tập nghiên cứu, nhận thấy lượng giác phương pháp hay việc giải toán đại số Các tài liệu lượng giác nhiều , nhiên sách viết ứng dụng lượng giác cịn Nên việc nghiên cứu thêm phần mở rộng lượng giác học sinh phổ thông vô cần thiết Với lí trên, tơi chọn đề tài: "Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải tốn phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức" làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hóa kiến thức lượng giác - Xây dựng hệ thống tập vận dụng để thấy tính thiết thực việc ứng dụng lượng giác giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết lượng giác ứng dụng - Phạm vi nghiên cứu: Một số tốn phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chương trình phổ thơng kỳ thi học sinh giỏi Nhiệm vụ nghiên cứu -Nghiên cứu tốn phương trình, hệ phương trình giải phương pháp lượng giác hóa -Nghiên cứu tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức giải phương pháp lượng giác hóa Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu luận: đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống hóa, phân dạng toán - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tích lũy kinh nghiệm có thân, bạn bè, thầy cô, anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu hơn, kĩ - Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: hỏi trực tiếp giáo viên hướng dẫn giáo viên giảng dạy kiến thức liên quan đến đề tài Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương: - Chương 1: Trình bày sơ lược kiến thức lượng giác: số định nghĩa, tính chất, cơng thức lượng giác - Chương 2: Trình bày dấu hiệu, số kỹ thuật thường dùng để giải phương trình, hệ phương trình phương pháp lượng giác hóa, tốn ứng dụng cụ thể - Chương 3: Trình bày dấu hiệu, số kỹ thuật thường dùng để chứng minh bất đẳng thức toán ứng dụng cụ thể - Chương 4: Trình bày dấu hiệu, số kỹ thuật thường dùng để giải tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phương pháp lượng giác hóa toán ứng dụng cụ thể Chương Các kiến thức chuẩn bị lượng giác Ở chương này, luận văn nhắc lại sơ lược vấn đề lượng giác như: khái niệm lịch sử hình thành lượng giác, tính chất phép biến đổi lượng giác 1.1 1.1.1 Khái niệm lịch sử hình thành hàm lượng giác Khái niệm Trong tốn học nói chung lượng giác học nói riêng, hàm lượng giác hàm tốn học góc, dùng nghiên cứu tam giác tượng có tính chất tuần hồn Các hàm lượng giác góc thường định nghĩa tỷ lệ chiều dài hai cạnh tam giác vng chứa góc đó, tỷ lệ chiều dài đoạn thẳng nối điểm đặc biệt vòng trịn đơn vị Ở khía cạnh đại hơn, định nghĩa hàm lượng giác chuỗi vô hạn nghiệm phương trình vi phân, điều cho phép hàm lượng giác có đối số số thực hay số phức 1.1.2 Lịch sử hình thành Những nghiên cứu cách hệ thống việc lập bảng tính hàm lượng giác cho thực Hipparchus (180-125 TCN), người lập bảng tính độ dài cung tròn chiều dài dây cung tương ứng Sau đó, Ptomely tiếp tục phát triển cơng trình, tìm công thức cộng trừ cho sin(A+B) cos(A+B), Ptomely suy diễn công thức hạ bậc, cho phép ơng lập bảng tính với độ xác cần thiết Tuy nhiên, bảng tính bị thất truyền Các phát triển diễn Ấn Độ, cơng trình Surya Siddhanta (thế kỷ 4-5) định nghĩa hàm sin theo nửa góc nửa dây cung Đến kỷ 10, người Ả Rập dùng hàm lượng giác với độ xác đến chữ số thập phân Các cơng trình hàm lượng giác phát triển nhằm phục vụ cơng trình thiên văn học, cụ thể dùng để tính tốn đồng hồ mặt trời Ngày nay, chúng dùng để đo khoảng cách tới gần, mốc giới hạn hay hệ thống hoa tiêu vệ tinh Rộng nữa, chúng áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác : quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, dược khoa, hóa học, lý thuyết số, khí tượng học, hải dương học 1.2 Bảng giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt Ta gọi cung có liên quan đặc biệt với cung α cung: - Đối với α : - α - Bù với α : π - α - Hơn, π với α: α ± π - Hơn, π π với α : α ± 2 -α π-α π+α π -α π +α cos cosα -cosα -cosα sinα -sinα sin -sinα sinα -sinα cosα cosα tan -tan α -tanα tanα cotα -cotα cot -cot α -cotα cotα tanα -tanα Bảng 1.1: Bảng giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt 1.3 Công thức lượng giác 1.3.1 Các công thức sin2 x + cos2 x = sin x tan x = cos x cos x cot x = sin x 1.3.2 tan x cot x = 1 + tan2 x = cos2 x 1 + cot2 x = sin2 x π (x = k , k ∈ Z) π (x = + kπ, k ∈ Z) (x = kπ, k ∈ Z) Công thức cộng sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tan a ± tan b π tan(a±b) = (a, b, a±b = +kπ, k ∈ Z) ∓ tan a tan b cot a cot b ± (a, b, a ± b = kπ, k ∈ Z) cot(a ± b) = cot a ∓ cot b 1.3.3 Công thức nhân Công thức nhân đôi sin 2x =2 sin x cos x   cos2 x − sin2 x    cos 2x= cos2 x −      − sin2 x π tan x (x, 2x = + kπ, k ∈ Z) tan 2x = − tan2 x Công thức nhân ba − x sin π3 + x π π cos 3x = cos3 x − cos x = cos x cos − x cos +x 3 π π tan x − tan3 x = tan x tan − x tan +x tan 3x = − tan x 3 Công thức tổng quát hàm tan: tan a + tan b + tan c − tan a tan b tan c tan(a + b + c) = − tan a tan b − tan b tan c − tan c tan a sin 3x = sin x − sin3 x = sin x sin π Cơng thức tính theo t= tan x 2t ; sin 2x = + t2 − t2 cos 2x = ; + t2 tan 2x = 2t − t2 Công thức hạ bậc − cos 2x − sin 3x + sin x sin3 x = sin2 x = + cos2x − cos 2x tan2 x = + cos 2x cos 3x + cos x cos3 x = cos2 x = 10 Chương Dùng phương pháp lượng giác hóa để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Ở chương này, luận văn trình bày số kỹ thuật thường dùng để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức phương pháp lượng giác hóa đồng thời đưa toán ứng dụng cụ thể nhiều cách để thấy mạnh phương pháp lượng giác hóa so với phương pháp khác 4.1 Các bước giải toán cực trị: Bước 1: Nhận biết dấu hiệu có tốn biến đổi giả thiết làm xuất dấu hiệu có tốn Bước 2: Lượng giác hóa toán, tức chuyển toán đại số sang tốn lượng giác Bước 3: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số lượng giác tương ứng kết luận 49 4.2 Một số toán cụ thể: Bài toán 4.1 (Đề thi thử chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2015) Cho a, b, c số thực dương thỏa: 4ab + 2bc + 3ca = 24 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 16 + + a2 + b2 + c2 + 16 (4.1) Bài giải: Đặt a = 2x; b = 3y; c = 4z Từ điều kiện giả thiết ta suy ra: x, y, z > xy + yz + zx = (*) 1 + + Khi biểu thức P trở thành: P = x +1 y +1 z +1 Cách 1: Giải phương pháp đại số (x2 + 1) − x2 (y + 1) − y (z + 1) − z Ta có: P = + + x2 + y2 + z2 + y2 z2 x2 + + =3− x2 + y + z + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta x2 y2 z2 (x + y + z)2 + + ≥ (4.1a) x2 + y + z + x + y2 + z2 + Từ (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ≥ Mặt khác ⇒ x2 + y + z ≥ xy + yz + zx (4.1b) xy + yz + zx = nên từ (4.1b) ta suy ra: x2 + y + z + 8(xy + yz + zx) ≥ ⇔ 4(x2 + y + z + 2(xy + yz + xz)) ≥ 3(x2 + y + z + 3) ⇔ 4(x + y + z)2 ≥ 3(x2 + y + z + 3) (x + y + z)2 ≥ (4.1c) ⇔ x + y2 + z2 + x2 y2 z2 Từ (4.1a) (4.1c) suy ra: + + ≥ x2 + y + z + Từ ta có: P ≤ 50 √ Đẳng thức xảy x = y = z = √ √ √ 3 ; b = 3; c = Hay a = 3 Vậy giá trị lớn biểu thức Pmax = Cách 2: Dùng phương pháp lượng giác hóa Từ xy + yz + xz = suy tồn tam giác ABC cho: A B C x = tan ; y = tan ; z = tan 2 B C A Thay x = tan ; y = tan ; z = tan vào biểu thức P ta có: 2 A B C P = cos2 + cos2 + cos2 2 1 A =cos2 + (1 + cos B) + (1 + cos C) 2 2 A + (cos B+) = + cos 2 A B+C B−C = + cos2 + cos cos 2 A B − C A = − sin2 + sin cos 2 2 A B−C B−C − sin − cos =2+ cos 2 2 B−C ≤2+ = ⇒ P ≤ + cos2 4    A+B+C =π     Do đó: Pmax = sin A = cos B − C  2    B − C  cos2 =1 π ⇔A=B=C= √ √ √ √ 3 ⇒a= ; b = 3; c = Hay x = y = z = 3 Bài toán 4.2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : 3y − 4xy P = x + y2 51 (4.2) Bài giải: Cách 1: Giải phương pháp đại số - Xét trường hợp 1: y = ⇒ P = - Xét trường hợp 2: y = Ta chia tử mẫu cho y Khi ta có: 3− P = x y 4x y +1 x y Thay vào biểu thức P ta được: − 4u P = ⇔ P.u2 + 4u + P − = u +1 P tồn  P.u + 4u + P − = có nghiệm P =0    ⇔ P =   ∆′ = − P (P − 3) ≥   P =   ⇒ P = ⇔ −1 ≤ P ≤   −1 ≤ P ≤ x −1 x Từ trường hợp ta có: Pmin = −1 = 2; Pmax = = y y x x −1 Vậy Pmin = −1 = 2; Pmax = = y y Cách 2: Dùng phương pháp lượng giác hóa Đặt u = P =3 y x2 + y −4 52 x x2 + y y x2 + y 2 Vì: x x2 + y 2 + y x2 + y = nên ta đặt:          x x2 + y y = cos t = sin t x2 + y − cos 2t 3 P = sin2 t−4 sin t cos t = −2 sin 2t = − sin 2t + cos 2t 2 Ta có: 2 25 sin2 2t + cos2 2t = sin 2t + cos 2t ≤ + 2 5 ⇒ − ≤ sin 2t + cos 2t ≤ 2 ⇒ −1 ≤ P ≤ P = −1 khi: sin 2t + cos 2t = 2 ⇔ sin 2t + cos 2t = 5 ⇔ (cos 2t − ϕ) = ϕ sin ϕ = ; cos ϕ = ⇔ t = + kπ 5   ϕ x   = cos t = cos + kπ  y x2 + y ⇒ = ⇒ ϕ y  x   = sin t = sin + kπ  x2 + y y Tương tự P = = −2 x y y Vậy Pmin = −1 = ; Pmax = = −2 x x Bài toán 4.3 (Đại học khối B - 2008) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2(6xy + x2 ) P = + 2y + 2xy Với x, y số thực thay đổi thỏa mãn hệ thức x2 + y = Bài giải: Cách 1: Giải phương pháp đại số 53 (4.3) Thay x2 + y = vào biểu thức P ta được: 2(x2 + 6xy) P = x + y + 2xy + 2y Nếu y = ta có x2 = Suy P = x Nếu y = 0, đặt t = ⇒ x = ty y Biểu thức P biểu diễn theo t sau: 2t2 + 12t 2[(ty)2 + 6ty ] = P = (ty)2 + y + 2ty + 2y t + 2t + ⇔ (P − 2)t + 2(P − 6)t + 3P = (4.3∗) Nếu P=2 ⇒ Phương trình (4.3∗) có nghiệm t = ∗ Nếu P = ⇒ Phương trình (4.3 ) có nghiệm △′ = −2P − 6P + 36 ≥ ⇔ −6 ≤ P ≤ 3 Vậy Pmax = x = √ ; y = √ x = − √ ; y = − √ 10 10 10 10 3 Pmin = −6 x = √ ; y = − √ x = − √ ; y = √ 13 13 13 13 Cách 2: Giải phương pháp lượng giác hóa Từ hệ thức: x2 + y = 1, ta đặt  x = sint  y = cost với t ∈ [0; 2π] Thay vào biểu thức P ta được: 2(6 sin t cos t + sin2 t) P = + cos2 t + sin t cos t ⇔P = sin 2t − cos 2t + sin 2t + cos 2t + ⇔ (P − 6) sin 2t + (P + 1) cos 2t = − 2P Phương trình (4.3∗) có nghiệm khi: (P − 6)2 + (P + 1)2 ≥ (1 − 2P )2 ⇔ 2P + 6P − 36 ≤ ⇔ −6 ≤ P ≤ 54 (4.8∗) Vậy Pmax = Nhận xét: x = 3; y Pmin = −6 x =− y -Bài tốn 4.1: tốn khó, với cách 1, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng bất đẳng thức để đưa lời giải Với cách 2, từ điều kiện x, y, z ta dễ liên tưởng đến việc lượng giác hóa tốn nhiều -Bài toán 4.2 4.3: Nếu học sinh giải theo cách gặp sai lầm không xét trường hợp y = 0, y = 0, lời giải chưa lời giải cách hay nhiều Bằng cách biến đổi, tách biến làm xuất dấu hiệu đưa dạng lượng giác giải nhanh gọn - Qua toán trên, ta thấy lợi quan trọng phương pháp lượng giác hóa so với phương pháp khác Từ đó, dùng phương pháp để giải lớp tốn tương tự sau đây: Bài tốn 4.4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : P = 4xy − 4y x2 + y (4.4) Bài giải: - Xét trường hợp 1: y = ⇒ P = - Xét trường hợp 2: y = Ta chia tử mẫu cho y Khi ta có: P = Đặt 4x −4 y x +1 y x π π Ta có: = tan t; t ∈ − , y 2 √ tan t − π P = = sin t cos t − 4cos t = 2 sin 2t − −2 tan t + 55 Do đó: √ π 3π Pmax = 2 − ⇔ sin 2t − =1⇔t= + kπ, k ∈ Z x 3π 3π π π ⇔ = tan suy ra: t = Đối chiếu điều kiện t ∈ − , 2 y √ π π = −1 ⇔ t = − + kπ, k ∈ Z Pmin = −2 − ⇔ sin 2t − π x π π π suy ra: t = − ⇔ = − tan Đối chiếu điều kiện t ∈ − , 2 y √ √ x x 3π π Vậy Pmax = 2 − = tan ; Pmin = −2 − = − tan y y Bài toán 4.5 (Đại học ngoại thương Hà Nội năm 1995) Cho x, y > với x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : E= Đặt:   x = R cos2 t  y = R sin2 t 1 + + 4xy x2 + y xy (4.5) Bài giải: với t ∈ 0; π Vì x, y > x + y ≤ nên < R < Khi ta có: 3 1 E= + + + 4xy + ≥ +2 2 x +y 4xy 4xy x +y 4xy 3 + +2 +2 ≥ + Hay: E ≥ 2 sin22t R cos4 t + sin t 4R2 sin tcos2 t − sin t − sin2 2t = + ≥ − sin2 2t ≥ 2 (2 − sin  2t) sin 2t  R = 1 Vậy: Emin = ⇔ ⇔x=y=  sin2t = Bài tốn 4.6 (Tạp chí tốn học tuổi trẻ 2011) Cho số thực x; y; z ∈ (0; 1) ; xy + yz + xz = 56 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = y z x + + − x2 − y − z (4.6) Bài giải: Từ giả thiết: xy + yz + xz = nên tồn tam giác ABC cho: A B C x = ; y = tan ; z = tan 2 Khi ta có: B C A tan tan tan 2 + + P = A B C − tan2 − tan2 − tan2 2 A C B C A B sin cos cos cos2 sin sin 2+ 2+ 2 = A cos A B cos B C cos C cos cos cos 2 B B A B B A sin cos sin cos sin cos 2+ 2+ 2 = cos A cos B cos B = (tan A + tan B + tan C) Ta có: sin(A + B) sin(A + B) ≥ tan A + tan B = cos(A + B) + cos(A − B) cos(A + B) + Mà: A+B A+B sin cos sin(A + B) A+B 2 = = tan A+B cos(A + B) + 2 cos2 Suy ra: A+B tan A + tan B ≥ tan Dấu ”=” xảy A = B π C + π Tương tự ta có: tan C + tan ≥ tan Suy ra:  π C+ A+B π 3 + tan tan A + tan B + tan C + tan ≥ tan 2 57 π A+B+C +  = 4√3  ≥ tan  √ √ 3 √ ⇒ P ≥ (4 − 3) = 2 √ √ π 3 x = y = z = tan = Vậy Pmin = Bài toán 4.7 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức: M= a b c + +√ 2 1+a 1+b + c2 (4.7) Bài giải: Từ giả thiết: ab + bc + ac = nên tồn tam giác ABC cho: B C A với A, B, C ∈ (0, π) a = tan ; b = tan ; c = 2 A B C Thay a = tan ; b = tan ; c = tan vào biểu thức ta được: 2 A B C tan tan tan 2 M= + + A B A + tan2 + tan2 + tan 2 C = (sin A + sin B) + sin 2 A−B A+B A+B cos + cos = sin 2 √ A + B A + B A−B + cos2 cos2 + ≤ 10 Suy ra: M≤ sin2  2   2A − B  =1 cos Dấu ”=” xảy khi: A+B  cos  A + B  sin = √ ⇔ a = b = −3 + 10; c = Bài tốn 4.8 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : 58 √ P =x 1+y+y 1+x (4.8) Với điều kiện x2 + y = Bài giải: Với điều kiện: x2 +y = cho phép ta đặt  x = sin ϕ với ϕ ∈ [0; 2π]  y = cos ϕ √ √ ⇒ P = sin ϕ + cos ϕ + cos ϕ + sin ϕ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: √ √ P = sin ϕ + cos ϕ + cos ϕ + sin ϕ ≤ (sin2 ϕ + cos2 ϕ)(2 + sin ϕ + cos ϕ) = + π Vì: −1 ≤ sin(ϕ + ) ≤ 4√ √ ⇔2− 2≤P ≤2+ √ √ ⇔ 2− 2≤P ≤ 2+ √ √ Vậy: Pmax = + 2; Pmin = − 59 √ π sin(ϕ + ) KẾT LUẬN Luận văn đề cập giải vấn đề sau: Củng cố hệ thống lại kiến thức lượng giác Đưa dấu hiệu để nhận biết lớp tốn giải phương pháp lượng giác hóa, quy trình giải, kĩ thuật giải cho lớp tập Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải tốn chương trình phổ thơng kì thi học sinh giỏi Đề tài phát mạnh phương pháp lượng giác hóa giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức So với phương pháp thường gặp phương pháp lượng giác hóa mà đề tài đưa đạt ưu điểm: - Có định hướng nhận dạng tốn, tìm cách giải quy trình rõ ràng - Các toán giải cách tự nhiên, logic, phù hợp với tư toán học - Giải số tốn khó đơn giản, dễ dàng - Gây hứng thú học tập cho học sinh, học sinh tự tin giải dạng toán Đề tài đưa lời giải 31 toán: có 16 tốn giải phương trình, hệ phương trình, tốn chứng minh bất đẳng thức tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Nội dung luận văn làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, giáo viên, quan tâm đến phương pháp lượng giác hóa, Hi vọng phương pháp lượng giác trình bày luận văn cịn 60 tiếp tục mở rộng hồn thiện nhằm giải nhiều lớp tốn khác Trong khn khổ luận văn tốt nghiệp, hạn chế thời gian nên luận văn chắn cịn có vấn đề tồn tại, kính mong bảo tận tình q thầy giáo, giáo bạn! 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh, Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Thái Hòe, Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXB Giáo dục, 1997 [3] Nguyễn Văn Mậu, Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Xuân Liêm, Chuyên đề bất đẳng thức bất phương trình, NXB Giáo dục, 1998 [5] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội, 2007 [6] GS Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, NXB Hà Nội [7] Phạm Trọng Thư, Các chuyên đề đại số,NXB Đai học Sư phạm,2010 [8] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri Thức [9] Vũ Thế Hựu, Phương Pháp lượng giác hóa tốn, NXB Giáo dục [10] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [11] Tài liệu tham khảo mạng: diendantoanhoc.net, hocmai.vn, math.vn [12] Các trang web: -http://sangkienkinhnghiem.org/sang-kien-kinh-nghiem-mot-sophuong-phap-luong-giac-de-chung-minh-bat-dang-thuc-dai-so-976/ 62 -https://julielltv.wordpress.com/category/bat-dang-thuc/luong-giachoa-trong-chung-minh-bdt/ -https://sites.google.com/site/pdtuansite/home/lam-viec-nhom 63 ... cứu tốn phương trình, hệ phương trình giải phương pháp lượng giác hóa -Nghiên cứu toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức giải phương pháp lượng giác hóa Phương pháp nghiên... Chương Dùng phương pháp lượng giác hóa để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Ở chương này, luận văn trình bày số kỹ thuật thường dùng để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức phương pháp lượng giác hóa đồng... hệ phương trình: 15 2.3 Một số phương trình dùng phương pháp lượng giác hóa: 15 2.4 Một số hệ phương trình dùng phương pháp lượng giác hóa: 26 Dùng phương pháp lượng giác hóa để chứng minh bất