TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−−⋆−−− NGUYỄN NGỌC HUYỀN CÁC TÍNH CHẤT CỦA MẶT CỰC TIỂU Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin LUẬN VĂN CUỐI KHÓA Giáo viên hướng dẫn CN PHAN ANH TUẤN Đà Nẵng, 5/2013 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu LÝ THUYẾT VỀ MẶT CONG 1.1 MẶT CONG CHÍNH QUY 1.2 PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ 1.3 TIẾP DIỆN VÀ ĐẠO HÀM CỦA MỘT ÁNH XẠ 14 1.4 DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT 18 1.5 MẶT ĐỊNH HƯỚNG 20 10 ÁNH XẠ GAUSS 2.1 24 ĐỊNH NGHĨA ÁNH XẠ GAUSS VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 24 2.2 ÁNH XẠ GAUSS TRONG TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG 30 MẶT CỰC TIỂU 35 3.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA MẶT CỰC TIỂU 35 3.2 CÁC VÍ DỤ VỀ MẶT CỰC TIỂU 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Lời cảm ơn! Trải qua bốn năm học tập rèn luyện giảng đường trường ĐH Sư Phạm - ĐHĐN, dìu dắt q Thầy Cơ giáo, em tích lũy cho nhiều kiến thức kinh nghiệm quý báu chuyên môn nghiệp vụ Khóa luận thành quan trọng q trình Đầu tiên, em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, CN Phan Anh Tuấn, người hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo cho em suốt thời gian thực khóa luận Em xin gửi lịng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô giảng dạy lớp 09CTT2 khóa 2009 - 2013 ĐH Sư Phạm - ĐHĐN, đặc biệt tồn thể q Thầy Cơ Khoa Tốn trường ĐH Sư Phạm, người khơng cho em kiến thức mà quan tâm động viên nhiệt tình giúp đỡ em suốt trình học tập thời gian thực khóa luận Em xin cảm ơn thầy cơ, gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện động viên cỗ vũ để em hồn thành tốt nhiệm vụ Đà Nẵng, tháng năm 2013 Lời nói đầu Hiện nay, mặt cực tiểu đối tượng thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu hình học vi phân Thuật ngữ "minimal surfaces" dùng để mặt có độ cong trung bình khơng Mặt cực tiểu giới thiệu lần Lagrange vào năm 1760 Và mặt cực tiểu mà ta gặp thực tế màng xà phịng Sự liên hệ mặt cực tiểu màng xà phòng thúc đẩy cho toán Plateau nhà vật lý người Bỉ năm 1850 qua thí nghiệm thú vị với màng xà phịng Với mong muốn tìm hiểu nhiều điều thú vị từ mặt cực tiểu hình học vi phân, hướng dẫn giúp đỡ Thầy giáo, CN Phan Anh Tuấn, em chọn đề tài: "Các tính chất mặt cực tiểu" Nội dung khóa luận gồm có ba chương Chương I giới thiệu mặt cong phần 1.1 giới thiệu điều kiện để xác định mặt cong quy Qua phép biến đổi tọa độ phần 1.2 cho ta thấy liên hệ tính chất mặt cong biến thiên điểm lân cận tọa độ điểm Đặc biệt ta xác định cấu trúc hình học mặt cong thơng qua dạng thứ diện tích phần 1.4 Kết thúc chương I việc định nghĩa mặt định hướng hỗ trợ nhiều cho chương II Đối với chương II, phần 2.1, ta giới thiệu định nghĩa có liên quan (ánh xạ Gauss, độ cong hướng chính, độ cong Gauss độ cong trung bình, vv) mà khơng sử dụng tọa độ địa phương Bằng cách này, nội dung hình học định nghĩa rõ ràng Tuy nhiên, với tính tốn cho mục đích lý thuyết, điều quan trọng thể tất khái niệm hệ tọa độ địa phương Và điều phần 2.2 Cuối cùng, chương III ta định nghĩa mặt cực tiểu, giới thiệu mặt cực tiểu cổ điển tính chất mặt cực tiểu hàm giải tích biến phân Đà Nẵng, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Ngọc Huyền Chương LÝ THUYẾT VỀ MẶT CONG 1.1 MẶT CONG CHÍNH QUY Định nghĩa 1.1.1 Một tập S ⊂ R3 gọi mặt cong quy với p ∈ S tồn lân cận V chứa p R3 tập mở U ⊂ R2 cho ánh xạ x : U → V ∩ S thỏa mãn điều kiện sau x trơn, tức x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U , hàm thành phần x(u, v), y(u, v), z(u, v) có đạo hàm riêng liên tục cấp U x đồng phôi Do điều kiện nên x liên tục U , điều kiện có nghĩa x có ánh xạ ngược x−1 : V ∩ S → U liên tục, tức x−1 hạn chế ánh xạ liên tục F : W ⊂ R3 → R2 , với W mở R3 chứa V ∩ S ∀q ∈ U , đạo hàm dxq : R2 → R3 ánh xạ 1-1(đơn ánh) Ánh xạ x gọi tham số hóa lân cận p x(U ) = V ∩ S lân cận p S Để kiểm tra điều kiện 3, tính ma trận ánh xạ tuyến tính dxq sở e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) R2 với tọa độ (u, v) f1 = (1, 0, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1) R3 với tọa độ (x, y, z) Lấy q = (u0 , v0 ) Vectơ e1 tiếp tuyến đường cong u −→ (u, v0 ) mà ảnh qua ánh xạ x đường cong u −→ (x(u, v0 ), y(u, v0 ), z(u, v0 )) Ảnh đường cong ( gọi đường cong tọa độ v = v0 ) nằm S x(q) vectơ tiếp tuyến ) ( ∂x ∂x ∂y ∂z = , , , ∂u ∂u ∂u ∂u đạo hàm xác định (u0 , v0 ) vectơ biểu thị thành phần sở {f1 , f2 , f3 } Theo định nghĩa đạo hàm ánh xạ, ta có ( dxq (e1 ) = ∂x ∂y ∂z , , ∂u ∂u ∂u ) = ∂x ∂u Một cách đơn giản, sử dụng u = u0 (ảnh qua x đường thẳng v −→ (u0 , v)) ta thu ( dxq (e2 ) = ∂x ∂y ∂z , , ∂v ∂v ∂v ) = ∂x ∂v Do đó, ma trận ánh xạ tuyến tính dxq sở    dxq =   ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v    Điều kiện định nghĩa tương đương với hai vectơ cột ma trận độc lập tuyến tính tương đương với ∂x ∂u ∧ ∂x ∂v ̸= 0, tức định thức cấp ma trận ∂(x, y) = ∂(u, v) ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v ∂(y, z) ∂(u, v) , , ∂(x, z) , ∂(u, v) khác q Mệnh đề 1.1.1 f : U → R hàm trơn tập mở U ∈ R2 , đồ thị f , tức là, tập R3 xác định (x, y, f (x, y)) với (x, y) ∈ U mặt cong quy Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm trơn f : U mở ⊂ R3 → R, a ∈ f (U ) giá trị quy f fx , fy , fz không đồng thời điểm thuộc nghịch ảnh f −1 (a) = {(x, y, z)|f (x, y, z) = a} Mệnh đề 1.1.2 Nếu f : U ⊂ R3 → R hàm trơn a ∈ f (U ) giá trị quy f f −1 (a) mặt cong quy R3 Chứng minh Cho p điểm f −1 (a) Do a giá trị quy nên khơng tính tổng quát, giả sử fz ̸= p Xét ánh xạ F : U ∈ R3 → R3 , với U mở, xác định F (x, y, z) = (x, y, f (x, y, z)) Ta kí hiệu (u, v, t) = F (x, y, z) ⇔ u = x, v = y, t = f (x, y, z) Do hàm f hàm trơn nên F trơn U Đạo hàm F p xác định   0   , dFp =    fx fy fz det(dFp ) = fz ̸= p Theo định lí hàm ngược, tồn lân cận V chứa p lân cận W ∈ F (p) cho F : V → W có ánh xạ ngược F −1 : W → V trơn Do hàm tọa độ f −1 tức hàm x = u, y = v, z = g(u, v) hàm trơn Gọi V1 hình chiếu vng góc V lên mặt phẳng z = Khi phép chiếu π1 : W ∩ mp(t = a) → V1 song ánh trơn Ta nhận thấy f −1 (a)∩V = F −1 (W ∩ mp(t = a)) Thật vậy, ∀(x, y, z) ∈ f −1 (a) ∩ V ⇔  f (x, y, z) = a (x, y, z) ∈ V (1) Nhờ vào định lý tính trơn hàm ẩn giải tích hàm số nhiều biến π1 song ánh trơn nên (1) tương đương với  (u, v, a) ∈ W ∩ mp(t = a) ⇔ (x, y, z) ∈ F −1 (W ∩ mp(t = a)) z = g(u, v, a) Xét ánh xạ x : V1 → R3 với (x) = F −1 ◦ π1−1 : V1 → V ∩ f −1 (a) song ánh trơn x(x, y) = F −1 (π1−1 (x, y)) = F −1 (u, v, a) = (u, v, g(u, v, a)) = (x, y, h(x, y)), h(x, y) = g(u, v, a) hàm trơn xác định V1 Dễ thấy x thỏa mãn điều kiện định nghĩa Do V ∩ f −1 (a) lân cận p Mà p tùy ý nên f −1 (a) mặt cong quy 1.2 PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ Mệnh đề 1.2.1 Cho p điểm nằm mặt cong quy S x : U ⊂ R2 → S y : V ⊂ R2 → S hai tham số hóa S cho p ∈ x(U ) ∩ y(V ) = W Khi phép biến đổi tọa độ h = x−1 ◦ y : y −1 (W ) → x−1 (W ), phép vi phôi tức h trơn có ánh xạ ngược h−1 trơn Nói cách khác, x, y xác định x(u, v) = (x(u, v)), y(u, v), z(u, v), (u, v) ∈ U, y(ξ, η) = (x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η)), (ξ, η) ∈ V Khi phép biến đổi tọa độ h xác định u = u(ξ, η), v = v(ξ, η) với (ξ, η) ∈ y −1 (W ), có tính chất: hàm u, v có đạo hàm riêng liên tục cấp h có hàm ngược h−1 xác định ξ = ξ(u, v), η = η(u, v), (u, v) ∈ x−1 (W ), 10 Chương MẶT CỰC TIỂU 3.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA MẶT CỰC TIỂU Một mặt cong tham số quy gọi mặt cực tiểu độ cong trung bình triệt tiêu hầu khắp nơi Một mặt quy S ⊂ R3 mặt cực tiểu tham số hóa mặt cực tiểu Để giải thích ta sử dụng cụm từ mặt cực tiểu cho mặt cong, ta cần giới thiệu khái niệm biến phân Cho x : U ⊂ R2 → R3 mặt cong tham số quy Chọn miền bị chặn D ⊂ U hàm trơn h : D → R với D hợp miền D với biên ∂D Một biến phân chuẩn X(D), xác định h, ánh xạ xác định φ : D × (−ε, ε) → R3 với φ(u, v, t) = x(u, v) + th(u, v)N (u, v), (u, v) ∈ D, t ∈ (−ε, ε) Với điểm cố định t ∈ (−ε, ε), ánh xạ xt : D → R3 xt (u, v) = φ(u, v, t), mặt cong tham số với ∂xt = xu + thNu + thu N, ∂u ∂xt = xv + thNv + thv N ∂v Do đó, ta kí hiệu E t , F t , Gt hệ số dạng thứ 35 xt , ta thu E t = E + th(< xu , Nu > + < xu , Nu >) + t2 h2 < Nu , Nu > +t2 hu hu , F t = F + th(< xu , Nv > + < xv , Nu >) + t2 h2 < Nu , Nu > +t2 hu hv , Gt = G + th(< xv , Nv > + < xv , Nv >) + t2 h2 < Nv , Nv > +t2 hv hv Sử dụng < xu , Nu >= −e, < xu , Nv > + < xv , Nu >= −2f, < xv , Nv >= −g, độ cong trung bình H= Eg − 2f F + Ge · , EG − F ta thu E t Gt − (F t )2 = EG − F − 2th(Eg − 2F f + Ge) + R = (GE − F )(1 − 4thH) + R, với limt→0 R/t = Điều cho thấy rằng, ε đủ nhỏ xt mặt cong tham số quy Hơn nữa, diện tích A(t) xt (D) ∫ √ A(t) = E t Gt − (F t )2 du dv ∫D √ √ = − 4thH + R EG − F du dv D 36 với R = R/(EG − F )2 Nó cho thấy ε đủ nhỏ, A hàm trơn đạo hàm t = ∫ √ ′ A (0) = − 2hH EG − F du dv (1) D Bây kiểm chứng việc sử dụng cụm từ mặt cực tiểu có mối liên hệ với mặt cong với độ cong trung bình triệt tiêu Mệnh đề 3.1.1 Cho x : U → R3 mặt cong tham số quy cho D ⊂ U miền bị chặn U Khi đó, x mặt cực tiểu A′ (0) = với D biến phân chuẩn x(D) Chứng minh Nếu x mặt cực tiểu, H ≡ điều kiện thỏa mãn Ngược lại, giả sử điều kiện thỏa H ̸= với q ∈ D Chọn h : D → R với h(q) = H(q) H = bên lân cận đủ nhỏ q A′ (0) < với biến phân xác định h điều mâu thuẫn Do đó, miền bị chặn x(D) mặt cực tiểu x điểm dừng cho hàm diện tích biến phân chuẩn x(D) Điều cho thấy điểm dừng khơng giá trị nhỏ làm cho cụm từ mặt cực tiểu có chút khơng xác Một ví dụ điển hình cho mặt cực tiểu màng xà phịng, thu cách nhúng khung kim loại vào xà phòng rút cách cẩn thận Tiến hành thí nghiệm thành cơng ta thu màng xà phịng có khung khung kim loại ban đầu Có thể thấy tính vật lý màng để giả sử vị trí mà điểm quy có độ cong trung bình khơng Chú ý 3.1.1 Mối liên hệ mặt cực tiểu màng xà phòng biết đến qua toán Plateau Nộ dung toán : chứng minh với đường cong đóng C ⊂ R3 tồn mặt cong S có diện tích nhỏ mà có C đường biên Để làm sáng tỏ vấn đề (đường cong mặt phẳng cho phép hiểu C đường biên S) phần 37 khơng tầm thường toán Một phiên toán Plateau giải đồng thời Douglas Rado vào năm 1930 Những phiên sau này(và toán tổng quát cho chiều cao hơn) truyền cảm hứng cho việc sáng tạo tốn gần với hình có dạng màng xà phòng Đối với mặt cong tham số quy, thuận tiện ta đưa vectơ độ cong trung bình xác định H = HN Ý nghĩa hình học hướng H thu từ cơng thức (1) Thật vậy, ta chọn h = H , biến phân ta có, ∫ √ < H, H > EG − F du dv < A′ (0) = −2 D Điều có nghĩa, ta biến dạng x(D) hướng vectơ H diện tích giảm dần Ý nghĩa khác độ cong trung bình mà ra, có hàm ý quan trọng cho lý thuyết mặt cực tiểu Một mặt cong tham số quy x = x(u, v) gọi đẳng nhiệt < xu , xu >=< xv , xv > < xu , xv >= Mệnh đề 3.1.2 Cho x = x(u, v) mặt cong tham số quy giả sử x đẳng nhiệt Khi xuu + xvv = 2λ2 H, với λ2 =< xu , xu >=< xv , xv > 38 Chứng minh Vì x đẳng nhiệt,< xu , xu >=< xv , xv > < xu , xv >= Bằng cách đạo hàm ta có < xuu , xu >=< xvu , xv >= − < xu , xvv > Do đó, < xuu + xvv , xu >= Tương tự, < xuu + xvv , xv >= Điều cho thấy xuu + xvv song song với N Vì x đẳng nhiệt, H= g+e · λ2 Do đó, 2λ2 H = g + e =< N, xuu + xvv > Vậy xuu + xvv = 2λH Hàm Laplace hàm trơn f : U ⊂ R2 → R xác định ∂ 2f ∂ 2f ∆f = ( ) + ( ), (u, v) ∈ U ∂u ∂u Ta nói f điều hịa U ∆f = Từ mệnh đề 2, ta thu hệ sau ( ) Hệ 3.1.1 Cho x(u, v) = x(u, v), g(u, v), z(u, v) mặt cong tham số giả sử x đẳng nhiệt Khi đó, x mặt cực tiểu hàm tọa độ hàm điều hịa 3.2 CÁC VÍ DỤ VỀ MẶT CỰC TIỂU Ví dụ 3.2.1 Mặt catenoid thu xác định x(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sin u, av) , với < u < 2π, −∞ < v < ∞ Đây mặt tròn xoay tổng quát cách xoay đường cong y = a cosh(z/a) quanh trục z Dễ dàng kiểm tra E = G = a2 cosh2 v, F =0 xuu + xvv = Do mặt catenoid mặt cực tiểu Mặt khác ta chứng minh được, trừ mặt phẳng mặt cực tiểu mặt tròn xoay S tập mở mặt cateniod 39 Bằng phép dời hình R3 , ta giả sử trục xoay mặt cong S trục z đường sinh nằm mặt phẳng xz Ta tham số hóa S x(u, v) = (f (u) cos v, f (u) sin v, g(u)) , với đường sinh u → (f (u), 0, g(u)) giả sử vận tốc đơn vị f > Ta dễ dàng xác định dạng thứ dạng thứ hai (f ′ g ′′ − f ′′ g ′ )du2 + f g ′ dv , du2 + f (u)dv dấu phẩy kí hiệu cho d/du Ta tính độ cong trung bình ( ) g′ ′ ′′ ′′ ′ H= f g −f g + f Bây ta giả sử rằng, với giá trị u, với u = u0 , ta có g ′ (u0 ) ̸= Vì g ′ liên tục ( g trơn) ta có g ′ (u) ̸= với u nằm khoảng mở chứa u0 Lấy (α, β) khoảng mở lớn khoảng mở Giả sử u ∈ (α, β), điều kiện vận tốc đơn vị f ′2 + g ′2 = cho thấy f ′′ f g −f g =− , f ′ ′′ ′′ ′ vậy, ta có ( ) g ′ f ′′ H= − ′ f g Vì g ′2 = − f ′2 , S mặt cực tiểu f f ′′ = − f ′2 (3.1) Để giải phương trình (3.1), đặt h = f ′ ý f ′′ = dh dh df dh = =h dt df dt df Do đó, cơng thức (3.1) trở thành f ·h dh = − h2 df Chú ý rằng, g ′ = 0, ta có h2 ̸= 1, ta tính ngun hàm phương trình sau ∫ hdh = − h2 40 ∫ df , f √ a2 f − , af với a số khác khơng Thay h = df /du tính ngun hàm suy h = ∫ lần af df √ = a2 f − ∫ du, 1√ + a2 (u + b)2 , a với b số Bằng cách thay đổi tham số u → u + b, ta giả sử suy f = b = Vì vậy, f= 1√ + a2 u2 a Để tính g , ta có g ′2 = − f ′2 = − h2 = suy a2 f , dg 1√ =± + a2 u , du a hay suy g = ± sinh−1 (au) + c a au = ± sinh(a(g − c)), f = a1 cosh(a(g − c)) với c số), Vì đường sinh S cosh(a(z − c)) a Mặt cong thu cách tịnh tiến mặt catenoid dọc theo trục z x= Tuy nhiên, ta chưa hoàn thành chứng minh Cho đến giờ, ta tập mở S tương ứng với u ∈ (α, β) phần catenoid, chứng minh ta sử dụng giả thiết g ′ ̸= Đây lý để loại trừ S mặt phẳng Để hoàn thành chứng minh ta lập luận sau Vì u nằm khoảng mở (a, b) nên tồn u0 cho g ′ (u0 ) ̸= hay g ′ (u) ̸= khoảng mở chứa u0 Giả sử g ′ (u) ̸= 0, u ∈ (α, β) khoảng mở lớn giả sử b > u ≥ β, g ′ (β) = , u ∈ (α, β), g ′2 (u) = + a2 u2 41 ¯ chứa β Chọn g ′ liên tục β nên g ′ (u) = khoảng mở (¯ α, β) u1 ∈ (¯ α, β), suy g ′ (u1 ) = Điều mâu thuẫn với giả thiết đầu, g ′2 (u1 ) = ̸= + a2 u21 Lập luận tương tự với α thấy (α, β) toàn miền xác định đường sinh mặt catenoid Do đó, tồn S tập mở mặt catenoid Ví dụ 3.2.2 Mặt helicoid xác định x(u, v) = (a sinh v cos u, a sinh v sin u, au) Ta kiểm tra E = G = a2 cosh2 v, F = xuu + xvv = Do đó, mặt helicoid mặt cực tiểu Tương tự mặt catenoid, phần ta chứng minh ngoại trừ mặt phẳng mặt cực tiểu mặt kẻ tập mở rộng mặt helicoid Trong ví dụ 2.2.2 ta biết mặt kẻ xác định tham số hóa x(u, v) = γ(u) + vδ(u) Chúng ta bắt đầu chứng minh với việc đơn giản hóa tham số hóa Đầu tiên, ta giả sử ∥δ(u)∥ = với giá trị u Chúng ta giả sử δ˙ khác không, với dấu chấm d/du Điều cho thấy tồn điểm γ(u) mặt kẻ mà điểm δ˙ vng góc với mặt kẻ Do ta hồn tồn giả sử γ˙ · δ˙ = Vì ∥δ(u)∥ = nên δ · δ˙ = ˙ Ta có xu = γ˙ + v δ, xv = δ , nên ˙ 2, E = ∥γ˙ + v δ∥ Đặt A = ˙ = γδ, F = (γ˙ + v δ)δ ˙ √ EG − F Khi đó, ˙ × δ N = A−1 (γ˙ + v ) 42 G = ă Tip theo ta cú xuu = ă + v , xvv = 0, vỡ vy xuv = , ( ) ă e = A (ă + v ) à (γ˙ + v δ) × δ , ( ) −1 ˙ ˙ ˙ γ˙ × δ), f = A δ (γ˙ + v δ) × δ = A−1 δ( g = Do điều kiện mặt cực tiểu eG − 2f F + eG H= = 0, 2A2 ta c ( ) ( ) ă (ă + v δ) · (γ˙ + v δ) × δ = 2(δ γ) ˙ · δ · (γ˙ × δ) Phương trình với giá trị (u, v) Do ú, ta cú ( ) ă à (γ˙ × δ) = 2(δ γ) ˙ · δ · ( ì ) , (3.2) ă ì ) = 0, ă ( ì ) + ( (3.3) à ì = (3.4) ă l ph thuộc tuyến tính Vì δ δ˙ Phương trình (3.4) cho ta thấy δ, δ, vectơ đơn vị trực giao , γ(u) β(u) hàm trơn nờn ă = + Nhng vỡ l tc n v nờn à ă = Mặt khác, δ · δ˙ = ta thu c à ă = à = −1 Do đó, α = −1 β = nờn ă = (3.5) Phng trỡnh (3.5) cho thy độ cong đường cong δ độ cong −δ Do đó, trùng pháp tuyến δ˙ × (−δ), d ˙ (δ ì ) = ă ì + ì = −δ × δ = 0, du cho thấy độ xoắn S khơng Do đó, δ tham số hóa đường trịn bán kính Bằng phép dời hình R3 , ta giả sử δ đường trịn với bán kính tâm nằm mặt phẳng xy , δ(u) = (cos u, sin u, 0) 43 Từ phương trình (3.5), ta c ă à ( ì ) = · (γ˙ × δ) = 0, từ phương trình (3.3) ta cú ă à ( ì ) = iu ú cho thy ă song song vi mt phng xy , δ(u) = (f (u), g(u), au + b) , với f, g hàm trơn a, b số Nếu a = 0, mặt cong tập mở mặt phẳng z = b Mặt khác, từ phương (3.2) ta c gă cos u fă sin u = 2(f cos u + g˙ sin u) (3.6) Cuối ta sử dụng điều kiện γ˙ · δ˙ = 0, ta f˙ sin u = g˙ cos u (3.7) Đạo hm phng trỡnh ny ta c fă sin u + f cos u = gă cos u g sin u (3.8) Phương trình (3.6) (3.8) cho ta f˙ cos u + g˙ sin u = 0, sử dụng phương trình (3.6) ta f˙ = g˙ = Do đó, f g số Bằng phép tịnh tiến mặt cong, ta giả sử số f, g b khơng, γ(u) = (0, 0, au) x(u, v) = (v cos u, v sin u, au), mặt helicoid Ban đầu ta giả sử δ˙ khác không Bây ta giả thiết tồn ˙ ) = Vì δ˙ liên tục nên tồn lân cận (a, b) u0 u0 cho δ(u ˙ = Do δ ln vectơ mặt trụ cho δ(u) tổng quát Nhưng mặt trụ tổng quát mặt cực tiểu mặt trụ tập mở mặt phẳng Việc chứng minh thực hoàn toàn tương tự ví dụ mặt trịn xoay Vậy mặt cực tiểu mặt kẻ ngoại trừ mặt phẳng tập mở mặt helicoid 44 Ví dụ 3.2.3 (Mặt cực tiểu Enneper) Mặt Enneper mặt cong tham số ) ( u3 v x(u, v) = u − + uv , v − + u2 v, u2 − v , (u, v) ∈ R2 , 3 ta kiểm tra mặt Enneper mặt cực tiểu Trước qua ví dụ tiếp theo, thiết lập mối liên hệ hữu ích mặt cực tiểu hàm giải tích biến phân Cho C biểu thị cho mặt phẳng, xác định R2 ζ = u + iv, ζ ∈ C, (u, v) ∈ R2 Ta nhắc lại hàm f : C → C hàm giải tích, xác định hàm f1 f2 có đạo hàm riêng cấp liên tục thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann ∂f2 ∂f1 ∂f2 ∂f1 = , =− ∂u ∂v ∂v ∂u Cho x : U ∈ R2 → R3 mặt cong tham số quy tính tốn hàm φ1 , φ2 , φ3 φ1 (ζ) = ∂x ∂x −i , ∂u ∂v φ2 (ζ) = ∂y ∂y −i , ∂u ∂v với x, y, z hàm thành phần x 45 φ3 (ζ) = ∂z ∂z −i , ∂u ∂v Bổ đề 3.2.1 x mặt đẳng nhiệt φ21 + φ22 + φ23 ≡ Nếu điều kiện cuối , x mặt cực tiểu φ1 , φ2 φ3 hàm điều hịa Chứng minh Tính toán cách đơn giản ta thu φ21 + φ22 + φ23 = E − G − 2iF, phần bổ đề Hơn nữa, xuu + xvv = ∂ ∂x ∂ ∂x ( ) = − ( ), ∂u ∂u ∂v ∂v ∂ ∂y ∂ ∂y ( ) = − ( ), ∂u ∂u ∂v ∂v ∂ ∂z ∂ ∂z ( ) = − ( ), ∂u ∂u ∂v ∂v phương trình Cauchy-Riemann φ1 , φ2 , φ3 Vì cịn lại tự động thoả mãn nên ta tính xuu + xvv = φ1 , φ2 φ3 hàm giải tích Ví dụ 3.2.4 (Mặt cực tiểu Scherk) Mặt xác định ( ) ζ +i ζ +1 ζ2 + x(u, v) = arg , , arg , log ζ −i ζ −1 ζ +1 ζ ̸= ±1, ζ ̸= ±i, với ζ = u + iv arg ζ góc trục thực với ζ Ta dễ dàng tính ζ +i 2u = tan−1 , ζ −i u + v2 − ζ +1 −2v arg = tan−1 , ζ −1 u + v2 − ( )2 u − v + + 4u2 v ζ2 + 1 log log = ; ζ +1 (u2 − v − 1)2 + 4u2 v arg đó, φ1 (ζ) = ∂x ∂x −i =− , ∂u ∂v + ζ2 φ2 (ζ) = − 2i , − ζ2 φ3 (ζ) = 4ζ − ζ4 Vì φ21 + φ22 + φ23 ≡ φ1 , φ2 φ3 hàm giải tích, x mặt đẳng nhiệt tham số mặt cực tiểu 46 Dễ dàng thấy từ biểu thức x, y z cos y z = log cos x Biểu thức cho thấy mặt Scherk có dạng bàn cờ (trừ đỉnh hình vuông) 47 Kết luận Thông qua buổi thảo luận với Thầy giáo, CN Phan Anh Tuấn, em tìm hiểu trình bày số nội dung sau Trình bày lý thuyết ban đầu mặt cong công thức xác định dạng thứ nhằm xác định cấu trúc hình học mặt cong Định nghĩa trình bày tính chất ánh xạ Gauss tính chất tọa độ địa phương Giới thiệu mặt cực tiểu, tính chất thơng qua hàm biến phân số ví dụ mặt cực tiểu điển hình Với việc mơ tả tìm dạng thứ nhất, thứ hai mặt helicoid, catenoid em trình bày hai chứng minh liên đến mặt cực tiểu Đó ngồi mặt phẳng mặt cực tiểu mặt tròn kẻ tập mở mặt helicoid mặt cực tiểu mặt tròn xoay tập mở mặt catenoid Các kết nhỏ tạm thời gọi kết em theo đuổi hướng nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng tìm hiểu trình bày theo cách hiểu thời gian lực cịn hạn chế nên viết khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì em mong nhận lời đóng góp q báu từ q thầy góp ý bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! 48 Tài liệu tham khảo [1] Mantredo P Carmo, 1976, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey [2] Andrew Pressley, 2010, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 49 ... Ta tính hệ số dạng thứ nhất, thứ hai, độ cong Gauss, độ cong trung bình ví dụ mặt kẻ chương III 34 Chương MẶT CỰC TIỂU 3.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA MẶT CỰC TIỂU Một mặt cong tham số quy gọi mặt cực tiểu. .. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 24 2.2 ÁNH XẠ GAUSS TRONG TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG 30 MẶT CỰC TIỂU 35 3.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA MẶT CỰC TIỂU 35 3.2 CÁC... nghĩa mặt cực tiểu, giới thiệu mặt cực tiểu cổ điển tính chất mặt cực tiểu hàm giải tích biến phân Đà Nẵng, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Ngọc Huyền Chương LÝ THUYẾT VỀ MẶT CONG 1.1 MẶT