TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG  x      CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP CHỦ ĐẠO: KẾT HỢP SỬ DỤNG PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP TRỰC TIẾP  PHỐI HỢP PHÉP THẾ, PHÉP CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ  TỔNG HỢP CÁC PHÉP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2014 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Giang hồ cịn lại tơi, Q người đắng khói, q người cay men…” (Anh quê cũ – Nguyễn Bính) CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP Trong khn khổ Tốn học sơ cấp nói chung Đại số phổ thơng nói riêng, hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp dạng tốn thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều phận khác toán học sơ cấp toán học đại Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp phận hữu cơ, quan trọng, phổ biến giảng dạy thức chương trình sách giáo khoa Tốn lớp 9, 10, 11, 12 song song với khối lượng kiến thức liên quan Đây kiến thức phổ biến xuất kỳ thi kiểm tra kiến thức thường niên, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp toàn quốc, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm, kỳ thi đầy cam go, kịch tính bất ngờ, lại câu quan tâm bạn học sinh, phụ huynh, thầy cô, giới chuyên môn đông đảo bạn đọc yêu Toán Yêu cầu dạng toán đa dạng, đa chiều, mục tiêu tìm ẩn thỏa mãn tính chất nên để thao tác dạng toán này, bạn học sinh cần liên kết, phối hợp, tổng hợp kiến thức học phương trình, hệ phương trình bất phương trình, địi hỏi lực tư thí sinh cao Tuy nhiên "Trăm hay không hay tay quen", phương pháp được hệ trước đúc kết tận tụy cho hệ tương lai, bạn hoàn toàn đủ khả kế thừa, phát huy sáng tạo không ngừng, chuẩn bị đủ hành trang nắm bắt khoa học kỹ thuật, đưa đất nước ngày vững bền, phồn vinh, hiển nhiên toán kỳ thi định rào cản, mà hội thử sức, hội khẳng định kiến thức, minh chứng sáng ngời cho tinh thần học tập, tinh thần quốc ! Các phương pháp giải biện luận hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp luyện tập cách đặn, hệ thống hữu ích, khơng mơn Tốn mà cịn phục vụ đắc lực cho mơn khoa học tự nhiên khác hóa học, vật lý, sinh học, Tiếp theo Lý thuyết giải hệ phương trình chứa phần 1, 2, 3, tài liệu chủ yếu giới thiệu đến quý bạn đọc Lý thuyết giải hệ phương trình chứa phần cấp độ cao hơn, trình bày chi tiết thí dụ điển hình hệ giải nhờ sử dụng tổng hợp phép thế, phép cộng đại số, đại lựợng liên hợp phép đặt ẩn phụ Đây nội dung có mức độ khó tương đối, địi hỏi bạn độc giả cần có kiến thức vững phép giải phương trình chứa căn, kỹ biến đổi đại số tư chiều sâu bất đẳng thức Các thao tác tính tốn kỹ trình bày phương trình, hệ phương trình xin khơng nhắc lại I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, đẳng thức Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao Sử dụng thành thạo ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) Kỹ giải hệ phương trình hệ phương trình đối xứng, hệ phương trình đồng bậc, hệ phương trình chứa thơng thường Kỹ thuật đặt ẩn phụ, sử dụng đại lượng liên hợp, biến đổi tương đương Kiến thức tảng uớc lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ I MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC    y x  x   3,  Bài toán Giải hệ phương trình   x; y     x  y  x  Lời giải Điều kiện x  0; y  Phương trình thứ hệ tương đương với y  x3  x  x  y  x3 x3  x Khi phương trình thứ hai trở thành  x  x 1  x  x   x 1      x    2 x   2;1 x   x  x  x  x         Kết luận hệ có nghiệm x  y  Nhận xét Đây toán mở đầu cho phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức, phương pháp ẩn giấu mạnh phương trình, hệ phương trình Các bạn lưu ý hệ thức tương đương A2  B A2  B  A B  A  B   A  B     A  B  0 A B A B A B A B  A B  A  0; B  0; A2  B    A  0; B  0; A  B   A  B   A B A B Mấu chốt toán khai phá quan hệ x  y  x  , dựa điều kết hợp phương trình vơ tỷ bạn tương tự thêm nhiều toán khác  y x  x   3,  o Giải hệ phương trình   x; y     x  y  x   y x  x   3,  o Giải hệ phương trình   x; y     x  y  x   y x  x   3,  o Giải hệ phương trình   x; y    2 x  y  x  x   y x  x   3,  o Giải hệ phương trình   x; y    2 x  y  x  x   y x  x   3,  o Giải hệ phương trình   x; y     x  y  x             x   y   3x  y  0, Bài toán Giải hệ phương trình   x  xy  x  y  Lời giải Điều kiện x  1; y  1  x; y    Trường hợp x   y    x  y  1 không thỏa mãn hệ Ngồi trường hợp đó, phương trình thứ hệ tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _   x y  3 x  y     x  y    3   x 1  y 1  x 1  y 1   Ta thấy x 1  y 1   nên thu x  y   x  y Phương trình thứ hai trở thành x  x3  x  x     x  1  x  x       x   x  1  5 Từ kết luận hệ có nghiệm x  y  Nhận xét Với toán này, quan hệ ràng buộc x  y cho ta nhiều hướng hệ kế thừa  x   y   3x  y  0,  Giải hệ phương trình   x; y    2  x  xy  y  x  y   x   y   x  y  0,  Giải hệ phương trình   x; y    x  y   15 x  y    x   y   x  y  0,  Giải hệ phương trình   x; y    xy  x   2 x  y    x   y   x  y  0,  Giải hệ phương trình   x; y    x  x  y  x  y   Ngoài bạn tổng qt hóa phương trình thứ hệ cách đảm bảo cho biểu thức hệ xác định dương sau x  m  y  m  nx  ny  0,  n  0  x3   y   x  y  0, Bài tốn Giải hệ phương trình   x; y    2 y   y  x  Lời giải Điều kiện x  1; y  1; y  x   Xét trường hợp x  y  1 khơng thỏa mãn hệ Ngồi khả đó, phương trình thứ hệ tương đương với  x  xy  y  x3  y x3   y   x  y    x  y    x  y  1   x3   y   x3   y      Rõ ràng x  xy  y   x  y   y  0, x; y      x  xy  y x3   y  1   2 x   x   5 Do ta thu x   x  x      x  1;  2  3 4 x  x   x  x  3 x  x    Kết luận toán có hai nghiệm x  y  1; x  y  Nhận xét Bài toán số tương tự tốn 2, phương trình thứ tổng quát hóa sau x3  m  y  m  nx  ny  0,  n  0 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  x  y  x  y  y , Bài toán Giải hệ phương trình   x; y     x  xy  3x  y   Lời giải Điều kiện x  y  0; y  Trường hợp hai biến không thỏa mãn hệ cho Ngồi trường hợp phương trình thứ hệ tương đương với x y x  y  3y  4x  y    4 x  y  x  y  3y   1   )   x  y     x  y (Vì  x  y  3y  x  y  3y   Khi phương trình thứ hai trở thành x4  x  2x    x4  2x2   x2  x    x2    x  1   x  1     x 1 x  Kết luận hệ phương trình cho có nghiệm x  y  Nhận xét Mấu chốt toán nhận x  y  y  x  y điểm nhấn liên hợp x y x  y  3y  x  y  3y Chúng ta tổng qt hóa phương trình thứ hệ theo cấp độ x  ny  px  py   n  1 y mx  ny  px  py  Từ đề xuất mn vàn tốn kế thừa  x  y  x  y  y ,  Giải hệ phương trình   x  10 y  12  x  y   x  y  x  y  y ,  Giải hệ phương trình  2 y  x   x  y   x  y  x  y  y ,  Giải hệ phương trình  4 x   xy  x  y   x  y  x  y  2 y ,  Giải hệ phương trình  2 xy  y   y x   x  y  10 x  10 y  y ,  Giải hệ phương trình   xy  x  x  y  y  p  0 n  m y  p  0  x; y     x; y     x; y     x; y     x; y     y  x   x  y   x  y  1 ,  Bài toán Giải hệ phương trình   x; y    2 x  y  x  xy  x  y  Lời giải Điều kiện x  0; y  Trừ khả hai biến 0, phương trình thứ hệ cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  x  y   x  y  1  x  y    x  y   x  y  1  x y x y 0   1  )   x  y   x2  y2     x  y (Vì x  y      x  y x  y   Khi phương trình thứ hai trở thành x  x   x  x  x2       x    2  x  x   x   x  1;1 Kết luận hệ cho có nghiệm x  y  Nhận xét Bài tốn kế thừa giữ ngun phương trình thứ hệ  y  x   x  y   x  y  1 ,  o Giải hệ phương trình   x; y    5 x  y    x  1 x   y  x   x  y   x  y  1 , o Giải hệ phương trình   x; y    2 xy  x  y   x y   y  x   x  y   x  y  1 ,  o Giải hệ phương trình   x; y    2 10 x y    x   Tổng quát hóa phương trình thứ hệ theo cấp độ k   y  x  l  x  y   mx  ny  p   k, l  0 3 y  x   x  y   x  y   ,  Giải hệ phương trình   x; y     x  1 10  xy   x 5 y  x   x  y   x  y  1 ,  Giải hệ phương trình   x; y     x   y   x  y  Tổng quát hóa phương trình thứ hệ theo cấp độ với D tập xác định hệ k   y  x  l  x  y  f  x; y   k , l  0; f  x; y   0, x, y  D  3 y  x   x  y   x  y  x  1 ,  Giải hệ phương trình   x; y     x   y   x  y  5 y  x   x  y   x  y  y  ,   Giải hệ phương trình   x; y       x 12  1 x 7 y  x   x  y   x  y  x  y  ,   Giải hệ phương trình   xy  3x  10  x  y   y  9 y  x   x  y   x  y  x  y  1 ,  Giải hệ phương trình   x    y  y  x   x; y     x; y    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  x  y  x  y   y  1, Bài tốn Giải hệ phương trình   x; y    y    x  y    x  Lời giải Điều kiện x  y  0; y   ; x  Trường hợp x  y  y   không thỏa mãn hệ Phương trình thứ hệ tương đương với x  y 1 x  y  y 1  x  y 1     x  y  1  x  y  y 1 x  y 1   1   x  y  1       x  y  y   1     x  y  y  Rõ ràng x  y  2y 1 1   nên ta thu x  y  Khi phương trình thứ hai trở thành x    x  x   3x Với điều kiện  x  , phương trình ẩn x cho tương đương với x    2x   x    x   x   3x  2 x   3x    x  2 x  x  10   x  14 x  x 5   2 x  x  10  14 x  x  x  13 x  10   x   ;  4  Đối chiếu điều kiện đến hệ có hai nghiệm kể x  y  ; x  y  Nhận xét Một số hệ phương trình kế thừa  x  y  x  y   y  1,  Giải hệ phương trình   x; y    y   x   y   x    x  y  x  y   y  1,   Giải hệ phương trình   x; y     y   1  x   x  x  y  x  y   y  1,  Giải hệ phương trình   x; y    2 2  x  y   x   x  x   x  Mấu chốt thao tác liên hợp nhận nhân tử chung x  y   y  1  x  y  , thực điều bạn khai thác phương trình thứ trợ giúp máy tính bỏ túi Casio Fx570 Plus sau  Xét phương trình x  y  x  y   y      Gán x  100  100  y  100  y   y   Dùng tổ hợp phím Shift Solve (Shift Calc) ta thu y  99  Như x  y   Sở dĩ chọn x  100 số lớn, mức độ “xấp xỉ” nhỏ nên dễ dàng thiết lập quan hệ x y Các bạn lưu ý lựa chọn với x  1000, x  10000 Một số hệ phương trình tương tự sau CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  x  y  x  y   y  1,  Giải hệ phương trình   y    x  x   x  x  y  x  y  y   1,  Giải hệ phương trình   y  1  x   x   x  y  x  x  y  y,  Giải hệ phương trình  3 x   y   x  y  y 3  ,  x y  x3  x Bài tốn Giải hệ phương trình   x  y  x  x   Lời giải Điều kiện x  0; x  y   x; y     x; y     x; y     x; y    2 x    x  3 Xét trường hợp y      x x  x   x  x    Xét trường hợp y   x  y  x  Phương trình thứ hệ cho tương đương với y 3 y 3   x y  x3  x  x y  x x3 x x y  x3 Phương trình thứ hai trở thành x  x   x  x   x   x   x   x  3x  x   x  3x   x    x 1  x  3x  x  x  Kết luận hệ ban đầu có nghiệm x  y  Nhận xét Một số toán kế thừa y 3  ,  x y  x3  x o Giải hệ phương trình   x; y     x  y  x     o Giải hệ phương trình      o Giải hệ phương trình    x y  x3  y 3 , x x  y  x   x  12 x   36 x y  x3  y 3 , x x  y  x   x   x; y     x; y     x  y   x  y   y  x  1, Bài tốn Giải hệ phương trình  2  x  y  xy  x  y  Lời giải 2 x  y  Điều kiện  x  y   x; y    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 10 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Trường hợp x  y   x  y   không thỏa mãn hệ Phương trình thứ hệ tương đương với   x  y 1  x  y     x  y  1   1   2x  y 1  x  y   2x  y 1  x  y    Ta thấy   nên x  y    y  x  2x  y 1  x  y  Phương trình thứ hai hệ trở thành  x  y  x  y    x   x  1   x    x; y    2;3 Kết luận hệ phương trình có nghiệm  y   y   x  x  1, Bài toán Giải hệ phương trình   x; y     x  y  x   x  y Lời giải 1    x   ; x   x    x  Điều kiện   3 x  y  0; y   3 x  y  0; y       y 1 y    y   y       Xét trường hợp x       y   y   4x 1    y  y    2 Phương trình thứ hệ tương đương với 2 y 1 x x  y 1 y   2x    y   x  0 y   2x 1     y   x  1     x  y 1  y   x    Khi phương trình thứ hai trở thành x   x    1 x  Với điều kiện   x  ta x   x     2 4 x   1 Kết luận hệ có nghiệm x  ; y   2 y 8   x  y  x   2x , Bài toán 10 Giải hệ phương trình   x  y  x  x  x  12  Lời giải Điều kiện x  0; y   x; y    2 x   0; x  Xét y  ta thu hệ   x x   x  x  x  12  Xét y  x  y  x  , phương trình thứ hệ tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 119 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  x 3x  y  1  x  x   x  1 y , Bài tốn 121 Giải hệ phương trình   x; y    y   y   x   Lời giải Điều kiện x  ; y  Từ phương trình thứ hai hệ ta có y   y      0y  , 3 1     x    x   x   ;1 y   y 1 2  Phương trình thứ hệ tương đương với 2x 1  x 3x  y  x y  1  x  x   x  1 y   x  3x  x  y  3x  y  y  1  x  x  y    x y   3x  y  y  1  x     x y 0 1 x  0 x  y  3x   3x  y  y  x  y   3x 1 x 1    0, x   ;1 , y  nên ta x  y 3x  y  y x y 2  Dễ thấy Phương trình thứ hai hệ trở thành Nhận xét x   x   2x 1 1 x   x  với x nên 1  x   x2  x   x   x  5x    5  5    x2  5x    x   ;  2   Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x  5  5  x y 2  x   x   x  y   xy  y ,  Bài toán 122 Giải hệ phương trình  4  x   y     x  3 Lời giải Điều kiện x   x   x  y   0; xy  0;  x   y     x; y    Từ phương trình thứ ta có y  x   x   x  y   xy   y   4x2  x  4x  9   x  x     Nếu y  hệ trở thành    x  4  x    3x  4  x    3x  Vậy  x;0  không nghiệm hệ dẫn đến y   x  Phương trình thứ tương đương x   x   x  y   y  xy  y     x  y   x   x  y  x   x   x  y   y xy  y 0 xy  y  y 0 xy  y  x   x   x  y   y  Từ phương trình thứ hai hệ, áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có   x  y  8x  y    y  x  y    x  y     xy  y x   x   x  y   y   8x  y   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 120 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  x  3    3 x    3.2    x  x2 x2  x2  8x  y  y  y  x   8x  y      0, y  xy  y x   x   x  y   y y  2x  Ta thu hai biến phương trình thứ hai trở thành x  x  x     x  3    x   x  y  39 x  42 x  81  Đối chiếu, kết luận hệ phương trình cho có nghiệm  x  y  x   y  5, Bài tốn 123 Giải hệ phương trình   x  16  y  x   y  xy Lời giải Điều kiện x  0; y  5; x  16  y  x    x; y    Xét phương trình đầu tiên, đặt y   t , t   t  3t  x    Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn t tham số x, điều kiện có nghiệm      3 x      x    12 x      x3   10  x  16 Phương trình thứ hai tương đương với x  16  y  x   xy  xy  y    x  y  Rõ ràng x  16   x  y  x  16  y  x   xy y y  xy 0  x  16 y  0   x  y    x  16  y  x   xy y  xy    x  16 y   0, x  16, y   x  y x  16  y  x   xy y  xy Vì phương trình thứ hai trở thành 2x    x   x   x  x   x  x  15  x  x  x  324    x    x  x     x  Kết luận toán có nghiệm x  y  Nhận xét x  16 y Khi đối mặt với biểu thức hệ T   , để ý đặc tính sau x  16  y  x   xy y  xy o Đại lượng âm hiển  o Suy ưu tiên hàng đầu y  0, y  y  xy x  16 x  16  y  x   xy (1)   x  16 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 121 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ o Giả sử x  16 x  16  y  x   xy  tức húc đầu vào so sánh với (1) Cần xử lý điều kiện x từ phương trình thứ nhất, cách đơn giản phương trình bậc hai với ẩn thức  Xét phương trình đầu tiên, đặt y   t , t   t  3t  x     Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn t tham số x, điều kiện có nghiệm      3 x      x    12 x      x3   10  x  16    x   y  x   3x  y  y ,  Bài tốn 124 Giải hệ phương trình   x; y    2 y  x   y   x  y    Lời giải Điều kiện y  0; x  y   Xét trường hợp x  y  thỏa mãn hệ Xét y  phương trình thứ hệ tương đương với x   y  x   3x  y  y  3x  y   x2  y   y  x  x   y  x   3x  y  y  3x 2 y  3x  y 0  3 x  y  x  y 5   x  y    x   y  x   3x  y 2 y  3x  y   0   Rõ ràng   x  y    x  y  2  y  y   x  y    x  y  2   y   2 2  11  10 15  10 0 x y2  2 x y  5 2 3 x  y  x y 5   Với x  y phương trình thứ hai trở thành x   y  x   3x  y 2 y  x  y  x  y    x  y  2  Kéo theo x   x  x    x    Dễ thấy  x2      x  2     2x  x 1 2x  x 1    0, x   x    x    x; y    2;  2x  x 1 Nhận xét Sử dụng máy tính bỏ túi Casio Fx – 570 ES Plus tương đương phương trình thứ hệ ta có nhân tử x  y Khi ta thực kiểm nghiệm    x   y  x   4k  k  Giả sử x  y  k    x  y  4k  k Ghép cụm liên hợp  x   y  x   x  y  2k  ;  x  y  y  2k      CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 122 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Vấn đề xử lý biểu thức hệ T x y 5 x   y  x   3x  y  3 x  y  y  3x  y Có thể nói tiên quan sát, thấy biểu thức T “khó nhằn”, nhiên với đòn bẩy mẫu thức dương 3 x  y  hai tử thức có chung đại lượng x  y , x  y  nên   , phương hướng ta khai thác y  3x2  y phương trình thứ hai theo đại lượng x  y Để dọn đường cho điều đó, cần lập đại lượng chứa x  y chỗ, tạm thời sau x  y    x  y  2  y  y  Đến đây, bạn coi phương trình bậc hai ẩn y , tham số x  y , nhiên làm phức tạp, đơn giản thao tác thơng qua phân tích bình phương   x  y    x  y  2   y   2 2   x  y    x  y  2  11  10 15  10 0 x y2  2 x y 5 2 t2 11  10 Ở trên, đặt ẩn phụ  x  y    t , t  dẫn đến giải  t    t  2     xy  xy  x  y  xy  y ,    Bài toán 125 Giải hệ phương trình   x  1 12 y  xy  x  x   27  x  1  Lời giải Điều kiện xy  0; xy  xy   x  y      x; y     Từ phương trình thứ ta có   xy  xy   x  y   xy  y  y  Xét trường hợp  x; y    x;  không thỏa mãn hệ Xét y   x  , phương trình thứ tương đương   xy  xy   x  y   y  xy  y      xy  y  xy   x  y    xy  xy   x  y   y  x  y4 y    xy   xy  xy   x  y   y   2y  x  y xy  y 2y  x  y xy  y 0 0   y  xy  2y     x  y   0 xy  y  xy  xy  x  y  y     Từ phương trình thứ hai ta có   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 123 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 12 y  xy  x  x   27  x  1  12 y  xy  x  x   27 x  27 2x  2x 1 27 x  27 Xét hàm số f  x   x  x   ; x  ta có 2x 1 27 f   x   2x 1 ; f   x     x  1  27  x    x   x  1 Khảo sát biến thiên ta có f    28; f 1  21  Max f  x   f 1  21  12 y  xy  21  y  xy  x0 Kéo theo y  xy    xy  xy   x  y   y  2y  Khi x  y phương trình thứ hai trở thành xy  y  x  1  x  37 x  28    37  177  2 x  39 x  x  28    x  1;    x    x   37  177 37  177  Kết luận hệ cho có nghiệm  x; y   1;1 ,  ;  4   Nhận xét Kiểu toán bạn tiếp cận toán 106 trở đi, vấn đề biểu thức hệ T, đa số bạn 2y nhận  0, y  với lập luận y  chuẩn bị trước Để tránh tình trạng húc đầu vào nhau, xy  y đồng hóa đánh giá cần có y  xy   , điều khơng q khó phương trình thứ hai hệ gợi ý biểu diễn, cô lập ẩn 27  x  1 27 x  27 12 y  xy  x  x    12 y  xy  x  x   2x 1 2x  27 x  27 Để đạt y  xy   , rõ ràng cần có tối thiểu x  x    21 , để chứng minh điều 2x 1 có nhiều phương án  Sử dụng công cụ đạo hàm – khảo sát hàm số liên chương trình Đại số, Giải tích lớp 11, 12 27 x  27 Xét hàm số f  x   x  x   ; x  ta có 2x 1 27 f   x   2x 1 ; f   x     x  1  27  x    x   x  1 Khảo sát biến thiên ta có f    28; f 1  21  Max f  x   f 1  21  12 y  xy  21  y  xy  x0 Trong vụ này, số bạn vội vàng “đi đường vòng” cách xét hàm số sau quy đồng x  x  30 x  28 f  x  ;x  2x   Sử dụng biến đổi tương đương túy đưa đại lượng không âm (Đại số lớp THCS) Cần có tối thiểu 27 x  27 27 x  27 x2  x    21  x  x   20 2x 1 2x   x3  x  12 x     x  1  x      Rõ ràng (*)  Sử dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân dựa điểm rơi x  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 124 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Biểu diễn 12 y  xy  x  x   27  x  1 2x 1  12 y  xy  x  x   27  x  1 2x 1 M Áp dụng bất đẳng thức AM – GM 26 x  13  x  14 x  14  x  x  14  2x 1 2x  29 27 27 27  x2  x     x  1  3x   2 2x 1 2 2x 1 M  x2  x 1   x  1  27 27  12   x  1  12  21  x  1  2 2x 1 2 2x 1 2 x  y  x    x  3x  y  ,  Bài tốn 126 Giải hệ phương trình  2  x  xy  y  x  1   y Lời giải Điều kiện x  xy  0; y  x  1    x; y    x  xy  y  x  1   y  y  Từ phương trình thứ ta có Xét y  khơng thỏa mãn phương trình nên y  Ta có xy  x  xy    x  y  y   x   x  0, y  Mặt khác xy   x  xy nên phương trình thứ hai tương đương với x  xy  x  xy  y  y  x  xy  y  x  xy  y  y   Rõ ràng x  xy  y x  xy  y  5x2  y  y x  xy  y  y 0   7x  y 5x  y 0   x  y  2  x  xy  y  x  xy  y  y   7x  y 5x  y   0, x, y  nên x  y 2 x  xy  y x  xy  y  y  x    x  x    2 x  3x   Phương trình thứ trở thành    x  2 x  y  x   x  Kết luận hệ có nghiệm  x   x  y    x  1 x  y  1,  Bài toán 127 Giải hệ phương trình   x3  xy  x   y  x  y  1  Lời giải  x; y    Điều kiện x  y   Từ phương trình thứ hai ta có x  x  y     y Khi phương trình thứ hệ tương đương với x  y     x  1  x  y  1  x   x  y  1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 125 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  x  y x y x y4 2  x  1 x  y     Rõ ràng x   x    x 1    x  y   x  y 1  x 1  x  y 1  x  y 1  x  y 1  x y42  Với x  y phương trình thứ hai trở thành x  x   x  x3  x  1   x  x  1  x  x  x  x  1 3 1 2  x3  x   x3  x       x3 x3    x3  x   2 3 Đặt    t ta 4t   3t   t  1  4t  t  1   t   x  x   x  x   x  y  x   Kết luận hệ phương trình cho có nghiệm  x3  x  y   x y  y  2,  Bài toán 128 Giải hệ phương trình   x; y     x  x  y  x   y  1 Lời giải Điều kiện x  0; y  1; x  x  y  Phương trình thứ hệ tương đương x3  x y  x  y    y     x3  x  y   Xét x  hệ khơng thỏa mãn Xét trường hợp x 0 x  x2  y   y  x y x2  y   y   x2 x2  y   2x2  x2 y  x  y x2  y   y  x x  y   x  x  y  x  y  1 x2  y   y  0 Với trường hợp hai biến nhau, phương trình thứ trở thành Áp dụng bất đẳng thức Bunyakvosky ta có  x2  2x  x   0   x y 0   x  y   x2    x  y   y     x2  y x  x  x  x2  2x  x   x  1   x  1 1  x    x  1  x  x  x   x  1 Phương trình ẩn x cho có nghiệm  x3  x   x  1  x  x  1  x2  2x 1 1    x ;y 2 x x   x  Kết luận phương trình cho có nghiệm CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 126 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  x  1  y   y, 2  x  y  x   Bài toán 129 Giải hệ phương trình   x  y   x  y  Lời giải Điều kiện  x  1  y   0;5  x  y  9 Từ phương trình thứ hai ta có x, y  , dẫn đến 1  x  ; y  8 Phương trình thứ tương đương với  x  1  y   x   y   x 1   y    x; y    5 x y 2  1  2  3x    y   x  y    x    y   x  y  Ta có       x  y 1   x  y    3x    y 1   x  y  1   x  y 1   x  y 1      3  x  y   x    y  x    y 5 x  y     3 102 Kết hợp (2) (3) ta  x    y  x     , loại 2 1  3   Với x  y   phương trình thứ hai trở thành  x  1   x    3;  x   ;    Từ ta thu hai nghiệm   2 x  xy  x  xy  y   x  y   y,  Bài toán 128 Giải hệ phương trình  2 x  x  y   x y    3 x  x  11 Lời giải Điều kiện x  y   0; x y   0; xy  0; x  xy  y   x  y    x; y     x2 y   y  Từ phương trình thứ hệ ta có   x   xy  Khi phương trình thứ hệ tương đương x  xy  y  x  xy  y   x  y   x  y        x  y  x  13 y  16   0 x  y x 5 y  2  x  xy  y   x  y   x  y      Rõ ràng xy  x  xy  y   x  y   y  x   y  x   y  x     3y  x  y  y  x   x  y    x  y  x  13 y  16  x  xy  y   x  y   x  y 0 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 127 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Vậy ta x  y , phương trình thứ hai trở thành x   x   x   3 x  x  11  x   x    3 x  x  11  x Ta có nhận xét x   x    0, x   3 x  x  11  x   3 x  x  11  x  x3  27 x  108 x  297    x  3 8 x  x  99    x   x  Từ ta thu nghiệm x  y  Nhận xét Trung đoàn Vũ Văn Dũng (lấy theo tên võ quan vương triều Tây Sơn) trung đoàn mở dành cho phương pháp đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời hệ phương trình chứa thức Phương pháp liên hợp phương pháp hay, đặc trưng tốn chứa thức Ngồi 128 tốn trên, bạn tự tương tự hóa, mở rộng, đào sâu, tổng quát hóa để thu nhiều tốn khó thú vị Tác giả chúc bạn học sinh, thầy cô giáo bạn trẻ yêu toán tiếp thu tốt, vận dụng cao kế thừa phát huy vượt bậc tài liệu phần Tài liệu phần mang tên trung đoàn Lý Đạo Thành, tập trung phương pháp đại lượng liên hợp – trục thức với nhân tử phức tạp CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 128 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Bài tập tương tự Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực  x  xy  y  y   y   x ,   Giải hệ phương trình   x; y    3  y  x  y   x  (Câu 8; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Tốn; Đề thức; Lần thứ nhất; Mùa thi 2015; Trường THPT Đồng Đậu; Huyện Yên Lạc; Tỉnh Vĩnh Phúc) 3 y  x  x    x  y    2  y  35  ,   Giải hệ phương trình   x; y     x  y  3 x   y  1  x  y    x  y   x  y ,   Giải hệ phương trình   x; y     x  y  19 x  y  14  x  y   x  y 2 x  y  xy  x  y   y  x    3x ,  Giải hệ phương trình   x; y     x  y   x  y   x  y  (Câu 8; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Mơn Tốn; Đề thức; Lần thứ ba; Mùa thi 2015; Trường THPT Đoàn Thượng; Huyện Gia Lộc; Tỉnh Hải Dương) 9 x  xy  x  y  y  7,  Giải hệ phương trình   x; y     x  y     x  y   x  y (Bài T4/426; Đề kỳ này; Số 426; Tháng 12 năm 2012; Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ; Nhà Xuất Giáo dục Việt Nam, đồng thời câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Mơn Tốn; Đề thức; Lần thứ nhất; Mùa thi 2015; Trường THPT Quỳnh Lưu 1; Huyện Quỳnh Lưu; Tỉnh Nghệ An)  x x  y  y  x  x  x,   Giải hệ phương trình   x; y     x  y  x   y  x  1   (Câu 8; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Mơn Tốn; Đề thức; Lần thứ nhất; Mùa thi 2015; Trường THPT Triệu Sơn 5; Huyện Triệu Sơn; Tỉnh Thanh Hóa)  x  xy  y  y x  y   x  x  1 ,   Giải hệ phương trình   x; y     x  3 y    x  1  4 x   13 x  y    x   x  x  y  3   x   y  x   11  x  y  3,   Giải hệ phương trình   x; y     x  x  y   y  y    x   2 x  x  xy  y  10  y  12   x ,  Giải hệ phương trình   x; y    y  x   y  11     (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Tốn; Đề thức; Lần thứ hai; Mùa thi 2015; Trường THPT Dân lập Lương Thế Vinh; Thủ đô Hà Nội)  x   y    y  x   x  y  xy   ,  Giải hệ phương trình   x; y    2  x  y  xy   x  y  y  x ,  Giải hệ phương trình   x; y     y  x   x  y            CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 129 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _             4 y  x  xy  y  y  x  3, Giải hệ phương trình   x; y  2  y  x   x   y  x  y   x  y   x   x   y  4, Giải hệ phương trình   x; y     x  y   15 x   y   x  y   x  y   x  1, Giải hệ phương trình   x; y     x x   x  y    y   y   xy  y  xy   x  y  x  y  2,  Giải hệ phương trình  3 2y y   x; y     x  x  y    1 2x 1 2x   x  x  y   x  y  y y  1,  Giải hệ phương trình   x; y     y  15  x   x  y   y  x 2  y  y  x  x  1,  Giải hệ phương trình   x; y    1  12 x  y y     2    x   y x  y    x  y  3 y  1, Giải hệ phương trình   x; y    2 y  10 y  x  12  x  y   x  y  12 2 y  y   y   x  x  xy, Giải hệ phương trình   x; y     x   y  x   x  14 x   (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Mơn Tốn; Mùa thi 2016; Sở Giáo dục Đào tạo Tỉnh Bình Phước)  x  y  x  x  y   y  y , Giải hệ phương trình   x; y     x  y    x   y (Câu 7; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Mơn Tốn; Mùa thi 2015; Trường THPT Lê Quý Đôn; Quận Hải An; Thành phố Hải Phòng)  x  y  x  1  x  y  y , Giải hệ phương trình   x; y    x  x  20  171 y  40 y  y     (Câu 8; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Mơn Tốn; Lần thứ 3; Mùa thi 2016; Trường THPT Yên Thế; Huyện Yên Thế; Tỉnh Bắc Giang)  x   x  xy  y   y  y  1, Giải hệ phương trình   x; y    2  x x  xy   x  y  xy  x  (Câu 8; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Mơn Tốn; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Hùng Vương; Thị xã Đồng Xoài; Tỉnh Bình Phước)  y  x  y   x3  y  x  xy  y  1  1, Giải hệ phương trình   x; y     y  y  x  (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Mơn Tốn; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Bình Long; Thị xã Bình Long; Tỉnh Bình Phước) CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 130 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  x2  x  y   x  1, y  x  xy    x; y      2 x   y  x  1 x y   x 1  x   y 1  y  ,  x; y      x  y   x  1 y  1   2 xy  xy  y   y x  y 1 1 ,   x; y     2 2  x  y   y    y  x  1 y  x  xy  y   x  xy  y   x  xy  y ,  2 x  y  x  y    x  1  3,  x y2  x y  x; y      x  y x  y   x  y        x; y      x  1 y   x  y  1 y  x   y  y ,   x; y      y   2x  y   2x  y   4x   x  y    x  y ,   x; y     y    x   x   x    x  y    x  y    xy  3  y  x  2,   x; y      y   x  y   17  xy   x  y   18    x  y  x  y   7,  x; y      x   y    x3  x     y  y  3 ,  x; y      x  y  x  y    x3  y   x  y  xy   x   y ,  x; y     3 2 x  y  x  y  x  y     xy  x  y   xy   x  y  y ,   x; y      x  1 y  xy  x  x    x  y   x y   x ,  x; y      x  y            CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 131 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đồn Quỳnh – Dỗn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập tốn hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Tốn bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng toán điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ơn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài toán chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hồnh Phị; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 132 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải tốn Đại số Giải tích Huỳnh Nguyễn Ln Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 33 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương tồn quốc 34 Đề thi học sinh giỏi mơn toán khối đến khối 12 cấp 35 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 36 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 37 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 38 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 39 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 133 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP ... _  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình           x2   x y ... f  x; y   0, x, y   x  y   2x  y  y    Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  Giải hệ phương trình  x   x  y  1 y  x  y  0,  x; y   ... thuyết giải hệ phương trình chứa phần 1, 2, 3, tài liệu chủ yếu giới thiệu đến quý bạn đọc Lý thuyết giải hệ phương trình chứa phần cấp độ cao hơn, trình bày chi tiết thí dụ điển hình hệ giải nhờ sử