ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 604 601 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành vào tháng 03/2016 hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, học quý giá từ trang giấy học sống thầy dạy giúp tự tin trưởng thành nhiều Tôi xin cảm ơn Phòng Sau đại học - Đại học sư phạm Thái ngun tạo điều kiện để tơi hồn thành sớm khóa học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tất thầy cô Đại học Thái Nguyên thầy Viện toán với giảng đầy nhiệt thành tâm huyết, xin cảm ơn thầy cô quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập, tạo điều kiện cho tham gia buổi xemina lớp học ngồi chương trình Tơi xin cảm ơn tất anh em bạn bè nghiên cứu sinh động viên giúp đỡ tơi nhiệt tình q trình học làm luận văn Tôi xin gửi cảm ơn tới tất thành viên gia đình tạo điều kiện cho tơi học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chiều Krull vành môđun 1.2 Hệ tham số bội 1.3 Đồng điều Koszul đối đồng điều địa phương 1.4 Môđun Cohen-Macaulay 10 Môđun Cohen-Macaulay dãy 13 2.1 Lọc chiều hệ tham số tốt 13 2.2 Tính chất mơđun Cohen-Macaulay dãy 22 2.3 Đặc trưng tham số 29 Kết luận 40 iii Tài liệu tham khảo iv 41 Lời nói đầu Luận văn trình bày mơđun Cohen-Macaulay dãy sử dụng tài liệu tham khảo báo [5]: N T Cường and D T Cuong (2007), "On Sequentialy Cohen-Macaulay Modules", Kodal Math J., 30, 409-428 Nội dung luận văn bao gồm: Định nghĩa tính chất lọc chiều, hệ tham số tốt; định nghĩa tính chất mơđun Cohen-Macaulay dãy, đặc trưng lớp môđun với đầy đủ chứng minh Khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy giới thiệu Stanley [11] cho vành phân bậc Tương tự, tác giả hai báo [6] [9] định nghĩa Môđun Cohen-Macaulay dãy vành địa phương Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương R với dim M = d Môđun M gọi môđun Cohen-Macaulay dãy tồn lọc môđun M D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M cho môđun Di /Di−1 Cohen-Macaulay < dim D1 /D0 < dim D2 /D1 < < dim Dt /Dt−1 = d Khi lọc D gọi lọc Cohen-Macaulay Lọc xác định trùng với lọc chiều M ([6], Bổ đề 4.4 (ii)) Lọc chiều M định nghĩa sau: Một lọc D M gọi lọc chiều thỏa mãn hai tính chất: D0 = Hm0 (M ) (đối đồng điều địa phương thứ M ứng với giá iđêan cực đại m) Di−1 môđun lớn Di thỏa mãn dim Di−1 < dim Di với i = t, t − 1, , ([5], Định nghĩa 2.1) Nếu t = 1, M mơđun Cohen-Macaulay dãy R (D0 ) < ∞ D1 /D0 Cohen-Macaulay Theo lý thuyết bội trường hợp M Cohen-Macaulay dãy tồn hệ tham số tốt x = (x1 , , xd ) M cho (M/xM ) = R (D0 )+e(x; D1 ) Trong hệ tham số tốt x = (x1 , , xd ) M định nghĩa hệ tham số tốt ứng với lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M M , tức Di ∩ (xdi +1 , , xd )M = 0, với i = 0, 1, , t − ([5], Định nghĩa 2.2) Ta biết với môđun N hữu hạn sinh vành Noether địa phương, y hệ tham số N N CohenMacaulay (N/yN ) = e(y; N ) ([3], Định lý 4.7.10) Đối với môđun Cohen-Macaulay dãy [4] M môđun Cohen-Macaulay dãy (M/xM ) = t i=0 e(x1 , , xdi ; Di ) Câu hỏi đặt khẳng định sau có khơng 1) M môđun Cohen-Macaulay dãy với hệ tham số tốt x = (x1 , , xd ) M (M/xM ) = t i=0 e(x1 , , xdi ; Di ) với i = 0, , t, với d = dim M di = dim(Di ) 2) M môđun Cohen-Macaulay dãy với hệ tham số tốt x = (x1 , , xd ) M (M/xM ) = t i=0 e(x1 , , xdi ; Di ) với i = 0, , t, với d = dim M di = dim(Di ) Bài báo [5] chứng minh khẳng định thứ (xem Định lý 2.3.2), khẳng định thứ hai nói chung khơng (xem Ví dụ 2.3.7) Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Chương nhắc lại số kiến thức dùng chương tiếp theo: Chiều Krull vành môđun, hệ tham số bội, phức Koszul đồng điều Koszul, môđun Cohen-Macaulay Chương 2: Chương gồm ba phần Phần nói lọc chiều hệ tham số tốt Phần hai trình bày tính chất mơđun Cohen2 Macaulay dãy, dd-dãy chứng minh đặc trưng thứ môđun Cohen-Macaulay dãy Phần ba đưa câu trả lời cho câu hỏi đặt (Định lý 2.3.2 Định lý 2.3.3) Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chiều Krull vành môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hoán (i) Một dãy giảm iđêan nguyên tố R P0 P1 Pn gọi xích nguyên tố độ dài n (ii) Cho P iđêan nguyên tố R Cận tất độ dài xích nguyên tố với P0 = P gọi độ cao P , kí hiệu ht(P ) Nghĩa là: ht(P ) = sup{độ dài xích nguyên tố với P0 = P } Cho I iđêan R, ta định nghĩa độ cao iđêan I ht(I) = inf{ht(P )|P ∈ Spec(R), P ⊇ I} (iii) Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dim R Ta có dim R = sup{ht(P )|P ∈ Spec(R)} (iii)⇒ (iv): Với i Suy lọc F n x1 F thỏa mãn điều kiện chiều Do IF,M (x(n)) = suy x dd-dãy M Từ suy (x2 , , xd ) dd-dãy M/xn1 M theo Hệ 2.2.7 Chú ý 2.1.3 (iv) (x2 , , xd ) hệ tham số tốt M/xn1 M ứng với lọc F n x1 F Lý luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.1.8 ta IF/xn1 F,M/xn1 M (xn2 , , xnd d ) IF,M (x(n)) Suy IF/xn1 F,M/xn1 M (xn2 , , xnd d ) = với số nguyên dương n1 , , nd Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có (x2 , , xi )(M/xn1 M ) : xj = (x2 , , xi )(M/xn1 M ) + xn1 M : xj /xn1 M với i nên IF2 ,M (x(n)) + IF1 ,N (xn1 ) IF,M (x(n)) = 0, suy IF2 ,M (x(n)) = Chú ý dim(M2 + N )/N áp dụng phần đầu chứng minh cho mơđun M lọc F2 ta có (x1 , , xi )M : xj = (x1 , , xi )M + :M xj với i Tương tự, ta định nghĩa khái niệm mơđun Cohen-Macaulay xấp xỉ Định nghĩa 2.3.4 Một môđun không Cohen-Macaulay M gọi môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ tồn phần tử a ∈ m cho M/an M môđun Cohen-Macaulay chiều d − với n > Ta có đặc trưng sau mơđun Cohen-Macaulay xấp xỉ Đặc trưng chứng minh qua Định lý 2.3.3, mối quan hệ tương đương (i) (ii) chứng minh [7, Định lý 1] vành địa phương Mệnh đề 2.3.5 Cho M R-môđun không Cohen-Macaulay chiều d Các khẳng định sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ (ii) Tồn phần tử a ∈ m cho :M a = :M a2 M/a2 M môđun Cohen-Macaulay chiều d − (iii) M mơđun Cohen-Macaulay dãy có lọc chiều D : = D0 ⊂ D1 ⊂ D2 = M , dim D1 = d − Chứng minh (i) ⇒ (ii): Do tính Noether mơđun M M môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ nên suy (ii) (ii) ⇒ (iii): Giả sử tồn a ∈ m cho :M a = :M a2 M/a2 M mơđun Cohen-Macaulay chiều d−1 Ta có dim M/aM dim M/a2 M = d − 1, mà a ∈ m nên theo Mệnh đề 1.2.3 ta có dim M/aM d − Suy dim M/aM = d − a phần tử tham số M Khi tồn 36 hệ tham số M x = (x1 , , xd ) với xd = a Ta có (M/(x21 , , x2d )M ) = e(x21 , , x2d−1 ; M/x2d M ) = e(x21 , , x2d−1 , x2d ; M ) + e(x21 , , x2d−1 ; :M x2d ) = 2d e(x; M ) + 2d−1 e(x1 , , xd−1 ; :M xd ) Vì M không Cohen-Macaulay nên e(x1 , , xd−1 ; :M xd ) > 0, dim :M xd = d − Suy lọc F : ⊂ :M xd ⊂ M thỏa mãn điều kiện chiều Từ :M xd = :M x2d ta có (0 :M xd ) ∩ xd M = 0, x hệ tham số tốt ứng với F Hơn IF,M (x21 , , x2d ) = 0, suy M Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 2.3.3 F lọc chiều M theo Bổ đề 2.3.1 (iii) ⇒ (i): Giả sử M mơđun Cohen-Macaulay dãy có lọc chiều D : = D0 ⊂ D1 ⊂ D2 = M , dim D1 = d − Cho x hệ tham số tốt M Theo Mệnh đề 2.2.4, x dd-dãy ID,M (x(n)) = với số nguyên dương n1 , , nd Ta có D1 = :M xd = :M xnd d với nd > Suy n d−1 ; M/xnd d M ) (M/x(n)M ) = e(xn1 , , xd−1 Suy M/xnd d M Cohen-Macaulay chiều d − với nd > M Cohen-Macaulay xấp xỉ Chú ý 2.3.6 Một lọc thỏa mãn điều kiện chiều F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M gọi lọc Cohen-Macaulay Mi /Mi−1 môđun Cohen-Macaulay với i = 1, , t Khi [6] M có lọc Cohen-Macaulay F M mơđun Cohen-Macaulay dãy F lọc chiều M Ta muốn tồn lọc thỏa mãn điều kiện tương đương Định lý 2.3.2 mà không lọc chiều M Thật vậy, cho M môđun Cohen-Macaulay dãy có độ sâu dương D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M 37 lọc chiều M Cho x = (x1 , , xd ) hệ tham số tốt M Khi lọc F : = M0 ⊂ M1 = xD1 ⊂ ⊂ Mt−1 = xDt−1 ⊂ M không lọc chiều M thỏa mãn điều kiện tương đương Định lý 2.3.2 Thật vậy, với y = (y1 , , yd ) hệ tham số tốt M , M Cohen-Macaulay dãy nên theo Mệnh đề 2.2.4, y dd-dãy M ID,M (y(n)) = với số nguyên dương n1 , , nd Với i = 1, , t ta có (y1 , , ydi ) hệ tham số tốt Di dim Di /xDi = dim Di /(x1 , , xdi )Di < di nên e(y1 , , ydi ; xDi ) = e(y1 , , ydi ; Di ) Suy t IF,M (y) = (M/yM ) − e(y1 , , ydi ; xDi ) i=0 t = (M/yM ) − e(y1 , , ydi ; Di ) i=0 = ID,M (y) = Ta biết R−môđun M Cohen-Macaulay tồn hệ tham số x M cho (M/xM ) = e(x; M ) Câu hỏi đặt tồn hệ tham số tốt x M cho ID,M (x) = 0, với D lọc chiều M M có Cohen-Macaulay dãy hay khơng Câu trả lời khơng, hai ví dụ cho câu hỏi này, ví dụ đầu trích dẫn từ [7, Chú ý 2.9] Ví dụ 2.3.7 (1) Cho R = k[[x, y, z, w]] vành chuỗi lũy thừa hình thức trường k P = (xw−yz, x3 −z , w2 −xy , zw−x2 y), Q = (y , z, w) Đặt M = R/P ∩ Q Khi lọc chiều M D : = D0 ⊂ D1 ⊂ D2 = M , D1 = P/P ∩ Q, dim D1 = Vì D1 = :M w = :M w2 nên (x + y + z + w, w) hệ tham số tốt M Hơn ta có ID,M ((x + y + z + w)n1 , wn2 ) = n1 = n2 = trường 38 hợp cịn lại Như M khơng mơđun Cohen-Macaulay dãy ID,M (x + y + z + w, w) = (2) Cho R = k[[x, y, z, w]] vành chuỗi lũy thừa hình thức trường k P = (x, w) ∩ (y, z), Q = (x, y , z) Đặt M = R/P ∩ Q Khi lọc chiều M D : = D0 ⊂ D1 ⊂ D2 = M , D1 = P/P ∩ Q, dim D1 = Vì D1 = :M (x + y) = :M (x + y)2 nên (z + w, x + y) hệ tham số tốt M Hơn ta có ID,M ((z + w)n1 , (x + y)n2 ) = n2 = n2 > Như M môđun Cohen-Macaulay dãy ID,M (z + w, x + y) = 39 Kết luận Luận văn trình bày với chứng minh chi tiết kết báo [5], cụ thể là: 1, Định nghĩa lọc chiều hệ tham số tốt, tồn lọc chiều tồn hệ tham số tốt, tính chất lọc chiều hệ tham số tốt 2, Định nghĩa tính chất hàm ID,M (x) 3, Định nghĩa môđun Cohen-Macaulay dãy, d-dãy, dd-dãy tính chất mơđun Cohen-Macaulay dãy liên quan đến lọc chiều, hệ tham số tốt hàm độ dài, đối đồng điều địa phương 4, Đặc trưng tính chất Cohen-Macaulay dãy qua tính triệt tiêu hàm ID,M (x) Từ đến kết chính: • Với D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M lọc chiều M , dim Di = di x hệ tham số tốt M Khi M mơđun Cohen-Macaulay dãy ID,M (x) = với hệ tham số x M • Sự tồn hệ tham số tốt x M thỏa mãn ID,M (x) = không đủ để suy M mơđun Cohen-Macaulay dãy • Áp dụng kết cho môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ 40 Tài liệu tham khảo [1] M Auslander and D A Buchsbaum (1958), "Codimension and Multiplicity”, Ann Math., 68, 625-657 [2] M P Brobmann and R Y Sharp (1993), Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [3] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen Macaulay rings, Cambridge University Press [4] N T Cuong and D T Cuong (2007), "dd-sequences and partial Euler-Poincaré characteristics of Koszul complex", J Algebra Appl., 6, 207-231 [5] N T Cường and D T Cuong (2007), "On Sequentialy CohenMacaulay Modules", Kodal Math J., 30, 409-428 [6] N T Cuong and L T Nhan (2003), "Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules", J Algebra, 267, 156177 [7] S Goto (1982), "Approximately Cohen-Macaulay rings", J Algebra, 76, 214-225 41 [8] S Goto and K Yamagishi (1986), The theory of unconditioned strong d-sequences and modules of finite local cohomology, preprint [9] P Schenzel (1998), "On the dimension filtration and CohenMacaulay filtered modules", Proc of the Ferrara Meetting in honor of Mario Fiorentini, University of Antwerp, Wilrijk, Belgium, 245264 [10] J P Serre (2000), Local Algebra, translated from the French by CheeWhye Chin, Springer [11] R P Standley (1996), Combinatorics and commutative algebra, Second edition, Birkhauser, Boston 42 ... môđun Cohen- Macaulay dãy, d -dãy, dd -dãy tính chất mơđun Cohen- Macaulay dãy liên quan đến lọc chiều, hệ tham số tốt hàm độ dài, đối đồng điều địa phương 4, Đặc trưng tính chất Cohen- Macaulay dãy. .. chất mơđun Cohen- Macaulay dãy Trong phần ta nghiên cứu số tính chất mơđun Cohen- Macaulay dãy Trước tiên ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2.1 Một môđun M gọi môđun Cohen- Macaulay dãy lọc chiều... môđun Cohen- Macaulay Chương 2: Chương gồm ba phần Phần nói lọc chiều hệ tham số tốt Phần hai trình bày tính chất mơđun Cohen2 Macaulay dãy, dd -dãy chứng minh đặc trưng thứ môđun Cohen- Macaulay dãy