BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MAI THỊ PHƯƠNG THẢO PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Mai Thị Phương Thảo MỤC LỤC 1.1 1.2 1.3 MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ SAI SỐ 1.1.1 Sai số tuyệt đối sai số tương đối 1.1.2 Chữ số có nghĩa chữ số đáng tin 1.1.3 Làm tròn số 1.1.4 Viết số gần KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ ĐẠO HÀM 10 1.2.1 Khái niệm hàm số liên tục định lý liên quan 10 1.2.2 Khái niệm đạo hàm 16 NGHIỆM VÀ KHOẢNG PHÂN LI NGHIỆM 17 1.3.1 Sự tồn nghiệm phương trình 17 1.3.2 Khoảng phân li nghiệm 18 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM 2.1 2.2 GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 23 PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI 23 2.1.1 Nội dung phương pháp 23 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp sai số 24 2.1.3 Ưu điểm, nhược điểm phương pháp 25 2.1.4 Ví dụ minh họa 26 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 27 2.2.1 Nội dung phương pháp 27 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp sai số 28 2.2.3 Ưu điểm, nhược điểm phương pháp 31 2.3 2.4 2.5 2.2.4 Ví dụ minh họa 31 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG 35 2.3.1 Nội dung phương pháp 35 2.3.2 Sự hội tụ phương pháp sai số 38 2.3.3 Ưu điểm, nhược điểm phương pháp 41 2.3.4 Ví dụ minh họa 41 PHƯƠNG PHÁP NEWTON 43 2.4.1 Nội dung phương pháp 43 2.4.2 Sự hội tụ phương pháp sai số 47 2.4.3 Ưu điểm, nhược điểm phương pháp 50 2.4.4 Ví dụ minh họa 50 ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 52 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 62 3.1 3.2 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 62 3.1.1 Giới thiệu sơ lược Mathematica 62 3.1.2 Giao diện tương tác Mathematica 63 3.1.3 Các tính Mathematica 63 ỨNG DỤNG CHO CÁC PHƯƠNG PHÁP: CHIA ĐÔI, LẶP ĐƠN, DÂY CUNG, NEWTON 69 3.2.1 Ứng dụng cho phương pháp chia đôi 69 3.2.2 Ứng dụng cho phương pháp lặp đơn 72 3.2.3 Ứng dụng cho phương pháp dây cung 77 3.2.4 Ứng dụng cho phương pháp Newton 80 KẾT LUẬN 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Xuất phát từ nhu cầu giải toán thực tế (trong thiên văn, vật lý, đo đạc ruộng đất ) dẫn đến việc phải giải phương trình phi tuyến Tuy nhiên, phương trình thường phức tạp nói chung khó tìm nghiệm phương trình Vì vậy, tốn tìm nghiệm gần phương trình xuất với phương pháp tìm nghiệm gần kinh điển sử dụng hiệu thực tế Với phát triển công cụ tin học, đặc biệt từ máy tính điện tử đời, tốn tìm nghiệm gần phương trình phát triển nhanh Trên sở xây dựng thuật tốn đơn giản, có hiệu lực, giải đến kết số ngơn ngữ lập trình máy tính, ta dễ dàng tìm nghiệm gần phương trình vài phút Ngày với việc sử dụng rộng rãi máy vi tính cơng tác nghiên cứu giảng dạy việc ứng dụng phần mềm tốn học cho tốn tìm nghiệm gần công việc ý nghĩa tự nhiên Một thực tế cho thấy rằng, số lượng phương trình khơng tìm nghiệm xác khơng có cơng thức tổng quát để biểu diễn nghiệm lớn nhiều so với phương trình có nghiệm tường minh cơng thức nghiệm xác (các phương trình bậc 1, 2, 3, 4) Và với mong muốn mang lại thú vị công cụ phương thức lựa chọn cho đối tượng có quan tâm đến tốn tìm nghiệm gần cho phương trình với việc ứng dụng phương pháp tìm nghiệm gần phương trình nên tác giả lựa chọn đề tài “ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG ” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm gần phương trình ứng dụng phần mềm Mathematica cho phương pháp Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải gần phương trình Nghiên cứu phần mềm Mathematica việc giải gần phương trình Phạm vi nghiên cứu Tính gần nghiệm thực phương trình Phương pháp nghiên cứu Mô tả nội dung phương pháp tìm nghiệm gần Đánh giá hội tụ phương pháp sai số nghiệm gần tìm Sau sử dụng phần mềm Mathematica để tìm nghiệm gần phương trình Các kiến thức sử dụng luận văn thuộc lĩnh vực: Phương pháp tính, Giải tích số, Giải tích, Đại số tuyến tính, Phương trình vi phân Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán đối tượng quan tâm đến tốn tìm nghiệm gần Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn bao gồm chương Chương 1: Kiến thức sở • Trình bày số kiến thức số gần sai số • Khái niệm hàm số liên tục đạo hàm • Nghiệm khoảng phân li nghiệm Chương 2: Một số phương pháp tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến • Phương pháp chia đơi • Phương pháp lặp đơn • Phương pháp dây cung • Phương pháp Newton • Ứng dụng giải phương trình Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho phương trình phi tuyến • Giới thiệu tổng quan phần mềm Mathematica • Ứng dụng phần mềm Mathematica cho phương pháp: Chia đôi, lặp đơn, dây cung, Newton CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương tác giả trình bày số kiến thức số xấp xỉ sai số, khái niệm hàm số liên tục đạo hàm, tồn nghiệm phương trình khoảng phân li nghiệm Các kiến thức chuyên sâu trình bày chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 SAI SỐ 1.1.1 Sai số tuyệt đối sai số tương đối Định nghĩa 1.1.1 Xét đại lượng A có giá trị gần a Khi a gọi số xấp xỉ số A, kí hiệu là: a ≈ A (đọc a xấp xỉ A) Nếu a < A ta nói a xấp xỉ thiếu A Nếu a > A ta nói a xấp xỉ thừa A Định nghĩa 1.1.2 Hiệu ∆a = a − A (hoặc ∆a = A − a) gọi sai số xấp xỉ A Giá trị: ∆ = |∆a| = |A − a| (1.1) gọi sai số tuyệt đối số xấp xỉ a Nhận xét: Trong thực tế ta thường giá trị xác số A, khơng tính sai số tuyệt đối số xấp xỉ a Vậy nên người ta tìm cách ước lượng sai số số dương ∆a lớn |a − A| Số dương ∆a gọi sai số tuyệt đối giới hạn a Từ ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.3 Sai số tuyệt đối giới hạn số xấp xỉ a số dương không nhỏ sai số tuyệt đối xấp xỉ a, kí hiệu ∆a là: 70 Lời giải Đặt f (x) = x5 + 6x − 10 Ta áp dụng liên tiếp phương pháp chia đôi khoảng phân li nghiệm biết Lập trình tính tốn Mathematica sau: f [x_] := x5 + 6x − 10; {a, b} = {0, 1} Do[P rint[(a + b)/2//N ]; {a, b} = If [f [a] ∗ f [(a + b)/2] < 0, {a, (a + b)/2}, {(a + b)/2, b}], {10}] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: 1.5 1.25 1.125 1.1875 1.21875 1.20313 1.21094 1.21484 1.2168 1.21777 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ 10 nghiệm gần phương trình cho với sai số không 10−3 là: 1.21777 Ví dụ 3.2.2 Tìm nghiệm phương trình − x − ex = với sai số không 10−3 Lời giải Đặt Ta có: f (x) = − x − ex f (0) = > f (1) ≈ −7, 39 < Suy f (0)f (1) < 71 Lại có: + f (x) liên tục [0, 1] + f ′ (x) = −1 − ex < 0, ∀x ∈ [0, 1] Do (0, 1) khoảng phân li nghiệm phương trình cho Lập trình tính tốn Mathematica sau: f [x_] := − x − ex ; {a, b} = {0, 1} Do[P rint[(a + b)/2//N ]; {a, b} = If [f [a] ∗ f [(a + b)/2] < 0, {a, (a + b)/2}, {(a + b)/2, b}], {8}] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: 0, 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.46875 0.453125 0.445313 0.441406 0.443359 0.442383 0.442871 0.442627 0.442749 0.44281 0.442841 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ 15 nghiệm gần phương trình cho với sai số khơng q 10−6 là: 0.442841 Ví dụ 3.2.3 Tìm nghiệm phương trình cos x + x = khoảng (2, 3) với sai số không 10−3 Lời giải Đặt f (x) = cos x + x − 72 Ta áp dụng liên tiếp phương pháp chia đôi khoảng phân li nghiệm biết Lập trình tính tốn Mathematica sau: f [x_] := cos x + x − 2; {a, b} = {2, 3} Do[P rint[(a + b)/2//N ]; {a, b} = If [f [a] ∗ f [(a + b)/2] < 0, {a, (a + b)/2}, {(a + b)/2, b}], 10] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: 2.5 2.75 2.875 2.9375 2.96875 2.98438 2.99219 2.98828 2.98633 2.9873 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ 10 nghiệm gần phương trình cho với sai số không 10−3 là: 2.9873 3.2.2 Ứng dụng cho phương pháp lặp đơn Ví dụ 3.2.4 Tìm nghiệm gần phương trình f (x) = 5x3 − x2 − x − = phương pháp lặp Biết (0, 5; 1) khoảng phân li nghiệm Lời giải Ta có nhiều cách biến đổi phương trình cho phương trình tương đương x = ϕ(x), chẳng hạn: x = 5x3 − x2 − 1; √ x = 5x3 − x − 1; x + x + x= ; ϕ1 (x) = 5x3 − x2 − √ ϕ2 (x) = 5x3 − x − x + x + ϕ3 (x) = Sau phân tích cụ thể, ta thấy hàm ϕ3 (x) thỏa mãn định lý (2.2.1) 73 Vì 2x + √ √ ≈ 0, 334, ∀x ∈ [0, 5; 1] < 3 (1, 75) (x2 + x + 1)2 nên ta chọn q = 0, 34 thực trình lặp với giá trị ban đầu x0 = 0, Lập trình tính tốn Mathematica sau: x + x + ; x = 0.5; g[x_] := Do[P rint[x//N ]; x = g[x], {10}] P rint[”Dapso : x = ”, g[x], ”.Saiso : ”, Abs[x − g[x]] ∗ 0.34/(1 − 0.34)] Máy trả kết dãy nghiệm gần tìm sau lần lặp: 0.5 0.70473 0.760749 0.776337 0.780687 0.781902 0.782241 0.782336 0.782363 0.78237 ”Dapso : x = 0.782373 Saiso : 2.9728 × 10−7 Đối với ví dụ này, đề cho thêm yêu cầu sai số không vượt q 0, 0001 ta lập trình tính toán Mathematica sau: x + x + g[x_] := ; x = 0.5; q = 0.34; del = 0.0001; p = q/(1 − q); F or[X = {x, g[x]}; i = 0, p ∗ Abs[X[[1]] − X[[2]]] > del, i + +, X = {X[[2]], g[X[[2]]]} ; P rint[X[[2]]//N ]] Máy trả kết dãy nghiệm gần tìm sau lần lặp: 74 Lưu ý: Trong chương trình máy trả kết từ x2 trở đi, giá trị cuối dãy nghiệm cần tìm với sai số không lớn sai số cho phép 0.760749 0.776337 0.780687 0.781902 0.782241 0.782336 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phương trình cho với sai số khơng q 0, 0001 là: 0.782336 Ví dụ 3.2.5 Tìm nghiệm gần phương trình f (x) = x2 − ex + 10 = phương pháp lặp Biết (2, 3) khoảng phân li nghiệm Lời giải Nếu gọi nghiệm α ta nói phương trình cho có nghiệm thực α phân li đoạn (2, 3) Bây ta dùng phương pháp lặp để tính gần nghiệm α Như nói trên, trước hết ta phải tìm hàm lặp ϕ(x) thích hợp để phương pháp lặp ta hội tụ, tức ϕ(x) chọn phải thỏa mãn điều kiện định lý (2.2.1) Trước hết ta đưa phương trình dạng x = ln(x2 + 10) Suy |ϕ′ (x)| = 2x ≈ 0, 428, ∀x ∈ [2, 3] < x2 + 10 14 Ta thấy ϕ(x) chọn thỏa mãn định lý (2.2.1) Do ta chọn q = 0, 43 thực trình lặp với giá trị ban đầu x0 = Lập trình tính toán Mathematica sau: g[x_] := Log[E, x2 + 10]; x = 2; Do[P rint[x//N ]; x = g[x], {7}] P rint[”Dapso : x = ”, g[x], ”.Saiso : ”, Abs[x − g[x]] ∗ 0.43/(1 − 0.43)] 75 Máy trả kết dãy nghiệm gần tìm sau lần lặp: 2.63906 2.83113 2.89122 2.91013 2.91609 2.91796 Dapso : x = 2.91874.Saiso : 0.000140713 Đối với ví dụ 2, đề cho thêm yêu cầu sai số không vượt 0, 00001 ta lập trình tính tốn Mathematica sau: g[x_] := Log[E, x2 + 10]; x = 2; q = 0.43; del = 0.00001; p = q/(1 − q); F or[X = x, g[x]; i = 0, p ∗ Abs[X[[1]] − X[[2]]] > del, i + +, X = {X[[2]], g[X[[2]]]} ; P rint[X[[2]]//N ]] Máy trả kết dãy nghiệm gần tìm sau 10 lần lặp: Lưu ý: Trong chương trình máy trả kết từ x2 trở đi, giá trị cuối dãy nghiệm cần tìm với sai số khơng lớn sai số cho phép 2.83113 2.89122 2.91013 2.91609 2.91796 2.91855 2.91874 2.9188 2.91882 2.91882 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ 11 nghiệm gần phương 76 trình cho với sai số không 0, 00001 là: 2.91882 Ví dụ 3.2.6 Tìm nghiệm gần phương trình √ 3x + = 17x− phương pháp lặp Biết (0, 1) khoảng phân li nghiệm Lời giải Nếu gọi nghiệm α ta nói phương trình cho có nghiệm thực α phân li đoạn (0, 1) Bây ta dùng phương pháp lặp để tính gần nghiệm α Như nói trên, trước hết ta phải tìm hàm lặp ϕ(x) thích hợp để phương pháp lặp ta hội tụ, tức ϕ(x) chọn phải thỏa mãn điều kiện định lý (2.2.1) Trước hết ta đưa phương trình dạng √ + 3x + x= 17 Suy |ϕ′ (x)| = 3 < ≈ 0, 088, ∀x ∈ [0, 1] 34 34 3x + √ Ta thấy ϕ(x) chọn thỏa mãn định lý (2.2.1) Do ta chọn q = 0, 09 thực trình lặp với giá trị ban đầu x0 = Lập trình tính√tốn Mathematica sau: + 3x + ; x = 0; g[x_] := 17 Do[P rint[x//N ]; x = g[x], {7}] P rint[”Dapso : x = ”, g[x], ”.Saiso : ”, Abs[x − g[x]] ∗ 0.09/(1 − 0.09)] Máy trả kết dãy nghiệm gần tìm sau lần lặp: 0.352941 0.378521 0.38008 0.380174 0.38018 77 Dapso : x = 0.38018.Saiso : 2, 04057 × 10−9 Đối với ví dụ 3, đề cho thêm yêu cầu sai số không vượt q 0, 00001 ta có√thể lập trình tính tốn Mathematica sau: + 3x + g[x_] := ; x = 0.5; 17 q = 0.09; del = 0.00001; p = q/(1 − q); F or[X = {x, g[x]}; i = 0, p ∗ Abs[X[[1]] − X[[2]]] > del, i + +, X = {X[[2]], g[X[[2]]]} ; P rint[X[[2]]//N ]] Máy trả kết dãy nghiệm gần tìm sau lần lặp: Lưu ý: Trong chương trình máy trả kết từ x2 trở đi, giá trị cuối dãy nghiệm cần tìm với sai số khơng lớn sai số cho phép 0.378521 0.38008 0.380174 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phương trình cho với sai số không 0, 00001 là: 0.380174 3.2.3 Ứng dụng cho phương pháp dây cung Ví dụ 3.2.7 Tìm nghiệm gần phương trình x4 − 3x + = với độ xác 10−2 Lời giải Đặt Ta có: Suy f (x) = x4 − 3x + f (0) = > f (1) = −1 < f (0)f (1) < Lại có: f ′ (x) = 4x3 − > 0, ∀x ∈ [0, 1] f ′′ (x) = 12x2 > 0, ∀x ∈ [0, 1] 78 Do (0, 1) khoảng phân li nghiệm phương trình cho Vì f (1) trái dấu với f ′′ (1) nên ta chọn x0 = 1, 5, d = Lập trình tính tốn Mathematica sau: f [x_] := x4 − 3x + 1; {a, b} = {0., 1.} ; delta = 0.00001; {x, B, s} = If [f ′′ [(a + b)/2] ∗ f [a] < 0, {a, b, 1} , {b, a, −1}]; x F or[k = 0, f [x]∗f [x+s∗delta] > 0, k ++, x+ = −(B −x)f [x]/(f [B]− f [x]); P rint[x]] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: 0.5 0.347826 0.338076 0.337683 0.337667 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phương trình cho với sai số khơng q 10−5 là: 0, 337667 Ví dụ 3.2.8 Tìm nghiệm gần phương trình x = sin3x khoảng (0, 5; 1) với độ xác 10−6 Lời giải Đặt Ta có: f (x) = x − sin(3x) f ′ (x) = − cos(3x) < 0, ∀x ∈ [0, 5; 1] f ′′ (x) = sin(3x) > 0, ∀x ∈ [0, 5; 1] Vì f (0, 5) ≈ −0, 497 trái dấu với f ′′ (0, 5) nên ta chọn x0 = 0, 5, d = Lập trình tính tốn Mathematica sau: f [x_] := x − sin[3x]; {a, b} = {0.5, 1.}; delta = 0.000001; {x, B, s} = If [f ′′ [(a + b)/2] ∗ f [a] < 0, {a, b, 1}, {b, a, −1}]; x F or[k = 0, f [x]∗f [x+s∗delta] > 0, k ++, x+ = −(B −x)f [x]/(f [B]− f [x]); P rint[x]] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: 79 0.5 0.683391 0.744132 0.756838 0.759134 0.759536 0.759606 0.759618 0.75962 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phương trình cho với sai số không 10−6 là: 0, 75962 Ví dụ 3.2.9 Tìm nghiệm gần phương trình 2(x2 + 2) = √ x3 + khoảng (5, 6) với độ xác 2.10−5 Lời giải Đặt √ f (x) = 2(x2 + 2) − x3 + Ta có: 15x2 > 0, ∀x ∈ [5, 6] f ′ (x) = 4x − √ x3 + 15(x4 + 4x) ′′ √ > 0, ∀x ∈ [5, 6] f (x) = − 4(x3 + 1) x3 + Vì f (5) ≈ −2, 125 trái dấu với f ′′ (5) nên ta chọn x0 = 5, d = Lập trình tính toán Mathematica sau: √ f [x_] := 2(x2 + 2) − x3 + 1; {a, b} = {5., 6.}; delta = 0.00002; {x, B, s} = If [f ′′ [(a + b)/2] ∗ f [a] < 0, {a, b, 1}, {b, a, −1}]; x F or[k = 0, f [x]∗f [x+s∗delta] > 0, k ++, x+ = −(B −x)f [x]/(f [B]− f [x]); P rint[x]] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: 5.47533 5.53415 80 5.5406 5.5413 5.54137 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phương trình cho với sai số không 2.10−5 là: 5, 54137 3.2.4 Ứng dụng cho phương pháp Newton Ví dụ 3.2.10 Tìm nghiệm gần phương trình sin x − x = với độ xác 10−5 Lời giải Đặt f (x) = sinx − x − Ta có: f (−2) ≈ 0, 591 > f (−1) ≈ −0, 341 < Suy f (−2)f (−1) < Lại có: f ′ (x) = cos x − < 0, ∀x ∈ [−2, −1] f ′′ (x) = − sin x > 0, ∀x ∈ [−2, −1] Do (−2, −1) khoảng phân li nghiệm phương trình cho Vì f (−2) dấu với f ′′ (1) nên ta chọn x0 = −2 Lập trình tính tốn Mathematica sau: f [x_] := sin[x] − x − 0.5; a = −2.; b = −1.; delta = 0.00001; {x, s} = If [f [a] ∗ f ′′ [a] > 0, {a, 1}, {b, −1}]; x F or[k = 0, f [x]∗f [x+s∗delta] > 0, k++, x+ = −f [x]/f ′ [x]; P rint[x]] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: −2 −1.58288 81 −1.50092 −1.49731 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phương trình cho với sai số khơng q 10−5 là: −1, 49731 Ví dụ 3.2.11 Tìm nghiệm gần phương trình ex −10x+7 = khoảng (0, 1) với độ xác 10−7 Lời giải Đặt Ta có: f (x) = f (x) = ex − 10x + f ′ (x) = ex − 10 < 0, ∀x ∈ [0, 1] f ′′ (x) = ex > 0, ∀x ∈ [0, 1] Vì f (0) = dấu với f ′′ (0) nên ta chọn x0 = Lập trình tính toán Mathematica sau: f [x_] := ex − 10x + 7; a = 0.; b = 1.; delta = 0.0000001; {x, s} = If [f [a] ∗ f ′′ [a] > 0, {a, 1}, {b, −1}]; x F or[k = 0, f [x]∗f [x+s∗delta] > 0, k++, x+ = −f [x]/f ′ [x]; P rint[x]] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: 0.888889 0.960713 0.961583 0.961584 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phương trình cho với sai số khơng q 10−7 là: 0.961584 Ví dụ 3.2.12 Tìm nghiệm gần phương trình −0, 9x2 +1, 7x+ 2, = khoảng (−1, 0) với độ xác 2.10−6 Lời giải Đặt Ta có: f (x) = −0, 9x2 + 1, 7x + 2, 82 f ′ (x) = −1, 8x + 1, > 0, ∀x ∈ [−1, 0] f ′′ (x) = −1, < 0, ∀x ∈ [−1, 0] Vì f (−1) = −0, dấu với f ′′ (−1) nên ta chọn x0 = −1 Lập trình tính tốn Mathematica sau: f [x_] := −0, 9x2 + 1, 7x + 2, 5; a = −1.; b = 0.; delta = 0.000002; {x, s} = If [f [a] ∗ f ′′ [a] > 0, {a, 1}, b, −1]; x F or[k = 0, f [x]∗f [x+s∗delta] > 0, k++, x+ = −f [x]/f ′ [x]; P rint[x]] Máy trả kết dãy nghiệm gần đúng: −1 −0.971429 −0.971216 Vậy ta dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phương trình cho với sai số không 2.10−6 là: −0.971216 83 KẾT LUẬN Sau thời gian nỗ lực nghiên cứu đề tài phương pháp giải gần phương trình ứng dụng, luận văn đạt kết sau: Hệ thống lại kiến thức liên quan đến tìm nghiệm gần phương trình f (x) = Chứng minh cặn kẽ định lý liên quan Làm sáng tỏ phương pháp tìm nghiệm gần đúng: Chia đơi, lặp đơn, dây cung (Newton), tiếp tuyến thông qua việc sử dụng phần mềm Mathematica (Version 4.2) Đưa ví dụ minh họa cụ thể cho phương pháp Mặc dù cố gắng nỗ lực trình thực luận văn nhiên thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiế Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2008), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Tơn Tích Ái (2011), Phương pháp số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Tạ Văn Đĩnh (2001), Phương pháp tính, NXB Giáo dục [4] Dỗn Tam Hịe (2001), Tốn học tính toán, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Xuân Liêm (1998), Giải tích (Tập 1), NXB Giáo dục [6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2005), Toán học cao cấp (Tập 2), NXB Giáo dục [7] Dương Thủy Vỹ ( 2006), Giáo trình Phương pháp tính, NXB Khoa học Kỹ thuật Tiế Anh [8] Andrei A Kolyshkin (2008), A First Course in Numerical Methods with Mathematica, World Academy of Science, Engineering and Technology [9] Burden R.L, Faires J.D (2010), Numerical analysis, Ninth Edition [10] S.S Sastry (2006), Introductory Methods of Numerical Analysis, Fourth Edition [11] B.P.Demidovich, Boris (1989), Problems in Mathematica Analysis, Mir Publishers ... PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG ” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm gần phương trình ứng dụng phần mềm Mathematica cho phương pháp Đối... phương trình phi tuyến Tuy nhiên, phương trình thường phức tạp nói chung khó tìm nghiệm phương trình Vì vậy, tốn tìm nghiệm gần phương trình xuất với phương pháp tìm nghiệm gần kinh điển sử dụng. .. cụ phương thức lựa chọn cho đối tượng có quan tâm đến tốn tìm nghiệm gần cho phương trình với việc ứng dụng phương pháp tìm nghiệm gần phương trình nên tác giả lựa chọn đề tài “ PHƯƠNG PHÁP TÌM