TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN TÍCH PHÂN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN BẬC KHƠNG NGUN LÊ CÔNG NHÀN AN GIANG, THÁNG 10 NĂM 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN TÍCH PHÂN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN BẬC KHƠNG NGUN LÊ CÔNG NHÀN AN GIANG, THÁNG 10 NĂM 2015 CHẤP NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG Đề tài nghiên cứu khoa học: "Sự tồn nghiệm lớp tốn biên tích phân cho phương trình vi phân phi tuyến bậc khơng nguyên", tác giả Lê Công Nhàn, công tác khoa Sư phạm, trường Đại học An Giang thực Tác giả báo cáo kết nghiên cứu Hội đồng khoa học Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày Thư ký (ký tên) Phản biện (ký tên) Phản biện (ký tên) Chủ tịch Hội đồng (ký tên) i LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin kính gửi đến Ts Lê Xuân Trường, lời cảm ơn sâu sắc ý kiến quý báu Thầy dành cho tơi suốt q trình thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Nghiên Cứu Khoa Học Hợp Tác Quốc tế, Phịng Hành Chính Tổng Hợp Phịng Kế hoạch tài vụ trường Đại học An Giang; Phòng Hành Chính Tổng Hợp trường Đại học Khoa học Tự Nhiên T.p Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn q thầy Bộ mơn Tốn, Khoa Sư Phạm, Trường Đại học An Giang giúp đỡ, trao đổi, thảo luận, đóng góp ý kiến tạo điều kiện thuận cho suốt trình thực đề tài Long Xuyên, ngày 19 tháng 10 năm 2015 Người thực Lê Công Nhàn ii TĨM TẮT KẾT QUẢ Đề tài nghiên cứu tính tồn nghiệm phương trình vi phân phi tuyến bậc không nguyên c Dq0+ u(t) = f t, u(t), c Dp0+ u(t) , t ∈ (0, 1) với điều kiện biên dạng tích phân    αu(0) + u (0) = β u(s)ds,   u(s)ds, u(1) + γu (1) = η trường hợp resonance, với < p ≤ < q < Bằng cách sử dụng bậc Coincidence Mawhin kết hợp với kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm đề tài thu kết điều kiện đủ cho tính tồn nghiệm tốn Điểm thú vị đề tài cách xây dựng toán tử chiếu P Q cách tổng quát cho hai trường hợp số chiều hạt nhân toán tử vi phân c Dq0+ dimKerL = dimKerL = Từ khóa: tính tồn nghiệm, phương trình vi phân phi tuyến bậc khơng ngun, điều kiện biên dạng tích phân, resonance, bậc Coincidence, đánh giá tiên nghiệm iii ABSTRACT This research concerns about the existence of the solutions of the following nonlinear fractional differential equation c Dq0+ u(t) = f t, u(t), c Dp0+ u(t) , t ∈ (0, 1) associated with the integral boundary conditions    αu(0) + u (0) = β u(s)ds,   u(s)ds, u(1) + γu (1) = η at resonance, where < p ≤ and < q < By using Mawhin’s Coincidence degree combining with prior estimate technique, the research obtains a sufficient conditions for the existence of at least one solution of the above problem The interested point of this research is the general way to construct the projectors P and Q for both cases dimKerL = and dimKerL = Keywords: existence, nonlinear fractional differential equation, integral boundary condition, resonance, Coincidence degree, prior estimate iv LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Những kết luận khoa học cơng trình nghiên cứu chưa công bố cơng trình khác Long Xun, ngày 19 tháng 10 năm 2015 Người thực Lê Công Nhàn v MỤC LỤC Chấp nhận hội đồng i Lời cảm ơn ii Tóm tắt kết iii Abstract iv Lời cam kết v Lời nói đầu viii Ký hiệu xi Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu 1.2 Giải tích hàm đại số tuyến tính 1.3 Phép tính vi tích phân bậc không nguyên 1.4 Lý thuyết bậc Tô pô 12 1.4.1 Giới thiệu 12 1.4.2 Bậc Brouwer 13 1.4.3 Bậc Leray-Schauder 16 1.4.4 Bậc Coincidence 20 Chương Bài toán biên dạng tích phân cho phương trình vi phân bậc khơng ngun 25 2.1 Giới thiệu 25 2.2 Dạng phương trình tốn tử toán 27 2.3 Tính chất Fredholm tốn tử L 28 2.4 Toán tử giả nghịch đảo KP toán tử L 32 2.5 Tính chất L-compact tốn tử N 34 2.6 Kết tính tồn nghiệm 36 Chương Kết luận 45 3.1 Kết đạt 45 vi 3.2 Hướng nghiên cứu 45 Tài liệu tham khảo 47 vii LỜI NĨI ĐẦU Nhiều tốn khoa học vật lý mô tả phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng thường dẫn đến phương trình tốn tử có dạng Lx = N x, (1) với L tốn tử tuyến tính N toán tử phi tuyến tác động không gian véc tơ tô pô X Z Trong trường hợp L khả đảo, toán gọi trường hợp non-resonance phương trình tương đương với x = L−1 N x Trong trường hợp này, tính tồn nghiệm tốn giải cách sử dụng định lý điểm bất động áp dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder Một số kết sử dụng phương pháp xem [11], [12] [29] Ngược lại, trường hợp L khơng khả đảo, tốn gọi trường hợp resonance nghiên cứu Lyapunov [18] nghiên cứu phương trình tích phân liên quan đến toán hệ động lực chất lỏng Schmidt [28] nghiên cứu lý thuyết phương trình tích phân phi tuyến Phương pháp hai tác giả sử dụng gọi phương pháp Lyapunov-Schmidt, với cách tiếp cận sau: cách xây dựng phép chiếu P : X → X Q : Z → Z cho ImP = KerL KerQ = ImL Khơng gian X Z biểu diễn lại sau X = KerL ⊕ KerP, Z = ImL ⊕ ImP, x ∈ X có biểu diễn x = x0 + x1 , với x0 = P x ∈ KerL x1 = (I − P )x ∈ KerP Vì phương trình (1) tương đương với Lx = (I − Q)N x, QN x = hay x − P x = L−1 (I − Q)N x, viii QN x = 0, (2) t1 , t2 ∈ [0, 1], t1 < t2 , ta có t1 I0q+ z(t2 ) − I0q+ z(t1 ) ≤ (t2 − s)q−1 − (t1 − s)q−1 |z(s)| ds t2 (t2 − s)q−1 |z(s)| ds + t1 t1 ≤ z (t2 − s)q−1 − (t1 − s)q−1 ds ∞ t2 (t2 − s)q−1 ds + t1 C ≤ (tq2 − tq1 ) q t1 q−1 I0q−1 + z(t2 ) − I0+ z(t1 ) ≤ (t2 − s)q−2 − (t1 − s)q−2 |z(s)| ds t2 (t2 − s)q−2 |z(s)| ds + t1 t1 ≤ z (t2 − s)q−2 − (t1 − s)q−2 ds ∞ t2 (t2 − s)q−2 ds + t1 C q−1 t2 − tq−1 ≤ q Mặt khác, {tq : t ∈ [0, 1]} {tq−1 : t ∈ [0, 1]} đồng liên tục nên ta suy điều cần chứng minh Bổ đề 2.5 Giả sử f : [0, 1]×R2 → R hàm liên tục Khi tốn tử N : X → Z xác định N u(t) = f t, u(t), c Dp0+ u(t) , với t ∈ [0, 1] L-compact X Chứng minh Trước hết, ta chứng minh QN : X → Z liên tục QN Ω bị chặn với Ω tập bị chặn X Thật vậy, tính liên tục hàm f , ta suy N : X → Z toán tử liên tục tốn tử QN : X → Z liên tục hợp toán tử liên tục Q N Lấy tập bị chặn Ω X đặt R = sup u Lại tính liên tục u∈Ω f , ta suy tồn số dương CR cho |N u(t)| = f t, u(t), c Dp0+ u(t) 35 ≤ CR với t ∈ [0, 1], u ∈ Ω Suy N (Ω) bị chặn Z Mặt khác, Q phép chiếu tuyến tính liên tục nên QN (Ω) bị chặn Z Tiếp theo, ta chứng minh KP (I − Q) N : Ω → X tốn tử compact liên tục Rõ ràng tính liên tục toán tử KP,Q N = KP (I − Q) N suy từ tính liên tục tốn tử N, Q KP Vì để kết thúc chứng minh ta cần chứng tỏ KP,Q N Ω tập compact tương đối X Với u ∈ Ω, ta có KP,Q N u(t) = t A+ φ ((I − Q) N u) + I0q+ (I − Q) N u(t) (KP,Q N u) (t) = A+ φ ((I − Q) N u) + I0q−1 + (I − Q) N u(t) Đặt z(t) = (I − Q) N u(t) z bị chặn Z, (I − Q) N Ω bị chặn Theo Bổ đề 2.4, ta I0q+ (I − Q) N u : u ∈ Ω I0q−1 + (I − Q) N u : u ∈ Ω đồng liên tục Suy KP,Q N u : u ∈ Ω (KP,Q N u) : u ∈ Ω đồng liên tục C[0, 1] Theo Định lý Arzela-Ascoli KP,Q N Ω tập compact tương đối X Bổ đề chứng minh xong 2.6 KẾT QUẢ VỀ TÍNH TỒN TẠI NGHIỆM Trong phần tác giả đưa điều kiện đủ cho tính tồn nghiệm toán (2.1)-(2.2) Trước hết, ta thiết lập giả thiết thơng thường tính bị chặn thành phần phi tuyến (A1 ) Tồn hàm không âm a, b ∈ Z thỏa a ∞ + b ∞ < 1/C cho |f (t, u, v)| ≤ a(t) |u| + b(t) |v| + c(t), (2.14) với t ∈ [0, 1] u, v ∈ R, C = + A+ ∗ D ∗ +2 1 + Γ(q) Γ(q + 1) PA ∗ ; (A2 ) Tồn số dương M1 cho với u ∈ dom(L) thỏa max u(i) (t) : i = 0, > M1 , với t ∈ [0, 1] φ(N u) ∈ / ImA; (A3 ) Tồn số dương M2 cho với ci ∈ R (i = 1, , m) thỏa 36 m |ci | > M2 i=1 m ci φ◦N ci x i , ωi < 0, (2.15) ci x i , ωi >0 (2.16) i=1 m ci φ◦N i=1 với i ∈ {1, , m} Với giả thiết (A1 ) − (A3 ), ta có bổ đề sau Bổ đề 2.6 Đặt Ω1 = {u ∈ dom(L)\KerL : Lu = λN u, λ ∈ (0, 1)} Khi Ω1 tập bị chặn Chứng minh Với u ∈ Ω1 , tồn λ ∈ (0, 1) cho Lu = λN u Suy N u ∈ ImL = KerQ hay m φ(N u), ωk zk (t) = 0, QN u(t) = ∀t ∈ [0, 1] k=1 Do {zk : k = 1, , m} hệ độc lập tuyến tính Z nên ta φ(N u), ωk = với k = 1, , m Suy φ(N u) ∈ ImA ∩ ImD φ(N u) ∈ ImA Theo giả thiết (A2 ) tồn t0 ∈ [0, 1] cho max u(k) (t0 ) : k = 0, ≤ M1 Mặt khác ta lại có u(t0 ) = u(0) + u (0)t0 + u (t0 ) = u (0) + Γ(q) Γ(q − 1) t0 (t0 − s)q−1 Lu(s)ds, t0 (t0 − s)q−2 Lu(s)ds Vì ta |u (0)| ≤ M1 + Lu Γ(q) ∞, Lu ∞ Γ(q + 1) 1 + Lu Γ(q) Γ(q + 1) |u(0)| ≤ M1 + |u (0)| + ≤ 2M1 + 37 ∞ Từ định nghĩa toán tử P , ta suy P u ≤ PA ∗ max {|u(0)| , |u (0)|} ≤ PA ∗ 2M1 + ≤ PA ∗ 2M1 + 1 + Γ(q) Γ(q + 1) 1 + Γ(q) Γ(q + 1) Lu ∞ Nu ∞ (2.17) Mặt khác, (I − P )u ∈ dom(L) ∩ KerP sử dụng Bổ đề 2.3 ta (I − P ) u = KP L (I − P ) u = KP Lu ≤ + A+ + ≤ 1+2 A ∗ D ∗ Lu ∗ D ∗ Nu ∞ ∞ (2.18) Từ (2.17)-(2.18) ta suy u ≤ P u + (I − P )u ≤ 4M1 PA C = + A+ ∗ D ∗ +2 Γ(q) + Γ(q+1) + C Nu ∗ ∞, (2.19) PA ∗ Mặt khác, từ định nghĩa toán tử N giả thiết (A1 ) ta suy Nu ∞ c Dp0+ u ≤ a ∞ · u ∞ + b ∞ · ≤ a ∞ · u ∞ + b ∞ · u ∞ u + c ∞ ≤( a ∞ + b Kết hợp (2.19)-(2.20) giả thiết a u ≤ ∞) ∞ + b ∞ ∞ + c + c ∞ ∞ (2.20) < 1/C, ta 4M1 PA ∗ + C c 1−C( a ∞+ b ∞ ∞) Vì Ω1 bị chặn X Bổ đề 2.7 Tập hợp Ω2 = {u ∈ KerL : N u ∈ ImL} tập bị chặn X Chứng minh Lấy u ∈ Ω2 u có dạng u(t) = c1 + c2 t, với (c1 , c2 ) ∈ KerA N u ∈ ImL Bằng lý luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.6 ta suy tồn t0 ∈ [0, 1] cho max {|u(t0 )| , |u (t0 )|} ≤ M1 Từ ta suy c1 c2 bị chặn R Vì bổ đề chứng minh 38 Bổ đề 2.8 Xét tập hợp Ω− = {u ∈ KerL : −λu + (1 − λ) JQN u = 0, λ ∈ [0, 1]} Ω+ = {u ∈ KerL : λu + (1 − λ) JQN u = 0, λ ∈ [0, 1]} , J : ImQ → KerL đẳng cấu tuyến tính xác định m J m ci zi = i=1 ci x i , i=1 {xi : i = 1, , m} sở KerL {zi : i = 1, , m} sở + ImQ Khi Ω− Ω3 tập hợp bị chặn X điều kiện (2.15) (2.16) tương ứng thỏa Chứng minh Giả sử (A3 )-(2.15) thỏa Khi với u ∈ Ω− u ∈ KerL nên m tồn ci ∈ R, i = 1, , m cho u = ci xi tồn λ ∈ [0, 1] cho i=1 m −λ m ci x i + (1 − λ) JQN ci x i i=1 = i=1 Suy m λJ −1 m ci x i = (1 − λ) QN ci x i i=1 i=1 Và ta có m λ m ci zi i=1 m = (1 − λ) φ◦N i=1 ci x i , ωi zi i=1 Do tính độc lập tuyến tính hệ {zi : i = 1, , m} ta suy m λci = (1 − λ) φ ◦ N ci x i , ωi i=1 với i ∈ {1, , m} Nếu λ = ci = với i ∈ {1, , m} Trong trường hợp rõ ràng Ω− bị chặn Nếu λ ∈ [0, 1) giả sử m i=1 39 |ci | > M2 theo giả thiết (A3 )-(2.15) ta suy điều mâu thuẩn m 0≤ λc2i = (1 − λ) ci φ◦N ci x i , ωi < 0, i=1 m với i ∈ {1, , m} Vì |ci | ≤ M2 Ω− bị chặn X Tương i=1 tự (A3 )-(2.16) thỏa, sử dụng lý luận tương tự ta chứng minh tập hợp Ω+ bị chặn X Vậy bổ đề chứng minh Định lý 2.1 Giả sử điều kiện (A1 ) − (A3 ) thỏa Khi tốn (2.1) -(2.2) có nghiệm X Chứng minh Chúng ta kiểm tra điều kiện Định lý 1.19 thỏa Lấy Ω tập mở, bị chặn X cho 3i=1 Ωi ⊂ Ω Rõ ràng L toán tử Fredholm số khơng Bổ đề 2.3 N tốn tử L-compact Ω Bổ đề 2.5 Hơn nữa, điều kiện (1) (2) Định lý 1.19 thỏa Bổ đề 2.6 Bổ đề 2.7 Vì ta cần kiểm tra điều kiện (3) Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính bất biến đồng luân Xét ánh xạ H : [0, 1] × X → X H (λ, u) = ±λu + (1 − λ) JQN u, J : ImQ → KerL định nghĩa Bổ đề 2.8 Theo Bổ đề 2.7 H (λ, u) = với (λ, u) ∈ [0, 1] × (KerL ∩ ∂Ω) Vì ta có deg (JQN ; Ω ∩ KerL, 0) = deg (H (0, ·) ; Ω ∩ KerL, 0) = deg (H (1, ·) ; Ω ∩ KerL, 0) = deg (±I; Ω ∩ KerL, 0) = ±1 = Vậy định lý chứng minh xong Để minh họa cho kết tính tồn nghiệm định lý trên, ta xét toán sau Ví dụ Ta xét phương trình vi phân cấp không nguyên c D02+ u(t) = f (t, u(t), u (t)) , 40 t ∈ (0, 1), (2.21) với điều kiện biên dạng tích phân    u(0) + u (0) =   u(1) − u (1) = u(s)ds, (2.22) 1 u(s)ds, f : [0, 1] × R × R → R xác định f (t, u, v) = (1 − t) g (t, u, v) , với g (t, u, v) = t 28 sin u + (1 28 (2.23) + t) |v| + t2 + Rõ ràng toán (2.21)-(2.22) trường hợp đặc biệt toán (2.1)(2.2) với q = 23 , p = 1, α = 23 , β = 1, γ = − 14 η = 12 Do để chứng tỏ toán (2.21)-(2.22) tồn nghiệm ta kiểm tra giả thiết chương Trước hết ta kiểm tra tính chất Fredholm với số khơng tốn tử đạo hàm Caputo Lu = c D02+ u liên kết với điều kiện biên (2.22) Thật vậy, trường hợp này, ma trận A trở thành A= 1 1 có KerA = ν1 = (1, −1) ImA = ν2 = (1, 1) Hơn nữa, ta có A+ = A Ma trận D D= 0 −1 14 có ImD = R2 Toán tử φ : Z → R2 xác định T φ(z) = D I02+ z(1) I02+ z(1) I02+ z(1) = I02+ z(1) I z(1) 0+ − I02+ z(1) + 14 I02+ z(1) Do ta có biểu diễn cho KerL ImL sau: KerL = {u(t) = c1 + c2 t : (c1 , c2 ) ∈ KerA} = {u(t) = c1 (1 − t) , c1 ∈ R} = x1 , 41 T với x1 (t) = − t, ImL = {z ∈ Z : φ(z) ∈ ImA} z∈Z: = G(1, s)z(s)ds = , G(1, t) = (1 2Γ(5/2) − t) + (1 Γ(3/2) − t) − (1 4Γ(1/2) − t)− Tốn tử L có tính chất Fredholm có số khơng dim (ImA + ImD) = dimImA + dimImD − dim (ImA ∩ ImD) = dimImD = dim R2 √ Dễ thấy ω1 = √ , − 22 sở trực chuẩn phần bù trực giao ImA ∩ ImD Imφ = ImD = R2 ξ1 = (a, b, c) nghiệm phương trình DC · ξ = ω1 Do đó, đặt z1 (t) = a + b (1 − t) + c (1 − t)2 φ(z1 ) = ω1 Ta có phép chiếu P : X → X Q : Z → Z xác định sau P u(t) = (u(0) − u (0)) x1 (t), √ Qz(t) = z1 (t) G(1, s)z(s)ds Toán tử giả nghịch đảo KP xác định KP z(t) = (1 + t) với G1 (1, t) = 4Γ(5/2) G1 (1, s)z(s)ds + Γ(3/2) (1 − t) − 2Γ(3/2) (1 − t) + 8Γ(1/2) t (t − s) z(s)ds, (1 − t)− Toán tử N : X → Z xác định N u(t) = f (t, u(t), u (t)) , với f xác định (2.23) Dễ thấy f hàm liên tục nên theo Bổ đề 2.5 N toán tử L-compact 42 Cuối cùng, ta kiểm ta f thỏa mãn điều kiện (A1 ) − (A3 ) Ta lấy chuẩn tổng R2 không gian ma trận cấp m × n Mm×n (R) chuẩn n A ∗ i=1,m + Ta tính A |aij | , với A = (aij ) ∈ Mm×n (R) = max j=1 = 1, D = 7/4 PA = Suy số 1 + PA Γ(q) Γ(q + 1) 1 = +2 + = + Γ(3/2) Γ(5/2) Γ(5/2) C = + A+ D ∗ ∗ +2 ∗ Ta có đánh giá t |u| + (1 + t) |v| + t2 + 1, 28 14 |f (t, u, v)| ≤ a(t) = t , 28 ( a b(t) = (1 14 + b ∞) C ∞ + t) c(t) = t2 + thỏa 1 + 28 14 = + Γ(5/2) < Vì giả thiết (A1 ) thỏa Ta ý φ (N u) ∈ ImA 1 G(1, s)N u(s)ds = ⇔ (1 − s) G(1, s)g (s, u(s), u (s)) ds = 0 Đặt 1 (1 − t) + (1 − t) − , 2Γ(5/2) Γ(3/2) 4Γ (1/2) G(1, t) = (1 − t) G(1, t) = với t ∈ [0, 1] G hàm tăng [0, 1] nên G(1, t) ≥ G(1, 0) > Hơn nữa, với |v| > 56 g (t, u, v) > với t ∈ [0, 1] Vì chọn M1 = 56 với |u (t)| > 56 ta có 1 (1 − s) G(1, s)g (s, u(s), u (s)) ds > 0 hay φ(N u) ∈ / ImA Vì giả thiết (A2 ) thỏa 43 Mặt khác, ta có φ ◦ N (cx1 ) , ω1 √ = G(1, s)g (s, c(1 − s), −c) ds Tương tự |c| > 56 g (s, c(1 − s), −c) > Do chọn M2 = 56, ta có • Nếu c > 56 G(1, s)g (s, c(1 − s), −c) ds > hay c φ ◦ N (cx1 ) , ω1 > c • Ngược lại, c < −56 G(1, s)g (s, c(1 − s), −c) ds < hay c φ ◦ N (cx1 ) , ω1 < c Suy giả thiết (A3 ) thỏa Như theo Định lý 2.1 tốn (2.21)(2.22) tồn nghiệm 44 CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Như vậy, đề tài trình bày kiến thức phép tính vi tích phân cấp khơng ngun bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo; kiến thức lý thuyết bậc tôpô bao gồm bậc Brower lớp ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều, bậc Leray-Schauder lớp ánh xạ compact liên tục bậc Coincidence lớp ánh xạ L-compact Kết đề tài trình bày chương 3, xét tính chất tồn nghiệm phương trình vi phân phi tuyến bậc khơng ngun c Dq0+ u(t) = f t, u(t), c Dp0+ u(t) , t ∈ (0, 1) với điều kiện biên dạng tích phân    αu(0) + u (0) = β u(s)ds,   u(s)ds, u(1) + γu (1) = η trường hợp resonance Bằng cách sử dụng phương pháp bậc tô pô (bậc Coincidence) kết hợp với kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm đề tài thu kết cho tính tồn nghiệm toán trên, Định lý 2.1 3.2 HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Ta mở rộng tốn theo hướng khái qt khơng gian sau Xét hệ phương trình c Dq0+ x(t) = f t, x(t), c Dp0+ x(t) , t ∈ (0, 1) với điều kiện biên tích phân Riemann-Stieltjes    Ax(0) + Bx (0) = C x(s)dg(s),   x(s)dh(s), Dx(1) + Ex (1) = F x : [0, 1] → Rn , A, B, C, D, E, F ma trận vuông cấp n Với tốn ta có hướng nghiên cứu như: 45 Nghiên cứu tính tồn nghiệm nghiệm dương toán Thay đổi điều kiện thành phần phi tuyến, chẳng hạn toán đề tài đưa điều kiện để thành phần phi tuyến N ánh xạ L-compact Tuy nhiên, có lý thuyết bậc cho lớp ánh xạ tổng quát ánh xạ cô đặc, ánh xạ k-set-contraction ánh xạ A-proper, ánh xạ A-proper tổng quát Như vậy, câu hỏi đặt với điều kiện thành phần phi tuyến ta áp dụng lý thuyết bậc cho ánh xạ A-proper? 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adomian, G & Adomian, G.E.(1985) Cellular systems and aging models Comput Math Appl 11, 283–291 [2] Agarwal, R.P Benchohra, M & Hamani, S (2010) A survey on existence results for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and inclusions Acta Appl Math 109, 973-1033 [3] Beezer, R (2008) A second course in linear algebra a second course in linear algebra [4] Ben-Israel, A & Thomas N.E Greville (2001) Generalized inverses: theory and applications [5] Brezis, H (2011) Functional analysis, sobolev spaces and partial differential equations Springer [6] Feng, W & Webb, J.R.L (1997) Solvability of three-point boundary value problems at resonance Nonlinear Anal 30, 3227–3238 [7] Gaines, R & Mawhin, J (1977) Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations, vol 568, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, Berlin [8] Gupta, C.P (1995) Solvability of multi-point boundary value problem at resonance Results Math 28, 270–276 [9] Gupta, C.P (1995) Existence theorems for a second-order m-point boundary value problem at resonance Int J Math Sci 18, 705–710 [10] Gupta, C.P (1997) A second-order m-point boundary value problems at resonance Nonlinear Anal 24, 1483–1489 [11] Il’in, V A & Moiseev, E I (1987) Nonlocal boundary value problem of the first kind for a Sturm-Liouville operator in its differential and finite difference aspects Differential Equations, 23(7), 803–810 [12] Il’in, V A & Moiseev, E I (1987) Nonlocal boundary value problem of the second kind for a Sturm-Liouville operator Differential Equations 23(8), 979–987 [13] Kilbas, A.A Srivastava, H.M & Trujillo, J.J (2006) Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, vol 204 Elsevier, Amsterdam [14] Lazer, A.C (1968) On Schauder’s fixed point theorem and forced second order nonlinear oscillations J Math Anal Appl 21, 421-425 47 [15] Lazer, A.C & Leach, D.E (1969) Bounded pertubations of forced harmonic oscillations at resonance Ann Mat Pura Appl 82, 49-68 [16] Leray, J & Schauder, J (1934) Topologie et equations fonctionelles Ann Sci Ecole Norm Sup 51, 45-78 [17] Liu, B & Yu, J (2002) Solvability of multi-point boundary value problem at resonance (III) Appl Math Comput 129, 119–143 [18] Lyapunov, A.M (1906, 1908, 1912, 1914) Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoides d’une masse liquide homogene dotee d’un mouvement de rotation, Zap Akad Nauk St Petersbourg [19] Mawhin, J (1969) Degré topologique et solutions périodiques des systèmes différentiels non linéaires Bull Soc Roy Sci Liège 38, 308-398 [20] Mawhin, J (1972) Equivalent theorems for nonlinear operator equations and coincidence degree theory for some mappings in locally convex topological vector spaces J Differential Equations 12, 610-636 [21] Milnor, J W (1997) Topology from the differentiable viewpoint Princeton Landmarks in Mathematics Princeton U Press, Princeton, NJ [22] Nicoud, F & Schfonfeld, T (2002) Integral boundary conditions for unsteady biomedical CFD applications Internat J Numer Methods Fluids 40, 457–465 [23] O’Regan, D Yeol Je Cho & Yu Qing Chen (2006) Topological degree theory and applications Series in Mathemmatical Analysis and Applications, 10, Chapman Hall [24] Podlubny, I (1999) Fractional differential equation Academic Press, New York [25] Rabinovitz, P.H (1967) Periodic solutions of nonlinear hyperbolic pratial differential equations Comm Pure Appl Math 20, 145-206 [26] Rudin, W (1987) Real and complex analysis McGraw-Hill Book company, New York, ISBN 0-07-100276-6 [27] Samko, S.G Kilbas, A.A & Marichev, O.I (1993) Fractional integral and derivatives, theory and applications, Gordon and Breach, New York [28] Schmidt, E (1908) Zur Theorie des linearen und nichtlinearen Intergralgleichungen und die Verzeigung ihrer Losungen, Math Ann 65, 370-399 [29] Zeidler, E (1986) Nonlinear functional analysis and its applications I, fixedpoint theorems Springer-Verlag, Berlin 48 [30] Zhang, X Feng, M & Ge, W (2009) Existence result of second-order differential equations with integral boundary conditions at resonance J Math Anal Appl 353, 311–319 49 ... GIANG KHOA SƯ PHẠM SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN TÍCH PHÂN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN BẬC KHƠNG NGUN LÊ CÔNG NHÀN AN GIANG, THÁNG 10 NĂM 2015 CHẤP NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG Đề tài... 47 vii LỜI NÓI ĐẦU Nhiều tốn khoa học vật lý mơ tả phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng thường dẫn đến phương trình tốn... chiều hạt nhân toán tử vi phân c Dq0+ dimKerL = dimKerL = Từ khóa: tính tồn nghiệm, phương trình vi phân phi tuyến bậc không nguyên, điều kiện biên dạng tích phân, resonance, bậc Coincidence,