ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài RÈN LUYỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Giáo viên hướng dẫn : TS LÊ VĂN DŨNG Họ tên sinh viên : LÊ THỊ MINH LINH Lớp : 14ST Năm học 2017-2018 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hồn thành khóa luận, chúng tơi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo khoa Tốn đặc biệt thầy giáo – T.S Lê Văn Dũng tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình làm khóa luận Trong q trình hồn thành khóa luận, thời gian kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Đà Năng, ngày , tháng , năm 2018 Sinh viên Lê Thị Minh Linh SV LÊ THỊ MINH LINH GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG DANH MỤC KÍ HIỆU CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Chữ đầy đủ THPT Trung học phổ thơng HĐH Hiện đại hóa CNH Cơng nghiệp hóa CĐ Cao đẳng ĐH Đại học NXB Nhà xuất HS Học sinh GV Giáo viên SGK Sách giáo khoa PPDH Phương pháp dạy học Tập hợp số tự nhiên * Tập hợp số tự nhiên khác không GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH MỤC LỤC MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: II Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: 2 Nhiệm vụ nghiên cứu .2 III Phương pháp nghiên cứu: IV Cấu trúc đề tài .2 Chương I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Vị trí chức tập toán học Nội dung chương tổ hợp xác suất THPT (lớp 11) 2.1 2.1.1 Một số kiến thức cần nhớ tổ hợp: Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng Nế u mô ̣t công viêc̣ nào nó có thể thực hiêṇ theo n phương án khác nhau, đó: Phương án thứ có m1 cách thực hiên ̣ 2.1.2 Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp 2.1.3 Công thức nhị thức newton: 2.2 Kiến thức cần nhớ xác suất 2.2.1 Biến cố phép thử 2.2.2 Phép toán biến cố .8 2.2.3 Định nghĩa cổ điển xác suất 2.2.4 Tính chất xác suất .8 Chương II .10 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 10 Một số dạng tập tổ hợp chương trình THPT 10 1.1 Dạng1: Đếm số phần tử tập hợp 10 1.2 Dạng 2: Bài toán xếp cách phần tử toán chọn phần tử 12 1.3 Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 18 1.4 Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức 21 1.5 Dạng 5: Các toán hệ số khai triển nhị thức Newton 22 SV LÊ THỊ MINH LINH 1.6 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG Dạng 6: Các toán chứng minh hệ thức tổ hợp tính tổng cách sử dụng nhị thức Newton 25 Một số dạng tập xác suất 26 2.1 Dạng 1: Các tốn tính xác suất đơn giản .26 2.2 Dạng 2: Biến cố đối 31 2.3 Dạng 3: Các toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 33 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Đất nước ta bước vào giai đoạn CNH - HĐH với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam từ đất nước nông nghiệp chuyển thành nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố định công CNH - HĐH hội nhập quốc tế người, nguồn lực người Việt Nam phát triển số lượng chất lượng sở mặt dân trí nâng cao “Giải tích tổ hợp xác suất” phần “đại số giải tích” lớp 11 có cấu trúc đề thi tốn CĐ ĐH, mảng tốn khó Bài tốn giải tích tổ hợp xác suất đa dạng phong phú nội dung phức tạp chương trình tốn THPT Mặc dù tơi đưa phương pháp giải tổng quát cho số dạng tốn cụ thể song cịn nhiều tốn giải tích tổ hợp xác xuất chưa có cách giải cụ thể Để hiểu rõ lý thuyết cần phải tìm hiểu làm nhiều tập, học sinh muốn nắm vững nội dung học phải dạy cho học sinh cách học, cách làm tập cách hệ thống có phương pháp giải cụ thể cho dạng từ học sinh tự làm tập Hệ thống tập SGK, sách tập chọn lọc cận thận đóng vai trị quan trọng việc củng cố lý thuyết, song để đáp ứng yêu cầu nâng cao, mở rộng đào sâu kiến thức hệ thống tập chưa đủ chưa phân dạng dạng tập Như học sinh khó nắm bắt hệ thống tập, gặp dạng tập tổ hợp – xác suất khác với tập học sinh quen giải, học sinh gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải, phân biệt dùng “tổ hợp”, “chỉnh hợp”, … Vì việc nghiên cứu tìm tịi hệ thống phương pháp giải tốn tổ hợp, xác suất cần thiết hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm toán giáo viên trường THPT Với lí trên, tơi chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện phương pháp giải toán tổ hợp xác suất chương trình trung học phổ thơng” nhằm cung cấp thêm cho học sinh số phương pháp để giải tốn tổ hợp, xác suất từ nâng cao khả giải toán, khả tư hứng thứ học tập cho học sinh GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH II Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Cung cấp hệ thống số phương pháp toán tổ hợp – xác suất từ giúp cho học sinh hạn chế khó khăn giải tốn tổ hợp – xác suất có dạng đặc biệt, đồng thời giúp em hình thành tư tốn học q trình làm tốn nhiều phương pháp khác Nhiệm vụ nghiên cứu Giới thiệu cho học sinh có cách nhìn nhận xác số toán tổ hợp xác suất chương trình tốn THPT Cung cấp cho học sinh phương pháp giải số dạng toán tổ hợp xác suất cụ thể phức tạp dạng thông thường III Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lí luận IV Cấu trúc đề tài - MỞ ĐẦU Chương I: Cơ sở lí luận thực tiễn Chương II: Một số phương pháp giải toán tổ hợp xác suất - KẾT LUẬN - Tài liệu tham khảo GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH Chương I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc người lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp qua góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nước dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh Về phương pháp giáo dục: phải khuyến khích tự học, phải ứng dụng phương pháp giáo dục bồi dưỡng cho học sinh lực tư duy, sáng tạo, lực giải vấn đề Định hướng chung đổi PPDH phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kĩ vận dụng vào thực tiễn, phù hợp đặc điểm lớp học, môn học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo hứng thú cho học sinh, tận dụng công nghệ nhất; khắc phục lối dạy truyền thụ chiều kiễn thức có sẵn Vị trí chức tập tốn học Bài tập có vai trị quan trọng mơn tốn điều mang lại hoạt động cho học sinh Thông qua việc giải tập học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí… Những hoạt động tốn học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến tốn học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Hoạt động học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung phương pháp dạy học Bài tập toán THPT giúp HS củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo; phát triển kỹ trí tuệ Những tập tốn học giúp hoàn chỉnh, bổ sung tri thức trình bày phần lý thuyết Đồng thời góp phần tổ chức cho học sinh tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo Nội dung chương tổ hợp xác suất THPT (lớp 11) Trong chương trình mơn tốn trường THPT, kiến thức tổ hợp – xác xuất tìm hiểu chương trình tốn lớp 11 nội dung kiến thức bao gồm vấn đề sau: - Những khái niệm ban đầu đại số tổ hợp – xác suất - Các quy tắc đếm - Các khái niệm tính chất hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH - Nhị thức newtơn dạng toán liên quan - Các khái niệm quan trọng ban đầu xác suất: Phép thử, kết phép thử không gian mẫu - Khái niệm xác suất biến cố biết cách tính xác suất biến cố Theo Phân phối chương trình Bộ Giáo Dục Đào Tạo phần tổ hợp xác suất dạy cụ thể sau: - Bài 1: Quy tắc đếm (3 tiết) - Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp (5 tiết) - Bài 3: Nhị thức Newtơn (1 tiết) - Bài 4: Phép thử biến cố (2 tiết) - Bài 5: Xác suất biến cố (2 tiết) Một số kiến thức cần nhớ tổ hợp xác suất 2.1 Một số kiến thức cần nhớ tổ hợp: 2.1.1 Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng Nế u mô ̣t công viê ̣c nào nó có thể thực hiê ̣n theo n phương án khác nhau, đó: Phương án thứ có m1 cách thực hiê ̣n Phương án thứ có m2 cách thực hiê ̣n ……… Phương án thứ n có mn cách thực hiê ̣n Khi đó, có: m1  m2   mn cách để hoàn thành công viê ̣c đã cho Ví dụ: Trong thi tìm hiểu đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách đề tài bao gồm: đề tài lịch sử, đề tài thiên nhiên, 10 đề tài người đề tài văn hóa Hỏi thí sinh có khả chọn đề tài? Phân tích: Có phương án chọn đề tài PA1 có cách chọn đề tài lịch sử PA2 có cách chọn đề tài thiên nhiên, PA3 có 10 cách chọn đề tài người PA4 có cách chọn đề tài văn hóa GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH Lời giải: Số cách chọn đề tài tuân theo quy tắc cộng 8+7+10+6=31 cách b) Quy tắc nhân: Nế u mô ̣t công viê ̣c nào đó phải hoàn thành qua n giai đoa ̣n liên tiế p, đó: Giai đoạn thứ có m1 cách thực hiê ̣n Giai đoạn thứ có m2 cách thực hiê ̣n ……… Giai đoạn thứ n có mn cách thực hiê ̣n Khi đó, có: m1.m2 mn cách để hoàn thành công viê ̣c đã cho Ví dụ: An đến nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường từ nhà đến nhà Cường Phân tích: Có giai đoạn Giai đoạn 1: Chọn đường để từ nhà An đến nhà Bình, có cách chọn Giai đoạn 2: Chọn đường để từ nhà Bình đến nhà Cường có cách chọn Ta thấy giai đoạn công việc liên tiếp nhau, nên số cách chọn tuân thủ theo quy tắc nhân: Lời giải: Số cách chọn đường từ nhà đến nhà Cường tuân thủ theo quy tắc nhân 4.6 =24 Nhâ ̣n xét: Từ đinh ̣ nghiã của quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân trên, ta thấ y rằ ng: + Nế u bỏ giai đoa ̣n nào đó mà ta không thể hoàn thành đươ ̣c công viê ̣c (không có kế t quả) thì lúc đó ta cầ n phải sử du ̣ng quy tắ c nhân + Nế u bỏ giai đoa ̣n nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành đươ ̣c công viê ̣c (có kế t quả) thì lúc đó ta sử du ̣ng quy tắ c cô ̣ng Như vâ ̣y, với nhâ ̣n xét ta thấ y rõ đươ ̣c sự khác biê ̣t của quy tắ c và không thể nhầ m lẫn viê ̣c dùng quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân đươ ̣c Sau là mô ̣t số bài tâ ̣p củng cố + Khi hai cơng việc làm đồng thời, ta dùng quy tắc cộng để tính số cách thực nhiệm vụ gồm hai việc Để tính số cách thực GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH Phân tích: Xem tốn tốn đếm tổ hợp Có cách xếp ba bạn nam ba bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang ( 6!  720 cách) Có cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang, biết nam nữ ngồi xen kẽ (B-G-B-G-B-G, G-B-G-B-G-B 3!3! 3!3!  72 cách) Có cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang, biết nam nữ ngồi cạnh * Số cách xếp vị trí bạn nam ngồi cạnh có cách Ba bạn nam ngồi cạnh * Sau xếp bạn nam 3! * Sau xếp bạn nữ lại vào chỗ trống có 3! cách Lời giải: Gọi A biến cố “Xếp học sinh nam học sinh nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà nam nữ xen kẽ nhau” Gọi B biến cố “Xếp học sinh nam học sinh nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà bạn nam ngồi cạnh nhau” Ta có n()  720, n( A)  72, n( B)  144 Suy P( A)  n( A) 72 n( B) 144 1    ; P( B)   n() 720 10 n() 720 Nhận xét: Như phần lớn toán dạng toán sử dụng cơng thức kĩ thuật tốn tổ hợp Đối với tốn học sinh cần nắm vững công thức tổ hợp định nghĩa xác suất Bên cạnh đó, có tốn cần dùng phương pháp liệt kê Bài 3: Xét phương trình: x  bx  c  Gieo súc xắc, cân đối đồng Tính xác suất xuất mặt b chấm cho phương trình có nghiệm Lời giải: Ký hiệu “con súc xắc suất mặt b chấm” b Không gian mẫu   {1, 2,3, 4,5, 6}  n()  Gọi A biến cố: “Phương trình có nghiệm” Ta biết phương trình x  bx   có nghiệm   b   28 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH Do A = { b  | b2   0}  {3, 4,5,6}  n( A)  P(A) = n( A)   n() * Tuy nhiên, phương pháp liệt kê có hiệu số phần tử biến cố nhỏ Nếu số phần tử lớn việc liệt kê trở nên khó khăn dễ xét thiếu phần tử Bài 4: Trên vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36 số từ 01 đến 36 Xác suất để bánh xe sau quay dừng số Tính xác suất để quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại số số (kể 6) lần quay đầu dừng lại số 13 36 (kể 13 36) lần quay thứ Phân tích: Rõ ràng tốn ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê số phần tử biến cố tương đối lớn Ở ta biểu diễn tập hợp dạng tính chất đặc trưng để tính tốn Lời giải Gọi A biến cố cần tính xác suất   {(i, j ) | i, j {1, 2, ,36}}  n() =36.36 = 1296 A  {(i, j ) | i {1, 2, 6}, j {13,14, ,36}} Có cách chọn i, ứng với cách chọn i có 24 cách chọn j (từ 13 đến 36 có 24 số) theo quy tắc nhân n( A)  6.24  144 P( A)  n( A) 144   n() 1296 Bài 5: Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng a1a2 a3a4 a5a6 Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1  a2  a3  a4  a5  a6 Lời giải: Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng a1a2 a3a4 a5a6 Ta có: n  M   A95 (số có sáu chữ số đơi khác a1 có chín cách chọn, a2 a3a4a5a6 chỉnh hợp chập phần tử nên có A9 ) 29 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH +) Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn a1  a2  a3  a4  a5  a6 ” TH1: a6  a1a2a3a4a5 có C9 cách chọn TH2: a6  a1a2a3a4a5 có C7 cách chọn TH3: a6  a1a2a3a4a5 có C5 cách chọn n  A  C95  C75  C55  148 Do P  A   n  A n   148 37  A9 34020 Bài 6: Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho Lời giải +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đơi khác chữ số có cách chọn có A9 cho vị trí cịn lại Vậy n  A  A97 +) Giả sử B  0;1;2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45 nên số có tám chữ số đơi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác tập B \ 0; 9; B \ 1; 8; B \ 2; 7; B \ 3; 6; B \ 4; 5 nên số số loại A8  4.7 A7 A88  4.7 A77  Vậy xác suất cần tìm A97 Bài 7: Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số khơng chia hết cho Lời giải: Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập số có ba chữ số đơi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số không chia hết cho + Tìm số có ba chữ số khác lập từ tập E  0,1,2,3,4,5 Số cần tìm có dạng abc Chọn a  E , a  có cách Chọn số lại E \ a xếp vào hai vị trí b, c có A5 cách 30 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH Vậy có A5  100 (số) + Tính số lập chia hết cho Số cần tìm có dạng abc , a  b  c Xét tập gồm phần tử tập E  0,1,2,3,4,5 , ta thấy có tập sau thoả mãn điều kiện tổng chữ số chia hết cho là: A1  0,1, 2 , A  0,1,5 , A  0, 2, 4 , A  0, 4,5 A  1, 2,3 , A  1,3,5 , A  2,3, 4 , A  3, 4,5 Khi a, b, c  A1 , A2 , A3 , A4 trường hợp lập số thoả mãn yêu cầu Khi a, b, c  A5 ; A6 ; A7 ; A8 trường hợp lập số thoả mãn yêu cầu Vậy có 4.4  4.6  40 (số) Suy số không chia hết cho 100  40  60 (số) Xác suất cần tính P  60  0, 100 2.2 Dạng 2: Biến cố đối Trong tốn học có tốn tính tốn trực tiếp dài dịng phức tạp Khi phương pháp gián tiếp lại hiệu cho ta cách làm ngắn gọn Phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp Bài 1: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất lần Tính xác suất biến cố: Biến cố A: “Trong lần gieo có lần xuất mặt ngửa” Biến cố B: “Trong lần gieo có hai mặt sấp, ngửa” Phân tích: Học sinh giải tốn theo định hướng: “ít lần xuất mặt ngửa” có khả xảy ra: “1 lần xuất mặt ngửa, hai lần xuất mặt ngửa, ba lần xuất mặt ngửa” Do học sinh giải toán sau:   {NNN , NNS , NSS , SSS , SNN , SNS , SSN , SNS } A  {NSS , SNS , SNN , NNS , NSN , NNN } Suy P( A)  n( A)  n () 31 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH Ta thấy làm dài dễ bỏ quên trường hợp Tuy nhiên, để ý biến cố đối biến cố A biến cố A : “Khơng có lần xuất mặt ngửa” Do tốn giải sau: Lời giải: Không gian mẫu n()  2.2.2  Ta có biến cố đối biến cố A biến cố A : “Không cố lần xuất mặt ngửa” 8 Và ta có A = {SSS}  n( A)   P( A)   P( A)    Tương tự ta có: B  {SSS , NNN }  n( B)   P( B)  1  P( B)    4 Bài 2: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: Biến cố A: “Trong hai lần gieo lần xuất mặt chấm” Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm hai lần gieo số nhỏ 11” Phân tích: Đối với tốn dùng phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp tối ưu lẽ tính trực tiếp ta phải xét nhiều trường hợp * Đối với biến cố A: - Mặt chấm xuất lần thứ - Mặt chấm xuất lần thứ hai - Hai lần gieo xuất mặt chấm (khả lại nằm hai khả trên) * Đối với biến cố B: - Tổng số lần gieo số nhỏ 11 tức có 10 khả xảy (1; ; 10) Lời giải: Không gian mẫu   {(i, j ) | i, j {1, 2, , 6}}  n()  6.6  36 Ta có biến cố đối A  {(i, j ) | i, j {2, , 6}}  n( A)  25 32 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH P( A)  n( A) 25 11   P( A)   P( A)  n() 36 36 Ta có B  {(i, j ) | i, j {1, 2, , 6}, i  j  11}  B  {(5, 6); (6,5); (6, 6)} n( B )   P ( B )   P( B)   n( B )   n() 36 12 11  12 12 Nhận xét: Phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp hay, nhiên để vận dụng phương pháp học sinh cần nắm hai yếu tố: - Nhận dạng loại tốn: Các tốn có cụm từ “có nhất”, “tối thiểu”, “tất cả” tính chẵn, lẻ, vơ nghiệm, có nghiệm … tính kiểu bù gọn ta dùng biến cố đối - Xác định tốt mệnh đề phủ định phép toán lấy phần bù tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối 2.3 Dạng 3: Các toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân Bài 1: Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất biến cố sau: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn b) Tích số chấm súc sắc số chẵn Phân tích: Đối với tốn phần lớn học sinh giải cách đếm số phần tử biến cố, học sinh trung bình thường liệt kê phần tử đếm trực tiếp Tất nhiên cách giải dài làm sót phần tử dẫn tới giải sai Học sinh sử dụng tính tốn để đếm số phần tử sau: Ta có n()  36 Chọn A biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” Do A = A  {(i, j ) | i, j {2, 4, 6}} Có cách chọn I  {2,4,6}, với cách chọn I ta có cách chọn j Do có cách chọn (i, j )  A  n( A)  33 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH P( A)  n( A)   n() 36 Ta thấy lời giải hợp lý, nhiên tốn giải cách đơn giản ta sử dụng quy tắc xác suất Cho nên giáo viên gợi mở, dẫn dắt học sinh để tới giải toán theo định hướng sau: Gọi A biến cố “Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn” B biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn” X biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” Thấy A B hai biến cố độc lập P( A)  P( B)   Do ta có: P( X )  P( AB)  P( A) P( B)  11  22 Gọi Y biến cố “Tích số chấm súc sắc số chẵn” Có khả xảy để tích số chấm súc sắc số chẵn: -Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn, súc sắc thứ hai xuất mặt lẻ -Con súc sắc thứ xuất mặt lẻ, súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn -Cả hai súc sắc xuất mặt chẵn Và ta có Y : “Tích số chấm súc sắc số lẻ” có khả hai súc sắc xuất mặt lẻ Như lần ta lại thấy ưu biến cố đối Ta có Y  AB A, B độc lập nên ta có: 2 P(Y )  P( AB)  [1  P( A)][1  P( B)]  (1  )(1  )  Và P(Y )   P(Y )   4 Bài toán ta sử dụng quy tắc nhân xác suất Muốn sử dụng quy tắc nhân phải khẳng định hai biến cố độc lập Vậy hai biến cố thường độc lập phép thử nào? Tất nhiên nêu tất mà đưa số trường hợp quen thuộc: +) Gieo hai đồng tiền gieo đồng tiền hai lần biến cố xảy lần gieo độc lập với biến cố xảy lần gieo Tương tự súc sắc 34 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH +) Hai xạ thủ bắn súng bắn trúng hay trượt người khơng ảnh hưởng tới người Do biến cố liên quan đến người độc lập với biến cố liên quan đến người Tương tự người bắn hai phát sung +) Có hai hịm đựng bóng Lấy từ hịm bóng biến cố lấy bóng hịm độc lập với biến cố lấy bóng hịm Tương tự toán lấy bi, lấy cầu Chú ý: Nếu A B độc lập A B ; A B; A B độc lập Cũng giống quy tắc cộng quy tắc nhân toán tổ hợp, biến cố xảy khả khả ta sử dụng quy tắc cộng xác suất, với biến cố thực liên tiếp hai hành động ta dùng quy tắc nhân Bài 2: Trong hịm có 10 chi tiết, có chi tiết hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết hỏng Phân tích: Trong chi tiết có khơng q chi tiết hỏng nghĩa khơng có chi tiết hỏng có chi tiết hỏng Bài tốn khơng thể giải theo dạng mà phải sử dụng phép tính xác suất Đây tốn dùng quy tắc cộng xác suất Lời giải: Gọi A1 biến cố “Trong chi tiết lấy chi tiết hỏng” A2 biến cố “Trong chi tiết lấy có chi tiết hỏng” A biến cố “Trong chi tiết lấy có khơng q chi tiết hỏng” Khi A = A1  A2 Do A1 A2 xung khắc nên P( A)  P( A1 )  P( A2 ) Số cách lấy chi tiết từ 10 chi tiết C106 Suy n() = C106 =210 Có chi tiết khơng bị hỏng nên n( A1 )  C86  28 Số cách lấy chi tiết từ chi tiết bị hỏng C85 Số cách lấy chi tiết từ chi tiết hỏng C21 Theo quy tắc nhân ta có n( A2 )  C85 C21 Do ta có: 35 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH P( A1 )  n( A1 ) 28   n() 210 15 P( A2 )  n( A2 ) 112   n() 210 15  P( A)  P( A1 )  P( A2 )   15 15 Bài 3: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu đỏ, cầu xanh Hộp thứ hai có cầu đỏ, cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu a) Tính xác suất để cầu lấy màu đỏ b) Tính xác suất để cầu lấy màu Phân tích: Bài tốn giải theo dạng 1, nhiên việc giải dài dòng phức tạp Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng quy tắc nhân việc giải toán trở nên đơn giản nhiều Lời giải Gọi: A biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ màu đỏ” B biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” X biến cố “Hai cầu lấy màu đỏ” Ta có X  AB, P ( A)  7 , P( B)   12 20 12 Gọi Y biến cố “Hai cầu lấy màu xanh” Z biến cố “Hai cầu lấy màu” Ta có Y = AB Mặt khác A B độc lập nên P(Y )  P( A).P( B)  [1  P( A)][1  P( B)]  (1  )(1  )  12 Thấy Z  X  Y , X  Y   nên P( Z )  P( X )  P(Y )  31   20 60 Những toán sử dụng quy tắc cộng xác suất quy tắc nhân xác suất tốn ln tính đuợc xác suất biến cố sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua biến cố này) Chúng ta để ý xác suất sau: 36 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH * Khi gieo đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì: - Xác suất xuất mặt sấp - Xác suất xuất mặt ngửa * Khi gieo súc sắc cân đối đồng chất thì: - Xác suất xuất mặt - Xác suất xuất mặt có số chấm chẵn: - Xác suất xuất mặt số chấm lẻ: 2 - Xác suất xuất mặt số chấm số chia hết cho 3: Ðối với phép thử khác tuỳ theo tốn ta tính đuợc xác suất Và có nhiều tốn cho trực tiếp xác suất Bài 4: Có lơ hàng Nguời ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Xác suất để sản phẩm chất luợng tốt lơ hàng lần luợt 0,7;0,8 Hãy tính xác suất để: a) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất luợng tốt b) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất luợng tốt Phân tích: Ðây toán cho truớc xác suất nên chắn ta phải sử dụng phép tốn tính xác suất để giải Biến cố sở “Lấy duợc sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy duợc sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Lời giải: Gọi A: “Lấy duợc sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” B: “Lấy duợc sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Khi ta có: P( A)  0,  P( A)   P( A)   0,  0,3 P( B)  0,8  P( B)   0,8  0, 37 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH a) Gọi X biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất luợng tốt” Suy X  AB Do hai biến biến cố A, B độc lập nên ta có P( X )  P( A) P( B)  0,  P( X )   P( X )  0, b) Gọi Y biến cố “Trong sản phẩm lấy có dúng sản phẩm có chất luợng tốt” Suy Y  AB  AB Do AB, AB xung khắc biến cố A B; A B độc lập nên ta có P(Y )  P( AB  AB)  P( AB)  P( AB )  P( A) P( B)  P( A) P( B)  0, 7.0,  0,8.0,3  0,38 Bài 5: Một phòng lắp hai hệ thống chng báo động phịng cháy, hệ thống báo thấy khói hệ thống báo thấy lửa xuất Qua thực nghiệm thấy xác suất chng báo khói 0,95 chng báo lửa 0,91 chuông báo 0,88 Tính xác suất để có hỏa hoạn chng báo Phân tích: Biến cố cần tính xác suất chng báo khói báo hoả hoạn chuông báo lửa báo lửa báo hoả hoạn Do tốn chắn dùng quy tắc cộng Tuy nhiên hai biến cố sở lại không xung khắc Trong truờng hợp ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng Lời giải: Gọi A biến cố “Chng báo thấy khói” B biến cố “Chuông báo thấy lửa” C biến cố “Ít hai chơng báo hỏa hoạn” Theo giả thiết tốn ta có P( A)  0,95, P( B)  0,91, P( AB)  0,88 Do ta có P(C )  P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)  0,95  0,91  0,88  0,98 Bài tập củng cố Bài Từ cỗ 52 con, rút ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố sau: 38 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH a) Có át b) Có K Bài Trong hộp có bóng trắng, bóng xanh, bóng đỏ lấy ngẫu nhiên bóng Tìm xác suất để có bóng có đủ mầu Bài Gieo ngầu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần: Tính xác suất biến cố: A: “Có mặt lẻ” B: “Có mặt chẵn mặt lẻ” C: “Tổng số chấm hai mặt số chẵn” Bài Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần, tính xác suất để: a) Có lần xuất mặt chấm b) Tổng số chấm mặt số lẻ c) Trong hộp có 10 thẻ đánh số 0,1, 2, , Lấy ngầu nhiên liên tiếp thẻ xếp cạnh theo thứ tự từ trái sang phải tìm xác suất để thẻ xếp thành số tự nhiên cho chữ số Bài Một máy bay có động cơ, có động cánh phải động cánh trái Mỗi động cánh phải có xác suất bị hỏng 0,1 cịn động cánh trái có xác suất hỏng 0,05 Các động hoạt động độc lập với Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn truờng hợp sau: a) Máy bay bay có hai động làm việc b) Máy bay bay có động cánh làm việc Bài Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi Mỗi câu hỏi có câu trả lời, có câu Mỗi câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ diểm Một học sinh làm cách chọn hú hoạ câu trả lời Tính xác suất để học sinh đuợc 13 điểm Bài Một đồn tầu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tầu, nguời độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có nguời, toa có nguời hai toa cịn lại khơng có Bài Có 30 thẻ đánh số từ dến 30 chọn ngầu nhiên 10 thẻ tính xác suất để: a) Tất 10 thẻ dều mang số chẵn 39 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH b) Có số chia hết cho c) Có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn thẻ mang số chia hết cho 10 Bài Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 0,1; trúng điểm 0,2; trúng điểm 0,25 điểm 0,45 Xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để xạ thủ điểm 40 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu số phương pháp giải toán tổ hợp xác suất thu kết sau: - Giúp cho học sinh có nhìn sâu sắc hơn, tổng quát tổ hợp xác suất Từ thấy mối liên hệ tổ hợp xác suất với chủ đề kiến thức liên quan tốn học phổ thơng - Bổ sung thêm cho học sinh số phương pháp giải để giải tổ hợp xác suất Từ giúp em có nhiều cách giải khác cho tốn, giúp cho học sinh có sở để vận dụng linh hoạt sáng tạo phương pháp giải khác Đề tài tơi trình bày ý tưởng hình thành qua trình nghiên cứu, cam đoan sáng kiến kinh nghiệm cá nhân tự nghiên cứu Nếu sai tơi xin hồn toàn chịu trách nghiệm 41 GVHD: THẦY LÊ VĂN DŨNG SV LÊ THỊ MINH LINH TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Xuân Liêm Đặng Hùng Thắng, Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục, năm 2007 Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, năm 2012 Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh Phan Ngọc Toàn, Câu hỏi tập trắc nghiệm toán 11 luyện thi THPT, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2017 42 ... toán tổ hợp xác suất chương trình trung học phổ thông? ?? nhằm cung cấp thêm cho học sinh số phương pháp để giải toán tổ hợp, xác suất từ nâng cao khả giải tốn, khả tư hứng thứ học tập cho học sinh... cho học sinh có cách nhìn nhận xác số tốn tổ hợp xác suất chương trình tốn THPT Cung cấp cho học sinh phương pháp giải số dạng toán tổ hợp xác suất cụ thể phức tạp dạng thông thường III Phương pháp. .. số phương pháp giải toán tổ hợp xác suất thu kết sau: - Giúp cho học sinh có nhìn sâu sắc hơn, tổng quát tổ hợp xác suất Từ thấy mối liên hệ tổ hợp xác suất với chủ đề kiến thức liên quan tốn học