ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUẢN THỊ TỐ QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CĨ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUẢN THỊ TỐ QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CĨ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.VŨ VINH QUANG Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung 3 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 1.2 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng 1.2.1 Bài toán vi phân 1.2.2 Hàm lưới 1.2.3 Đạo hàm lưới 1.2.4 Bài toán sai phân 1.2.5 Lưới sai phân 1.2.6 Bài toán biên elliptic 10 1.2.7 Giới thiệu thư viện RC2009 11 PHƯƠNG PHÁP CIM (Coupling Interface Method) 17 2.1 Giới thiệu toán biên với mặt phân cách gián đoạn 17 2.2 Phương pháp CIM không gian chiều 18 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 2.3 2.4 2.5 2.2.1 Phương pháp CIM1 không gian chiều 19 2.2.2 Phương pháp CIM2 không gian chiều 22 Phương pháp CIM không gian hai chiều 27 2.3.1 Phương pháp CIM1 không gian chiều 28 2.3.2 Phương pháp CIM2 không gian chiều 30 Phương pháp CIM không gian d chiều 34 2.4.1 Phương pháp CIM1 không gian d chiều 34 2.4.2 Phương pháp CIM2 không gian d chiều 36 Một số số liệu thực nghiệm 39 MÔ HÌNH TÍNH TỐN SONG SONG ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN GIÁN ĐOẠN QUA MẶT PHÂN CÁCH 3.1 43 Phương pháp chia miền toán gián đoạn qua mặt phân cách 43 3.2 Mơ hình tính tốn song song 45 3.3 Các kết thử nghiệm 48 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Những năm gần có khơng cơng trình nghiên cứu lĩnh vực tìm nghiệm lớp tốn biên mà chủ yếu phương trình elliptic cấp hai, mục đích phương pháp đưa tốn vi phân toán rời rạc điểm lưới Nếu miền hình học miền phức tạp, hệ số phương trình gián đoạn việc áp dụng phương pháp số cho miền trở nên khó khăn Chính vậy, cơng trình nghiên cứu tập trung đưa hướng nghiên cứu chủ yếu đưa phương pháp sai phân, đặc biệt xung quanh lân cận kỳ dị biên phân chia để đưa toán xét hệ phương trình sai phân việc tìm nghiệm số toán chuyển việc giải hệ phương trình đại số phương pháp gần Hướng thứ hai sử dụng phương pháp chia miền chuyển toán miền xét hai tốn khơng chứa điểm kỳ dị, sau xuất phát từ lời giải tốn hai miền ta thu nghiệm toán gốc Luận văn gồm chương: Chương 1: Các khái niệm Trình bày kiến thức phương trình đạo hàm riêng, sở phương pháp lưới giới thiệu thư viện chương trình giải phương trình elliptic với hệ số số miền chữ nhật Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2: Phương pháp CIM (Coupling Interface Method) Trình bày sở phương pháp CIM bao gồm: phương pháp CIM1, CIM2 không gian chiều,hai chiều d chiều, thuật toán phương pháp tương ứng, kết thực nghiệm tốn cụ thể Chương 3: Mơ hình tính tốn song song tốn biên gián đoạn qua mặt phân cách Trình bày sở phương pháp chia miền toán biên gián đoạn qua mặt phân cách, mơ hình tính tốn song song trường hợp tồn nhiều biên phân chia miền, xây dựng sơ đồ lặp giải toán biên elliptic tồn mặt gián đoạn theo hướng hiệu chỉnh giá trị hàm biên, xây dựng chương trình thực nghiệm Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô giáo Viện Toán,Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2011 Tác giả Quản Thị Tố Quyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong Chương luận văn trình bày kiến thức bao gồm: khái niệm phương trình đạo hàm riêng, phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng giới thiệu thư viện RC2009 giải số toán biên elliptic với hệ số số Các kiến thức tham khảo tài liệu [1,2,3,4] 1.1 1.1.1 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng Khái niệm phương trình đạo hàm riêng Hàm số biến y = y (x) ta có khái niệm đạo hàm y (x) y(x + ∆x) − y(x) ∆x ∆x→0 y (x) = lim Khái niệm phương trình vi phân y (x) = f (x, y) khái niệm tốn Cauchy: Tìm hàm số y = y (x) xác định x ∈ [x0 , X] thỏa mãn: y (x) = f (x, y), x0 < x ≤ X, y(x0 ) = η Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đó: f (x, y), x0 , x, X, η hàm số cho trước Xét toán hai biến số u = u(x, y) ta có đạo hàm riêng cấp biến x: ∂u y(x + ∆x) − y(x) = lim ∂x ∆x→0 ∆x đạo hàm riêng cấp biến y: y(x + ∆x) − y(x) ∂u = lim ∂y ∆y→0 ∆y đạo hàm riêng cấp 2: ∂ 2u ∂ = ∂x2 ∂x ∂ 2u ∂ = ∂x∂y ∂y ∂u ∂ 2u ∂ , = ∂x ∂y ∂y ∂u , ∂y ∂u ∂ ∂ 2u = , ∂x ∂y∂x ∂x ∂u ∂y ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u hàm liên tục = Nếu ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x Phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A(x, y) + B(x, y) + C(x, y) + D(x, y) + E(x, y) + ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y F (x, y)u = f (x, y) phương trình đạo hàm riêng cấp 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai Giả sử u = u(p, q) hàm số hai biến độc lập p, q kí hiệu: ∂u , ∂p ∂ 2u = 2, ∂p up = upp upq = uqp ∂u , ∂q ∂ 2u = ∂q uq = uqq ∂ 2u = ∂q∂p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét phương trình đạo hàm riêng cấp tuyến tính: (1.1) Aupp + 2Buqp + Cuqq = F với A, B, C, F hàm số phụ thuộc p, q, up , uq Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm u = u(p, q) đủ trơn Xét Γ đường cong mặt phẳng Opq nằm miền xác định hàm u = u(p, q) có phương trình q = q (p) , hay ϕ(p, q) = Ta có: d(up ) = upp dp + upq dq ; d(uq ) = uqq dq + uqp dp Ta có hệ:   Aupp + 2Buqp + Cuqq = F (p, q, u, up , uq ) u d + uqp dq = d(up )  pp p uqq dq + uqp dp = d(uq ) hay dạng ma trận:      F A 2B C upp  dp dq   uqp  =  d (up )  uqq d (uq ) dq dp Do giả sử phương trình (1.1) có nghiệm u = u(p, q) đủ trơn nên hệ ln có nghiệm ma trận hệ:   A 2B C M =  dp dq  dq dp Nếu Det(M ) = Γ hệ có nghiệm Γ , nghĩa Γ đạo hàm cấp hai u xác định cách theo vế phải Nếu Det(M ) = Γ hệ có nghiệm Γ ta xuất phát từ giả thiết phương trình (1.1) có nghiệm u , nghiệm khơng nhất, nghĩa Γ đạo hàm cấp hai u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xác định cách không theo vế phải Trong trường hợp ta gọi “đường đặc trưng” phương trình đạo hàm riêng (1.1) Như đường đặc trưng xác định điều kiện Det(M ) = , điều kiện viết sau: Det(M ) = A (dq )2 + 2B(dq dp ) + C (dp )2 (1.2) hay: A dq dp + 2B( dq ) + C = 0, dp (1.3) dq hệ số góc tiếp tuyến đường đặc trưng, người dp dq phương đặc trưng điểm (p, q) Vậy phương trình (1.3) xác dp định phương đặc trưng, phương trình vi phân đường đặc trưng dq Phương trình (1.3) phương trình bậc hai dp Xét ∆ = B − AC ta gọi • Nếu B − AC > (p, q) ∈ miền Ω phương trình (1.3) có hai nghiệm thực khác (p, q) ∈ Ω : √ dq −B ± B − AC = dp A Khi (p, q) ∈ Ω có hai phương trình đặc trưng thực khác nhau, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại hypebol Ω • Nếu B − AC = (p, q) ∈ miền Ω phương trình (1.3) có hai nghiệm thực trùng (p, q) ∈ Ω : dq B = dp A Khi (p, q) ∈ Ω có hai phương trình đặc trưng trùng nhau, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại parabol Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47  (k)  −∇ ε (x) ∇ui = f, x ∈ Ωi     (k)   = ϕ, x ∈ ∂Ωi \ {Γi−1 , Γi }   ui (k) ∂ui (k) ε = gi−1 − σ2i−1 , x ∈ Γi−1 (i = 2, 3, , n)   ∂ni−1    (k)   ∂ui (k)  ε = gi , x ∈ Γi (i = 2, 3, , n) ∂ni  (k)   −∇ ε (x) ∇un+1 = f, x ∈ Ωn+1    (k) un+1 = ϕ, x ∈ ∂Ωn+1 \Γn (k)   ∂un+1  (k)  ε = gn − σ2n , x ∈ Γn ∂nn (3.10) (3.11) Bước 2: Hiệu chỉnh giá trị (k+1) gi (k) = gi (k) − τ ui (k) − ui+1 − σ1i , i = 1, 2, , n (3.12) Nhận xét: + Trong sơ đồ lặp trên, bước tiến hành giải độc lập (n + 1) tốn (n + 1) miền Do tính chất độc lập nên (n + 1) tốn tiến hành giải đồng thời lúc (n + 1) xử lý khác Đây thuật toán song song + Sự hội tụ phương pháp phụ thuộc vào hội tụ n sơ đồ lặp (3.12) Đây n sơ đồ lặp lớp tương tự sơ đồ (3.6) + Việc kiểm tra hội tụ kiểm tra chương trình thử nghiệm thơng qua ví dụ cụ thể Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 3.3 Các kết thử nghiệm Để kiểm tra hội tụ phương pháp: Chúng ta xét trường hợp miền Ω miền hình chữ nhật: Ω = [0, 2a] × [0, b] Đường phân chia: Γ = {x1 = a, ≤ x2 ≤ b} Hình 3.2 Bài tốn biên có dạng:   − ∂ ε (x) ∂u ∂x1 ∂x1  u = ϕ, x ∈ ∂Ω − ∂ ∂x2 ε2 (x) ∂u ∂x2 = f, x ∈ Ω   [u] = u1 − u2 = σ1 ,x ∈ Γ ∂u ∂u1 ∂u2 = ε11 (x) − ε12 (x) = σ2 (x)  ε (x) ∂x ∂x1 ∂x1 Khi sơ đồ lặp có dạng: Bước 0: g (0) = Bước 1: giải song song tốn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Bài toán :   ∂    −    ∂x1 (k) ∂u ε11 (x) ∂x1 ∂ − ∂x2 (k) ∂u ε2 (x) ∂x2 = f, x ∈ Ω1 (k) u1 = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ    (k)  ∂u1   = g (k) , x ∈ Γ  ε11 (x) ∂x1 Bài toán :   ∂    −    ∂x1 (k) ∂u ε11 (x) ∂x1 ∂ − ∂x2 (k) ∂u ε2 (x) ∂x2 = f, x ∈ Ω2 (k) u2 = ϕ, x ∈ ∂Ω2 \Γ    (k)  ∂u   = g (k) − σ2 (x) , x ∈ Γ  ε12 (x) ∂x1 Bước 2: Hiệu chỉnh (k) (k) g (k+1) = g (k) − τ u1 − u2 − σ1 (x) , x ∈ Γ Chúng sử dụng phương pháp lưới M × N = 64 × 64, với bước lưới b a , h2 = Chuyển toán vi phân toán h1 = 64 64 toán sai phân tương ứng Sau sử dụng thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn Samarskij - Nicolaev tìm nghiệm số tốn sai phân Trong tính tốn chúng tơi ln ln sử dụng hàm thư viện RC2009 Trong trường hợp biết trước nghiệm ud (x1 , x2 ) điều kiện dừng lặp điều kiện: M ax ud (i, j) − u(k) (i, j) < ε (i,j) Trong trường hợp nghiệm điều kiện dừng lặp điều kiện: M ax u(k+1) (i, j) − u(k) (i, j) < ε (i,j) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 ε ≈ 0(h2 ) , h = max(h1 , h2 ) Các sai phân đạo hàm thuật tốn tính với độ xác cấp Bài tốn : u(x1 , x2 ) = x21 + ex2 , (x1 , x2 ) ∈ [0, 0.5] × [0, 1] x21 + x1 + 0.5 ex2 + 4x1 , (x1 , x2 ) ∈ [0.5, 1] × [0, 1] Hình 3.3 Ki hiệu Γ = x1 = 0.5, x2 ∈ [0.1] Trong trường hợp này, ta thấy:  ∂u2  ∂u1 −1 = −4 (x1 , x2 ) ∈ Γ ∂x1 ∂x1  u − u = −2 Như hàm u1 (x1 , x2 ) u2 (x1 , x2 ) thoả mãn toán   − ∂ ∂u1 − ∂ ∂x1 ∂x1 ∂x1  u1 = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ   − ∂ ∂u2 − ∂ ∂x1 ∂x1 ∂x2  u2 = ϕ, x ∈ ∂Ω2 \Γ ∂u1 ∂x1 = f, x ∈ Ω1 ∂u2 ∂x2 = f, x ∈ Ω2 với bước nhảy qua biên phân cách Γ [u] = σ1 = −2; ε Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∂u = σ2 = −4 ∂x1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Khi nghiệm tốn tìm sơ đồ lập sau đây: Bước 0: g (0) = Bước 1: với ∀g k , k = 0, 1, 2, , giải song song toán Bài toán 1:  (k)  ∂u1 ∂ ∂    − −   ∂x1 ∂x2  ∂x1 (k) u1 = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ    (k)  ∂u    = g (k) , x ∈ Γ ∂x1 Bài toán 2:  (k)  ∂u2 ∂ ∂    − −   ∂x1 ∂x2  ∂x1 (k) u2 = ϕ, x ∈ ∂Ω2 \Γ    (k)  ∂u   = g (k) + 4, x ∈ Γ  ∂x1 (k) ∂u 1 ∂x2 = f, x ∈ Ω1 (k) ∂u ∂x2 = f, x ∈ Ω2 Bước 2: Hiệu chỉnh (k) (k) g (k+1) = g (k) − τ u1 − u2 + , x ∈ Γ Bảng 3.1 số liệu thực nghiệm với hàm u(x1 , x2 ) = x21 + ex2 , (x1 , x2 ) ∈ [0, 0.5] × [0, 1] x21 + x1 + 0.5 ex2 + 4x1 , (x1 , x2 ) ∈ [0.5, 1] × [0, 1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Tham số lặp số bước lặp sai số 6.0 103 × 10−5 6.2 99 × 10−5 6.4 96 × 10−5 6.6 93 × 10−5 6.8 91 × 10−5 7.0 88 × 10−5 7.2 86 × 10−5 7.4 83 × 10−5 7.6 81 × 10−5 7.8 79 × 10−5 7.9 78 × 10−5 8.0 84 × 10−5 8.2 152 × 10−5 Bảng 3.1: Hình 3.4: Đồ thị nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Bài toán u(x1 , x2 ) = x41 + ex2 + log (x2 + 1) , (x1 , x2 ) ∈ Ω1 x21 + ex2 + log (x2 + 1) , (x1 , x2 ) ∈ Ω2 Hình 3.5 Kí hiệu: Ω = x1 = 1, ≤ x2 ≤ Trong trường hợp này, ta thấy rằng:  ∂u2  ∂u1 −1 =1 x∈Γ ∂x1 ∂x1  u −u =2 Như hàm u1 (x1 , x2 ) u2 (x1 , x2 ) thoả mãn toán:  ∂u1 ∂ ∂u1 − ∂ − = f, x ∈ Ω1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2  u1 = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ  ∂u2 ∂ ∂u2 − ∂ − = f, x ∈ Ω2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2  u2 = ϕ, x ∈ ∂Ω2 \Γ Với bước nhảy qua biên phân cách Ω [u] = σ1 = 2, ε ∂u = σ2 = ∂x1 Khi nghiệm tốn tìm từ sơ đồ lập sau đây: Bước 0: g ( 0) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Bước 1: Với g ( k), k = 0, 1, 2, giải song song hai toán Bài toán 1:  (k)  ∂ ∂ ∂u1    − −   ∂x2  ∂x1 ∂x1 (k) u = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ    (k)  ∂u1   = g (k) , x ∈ Γ  ∂x1 Bài toán 2:  (k)  ∂ ∂ ∂u2    − −   ∂x2  ∂x1 ∂x1 (k) u2 = ϕ, x ∈ ∂Ω2 \Γ    (k)  ∂u   = g (k) − 1, x ∈ Γ  ∂x1 (k) ∂u 1 ∂x2 = f, x ∈ Ω1 (k) ∂u ∂x2 = f, x ∈ Ω2 Bước 2: Hiệu chỉnh (k) (k) g (k+1) = g (k) − τ u1 − u2 − , x ∈ Γ Bảng 3.2: Sơ đồ thực nghiệm hàm u(x1 , x2 ) = x41 + ex2 + log (x2 + 1) , (x1 , x2 ) ∈ Ω1 x21 + ex2 + log (x2 + 1) , (x1 , x2 ) ∈ Ω2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Tham số lặp số bước lặp sai số 0.6 236 10−4 0,7 202 10−4 0,8 177 10−4 0,9 157 10−4 1,0 141 10−4 1,1 128 10−4 1,2 118 10−4 1,3 250 10− 1,4 khơng hội tụ 0,5 Bảng 3.2: Hình 3.6: Đồ thị nghiệm xấp xỉ Thuật toán hội tụ tốt trường hợp tổng quát ta cần biết vế phải phương trình, điều kiện biên giá trị bước nhảy σ1 (x) , σ2 (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Bảng 3.3: Số liệu thực nghiệm trường hợp tổng quát: f (x1 , x2 ) = x21 + x22 ϕ (x1 , x2 ) = x41 + ex2 + log (x2 + 1) σ1 (x1 , x2 ) = 100 + x22 σ2 (x1 , x2 ) = −1000 + x22 Tham số lặp số bước lặp sai số 152 10−4 6,3 148 10−4 6,5 142 10−4 6,7 140 10−4 6,9 135 10−4 7,0 133 10−4 7,1 158 10−4 7,2 hội tụ 10−4 Bảng 3.3: Hình 3.7: Đồ thị nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Nhận xét chung: • Qua kết thực nghiệm thấy, sơ đồ lặp chia miền tốn có bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách hội tụ Sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ đạt độ xác O(h2 ), h bước lưới • Qua thực nghiệm thấy tham số lặp xác định khoảng x ∈ (6, 8) giá trị tối ưu xác định tùy thuộc tốn • Sơ đồ lặp chia miền sở để thiết kế thuật tốn song song tổng qt giải biên có nhiều mặt phân cách tồn bước nhảy gián đoạn • Qua kết thực nghiệm phương pháp CIM Bảng 2.1, 2.2, 2.3 phương pháp chia miền Bảng 3.1, 3.2, 3.3 Chúng ta thấy độ xác đạt phương pháp tương đương Tuy nhiên trường hợp có nhiều mặt phân cách phương pháp CIM gặp khó khăn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức phương trình đạo hàm riêng, sở phương pháp lưới giới thiệu thư viện chương trình RC2009 Trên sở nghiên cứu toán biên gián đoạn qua mặt phân cách, luận văn trình bày kiến thức phương pháp sai phân đặc biệt gọi phương pháp CIM, phương pháp chia miền tốn Các kết luận văn gồm có: Luận văn trình bày phương pháp CIM1, CIM2 không gian chiều, hai chiều khơng gian d chiều để giải tốn biên gián đoạn qua mặt phân cách Một số tính tốn thử nghiệm phương pháp CIM2 Trình bày đưa sơ đồ lặp theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm sở phương pháp chia miền toán biên gián đoạn qua mặt phân cách Tiến hành thử nghiệm sơ đồ lặp chia miền toán cụ thể trường hợp tổng quát Hướng nghiên cứu luận văn cài đặt tính tốn thử nghiệm với tất trường hợp phương pháp CIM Tiến hành cài đặt thử nghiệm sơ đồ lặp song song trường hợp tổng quát, phát triển phương pháp chia miền theo hướng tiếp cận khác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Mặc dù có nhiều nỗ lực cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng gọp Thầy, Cơ bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn ! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, (2000) Giải tích số, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Tạ Văn Đĩnh, (2002) Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển, (2010) “Xây dựng chương trình RC2009 giải số toán biên elliptic với hệ số số”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, T.69, S.07, 63-70 [4] Lê Đình Thịnh, (2001) Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [5] I-Liang Chern, Yu-Chen Shu, (2007) A coupling interface method for elliptic interface probems , Journal of Computational Physics 225 2138-2174 [6] Zhilin Li, (March 2003) an overview of the immersed interface method and its appications, taiwanese journal of mathematics, vol 7, No 1, pp 1-49, [7] Juri D Kandilarov and Lubig G Vukov, (2003) analysis of immersed interface difference schemes for reaction diffusion problem with Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 singular own sourcer, Computational Methods in applied Mathematics, Vol 3, pp 253-273 [8] Samarskij A and Nikolaev E (1989), Numerical Methods for Grid Equations, Vol 2, Birkhau, Basel [9] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... biên elliptic (1.8), sử dụng phương pháp sai phân xây dựng lược đồ sai phân cho toám biên, chuyển toán vi phân (1.8) toán sai phân tương ứng với phương trình vesctơ ba điểm Sau áp dụng phương pháp. .. trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại ellip Ω 1.2 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp lưới (hay gọi phương pháp sai phân) phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều... Chương luận văn trình bày kết phương pháp sai phân đặc biệt giải tốn elliptic có tồn mặt gián đoạn Qua kết thực nghiệm chứng tỏ phương pháp sai phân đặc biệt đạt độ xác O(h2 ) h bước lưới Kết khẳng