TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ BÙI THỊ NGỌC TÌM HIỂU VỀ LỜI GIẢI D’ALEMBERT CỦA PHƢƠNG TRÌNH SĨNG Chun ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý tốn KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên cho đƣợc gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2, Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý tạo điều kiện để đƣợc làm khóa luận tốt nghiệp, quan tâm đơn đốc tơi q trình thực khóa luận Xin cảm ơn sâu sắc tới thầy cô Tổ mơn Vật Lí Lý Thuyết Vật Lí Tốn, đặc biệt Tiến sĩ Nguyễn Huy Thảo tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ tơi thời gian làm khóa luận Một lần tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2017 Sinh viên Bùi Thị Ngọc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khố luận tốt nghiệp với đề tài “Tìm hiểu lời giải D’Alembert phƣơng trình sóng” kết nghiên cứu cá nhân tôi, không chép Các tài liệu đƣợc trích dẫn cách rõ ràng Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2017 Sinh viên Bùi Thị Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 1.1 Một số khái niệm 1.2 Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng 1.2.1 Phƣơng pháp tách biến (Phƣơng pháp Fourier) 1.2.2 Phƣơng pháp dùng phép biến đổi Fourier 11 1.2.3 Phƣơng pháp dùng phép biến đổi Laplace 13 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP D’ALEMBERT 15 2.1 Phƣơng pháp D’Alembert 15 2.2 Một số toán áp dụng phƣơng pháp D’Alembert 20 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học hình thành đƣờng thực nghiệm nên tính chất thực nghiệm Và để biểu diễn quy luật vật lý, trình bày cách xác, chặt chẽ quan hệ định lƣợng phải dùng phƣơng pháp toán học Vật lý lý thuyết kết hợp phƣơng pháp thực nghiệm toán học Nhƣ vậy, vật lý lý thuyết có nội dung vật lý phƣơng pháp tốn học Phƣơng pháp tốn lý mơn học vật lý lý thuyết, nên có đặc điểm Nó học phần quan trọng chƣơng trình đào tạo giáo viên THPT Giúp cho sinh viên làm quen dần với phƣơng pháp toán học đại vật lý, hiểu rõ chất q trình truyền sóng q trình truyền nhiệt vật chất Những phƣơng pháp toán học dùng vật lý học đại phong phú đa dạng Nó gồm khối lƣợng kiến thức lớn thuộc ngành nhƣ: hàm thực, hàm phức, phƣơng trình vi phân, phép tính tích phân Các kiến thức tốn khơng cần thiết cho bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành nhƣ nghiên cứu môn học khác học trƣờng, mà cịn cơng cụ tốn hữu ích cho công tác họ sau trƣờng Phƣơng pháp D’Alembert cơng cụ tốn học có nhiều ứng dụng vật lý Chúng tơi nhận thấy để tìm nghiệmcủabài tốn Cauchy phƣơng pháp D’Alembert, tài liệu “Phƣơng pháp tốn lí” tác giả Đỗ Đình Thanh số tài liệu khác chƣa trình bày chi tiết lời giải Với mục đích làm sáng tỏ lời giải chúngtơi chọn đề tài: “Tìm hiểu lời giải D’Alembert phƣơng trình sóng” Mục đích nghiên cứu  Làm rõ nội dung lý thuyết, áp dụng thực tế Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Dao động dây vô hạn, toán Cauchy Giả thuyết khoa học Nếu làm chi tiết đƣợc lời giải D’Alembert phƣơng trình sóng sinh viên hiểu rõ vận dụng tốt làm toán Cauchy Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu tốn Cauchy nghiệm  Đƣa lời giải chi tiết lời giải D’Alembert  Một số tập đề nghị Cấu trúc khóa luận MỞĐẦU NỘI DUNG Chƣơng 1: Phƣơng trình đạo hàm riêng 1.1 Một số khái niệm 1.2 Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng Chƣơng 2: Phƣơng pháp D’Alembert 2.1 Lời giải D’Alembert cho phƣơng trình sóng 2.2 Một số toán áp dụng phƣơng pháp D’Alembert KẾT LUẬN NỘI DUNG Chƣơng 1: Phƣơng trình đạo hàm riêng 1.1 Một số khái niệm Các phƣơng trình mơ tả biến thiên trƣờng theo thời gian thƣờng phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, chứa hàm chƣa biết (hàm nhiều biến), đạo hàm riêng biến số độc lập Cấp đạo hàm cấp cao hàm chƣa biết có mặt phƣơng trình cấp phƣơng trình Phƣơng trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính bậc hàm chƣa biết đạo hàm riêng Để đơn giản ta xét việc phân loại phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập Trƣờng hợp nhiều biến số độc lập đƣợc phân loại tƣơng tự Dạng tổng quát phƣơng trình nhƣ là: (1.1) Trong hàm chƣa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y: u = u(x,y), hệ số A, B, C, D, E, F hàm x, y Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp, ta đƣa phƣơng trình (1.1) ba dạng sau: Nếu AC – B2> miền đó, đƣa phƣơng trình (1.1) miền dạng: (1.2) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại eliptic Dạng đơn giản phƣơng trình eliptic phƣơng trình Laplace (1.3) Nghĩa D1 = E1 = F1 = G1 = Nếu AC – B2< miền đƣa phƣơng trình (1.1) miền dạng: (1.4) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại hypebolic Dạng đơn giản phƣơng trình hypebolic phƣơng trình dao động dây: (1.5) Nghĩa D2 = E2 = F2 = Nếu AC – B2 = miền phƣơng trình (1.1) đƣợc đƣa dạng: (1.6) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại parabolic, có dạng đơn giản phƣơng trình truyền nhiệt (1.7) Nghĩa D3 = F3 =0 Trong phƣơng trình (1.5) (1.7), ta thƣờng lấy biến số thời gian, biến số tọa độ x, ta có phƣơng trình dao động dây (hay phƣơng trình sóng chiều) : (1.8) Phƣơng trình truyền nhiệt: (1.9) Phƣơng trình Laplace: (1.10) Nhiều tốn vật lí kỹ thuật dẫn đến phƣơng trình nên ngƣời ta gọi chúng phƣơng trình vật lí – tốn Các phƣơng trình (1.8), (1.9) (1.10) có vơ số nghiệm ta phải đặt thêm điều kiện phụ để xác định nghiệm chúng Các phƣơng trình (1.8) (1.9) xuất q trình khơng dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu q trình xảy khoảng không gian x hữu hạn (dao động sợi dây có hai đầu gắn chặt) truyền nhiệt hữu hạn ta có hai loại điều kiện phụ sau: 1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t = 2) Điều kiện biên cho biết trình xảy biên khoảng khơng gian Bài tốn tìm nghiệm phƣơng trình thỏa mãn điều kiện ban đầu điều kiện biên gọi tốn hỗn hợp, q trình xảy khoảng vơ hạn , ta cần điều kiện ban đầu Bài tốn gọi tốn Cơsi (Cauchy) Phƣơng trình (1.10) khơng chứa thời gian, hai biến số x, y biến số khơng gian Nó xuất nghiên cứu trình dừng Để xác định nghiệm, ta cần điều kiện biên, vậy, tốn gọi toán biên Các điều kiện ban đầu điều kiện biên thƣờng xuất phát từ việc đo đạc thực nghiệm vật lí kỹ thuật nghĩa mang tính chất gần Những sai số nhỏ điều kiện kéo theo sai số nhỏ nghiệm Do đó, ta địi hỏi nghiệm toán đặt phải phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên điều kiện ban đầu Các toán đƣợc thiết lập cho nghiệm tồn tại, phụ thuộc liên tục vào điều kiện phụ, gọi toán đƣợc thiết lập Những toán ta xét dƣới tốn truyền thống Vật lí – Toán, chúng đƣợc thiết lập 1.2 Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng 1.2.1 Phƣơng pháp tách biến (Phƣơng pháp Fourier) Phƣơng pháp phân li biến số đƣợc gọi phƣơng pháp Fourier Phƣơng pháp này, ngƣời ta giả sử nghiệm tốn tích hàm theo biến độc lập phƣơng trình đạo hàm riêng Hệ việc đặt nghiệm phƣơng trình đạo hàm riêng tích hàm theo biến độc lập ngƣời ta rút phƣơng trình đạo hàm riêng hệ thống phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng đƣơng Nhƣ thế, thay phải giải tốn biên với phƣơng trình đạo hàm riêng, ngƣời ta phải giải số tốn biên với phƣơng trình vi phân thƣờng Ví dụ: Để giải phƣơng trình dạng (1.11) Ta làm nhƣ sau: Đặt Khi đó: Thay vào phƣơng trình (1.1) ta đƣợc phƣơng trình: Chia hai vế phƣơng trình cho XY, ta đƣợc: Chúng ta thấy hàm X phụ thuộc vào biến x, hàm Y phụ thuộc vào biến y nên chọn tham số thích hợp, ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp hai Giải phƣơng trình này, suy nghiệm phƣơng trình (1.11) Chú ý thêm rằng, số nói số tùy ý nên theo nguyên lý chồng chất nghiệm, mặt hình thức, nghiệm phƣơng trình đạo hàm riêng chuỗi hàm lƣợng giác mà số hạng nghiệm phƣơng trình vi phân 1.2.1.1 Phƣơng trình sóng Là tốn biên trị có dạng: (1.12) (1.13) (1.14) { Đặt u(x,t) = X(x)T(t) Thế vào (1.12), đƣợc: Hay (1.15) Chẳng hạn ta xét toán sau: { Với t cố định, giả sử u(x,t) tốt: ∑̂ ∫ ̂ ∑ ∑ Nhƣ hàm ̂ ̂ ̂ phải thỏa mãn: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Chúng ta có phƣơng trình vi phân thƣờng theo t để tính ̂ Giải phƣơng trình vi phân thƣờng tìm đƣợc ̂ Có ̂ ta dùng cơng thức Fourier đảo để tìm lại u(x,t) Suy ra: ̂ Tại t = ̂(n,0) = Nếu f thỏa mãn: ̂ ∫ ̂ ̂ Dùng công thức Fourier đảo ta có: ∑ ̂ 12 u gọi nghiệm hình thức tốn 1.2.3 Phƣơng pháp dùng phép biến đổi Laplace Các bƣớc tiến hành áp dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm toán biên:  Xác định biến số hàm nhiều biến thực biến đổi Laplace  Thực phép biến đổi Laplace cho hai vế phƣơng trình đạo hàm riêng có để ý đến điều kiện phụ  Xác định ảnh Laplace hàm cần tìm  Dùng phép biến đổi Laplace đảo xác định hàm cần tìm Ví dụ: Giải tốn (1.38) { Lấy biến đổi Laplace t (1.38) [ * ] + * + [ ] Chúng ta đƣợc phƣơng trình điều kiện biên cho U(x,p) Giải phƣơng trình đƣợc [ Từ suy ra: 13 ] 14 Chƣơng 2: Phƣơng pháp D’Alembert 2.1 Phƣơng pháp D’Alembert Sợi dây vơ hạn trừu tƣợng hóa sợi dây có chiều dài lớn đến mức đầu mút khơng ảnh hƣởng đến dao động phần sợi dây xét Lúc dao động phần chịu ảnh hƣởng điều kiện ban đầu Sự xuất dao động sợi dây vô hạn hình dung nhƣ sau: thời điểm ban đầu t =0, sợi dây có hình dạng u(x,t)|t=0 = u(x,0) =f(x) điểm sợi dây nhận vận tốc ban đầu: ut (x,t)|t=0 = ut(x,0) = F(x) sau sợi dây tự chuyển động Hàm f(x) F(x) phải đƣợc xác định toàn trục x Thành thử ta có tốn vật lí – tốn sau đây: phƣơng trình Tìm nghiệm u =u(x,t), (2.1) Thỏa mãn điều kiện ban đầu: (2.2) ut|t=0 = f(x), u’t|t=0 = F(x); Đó tốn Cauchy phƣơng trình (2.1) Điều kiện (2.2) gọi điều kiện ban đầu Muốn tìm nghiệm phƣơng trình (2.1), ta đƣa dạng dễ giải cách đổi biến số Đặt: Phép lấy đạo hàm hàm số hợp cho ta: ( ) ( ) 15 *( ) ( )+ ( ) ( ) Vậy phƣơng trình (2.1) có dạng: Vì ( ) Trong nên hàm tùy ý Từ ∫ Trong hàm tùy ý Vì hàm tùy ý nên tích phân hàm tùy ý Vậy: Trở biến số cũ x, t ta đƣợc (2.3) Trong hàm tùy ý, khả vi liên tục hai lần phép đổi biến số Nghiệm (2.3) đƣợc gọi nghiệm tổng quát phƣơng trình (2.1) Bây ta dựa vào điều kiện ban đầu (2.2) để xác định hàm Trong (2.3) ta thay t = 0: (2.4) Trong giáo trình Phương pháp tốn lí Đỗ Đình Thanh (phƣơng trình 3-17) trình bày: (3-17) | (với a = c = const) Lấy tích phân hai vế (3-17) từ đến x ta đƣợc: 16 [ ] [ ] ∫ Ở nhận thấy tài liệu chƣa làm rõ cách lấy tích phân hai vế phƣơng trình (3-17) khiến nhiều bạn sinh viên khơng hiểu gặp khó khăn làm tập Do đó, chúng tơi đƣa lời giải chi tiết nhƣ sau: Ta có: Xét hàm : đặt , hàm , đặt , hàm x’ b (b=const) hay a (a=const) hay Ta có: Xét hàm Ta có: Tại t = 0, theo điều kiện ban đầu ta có: | | | Hay | (2.5) | 17 Tích phân hai vế phƣơng trình (2.5) từ x0 đến x ta đƣợc: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt K = (2.6) , (2.6) trở thành: ∫ (2.7) Giải hệ phƣơng trình (2.4) (2.7) ta đƣợc: ∫ ∫ Thay biểu thức vào (2.3) ∫ ∫ Khi ∫ ∫ 18 (2.8) [ ] ∫ (2.9) Cơng thức gọi nghiệm D’Alembert tốn Cauchy phƣơng trình dao động sợi dây Ý nghĩa vật lý lời giải D'Alembert đƣợc giải thích cách nhìn vào dạng phƣơng trình (2.8) Rõ ràng, đại diện cho sóng di chuyển truyền theo hƣớng x dƣơng với tốc độ c hình dạng khơng thay đổi Tƣơng tự, sóng di chuyển lan truyền theo hƣớng âm x với tốc độ c mà không thay đổi hình dạng Một sóng truyền theo hƣớng x dƣơng với tốc độ không đổi c mà không thay đổi hình dạng đƣợc thể hình Phƣơng trình sóng (2.1) (2.2) có hai đặc trƣng đƣờng cong bao gồm đƣờng thẳng rõ ràng Các thành viên với độ dốc đƣợc gọi chạy phải chạy trái đặc trƣng tƣơng ứng Chúng đƣợc thể hình t u= u 2t x+2ct u= t x+ct u= x x Hình1 Sóng truyền lan truyền theo hƣớng x dƣơng 19 t x Hình Các đƣờng đặc trƣng phƣơng trình sóng 2.2 Một số tốn áp dụng phƣơng pháp D’Alembert Bài tốn 1: Giải phƣơng trình: Với điều kiện: | | Áp dụng công thức nghiệm D’Alembert ta có: [ ] Bài tốn 2: Tìm nghiệm tốn sau: { 20 ∫ Có nghiệm cho bởi: [ ] ∫ Với [ ] [ ] Suy Bài tốn 3: Tìm nghiệm toán sau: { Lời giải: Áp dụng phƣơng pháp D’Alembert để tìm nghiệm u(x,t) Nghiệm D’Alembert ( )[ ] ∫ Ở đây, f(x) = F(x) = x Khi nghiệm tổng qt là: ∫ [ Bài tốn 4: Giải toán { 21 ] Lời giải: Nghiệm D’Alembert [ Ở đây, f(x) = ] , F(x) = x ∫ c=1/2 Khi nghiệm tổng quát * * ∫ + + * + Bài toán 5: Tìm nghiệm tốn: { Nghiệm D’Alembert là: [ ] ∫ f(x) = sinx, F(x) = cosx c = Khi nghiệm tổng quát [ [ ] ] 22 [ ∫ ] Bài toán 6: Giải toán { Nghiệm D’Alembert là: [ ] ∫ đây, f(x) = 3x2, F(x) = 2x3 c = Khi nghiệm tổng quát là: [ ] [ ] [ ∫ [ ]* ] [ ( ]+ ) Bài tập đề nghị: Sử dụng phƣơng pháp D’Alembert để giải toán sau: { 23 { Với A số { Với , hàm cho tốt 24 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, chúng tơi hệ thống đƣợc số phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng, cụ thể là: phƣơng pháp tách biến Fourier, phƣơng pháp dùng phép biến đổi Fourier phƣơng pháp Laplace Đồng thời, đƣa lời giải chi tiết D’Alembert cho phƣơng trình sóng mà tài liệu Phương pháp tốn lí tác giả Đỗ Đình Thanh chƣa làm rõ điều Cũng khóa luận này, đƣa số tập vận dụng lời giải D’Alembert cho phƣơng trình sóng số tập đề nghị để bạn áp dụng phƣơng pháp giải tập Hy vọng khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên quan tâm đến đề tài dễ dàng việc giải tập dao động sợi dây dài vô hạn 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Đình Thanh, Phương pháp tốn lí, NXBGD, 2007 [2] A.Salih, Department of Aerospace Engineering Indian Institute of Space Science and Technology, December 2016 https://www.iist.ac.in/sites/default/files/people/IN08026/dAlembert.pdf [3] Sang-Da Yang, PDE & Complex Variables http://www.ee.nthu.edu.tw/~sdyang/Courses/PDE/Lesson02_Std.pdf [4] Matthew J Hancock, The 1-D Wave Equation 18.303 Linear Partial Differential Equations,2016 https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-303-linear-partial-differentialequations-fall-2006/lecture-notes/waveeqni.pdf [5] Văn Lộc Chơn, Luận văn tốt nghiệp đề tài: Một số phương pháp giải toán phương trình đạo hàm riêng biên trị, Trường Đại học Cần Thơ, 04/2010 26 ... chi tiết đƣợc lời giải D’Alembert phƣơng trình sóng sinh viên hiểu rõ vận dụng tốt làm toán Cauchy Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu tốn Cauchy nghiệm  Đƣa lời giải chi tiết lời giải D’Alembert... ngày 19 tháng năm 2017 Sinh viên Bùi Thị Ngọc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khố luận tốt nghiệp với đề tài ? ?Tìm hiểu lời giải D’Alembert phƣơng trình sóng? ?? kết nghiên cứu cá nhân tôi, không chép... https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-303-linear-partial-differentialequations-fall-2006/lecture-notes/waveeqni.pdf [5] Văn Lộc Chơn, Luận văn tốt nghiệp đề tài: Một số phương pháp giải tốn phương trình đạo hàm riêng biên trị, Trường Đại học Cần Thơ, 04/2010