3.2 Trong các bài toán có tham số về đường tròn, người ta thường cho một họ đường cong Cm mà các hệ số trong phương trình của nó chứa một tham số m và phần lớn các kết luận của loại toán[r]
(1)PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Các bài toán thiết lập phương trình đường tròn 1.1) Phương trình đường tròn có tâm điểm I(a ; b) và bán kính R có dạng: ( x a ) ( x b) R 2 2 * Phương trình x y 2ax 2by c , với điều kiện a b c , là phương trình đường tròn có tâm I(a ; b), bán kính R a b2 c 1.2) Đối với bài toán thiết lập phương trình đường tròn thì công việc chủ yếu là xác định tâm và bán kính đường tròn Trong công việc này điều quan trọng là phải nhớ số tính chất sau: * Đường tròn (C) qua điểm A thì tọa độ A thỏa mãn phương trình (C) * Đường tròn (C) qua hai điểm A, B thì tâm I nó phải nằm trên đường trung trực đoạn AB * Đường tròn (C) qua hai điểm A, B, C thì tâm I nó là giao điểm các đường trung trực các đoạn thẳng AB, BC, CA (thực chất cần tìm giao điểm hai ba đường trung trực các đoạn thẳng), còn bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến A (hoặc B, C); đây chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC * Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng thì bán kính R (C) khoảng cách từ tâm I đến * Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng điểm A thì tâm I (C) nằm trên đường thẳng vuông góc với A * Đường tròn (C) tiếp xúc với hai cạnh góc thì tâm I (C) nằm trên đường phân giác góc * Đường tròn (C) tiếp xúc với ba đường thẳng thì tâm I (C) là điểm cách ba đường thẳng (cũng là giao điểm của hai ba tia phân giác hai ba góc các đường thẳng giao tạo nên); đây chính là đường tròn nội tiếp tam giác ba đường thẳng giao tạo thành Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1; 3), B(5; 6), C(7; 0) ĐS: ( x 25 ) ( y )2 2 Bài 2: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết A(-1; 7), B(4; - 3), C(- 4; 1) ĐS: Pt phân giác góc A: x + = 0, pt phân giác góc B: x + y - = 2 PT đường tròn: ( x 1) ( y 2) Lop10.com (2) Bài 3: Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): 7x + 3y + = Nhận xét: Nếu gọi I là tâm đường tròn cần tìm thì I d, mặt khác IA = IB nên I thuộc đường trung trực đoạn AB Từ đó ta có lời giải sau Bài giải: Cách Gọi M là trung điểm AB thì M(2 ; ) Gọi là đường trung trực AB, đó qua M(2 ; M B A ), nhận AB (2; 1) làm véc tơ pháp tuyến có I (d): 7x + 3y + = dạng: 2( x 2) ( y ) x y Gọi I tà tâm đường tròn cần tìm, I = d , đó tọa độ tâm I là nghiệm hệ phương trình: x 4 x y I ( ; ) Lúc này R IA2 (1 ) (2 ) 50 2 2 7 x y y Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: ( x ) ( y ) 50 2 Cách 2 2 Gọi đường tròn (C) cần tìm có dạng: ( x a ) ( x b) R Theo giả thiết A, B thuộc (C), tâm (C) thuộc đường thẳng (d) nên ta có hệ phương trình: (1 a ) (2 b) R (1 a ) (2 b) R 2 2 2 (3 a ) (1 b) R (1 a ) (2 b) (3 a ) (1 b) 7 a 3b 7 a 3b a (1 a ) (2 b) R 4a 2b b 7 a 3b 50 R Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: ( x 50 ) ( y )2 2 Lop10.com (3) Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho (d): x - 7y + 10 = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (): 2x + y = và tiếp xúc với (d) A(4 ; 2) Nhận xét: Nếu gọi I là tâm đường tròn cần tìm thì I , mặt khác đường tròn tiếp xúc với (d) A nên IA vuông góc với (d) A Từ đó ta có lời giải sau Bài giải: Gọi đường tròn (C) cần tìm có tâm I, bán kính R Từ IA (d ) nên I thuộc đường thẳng d1 vuông góc với d: x - 7y + 10 = d1 có dạng: - 7x - y + m = A(4 ; 2) d1 nên - 7.4 - + m = m = 30 Vậy phương trình d1: - 7x - y + 30 = hay 7x + y - 30 = d1 d I Tọa độ điểm I là (C) nghiệm hệ phương trình: 2 x y x x y 30 y 12 : 2x + y = I d1 Lúc này R IA2 (4 6) (2 12) 200 d: x - 7y + 10 = A(4;2) 2 Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: ( x 6) ( y 12) 200 Bài 5: Lập phương trình đường tròn qua điểm A(4 ; 2) và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1): x - 3y - 2= và (d2): x - 3y + 18 = 2 Bài giải: Gọi phương trình đường tròn (C) là: ( x a ) ( y b) R 2 Khi đó vì A (C) nên ta có (4 a ) (2 b) R (1) Vì (d1) tiếp xúc với (C) nên ta có a 3b R (2)Vì (d2) tiếp xúc với (C) nên ta có (3) a 3b 18 (3) R (2) Từ (2) và (3) suy a 3b a 3b 18 a 3b a 3b 18 a 3b 8 (4) a 3b (a 3b 18) Thay (4) vào (2) ta có R 10 Từ (4) suy a = 3b - 8, thay vào (1) ta có Lop10.com (4) (4 3b 8) (2 b) 10 (12 3b) (2 b) 10 10b 76b 148 b a 5b 38b 69 23 29 b a 5 Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: ( x 1) ( x 3) 10 và ( x 29 ) ( x 23 ) 10 5 Bài 6: Lập phương trình đường tròn có tâm trên đường thẳng x = và tiếp xúc với đường thẳng (d1): 3x - y + = và (d2): x - 3y + = Bài giải:Gọi I(5 ; y0) là tâm đường tròn và R là bán kính đường tròn (C) cần tìm Khoảng cách từ I đến đường thẳng (d1) là: R 15 y0 , còn khoảng cách từ I đến đường 10 thẳng (d2) là: R y0 10 Từ đó ta có phương trình 18 y0 14 y0 y 18 y0 14 y0 18 y0 14 y0 y0 2 R 40 y0 R 10 (d2) x=5 -1 Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu (d1) O x -2 I cầu đầu bài là: (C1): ( x 5) ( y 2) 40 và (C2): ( x 5) ( y 8) 10 Bài 7: 2 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): x y 12 x y 36 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với (C) Nhận xét: Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R muốn tiếp xúc với hai trục tọa độ thì tâm I phải cách hai trục tọa độ và thỏa mãn a b R Từ đó ta có lời giải sau Lop10.com (5) y Bài giải: Viết lại đường tròn (C): (C 1) ( x 6) ( y 2) Vậy (C) là đường tròn tâm I(6 ; 2) và bán I1 O kính R = Gọi đường tròn cần tìm có tâm I1(a ; b) và bán kính R1: -6 ( x a ) ( x b) R12 (C) I x I3 (C 3) Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên ta có: a b R1 Xảy hai trường hợp Trường hợp 1: a = b, R1 a Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc ngoài với (C) nên ta có: II1 R R1 (a 6) (a 2) a 2a 16a 40 a a a 16a 36 a (1) a a 18 * Nếu a > thì (1) a 20a 36 Trường hợp này có hai đường tròn là: 2 2 (C1): ( x 2) ( y 2) và (C2): ( x 18) ( y 18) 324 * Nếu a < thì (1) a 12a 36 a Kết hợp điều kiện a > thì không có giá trị nào a thỏa mãn Trường hợp 2: a = - b, R1 a Lúc này làm tương tự trên ta có II1 R R1 (a 6) ( a 2) a 2a 8a 40 a a a 8a 36 a (2) Giải phương trình (2) ta tìm a = Vậy đường tròn thứ ba phải tìm là: 2 (C3): ( x 6) ( y 6) 36 Bài 8: Cho tam giác ABC có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng AB: x - = BC: 3x - 4y + 36 = Lop10.com (6) AC: 4x + 3y + 23 = Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC Nhận xét: Xuất phát từ nhận định tâm J đường tròn nội tiếp phải là giao điểm các phân giác các góc tam giác, ta viết phương trình hai đường phân giác và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm Bài giải: * Cách Đỉnh A là giao hai đường thẳng AB, AC nên tọa độ A là nghiệm hệ: x x A(4; 13) 4 x y 23 y 13 Đỉnh B là giao hai đường thẳng AB, BC nên tọa độ B là nghiệm hệ: x x B (4;12) 3 x y 36 y 12 Đỉnh C là giao hai đường thẳng AC, BC nên tọa độ C là nghiệm hệ: 4 x y 23 x 8 C (8;3) x y 36 y Phương tình các đường phân giác góc B, hai đường thẳng x - = và 3x - 4y + 36 = tạo thành là x x y 36 5( x 4) x y 36 x x y 36 5( x 4) (3 x y 36) Để 32 (4) tìm x y 28 (d1 ) x y (d ) phương trình đường phân giác góc B, ta làm sau: Thế tọa độ A(4 ; -13) vào phương trình đường (d2) ta có: + 13 + > tọa độ C(-8 ; 3) vào phương trình đường (d2) ta có: - 16 - + < Chứng tỏ hai đỉnh A, C nằm hai phía (d2) Vậy (d2): 2x - y + = là đường phân giác góc B Bằng cách tương tự, ta tìm đường phân giác góc C là: (d3): 3x + y + = Vậy tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm (d1) và (d3) nên tọa độ J là nghiệm hệ: 2 x y x 1 J (1;2) x y y Ta lại có bán kính r = d(J; AB) = x4 =5 Lop10.com (7) Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25 * Cách Gọi D là chân đường phân giác A góc A trên cạnh BC Theo tính chất đường phân giác ta có (4 4) (13 12) Do DB AB DC AC (4 8) (13 3) J DB, DC ngược hướng nên ta có B DB DC C D (8) xD 5 1 Điểm D chia đoạn BC theo tỉ số k = Vậy D( ;7) 12 y 7 D 1 Ta lại có BD (4 ) (12 7) BD 25 3 Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, đó J là chân đường phân giác góc B trên AD, tương tự trên ta có J là điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số k' = 25 3 25 3.( ) 1 Vậy xJ J (1;2) 1 13 3.7 2 yD 1 Ta tìm bán kính r = Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25 Dạng 2: Các bài toán vị trí tương đối các đường thẳng, các đường tròn Trong mục này ta bàn đến vị trí tương đối các đường thẳng với đường tròn, các đường tròn với Ta nhắc lại số kết chính 2.1) Vị trí tương đối các đường thẳng và đường tròn Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = (A2 + B2 0) 2 và đường tròn (C): ( x a ) ( x b) R tâm I(a ; b), bán kính R Lop10.com (8) Ax+By +C Giả sử khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) là h = A2 B2 Khi đó * Nếu h > R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) không cắt * Nếu h = R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) tiếp xúc * Nếu h < R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) cắt hai điểm phân biệt 2.2) Vị trí tương đối hai đường tròn 2 Cho hai đường tròn (C1): ( x a1 ) ( x b1 ) R1 với tâm I(a1 ; b1) và bán kính R1 2 (C2): ( x a2 ) ( x b2 ) R2 với tâm I(a2 ; b2) và bán kính R2 Khi đó I1 I (a1 a2 ) (b1 b2 ) * Nếu I1I2 > R1 + R2: hai đường tròn ngoài * Nếu I1I2 = R1 + R2: hai đường tròn tiếp xúc ngoài * Nếu R1 R2 < I1I2 < R1 + R2: hai đường tròn cắt hai điểm * Nếu I1I2 = R1 R2 : hai đường tròn tiếp xúc * Nếu I1I2 < R1 R2 : hai đường tròn đựng 2.3) Các bài toán tiếp tuyến với đường tròn thường có ba dạng chủ yếu: * Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn điểm cho trước nằm trên đường tròn * Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn xuất phát từ điểm nằm ngoài đường tròn thỏa mãn điều kiện nào đó * Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn 2.4) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d): x - y + = và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = (1) Tìm điểm M thuộc (d) cho qua M vẽ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) A và B cho A AMB 600 Nhận xét: Giả sử đã tìm M thuộc (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó theo tính chất đường tiếp tuyến ta có MI là phân giác góc A AMB , từ đó ta tính MI và vì tọa độ M hoàn toàn xác định Bài giải: Lop10.com (9) 2 Ta có (1) ( x 1) ( y 2) A Vậy (C) là đường tròn tâm I(-1 ; 2) và bán kính Từ AAMB 600 AAMI 300 MI IA đó MI = 2R = Gọi tọa độ M(x0; y0), theo R= I 30 M (d) bài ta có hệ phương trình x0 y0 y0 x0 2 ( x0 1) ( y0 2) 20 x0 x0 3; y0 x0 3; y0 2 Vậy trên (d) có hai điểm M cần tìm là M1(3 ; 4) M2(-3 ; -2) B Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = và điểm A( 11 ; ) Viết 2 phương trình đường thẳng qua A và cắt (C) theo dây cung có độ dài 10 Bài giải: y 2 Viết lại (C): ( x 3) ( y 2) Vậy (C) là đường tròn tâm I(3 ; 2) và bán kính R = Gọi đường thẳng (d) qua 11 A( ; ) có dạng 2 11 a ( x ) b( y ) (a b 0) 2 11a 9b ax + by =0 2 9/2 (d2) N M H A 8/3 I O Giả sử (d) cắt (C) hai điểm M, N cho MN = (d1) 11/2 10 Kẻ IH vuông góc với (d) H MH MN d ( I ;(d )) IH R MH 3a 2b 11a 9b 2 a b Theo bài ta có phương trình 5 5 a b (a b ) 5(a b) 2(a b ) 2 2 a 3b 3a 10ab 3b b a 2 Lop10.com x (10) Với a = - 3b chọn a = 3, b = -1, đó phương trình cần tìm là (d1): 3x - y - 12 = Với a b chọn a = 1, b = -3, đó phương trình cần tìm là (d2): x - 3y + = Vậy có hai phương trình đường thẳng phải tìm là (d1) và (d2) Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: (C1): x2 + y2 - 4x - 2y + = C2): x2 + y2 + 4x + 2y - = 2 Bài giải: Viết lại (C1): ( x 2) ( y 1) Vậy (C1) có tâm I1(2 ; 1) và bán kính R1 = 2 Viết lại (C2): ( x 2) ( y 1) Vậy (C2) có tâm I2(-2 ; -1) và bán kính R2 = Gọi phương trình tổng quát đường thẳng là Ax + By + C = với A2 + B2 Để tiếp xúc với (C1), ta phải có d ( I1 ; ) R1 A B C A2 B (1) Để tiếp xúc với (C2), ta phải có d ( I ; ) R 2 A B C 2 A2 B Từ (1) và (2) ta suy A B C 2 A B C Ta xét hai trường hợp: i) 3(2A + B + C) = - 2A - B + C C = - 4A - 2B, giá trị C vào (1) ta A A B A B A AB A(3 A B ) 4B A 2 Với A = 0, chọn B = đó C = - phương trình () là: y - = Với A = 4B , chọn A = 4, B = - đó C = - 10 () là: 4x - 3y - 10 = ii) 3(2A + B + C) = 2A + B - C C = -A - A B , giá trị C vào (1) ta B 3 B A2 B B AB B ( B A) B A 4 Với B = 0, chọn A = đó C = - phương trình () là: x - = Với B = A, chọn A = 3, B = đó C = - () là: 3x + 4y - = Vậy có tiếp tuyến chung là: x - = 0, y - = 0, 4x - 3y - 10 = 0, 3x + 4y - = Nhận xét: Lop10.com (2) (11) * Khi lập các tiếp tuyến chung hai đường tròn, ta thấy hai đường tròn tiếp xúc thì tiếp tuyến chính là đường thẳng qua tiếp điểm và vuông góc với đường thẳng nối hai tâm đường tròn (d1) I1 I2 J I (d2) * Cho hai đường tròn (C1), (C2) không cắt nhau, gọi (d1), (d2) là các tiếp tuyến chung ngoài và (d1) (d2)= I Khi đó I nằm trên đường nối hai tâm hai đường tròn Tương tự J là giao điểm hai tiếp tiếp tuyến bên thì J nằm trên đường nối hai tâm hai đường tròn Ví dụ 4: Cho đtròn (C): x 12 y 2 và (C'): x 2 y 2 Tiếp tuyến chung ngoài và cắt đường nối tâm hai đường tròn A và B Viết phương trình đường tròn đường kính AB Bài giải: (C) có tâm I(-1; 2), R = (C’) có tâm I’(7;-6), R’ = B Ta có A và B là điểm I I' A chia II’ theo tỉ số R R và - 3 R' R' nên có tọa độ là A(11; - 10), B(5; - 4) Phương trình đường tròn đường kính AB là: 2 x2 + y2 – 16x + 14y + 95 = ( x 8) ( y 7) 18 Dạng 3: Phương trình chùm đường tròn và họ đường tròn phụ thuộc tham số Trước hết ta đưa số khái niệm sử dụng sau 3.1) Chùm đường tròn * Định nghĩa: Cho hai điểm A(x1; y1), B(x2; y2), tập hợp các đường tròn qua hai điểm A, B gọi là chùm đường tròn * Phương trình chùm đường tròn: Lop10.com (12) Dạng 1: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (a2 + b2 - c > 0) và đường thẳng (): Ax + By + C =0, giả sử () cắt (C) Khi đó: ( x2 + y2 - 2ax - 2by + c) + ( Ax + By + C) = với là phương trình chùm đường tròn qua giao điểm () và (C) Dạng 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (a2 + b2 - c > 0) và đường tròn (C'): x2 + y2 - 2a'x - 2b'y + c' = (a'2 + b'2 - c' > 0), giả sử (C) và (C') cắt Khi đó: ( x2 + y2 - 2ax - 2by + c) + ( x2 + y2 - 2a'x - 2b'y + c' ) = với là phương trình chùm đường tròn qua giao điểm (C) và (C') 3.2) Trong các bài toán có tham số đường tròn, người ta thường cho họ đường cong (Cm) mà các hệ số phương trình nó chứa tham số m và phần lớn các kết luận loại toán này qui số dạng sau: * Xác định giá trị tham số m để các đường cong họ (Cm) thỏa mãn số yêu cầu nào đó, chẳng hạn để (Cm) là các đường trong, vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn, hai đường tròn,… * Tìm các điểm cố định mà họ đường cong qua * Loại toán tìm quỹ tích điểm nào đó tham số m thay đổi * Chứng minh họ đường tròn luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định 3.3) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn qua A(1; -2) và các giao điểm đường thẳng (d): x - 7y + 10 = và đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = Bài giải: Đường tròn cần tìm thuộc vào chùm đường tròn sau: ( x2 + y2 - 2x + 4y - 20 ) + ( x - 7y + 10 ) = với 2 Rõ ràng vì = x - 7y + 10 = và nó không phải là phương trình đường tròn Khi 0, có thể cho = 1, chùm có dạng x2 + y2 - 2x + 4y - 20 + ( x - 7y + 10 ) = (1) Nó qua điểm A(1 ; - 2) + - - + ( + 14 + 10) = 25 25 Thay = vào (1) ta x2 + y2 - 2x + 4y - 20 + x - 7y + 10 = x2 + y2 - x - 3y - 10 = 50 ( x )2 ( y )2 (2) 2 Vậy (2) là phương trình đường tròn, đó là phương trình đường tròn cần tìm Lop10.com 1 (13) Chú ý: * Vì đây kết cuối cùng cho dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = vì sau giải xong ta cần xem có thỏa mãn điều kiện a2 + b2 - c > hay không để định xem đó có phải là phương trình đường tròn hay không * Khi dùng phương trình chùm đường tròn, nên khử bớt tham số việc tính toán đơn giản Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn qua các giao điểm hai đường tròn (C): x2 + y2 - 10x = và (C'): x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = đồng thời có tâm nằm trên đường thẳng (d): x + 6y + = Bài giải: Đường tròn cần tìm thuộc vào chùm đường tròn sau: ( x2 + y2 - 10x) + ( x2 + y2 + 4x - 2y - 20) = (1) với 2 Rõ ràng vì = x2 + y2 - 10x = và nó không phải là phương trình đường tròn cần tìm vì tâm I(5 ; 0) không thuộc (d) Khi từ (1) có thể cho = Vậy (1) ( x2 + y2 - 10x) + x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = (2) ( 1) x ( 1) y 2(5 2) x y 20 5 20 x y x y 0 1 1 1 5 2 5 2 20 (x ) (y ) ( ) ( ) (3) 1 1 1 1 1 (Rõ dàng ta xét vì thì (2) không biểu diễn đường tròn mà ta thì tìm đường tròn) Ta cần điểm ( 5 5 ; ) (d ) 2 1 1 1 1 2 Thay = - vào (3) ta ( x 12) ( y 1) 125 (4) Vậy (4) là phương trình đường tròn cần tìm Nhận xét: Ở hai ví dụ trên không yêu cầu tìm tọa độ các giao điểm, ta đã sử dụng phương trình chùm đường tròn để tránh việc giải hệ phương trình Ví dụ 3: Cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + - m = với m là tham số a) Xác định các giá trị tham số m để (Cm) là đường tròn Lop10.com (14) b) Tìm tập hợp tâm I các đường tròn (Cm) m thay đổi Bài giải: a) x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + - m = (x - m)2 + (y - 2m + 4)2 = 5(m2 -3m + 2) (Cm) là phương trình đường tròn 5(m 3m 2) m < m > b) Ta có tâm I đường tròn (Cm) là I(xI ; yI) với xI m m xI (xI 1; xI 2) xI 1; xI yI 2(m 2) yI 2( xI 2) xI y I Vậy quỹ tích tâm I đường tròn (Cm) nằm trên đường thẳng 2x - y - = với hoành độ x (;1) (2; ) Ví dụ 4: Chứng minh họ đường tròn (Cm): x2 + y2 - 2mx + 4my + 5m2 - = luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định Bài giải: (Cm): x2 + y2 - 2mx + 4my + 5m2 - (x - m)2 + (y + 2m)2 = Vậy họ đường tròn (Cm) có tâm I(m ; -2m), bán kính R = Vì R không đổi và tâm I chạy trên đường thẳng y = - 2x nên (Cm) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định song song và cách đường thẳng y = - 2x đoạn R = Đó là các đường y = - 2x + và y = - 2x - Sau đây ta xét thêm hai ví dụ làm sở để xét tiếp đến các ứng dụng đường tròn việc giải các bài toán đại số Ví dụ 5: Cho đường tròn (x – 2)2 + (y – 3)2 = Tìm điểm M thuộc (C) cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biết A(4; - 1) Bài giải: Lop10.com (15) Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3), bán kính R = Ta có M1 điểm A(4; - 1) nằm ngoài đường tròn (C) vì IA = (4 2) (1 3) R Khi đó phương trình đường thẳng AI qua I có véc tơ phương u IA (1; 2) có dạng I x t y 2t M (1;5) : M A AI (C ) M , M M (3;1) : M A min MA M (3;1) maxMA M (1;5) M2 A Ví dụ 6: Cho (C): (x – 2)2 + (y - 3)2 = và đt (): x – y – = Tìm tọa độ điểm M thuộc đtròn (C) cho khoảng cách từ M đến () đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ * Phương pháp xây dựng bài tập: Xét đường tròn (C) tâm I và đthẳng () không cắt (C) Từ I kẻ IN0 thì đường này cắt (C) M0 và M ( điểm M0 gần đt hơn) M0N0 = M I d(I,) – R Nhận xét M0N0 là GTNN đoạn M0 nối điểm thuộc (C) và điểm thuộc N0 Vì ta luôn có đẳng thức MN ≥ M0N0 ( với M thuộc (C), N thuộc ) Dấu xảy M trùng M0, N trùng N0 Bài giải: Đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bk R = Gọi (d) qua I và vuông góc (), (d) có phương x t Giả sử (d) cắt (C) M1, M2 Thay tọa độ x, y vào (C) ta t = - 1; y t trình: t = Với t = ta có M1(3 ; 2) d1 d ( M , ) Lop10.com 2 (16) Với t = -1 ta có M2(1 ; 4) d d ( M , ) 2 Khi đó với M thuộc (C) ta có mind(M, ) = min(d1, d2) = maxd(M, ) = max(d1, d2) = M M1 M M2 PHẦN II: CÁC ỨNG DỤNG Khi đã nắm vững các dạng toán đường tròn, chúng ta tiếp tục xét bài toán vận dụng các tính chất đường tròn vào việc giải các bài toán các bài hình học và các bài toán đại số, ta thấy đa dạng các bài tập, phong phú các lời giải Tất nhiên các ví dụ sau, ví dụ còn có nhiều cách giải khác, đây ta xét đến các cách giải vận dụng đến các kiến thức đường tròn Ví dụ 1: a b c d Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn: Chứng minh rằng: ac bd cd 96 Bài giải: y Gọi M(a ; b), N(c ; d) Vì a2 + b2 = nên điểm M nằn trên đường tròn x2 + y2 N(c;d) = và c + d = nên điểm M nằm trên đường thẳng (d): x + y - = N0 Ta có MN2 = (c - a)2 + (d - b)2 M0 = a2 + b2 + c2 + d2 - 2ac - 2bd = a2 + b2 + (c + d)2 - 2cd - 2ac - 2bd O = 10 - 2(ac + bd + cd) y=x (d): x+y-3=0 x M(a;b) MN Suy ra: ac + bd + cd = Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt (C) M0, cắt đường thẳng (d) N0 Ta có d(O; (d)) = 3 , M N0 2 Lop10.com (17) (M N0 )2 Ta luôn có MN M N MN ( M N ) ac bd cd 2 Do M0 ( 2 3 11 11 ; ), N ( ; ) nên (M N ) ac bd cd 2 2 4 a b M M 96 2 Vậy ac bd cd ĐT xảy N N0 c d Ví dụ 2: Cho bất phương trình: ( x 4)(6 x) x x m Tìm m cho bất phương trình nghiệm đúng x [-4;6] Bài giải: Đặt y y ( x 4)(6 x) 2 ( x 1) y 25 Do đó y = ( x 4)(6 x) gồm điểm nằm trên đường tròn (C) phía trên trục hoành, đường tròn (C) có tâm (1; 0) và bán kính R = Parabol (P): y = x2 – 2x + m có đỉnh I(1; m – 1) có bề lõm quay lên trên Để bpt nghiệm đúng x [-4;6] (P) nằm phía trên đường tròn (C) Do đó yêu cầu bài toán m – ≥ m ≥ Ví dụ 3: Lop10.com (18) m x( y 1) x y (1) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: Bài giải: x y (1) m x( y 1) x y m x( y 1) ( x y 2) (2) x y 2 ( x 1) ( y 2) m (3) * Nếu m + < m < - thì y phương trình (3) vô nghiệm, đó (d):-x+y+2=0 phương trình (1) vô nghiệm * Nếu m = - thì (3) ( x 1) ( y 2) O x y 2 -2 I x Nghiệm này không thỏa mãn bất phương trình (2), đó phương trình (1) vô nghiệm * Nếu m > - Gọi (d) là đường thẳng có phương trình - x + y + = Nghiệm (2) là tọa độ các điểm thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể bờ) giới hạn đường thẳng (d) Ta có (3) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(1 ; - 2) và bán kính R m Điểm I(1 ; -2) không thuộc miền nghiệm (2) Vậy hệ (2), (3) có nghiệm R d ( I ,(d )) m 1 (1) 12 Vậy phương trình (1) có nghiệm m m 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số f ( x) x x x x , xét trên miền 2 x Bài giải: Lop10.com 1 m 1 m 2 (19) Gọi là giá trị tùy ý hàm số f(x) miền 2 x , tức là hệ phương trình sau có nghiệm x x x x 2 x Đặt y y x2 2 x y Dễ thấy hệ phương trình trên y có nghiệm và hệ sau có nghiệm: 2 x y xy (1) 2 (2) (I) x y y (3) -2 Ta có ( x y)2 x y O 2 x x+y=2 x + y = -2 ( x y ) 2( x y ) 2 0; ' = + 2 - x y 1 2 x y 1 2 (II) x y (III) Do đó hệ ( I ) x y y y Hệ (II) có nghiệm đường thẳng x + y = - + 2 nằm hai đường thẳng x + y = 2 và x + y = - 2, tức là và 2 1 2 1 2 2 2 Do đó hệ (II) có nghiệm 2 Tương tự hệ (III) có nghiệm và 2 1 2 2 2 2 Lop10.com (20) Ta có hệ (I) có nghiệm và hai hệ (II), (III) có nghiệm tức là và 5 2 Vậy max f ( x) 2 và f ( x) 2 x 2 x 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số f(x; y) = 4x + 3y, với x, y thỏa mãn: x2 + y2 + 16 = 8x + 6y Bài giải: Ta có x2 + y2 + 16 = 8x + 6y y (x - 4)2 + (y - 3)3 = (1) M2 (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(4 ; 3) và bán kính R = 3 Khi (x ; y) thỏa mãn (1) ta có: I f(x; y) = 4x + 3y = x y 16 ( x2 y ) 2 O M1 x (2) Xét điểm M(x ; y) thỏa mãn (1) Nối OI cắt đường tròn (C) M1, M2 Khi đó ta có với M( x ; y) thuộc (C) thì OM2 = x2 + y2 Từ đó dễ thấy OM OM OI M I1 M ( x ; y )( C ) m axOM OM OI IM M ( x ; y )( C ) Do đó từ (2) suy max f(x;y) 40 và f(x;y) 10 M(x;y)(C) M(x;y)(C) Ví dụ 6: x y (1) Cho hệ: Xác định m để hệ có nghiệm x y m (2) Bài giải: (1) là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 1, (2) là phương trình đường thẳng (): x – y – m = Hệ có nghiệm (d) tiếp xúc với (C) d(O, () ) = R m = Vậy để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì m = Ví dụ 7: Lop10.com (21)