CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TƯƠNG ĐỐI TÍNH Nguyễn Xuân Hãn –biên dich SUPA Graduate School October/November 2008 http://www.physics.gla.ac.uk/~drmiller/lectures/RQM_2008.pdf Tài liệu đề xuất: Quarks & Leptons F Halzen A Martin (khơng hồn tồn cần thiết) Các chủ đề Phương trình Schrodinger: Phương trình Klein Gordon: Phương trình Dirac: Điện động lực học lượng tử: Lý thuyết nhiễu loạn tán xạ: Sắc động lực học lượng tử: * Cơ học lượng tử phi tương đổi tính * Phương trình sóng tương đối tính cho hạt boson * Phương trình sóng tương đối tính cho hạt fermion * Phương trình Dirac điện từ * Các quy tắc Feynman, tiết diện bề rộng * Quark, gluon màu, tái chuẩn hóa, kết cặp Phần 1: Phương trình Schrodinger r r * Xét sóng phẳng có lượng E = hω động lượng p = hk : r r r i k x − ωt ) ψ ( t , x ) = Ne ( Các giá trị rút nhờ toán tử lượng động lượng: r r ∂ Eˆ = ih pˆ = −ih∇ ∂t * Khơng có ngạc nhiên toán tử lượng động lượng tương ứng khơng giao hốn với thời gian vị trí, mà tn theo hệ thức giao hốn thơng thường: r r r r ∂ ∂  xˆi , pˆ j ψ ( t , x ) = −ihxi ψ ( t , x ) + ih xiψ ( t , x ) ) = ihψ ( t , x ) δ ij ( ∂x j ∂x j * Quả thật, nên sử dụng hệ thức giao hoán định đề phát triển theo hướng khác Nhớ lại hàm sóng hệ số ta viết véctơ trạng thái theo véctơ riêng vị trí x , ψ = ∫ d xψ ( x ) x , nghĩa ψ ( x ) ≡ x ψ +) Bài tập: Chỉ xem xét không gian chiều với giả thiết hệ thức giao hoán  xˆi , pˆ j  = ih , ∂   φ pˆ ψ = ∫ dx φ * ( x )  −ih ÷ψ ( x ) ∂x   ∂ Gợi ý: Xét x [ xˆ , pˆ ] y sử dụng δ ( x − y ) = ( x − y ) δ ( x − y ) ∂y r ∂ * Điều thể −ih∇ −ih nói cách xác biểu diễn ∂x khơng gian tọa độ tốn tử động lượng Em xây dựng (hoặc dự đoán) biểu diễn khơng gian động lượng vị trí động lượng • p2 + V , viết phương trình dạng 2m chứa toán tử cho ta phương trình Schrodinger: Theo lý thuyết cổ điển, ta biết E = ∂ψ h2 =− ∇ ψ + Vψ ∂t 2m * Nhưng giải thích phương trình Schrodinger hàm sóng tương ứng? Cách tốt ta xem xét đại lượng bảo tồn Các dịng mật độ bảo tồn gì? ih ψ × S E.: * ψ × S E.* : ∂ψ h2 * ψ ih =− ψ ∇ ψ + Vψ *ψ ∂t 2m * ∂ψ h2 −ψ ih =− ψ∇ 2ψ * + Vψψ * ∂t 2m * (1) (2) Lấy (1) – (2): r r ∂ ψ *ψ  h2 h2 r  −ψ *∇ 2ψ +ψ∇ 2ψ *  = ⇒ ih  = ∇ ψ *∇ψ + ψ∇ψ *  ∂t 2m 2m ( r r r r ∇ ψ *∇ψ  = ∇ψ *∇ψ + ψ *∇ 2ψ ) mật độ bảo toàn Ta đại lượng ρ = ψ *ψ thỏa mãn phương trình liên tục: r r ∂ρ r r h  * r + ∇.J = với J = ψ ∇ψ − ∇ψ * ψ   ∂t 2im  ( ) ( ) dịng bảo tồn Tích phân tồn thể tích V: sử dụng Định luật Gauss r r ∂ρ dV = − ∫ ∇.J dV V ∂t V ∫ r r ∂ ρ dV = − J ∫A dA ∂t ∫V Bất kỳ thay đổi tổng ρ thể tích phải thơng qua dịng J chạy qua bề mặt thể tích J Hình Thể tích V bao mặt diện tích A * ρ = ψ *ψ mật độ bảo toàn ta gọi mật độ xác suất để tìm thấy hạt vị trí xác định Chú ý ρ xác định dương, điều kiện cần xác suất Phần 2: Phương trình Klein-Gordon Phương trình Schrodinger mô tả hạt giới hạn phi tương đối tính Để mơ tả hạt máy gia tốc, ta cần kết hợp với lý thuyết tương đối hẹp Tổng hợp nhanh tương đối hẹp Ta xây dựng véctơ bốn chiều sau r x µ ≡ ( x , x1 , x , x3 ) ≡ ( ct , x ) ( µ = { 0,1, 2,3} ) µ µ ν Một quan sát viên hệ quy chiếu S’ quan sát thấy véctơ bốn chiều x′ = Λν x với Λ ký hiệu phép biến đổi Lorentz Ví dụ: trường hợp v hướng theo chiều dương trục x: u   γ − γ 0÷  ct ′   c ÷  ′÷   x ÷=  − u γ γ 0÷ γ=  ÷  y′ ÷ c v2 ÷ −  ÷  0 0÷ c2  z′ ữ 0 * Đại lượng x xµ bất biết với phép biến đổi Lorentz r2 x µ xµ ≡ g µν x µ xν = ( ct ) − x ν (định nghĩa véctơ hiệp biến covector xµ ≡ g µν x ) với g µν 1 0   ÷ −1 0 ÷  = tensor metric không gian Minkowski  0 −1 ÷  ÷  0 −1 * Sự bất biến cho thấy biến đổi Lorentz trực giao x′µ xµ′ ≡ g µν x′µ x′ν = g µν Λ µ α xα Λ µ β x β   x µ xµ ≡ g µν x µ xν  x µ xµ = x′µ xµ′ ⇔ g µν Λ µ α Λ µ β = gαβ ⇔  Λ −1  = Λνµ µν (Chú ý ta chứng minh tính bất biến từ tính trực giao phép biến đổi) dx µ dτ τ với thời gian riêng, thời gian hệ gắn với hạt, liên hệ với thời gian người quan sát theo biểu thức t = γτ Thành phần thời gian động lượng bốn chiều lượng hạt, cịn thành phần khơng gian động lượng ba chiều * Động lượng bốn chiều hạt định nghĩa p µ = m  E r pµ =  , p ÷ c  độ lớn động lượng bốn chiều bất biến: E2 r p µ pµ = − p = m c c * Cuối cùng, ta định nghĩa đạo hàm ∂µ = ,ữ x c ∂t  Đây véctơ hiệp biến (chỉ số dưới) Đôi khim ta sử dụng biểu thức véctơ = , ữ c ∂t  ν ∂ µ biến đổi thành: ∂ µ → ∂′µ =  Λ −1  µ Chú ý dấu trừ ∂ν  µ ∂x′µ ν µ ν  ∂x′ = ν ∂x = Λ ν ∂x ∂x  ∂ ∂xν ∂ ∂  −1 ν   = = nờn ữ à ∂x′ ∂x′ ∂x ∂xν  * Cho đơn giản, từ sau ta sử dụng đơn vị tự nhiên Thay viết đại lượng theo đơn vị kg, m s, ta viết chúng theo đơn vị la c, h eV: c = 299792458 ms −1 h = 6.58211889 ( 26 ) × 10−16 eV s 1eV = 1.782661731( 70 ) c kg Khi đại lượng có đơn vị kg a mb s c viết theo đơn vị cα hβ eV γ , α = b + c − 2a β =b+c γ = a−b−c Sau đó, bỏ qua h c đại lượng (có thể tìm lại chúng từ thứ nguyên) – không đơn giản “đặt chúng đơn vị” Phương trình Klein-Gordon Tính bất biến độ lớn xung lượng bốn chiều cho mối liên hệ lượng, động lượng khối lượng: r2 p µ pµ = E − p = m r ∂ r Thay nằng lượng xung lượng E → i , p → −i∇ cho ta phương trình Klein-Gordon: ∂t  ∂2 2  − + ∇ ÷φ = m φ  ∂t  (Tôi đặt V = cho đơn giản) Một cách khác, ký hiệu hiệp biến p pµ = m thay p µ → i∂ µ thu µ (∂ + m2 ) φ = µ ( ∂ ≡ ∂ ∂ µ viết thành hay r r r − i ( Et − p x ) Phương trình có nghiệm dạng sóng phẳng φ ( t , x ) = Ne ) chuẩn hóa Đây phương trình sóng tương đối tính cho hạt có spin 0, mà cho tiện lợi ký hiệu φ * Phương trình Klein-Gordon liệu có hệ quy chiếu? Dưới phép biến đổi Lorentz, toán tử Klein-Gordon bất biến, nên  ∂ ∂   ∂ ∂  + m ÷φ ′ ( x ) = + m ữ ( x ) ữ x x ÷ µ  ∂x′ ∂xµ′    Để thu tượng vật lý hệ giống ban đầu, ta cần có: (do Λ thực) S số thực φ ′ ( x′ ) = Sφ ( x ) với |S|2 = (biến đổi Lorentz bảo toàn chuẩn)  Dưới phép biến đổi Lorentz liên tục, S phải đơn vị nghĩa S = r r Nhưng phép đảo ( t , x ) → ( t , − x ) , S lấy nhận hai dấu r r r φ ′ ( t ′, x′ ) = φ ′ ( t ′, − x′ ) = φ ( t , x ) Nếu S = 1, φ vơ hướng r r r φ ′ ( t ′, x′ ) = φ ′ ( t ′, − x′ ) = −φ ( t , x ) Nếu S = −1, φ giả vô hướng Do φ bất biến nên φ không đổi với phép biến đổi Lorentz Nghĩa sác xuất không thay đổi theo hệ quy chiếu * Tuy nhiên, sác xuất phải thay đổi theo hệ quy chiếu! Nhớ φ mật độ sác xuất: V γ Sác xuất P = ρV nên để P bất biến, ta cần có ρ ′ = γρ * Chúng ta cần định nghĩa cho mật độ ρ dịng J thỏa mãn phương trình liên tục ur ∂ρ ur ur + ∇.J = hoặc, ∂ µ j µ = với j µ = ( ρ , J ) ∂t Một lựa chọn là:     * ∂φ ∂φ *  ρ = i φ − φ J = −i[φ * (∇φ ) − (∇φ * )φ ] ∂t   ∂t Sự co ngắn chiều dài làm thay đổi thể tích V ′ = [ Như j µ = i φ * (∂ µ φ ) − (∂ µ φ * )φ ] Bài tập: Xét nghiệm sóng phẳng chúng ta: r r r φ ( t , x ) = Ne −i( Et − p x ) ∂2 φ = ( ∇2 − m2 ) φ ∂t r2 ⇒ E = m2 + p r2 ⇒ E = ± m2 + p Ta thu nghiệm ứng với lượng âm, chí  ∂φ ∂φ *  ρ = i φ * − φ = N E ∂t   ∂t Nên trạng thái lượng âm có phân bố xác suất âm Ta khơng thể bỏ qua nghiệm chúng xuất khai triển Fourier Đây lý Schrodinger bỏ qua phương trình thay vào phát triển phương trình Schrodinger phi tương đối tính – ông (đơn giản) lấy dấu dương phép khai nên ơng bỏ qua nghiệm lượng âm Giải thích Feynman-Stuckelberg Lý thuyết Trường Lượng tử phát biểu trạng thái lượng dương phải truyền trước theo thời gian để bảo tồn tính nhân * Feynman Stuckelberg đưa giả thiết trạng thái lượng âm truyền ngược chiều thời gian Các nghiệm sóng phẳng ứng với lượng âm (E < 0) r r r r r r − i E − t − p x φE , pr ( t , x ) = Ne − i ( Et − p x ) = Ne ( ( ) ) = φ E ,− pr ( −t , x ) chuyển dấu âm sang cho thời gian nhớ r r r dx dx p=m = −m dτ d ( −τ ) Các hạt chuyển động ngược chiều thời gian sau giải thích phản hạt chuyển động chiều thời gian Nếu trường tích điện, ta giải thích lại j µ mật độ điện tích thay mật độ sác xuất: j µ = −ie φ * ( ∂ µφ ) − ( ∂ µφ * ) φ  Khi ρ = j , nên hạt có lượng E: j = −2e N E cịn phản hạt có lượng E: j = +2e N E = −2e N tức tương đương với mật độ điện tích electron có lượng − E ( −E ) Không gian Trong thực tế, ta thấy trạng thái hạt, nên phải bao gồm phản hạt Thời gian trạng thái lượng dương truyền theo chiều thời gian trạng thái lượng âm truyền theo chiều thời gian ≡ trạng thái lượng dương truyền ngược chiều thời gian Hình Cơ học lượng tử không giải đầy đủ tạo cặp hạt-phản hạt từ chân không Để xem xét vấn đề ta cần Lý thuyết Trường Lượng tử Chuẩn hóa nghiệm KG Mật độ hạt (hay điện tích) cho phép ta chuẩn hóa nghiệm KG hệ kín ρ = N E nên hệ kín tích V, số hạt là: ∫ V ρ dV = ∫ N EdV = N EV 2 V Nếu ta chuẩn hóa 2E hạt đơn vị thể tích, N = Chú ý để chọn lực hiệp biến Tuy số hạt hệ kín khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu, thể tích hệ thay đổi phép biến đổi Lorentz, nên mật độ thay đổi theo phép biến đổi Trên thực tế, mật độ thành phần thời gian véctơ bốn chiều j Phương trình Klein-Gordon từ Lagrangian Trong học cổ điển, sử dụng Lagrangian để mơ tả hệ động lực học, thông qua nguyên lý tác dụng tối thiểu Hàm tiến hóa hệ phát triển theo đường có tác dụng tối thiểu, tác dụng định nghĩa theo Lagrangian Thực tế L mật độ Lagrange S = ∫ L ( φ , ∂ µφ ) d x Lagrangian L = ∫ L ( φ , ∂ µφ ) d x Liệu có phải điều chứng tỏ S phụ thuộc vào ∂ µφ ? * * Thực tế, cách xác L =L ( φ , φ , ∂ µφ , ∂ µφ ) Chúng ta muốn tìm cấu hình trường cho với biến thiên vơ nhỏ trường tác dụng không đổi nghĩa là: φ ( x ) → φ ( x ) + δφ ( x ) ⇒ S → S + δ S với δ S = δ S = δφ ∂ ∂ L ( φ , ∂ν φ ) d x + δ ( ∂ µφ ) L ( φ , ∂ν φ ) d x ∫ ∫ ∂φ ∂ ( ∂ µφ )  ∂L ∂L = ∫  δφ + ∂ µ ( δφ )  ∂φ ∂ ( δ µφ )  Nhưng ∂ µ ( δφ )  ∂L ∂L = ∂ µ  δφ  ∂ ( ∂ µφ ) ∂ ( ∂ µφ )   ∂L  ∂L + ∂ µ  δφ nên δ S = ∫ δφ  ∂ ( ∂ µφ )  ∂φ   ÷d x ÷   L ữ ữ ( ) L ữ µ  ÷  ∂ ( ∂ µφ )    ÷ ÷   ÷ d x ÷  đạo hàm tồn phần khơng triệt tiêu ∞ Điều với φ nên:  ∂L ∂L − ∂µ   ∂ ( ∂ µφ ) ∂φ  Đây phương trình Euler-Lagrange  ÷=0 ÷  Phần 3: Phương trình Dirac Vấn đề phương trình Klein-Gordon phép khai tính lượng : r2 E = ± m2 + p Dirac tìm cách tránh vấn đề cách tìm phương trình hàm phụ thuộc tuyến tính theo toán tử r r rr ∂ψ E = α p + β m → i = −iα ∇ + β m ψ ∂t r Giờ ta cần tìm α β ( ) Ta có: E = α i pi + β m với i j lấy tổng theo giá trị 1, 2, ⇒ E = α iα j pi p j + ( α i β + βα i ) mpi + β m = α iα j + α jα i ) pi p j + ( α i β + βα i ) mpi + β m ( đổi ký hiệu i ↔ j , hay ∑α α i i, j j pi p j = ∑ α jα i p j pi =∑ α jα i pi p j j ,i i, j r2 So sánh với E = m + p , ta có: 2 α iα j + α jα i = 2δ ij α i β + βα i = β =1 r α β phần tử phản giao hốn – khơng đơn giản số! r Các hệ thức giao hoán xác định α β Ta chọn phần tử thỏa mãn mối liên hệ Một khả năng, gọi biểu diễn Dirac, ma trận 4x4: r r 0 σ 1  α = r β = ÷ ÷ σ   −1 với σ i ma trận Pauli thông thường: ma trận 2x2 0 1  −i  1  σ1 =  ÷ σ2 =  ÷ σ3 =  ÷ 1 0 i   −1 Do ma trận tác động lên trường ψ , ψ phải véctơ thành phần, gọi spinor  • • • • ã Núi mt cỏch ữ ữ r chớnh xỏc, õy ã ã ã ã ữ ã ữ r −iα ∇ + β m ψ ~  ch l mt ã ã ã ã ữ ã ÷  ÷ ÷ biểu diễn  • • • •  •  ( ) 10 r λ ( s, mA2 , mB2 ) Với pa = 4s λ (α , β , γ ) ≡ α + β + γ − 2αβ − 2αγ − βγ s + mA2 − mB2 Ea = s s − mA2 + mB2 Eb = s Khi Thơng lượng trở thành F = [( p A pB ) − mA2 mB2 ] r r = 4( pa Eb + pb Ea )  F = pa s   Ta có pc = − pd Ec + Ed = s với mối liên hệ tương tự pa pb Độ đo không gian pha trở thành:   d pc d pd dLips = ( 2π ) δ ( pc + pd − pa − pb ) Ec ( 2π ) Ed ( 2π ) 1  = δ ( Ec + Ed − s ) d pc 4π Ec Ed 4 1   = δ ( Ec + Ed − s ) pc d pc dΩ 4π Ec Ed (do  d pc EE = c d ) d s pc s  pc = δ ( s − Ec − Ed ) d s dΩ 16π s  pc dLips = dΩ 16π s Kết hợp lại:  dσ pc = M  dΩ CM 64π pa s Trở lại với q trình e− µ −→ e− µ − (với me = mµ = 0)  dσ 1 pc 11 e4 s + u α s + u 2 = ∑ M = M = =  ∑ dΩ spins 64π pa s 64π s spins 32π s t 2s t 33 Trong đó: s2 + u 2 e2 M = 2e số cấu trúc tinh tế α = ∑ spins t2 4π Biểu diễn theo góc a c s t ≡ ( pa − pc ) = −2 pa pc = − (1 − cosθ ) c θ a b s u ≡ ( pa − pd ) = −2 pa pd = − (1 + cos θ ) dσ α + (1 + cos θ ) = Đạo hàm tiết diện là: dΩ 8s (1 − cos θ ) d Chú ý độ lệch với góc nhỏ: dσ 4α θ → ~ dΩ s θ4 Đây độ lệch công thức tán xạ Rutherford Đối xứng giao hoán Một cách tổng quát, giản đồ Feynman, hạt đến với động lượng p tương đương với phản hạt với động lượng –p, eeeµ+ pa pc pb Giao hốn pd µ- µ- pa -pb -pc pd µ- e+ Điều giúp ta sử dụng kết e − µ − → e − µ − để tính vị phân tiết diện cho e+ e− → µ + µ − s = ( pa + pb ) t = ( p a − pc ) s = ( p a − pc ) 2 u = ( pa − p d ) Giao hoán t = ( p a + pd ) 2 u = ( pa − pd ) 2 s↔t µ- e- e+ 2 dσ α t + u t +u ⇒ M = e = ∑ spins s2 dΩ 2s s Chú ý không thay đồi s từ thơng lượng khơng gian pha µ+ 34 Đặt θ góc e− µ−, s t = − (1 − cos θ ) , ⇒ s u = − (1 + cos θ ) (giống trước) (Chú ý điểm kỳ dị biến mất) dσ α = (1 + cos θ ) dΩ s Tiết diện toàn phần : σ Tot = α2 4π α 2π ∫ (1 + cos θ )d (cos θ ) = 4s s −1 Các hạt giống trạng thai đầu cuối Cho đến giờ, tương tác xem xét, hạt trạng thái cuối phân biệt so với Nếu hạt trạng thái cuối giống nhau, ta có thêm giản đồ Feynman Ví dụ: e − e − → e −e − iM1 e- iM2 e- pa pc pb pd e- e - pa pc pb e e- ie u ( pc )γ µ u ( pa )u ( pd )γ µ u ( Pb ) t - −ie đổi chỗ fermion giống ⇒ có dấu trừ e- pd e- u ( pd )γ µ u ( pa )u ( pc )γ µ u ( pb ) u pc pd đổi chỗ Do hạt trạng thái cuối giống nhau, giản đồ không phân biệt phải cộng cách kết hợp 2 2 M = M + M = M + M + 2ℜeM 1M 2* 35 Ta có giao thoa hai thành phần dσ α s + u s + t s2 = ( + + ) d Ω 2s t u2 tu +) Bài tập: Chỉ spin lấy tổng/lấy trung bình với vi phân tiết diện cho e − e − → e − e − QED cho phương trình trên, bỏ qua khối lượng electron Tán xạ Compton toán tử lan truyền fermion Tán xạ Compton tán xạ photon electron γ γ γ γ + e- e- e- e- Tơi vừa dẫn quy tắc Feyman cho tốn tử truyền fermion, rút từ đâu ra? µν Trước hết xem lại tốn tử truyền photon có dạng là: −ig Thành phần − p2 nghịch đảo phương trình sóng photon: p2 ∂ Aµ = − p Aµ = j µ ⇒ Aµ = − µ j p2 Thành phần g µν lấy từ tổng véctơ phân cực photon theo giá trị spin ∑∈ λ =1 Do đó, hàm truyền photon có dạng −i (− µ* (λ ) ∈(vλ ) = − g µ v µ* v ) ∈ ∈ = −ig µ v 2 ∑ (λ ) (λ ) p λ =1 p Đối với hàm truyền fermion, ta dùng cách tương tự 36 cho photon ảo − p − m2 Nhớ ψ tuân theo phương trình KG Tổng theo spin fermion khơng khối lượng ∑ u(s)u (s) = ( p +m p − m) ψ = ⇒ ( p + m ) ( p − m ) ψ = ( p − m2 ) ψ = s =1 Vậy hàm truyền fermion p+m −i ( − ) u ( s)u ( s ) = i 2 ∑ p − m s =1 p − m2 (đơi viết thành i ) p −m Chính xác hơn, hàm truyền biến đổi Fourier không gian động lượng hàm Green phương trình sóng Hàm Green S tuân theo: (i ∂ − m) S ( x − y ) = iδ (4) ( x − y ) Đây định nghĩa hàm Green Nó hữu ích ta sử dụng chúng để xây dựng nghiệm cho nguồn (i ∂ − m)ψ ( x ) = ρ ( x) Đặt S ( x − y ) = ∫ cho ta ⇒ ψ ( x) = −i ∫ p ( y ) S ( x − y )dy d4 p S ( p )e − ip.( x − y ) nhân trái (i ∂ − m) (2π ) d4 p − ip ( x − y ) = iδ (4) ( x − y ) ∫ (2π )4 ( p − m)S ( p)e ⇒ S ( p) = i ( p + m) i = p − m p − m2 d p − ip.( x − y ) e = δ (4) ( x − y ) Nhớ ∫ (2π ) Giờ ta có đủ thơng tin để tính tán xạ Compton Áp dụng quy tắc Feynman, thực tính tồn, với me = γ γ γ γ + e- e- e- u s M = −2e ( + ) ∑ spins s u +) Bài tập: Xây dựng lại phương trình (xuất phát từ Quy tắc Feynman) 37 e- Em cần sử dụng ∑ ∈( µ* T) spins ∈ν( T ) → − g µν Tổng theo phân cực ngang Chuyện xảy với giao thoa? Tốc độ phân rã Cho tới ta xem xét trình → 2, cịn q trình phân rã? Độ rộng phân rã cho bởi: dΓ = κ fi × VT # final states # of decaying particles per unit volume Với phân rã a → b + c, ta có κ fi = ( 2π ) δ ( pa − pb − pc ) M VT r r d pb d pc d pb d pc = = (2π )δ ( pb2 − mb2 )(2π )δ ( pc2 − mc2 ) Số trạng thái cuối 3 4 Eb (2π ) Ec (2π ) (2π ) (2π ) Số hạt phân rã đơn vị thể tích = ⇒ dΓ = M Ea r Trong hệ quy chiếu gắn với hạt a: pa = ma , , ( Vớ Eb = r p + mb2 , ) 2 Ea dLips r r pb = ( Eb , p ) , pc = ( Ec , − p ) , r2 p + mc2 Ec = Các hạt phân rã bay ngược chiều dΓ = M 2ma r r 1 δ (ma − Eb − Ec ) p d p d Ω Eb Ec (2π ) r r Eb Ec d ( Eb + Ec ) Nhưng p d p = Eb dEb = Ec dEc = Eb + Ec r p 1 Γ=∫ M δ (ma − Eb − Ec ) d ( Eb + Ec )d Ω 8ma (2π ) Eb + Ec 38 Γ=∫ M 32ma2π 2 r p dΩ Nhớ rằng, để tìm tốc độ phân rã toàn phần, ta cần lấy tổng tất trình phân rã Γ Tot = ∑ Γ i i −1 Nghịch đảo độ rộng toàn phần Γ Tot cho ta thời gian sống hạt Nếu số hạt = Na ΓTot = − dN a N a dt ⇒ N a (t ) = N a (0)e −ΓTot t Phần 6: Sắc động lực học lượng tử (QCD) Quark, Gluon Mầu QCD mô tả tương tác quark gluon Nó giống với QED, ngoại trừ ta có loại “điện tích” thay Cho thuận tiện, ta gọi điện tích red, green blue, quark xem véctơ “khơng gian màu” B  qR   ÷ q =  qG ÷  qB ÷   G R Tuy nhiên, QCD đối xứng phép quay khơng gian màu, nên ta ln quay quark trạng thái đơn sắc gọi chúng red, green hay blue Đối xứng gọi SU(3)color, song song với đối xứng U(1)QED QED B B Lực quark truyền nhờ gluon, hạt có khả thay đổi màu quark Do có loại quark khác (red, green blue) nên để nối chúng tất với ta cần có x = gluon khác RB ≡ B R R R 39 particle flow color flow Hình 6.2 Do nối quark có màu khác với nhau, gluon phải có màu Chẳng hạn, ta có gluon RB , RG, GR , GB , BR , BG + ba tổ hợp trực giao RR , GG, BB Cho thuận tiện, ta lấy ba loại cuối 1 ( RR − BB ), ( RR + BB − 2GG ), ( RR + BB + GG ) Do QCD đối xứng phép quay không gian màu, loại đầu phải cặp có liên quan Tuy nhiên, loại cuối đơn sắc, nên có cặp tùy ý Trong QCD, cặp khơng ⇒ Ta có gluon Để biến đổi véctơ-màu quark sang véctơ khác, ta cần tám ma trận 3x3 Lấy ví dụ để chuyển quark blue thành quark red, ta cần gluon RB biểu diễn Τ ur RB 0   ÷ = 0 0÷ 0 0÷       ÷ ÷ i.e  0 ÷1 ÷ = ( 0 )  0 ÷ ÷    Ma trận lựa chọn thuận tiện (Nó thực tế tốn tử thang) Thay vào đó, ta thường biểu diễn TA theo ma trận Gell-Mann λ ΤA = A λ Các ma trận tập sinh nhóm SU(3) tuân theo đại số SU(3), Τ A , Τ B  = if chuẩn hóa ABC ΤC số cấu trúc SU(3) AB A B Tr( Τ Τ ) = δ ma trận khơng có vết 40 Do đó, ta loại bỏ ( RR + BB + GG ) 0 0 λ =  0 ÷ ÷ 0 0÷    −i  λ =  i 0 ÷ ÷ 0 0÷   1 0 λ =  −1 ÷ ÷ 0 0÷   0 1 λ =  0 ÷ ÷ 1 0÷    0 −i  λ =  0 ÷ ÷ i 0 ÷   0 0 λ =  0 ÷ ÷ 0 0÷   0 0  λ =  0 −i ÷ ÷ 0 i ÷   1 0   ÷ λ8 = 0÷  2 ÷  0 −2  Chú ý có ma trận Gell-Mann dạng đường chéo QCD từ Lagrangian Giống QED, ta mơ tả tượng vật lý QCD Lagrangian: L = − FµAv FAµν + thành phần động gluon ∑ qa (iγ u Dµ − m) ab qb flavours đạo hàm hiệp biến up, down,… Đạo hàm hiệp biến ma trận 3x3 khơng gian màu:  Dµ  = δ ab ∂ µ + ig s T A AµA  ab ab 41 trường quark số ghép trường gluon (với màu A) Cường độ trường gluon có thêm thành phần so với trường photon: FµυA = ∂ µ AυA − ∂υ AυA − gf ABC AµB AµC (gluon tự tương tác) Tại đỉnh quark gluon ta cần thêm yếu tố A α −igsΤcbA ϒ aji j i b c Hình 6.3 Gluon có màu, nên ta phải thêm vào tương tác gluon-gluon, cho B β p3 − gsf p1 ABC ( ( p1 − p2 ) ϒg αβ + ( p2 − p3 )a g βγ + ( p3 − p1 ) β g γ a ) p2 α γ A Hình 6.4 C Các quy tắc Feynman QCD đầy đủ giao cho em khóa học Mơ hình Chuẩn Tái chuẩn hóa Khi ta tính tốn tiếp sau bậc thấp khai triển nhiễu loạn, ta thấy xuất giản đồ có vịng Ví dụ như, bổ cho e + e − → µ + µ − bao gồm giản đồ p k k+p Hình 6.5 42 p Nhưng bảo tồn động lượng tất đỉnh dẫn đến động lượng chạy quanh vịng khơng bị giới hạn! Ta cần tính phân động lượng dọc theo vịng này, thấy kết có chứa ~∫ d 4k 2 (2π )  k − m   ( k − p )2 − m  Tích phân khơng hữu hạn! Để thấy tính vơ định nó, xét tích phân giới hạn k → ∞ Khi ta bỏ qua động lượng p khối lượng m Tích phân trở thành ∞ ∞ dk d 4k 1 ∫ (2π )4 k ~ ∫0 k dk k = ∫0 k = log ∞ − log Điểm kỳ dị Cực tím (UV) Chú ý xấp xỉ ta không áp dụng với k → Điều khơng có ngạc nhiên Ngay điện từ cổ điển, ta có điểm kỳ dị xét tới khoảng cách nhỏ/năng lượng cao Ví dụ, điện từ cổ điển, lượng mặt cầu tích điện bán kính R là: Q2 →∞ 4πε R R→0 Có nghĩa theo cổ điển, điện tích điểm có lượng lớn vơ hạn! Liệu vơ hạn có thực vấn đề? Các lý thuyết QED QCD giúp tiên đoán đại lượng vật lý Mặc dụ vơ hạn làm cho lý thuyết khó phát triển, khơng có vấn đề tiên đoán ta đại lượng vật lý hữu hạn phù hợp với thực nghệm Chúng ta thấy QED QCD, đại lượng vật lý quan sát hữu hạn: chúng tái chuẩn hóa Để hiểu điều này, xem xét phép tính tốn đơn-vịng khối lượng electron = + Hình 6.5 43 + O(e4) m = m0 + e m1 + Ο(e ) −∞ hữu hạn ∞ Để khối lượng đo hữu hạn, “khối lượng trần” phải vô hạn triệt tiêu phân kỳ vịng Điều chấp nhận m0 không đo được, ta đo m Chúng ta làm vô hạn vào đại lượng trần không đo Trên thực tế, việc làm thực tế đo hiệu đại lượng Q2 = + + O(e4) Hình 6.6 Do vịng có phụ thuộc vào thang động lượng, Q, khối lượng thay đổi theo lượng thăm dò Độ chênh lệch hai khối lượng thang đo khác là: m(Q12 ) − m(Q22 ) = ( (mo + e m1 (Q12 ) + O (e ) ) − ( mo + e 2m1 (Q22 ) + O (e ) ) = (mo − mo ) + e ( m1 (Q12 ) − m1 (Q22 ) ) + O (e ) Các vô hạn giống hai m1 ⇒ hữu hạn Độ chênh lệch khối lượng hữu hạn Về lý luận, hấp thụ hay trừ điểm kỳ dị, Chúng ta thay đại lượng trần vô hạn Lagrangian với đại lượng vật lý hữu hạn Q trình gọi tái chuẩn hóa Trong QED, ta chọn hấp thu tính phân kỳ vào: e, ψ, m, điện tích electron A hàm sóng photon khối lượng electron hàm sóng electron Thay biểu diễn đại lượng quan sát theo đại lượng trần vô hạn e0 , m0 ,ψ , A0 , ta biểu diễn chúng theo đại lượng tái chuẩn hóa đo eR , mR ,ψ R , AR 44 Để thực việc này, ta trước hết cần điều chỉnh phân lỳ tích phân ta Điều chỉnh cách cắt bớt động lượng Cách điều chỉnh rõ ràng đơn giản bỏ tất giá trị động lượng vượt q giá trị Λ Khi đó, tích phân trở thành Λ d 4k 1 ∫ (2π )4 k ~ ∫0 dk k = log Λ − log Sự phân kỳ UV điều chỉnh (nhớ phân kỳ hồng ngoại đây, log0, giả) Tuy nhiên, khơng hồn tồn thỏa mãn, phá vỡ bất biến chuẩn Điều chỉnh số chiều Cách thơng thường để điều chỉnh tích phân xét không gian d = − 2ε chiều thay chiều ∞ ∞ ∞  k −2ε  d − 2ε k 1 3− ε ~ k dk = dk = − ∫ (2π )4−2ε k ∫0 k ∫0 k 1+ 2ε  2ε  Chính xác hơn, tích phân ban đầu ta (bỏ qua khối lượng cho đơn giản) cho: −p ) d − 2ε k 1 ε −2 Γ ( + ε ) Γ ( − ε ) ( = i (4 π ) ∫ (2π )4−2ε k (k + p)2 Γ ( − 2ε ) ε ( − 2ε ) −ε hữu hạn phân kỳ Chú ý tùy ý việc chọn hấp thu hay trừ phần Ta loại bỏ cực điểm ε, tức i cho tích phân (4π ) ε Đây gọi phép trừ cực tiểu, ký hiệu MS 45 ε→ Một cách khác ta loại bỏ số thành phần hữu hạn ε −2 Chẳng hạn i (4π ) Γ(1 + ε ) ( p / Q ) −ε i 1  = + γ E − log( p / Q ) ÷  e (4π )  ε  hệ số Euler-Mascheroni Lựa chọn gọi MS Cũng cần ý tới thang tái chuẩn hóa Q Hệ số chạy Giá trị e QED thay đổi với phép điều chỉnh lượng tử? = + + + + +… Hình 6.7 thành phần triệt tiêu Đẳng thức Ward Tơi thêm vào vài vòng: = + + + +… Hình 6.8 Đặt I(Q) = Theo đại lượng α ≡  e ( Q ) = e0 ( + I ( Q ) + I ( Q ) + I ( Q ) + ) = e0  1− I ( Q) e2 , ta có 4π α (Q) = α0 1− α0 log(Q / Λ ) 3π Do tổng quát, tơi chọn để đánh giá hệ số cỏc thang khỏc 46 ữ ữ (à ) = α0 1− α0 log( µ / Λ ) 3π Ta phương trình thứ hai để loại bỏ α (hữu hạn) khỏi phương trình đầu α (Q) = α (µ ) α (µ ) 1− log(Q / µ ) 3π Hệ số QED thay đổi theo lượng Chúng ta thực tương tự QCD, ngoại trừ ta có thêm giản đồ Ta có: α s (Q) = với β = α (µ ) 1− α s (µ ) β log(Q / µ ) 4π 11N c − N f Nc – Số màu = Nf – Số vị hoạt động Ở bậc cao lý thuyết nhiễu loạn, ta có nhiều đóng góp Tiến hóa tồn phần hệ số biểu diễn hàm beta β (α s (Q )) = Q ∂as (Q ) ∂Q β (α s ) = − β 0α + Ο(α ) Với N f ≤ 16 , hệ số QCD QED chạy theo chiều ngược α αs Ở lượng thấp QCD trở nên đủ mạnh để giam giữ quark hadron QED (Hàm beta không chứng điều này!) Ở lượng cao QCD tiệm cận tự do, nên ta dùng lý thuyết nhiễu loạn 0.118 - 1/137 ΛQED 47 ΛQCD l mz ... µ−, s t = − (1 − cos θ ) , ⇒ s u = − (1 + cos θ ) (giống trước) (Chú ý điểm kỳ dị biến mất) dσ α = (1 + cos θ ) dΩ s Tiết diện toàn phần : σ Tot = α2 4π α 2π ∫ (1 + cos θ )d (cos θ ) = 4s s −1... 2e số cấu trúc tinh tế α = ∑ spins t2 4π Biểu diễn theo góc a c s t ≡ ( pa − pc ) = −2 pa pc = − (1 − cosθ ) c θ a b s u ≡ ( pa − pd ) = −2 pa pd = − (1 + cos θ ) dσ α + (1 + cos θ ) = Đạo hàm... qB ÷   G R Tuy nhiên, QCD đối xứng phép quay khơng gian màu, nên ta ln quay quark trạng thái đơn sắc gọi chúng red, green hay blue Đối xứng gọi SU(3)color, song song với đối xứng U(1)QED QED