đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Tr-ơng tiến hoàng PHƯơng pháp sai phân toán truyền nhiệt đối l-u không dừng có hệ số liên tục luận văn thạc sĩ toán học Thái nguyên, năm 2013 Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Tr-ơng tiến hoàng PHƯơng pháp sai phân toán truyền nhiệt đối l-u không dừng có hệ số liên tục Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số : 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: Ts Nguyễn đình bình Thái nguyên, năm 2013 Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời mở đầu iii Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều 1.1 1.2 Phát biểu toán Lưới sai phân hàm 1.2.1 Lưới sai phân 1.2.2 Hàm lưới 1.3 1.4 Xấp xỉ đạo hàm Phương pháp ẩn 1.4.1 Xây dựng phương pháp 1.4.2 Bài toán sai phân 1.4.3 Sự xấp xỉ 1.4.4 Sự ổn định 1.4.5 Sự hội tụ Phương pháp sai phân 1.5 lưới 2 sai số 5 7 8 số 10 10 11 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 Xây dựng phương pháp Bài toán sai phân Sự xấp xỉ Sự ổn định 1.5.5 Sự hội tụ sai Phương pháp sai phân với toán Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục 13 i Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1 Bài toán đạo hàm riêng 2.2 Lưới sai phân, hàm lưới 2.2.1 Lưới sai phân 2.2.2 Hàm lưới 2.2.3 Đạo hàm lưới đạo hàm 2.3 Bài toán sai phân 2.3.1 Ký hiệu chung 2.3.2 Xấp xỉ đạo hàm riêng 2.3.3 Phát biểu toán sai phân 2.4 Phương pháp giải toán sai phân 2.4.1 Quy toán sai phân dạng trình ba đường chéo 2.4.2 Phương pháp truy đuổi 13 lưới 15 15 16 17 17 17 18 25 hệ phương 26 Sự ổn định, hội tụ sai số 26 30 32 3.1 Sự ổn 3.1.1 3.1.2 3.1.3 định phương pháp sai phân Khái niệm ổn định, bất đẳng thức ổn định Xét toán Ý nghĩa bất đẳng thức ổn định 3.2 Sự hội tụ sai số 32 36 36 42 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Bài tốn truyền nhiệt ba toán vật lý toán mà hay gặp thực tế Việc giải tốn để có đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong số trường hợp, tìm nghiệm tường minh Tuy nhiên đa số trường hợp, đặc biệt tốn có hệ số hàm nghiệm tường minh tốn khó xác định được, nghiệm tường minh dạng phức tạp Vì trường hợp thường dựa vào phương pháp giải gần để tìm nghiệm Phương pháp sai phân phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nội dung đưa toán cần xét việc giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân cho việc tính tốn thuận tiện, đồng thời đảm bảo tính ổn định lược đồ, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm gần tìm tới nghiệm tốn Trong phạm vi luận văn này, tác giả tìm hiểu phương pháp sai phân với toán Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục, mà cụ thể trình bày theo bố cục sau Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều Chương 2: Phương pháp sai phân với tốn Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục Chương 3: Sự ổn định, hội tụ sai số Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa iii Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ học - Đại học Thái Nguyên Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Đình Bình, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 05 tháng 08 năm 2013 Tác giả Trương Tiến Hồng iv Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều Trong chương tác giả trình bày số kiến thức chuẩn bị toán, lưới sai phân, hàm lưới hai phương pháp để giải toán sai phân 1.1 Phát biểu toán Cho số a, b thỏa mãn a < b T > Xét QT = (a, b) × (0, T ]; QT = [a, b] × [0, T ] Xét tốn biên thứ phương trình truyền nhiệt Tìm hàm số u(x, t) thỏa mãn ∂u ∂ u Lu ≡ − = f (x, t); (x, t) ∈ QT , ∂t ∂x2 (1.1) u(x, 0) = g(x); a < x < b, (1.2) u(a, t) = ga (t); u(b, t) = gb (t); < t ≤ T, (1.3) f (x, t), g(x), ga (t), gb (t) hàm số cho trước Phương trình (1.1) phương trình loại parabol với u(x, t) nhiệt độ vị trí x thời điểm t phương trình (1.1) phương Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ trình truyền nhiệt chiều với x biến không gian, t biến thời gian Bài tốn (1.1)÷ (1.3) tốn vừa có điều kiện ban đầu (điều kiện (1.2)) vừa có điều kiện biên (điều kiện (1.3)) nên tốn biên loại phương trình (1.1) Giả sử (1.1)÷ (1.3) có nghiêm đủ QT 1.2 1.2.1 Lưới sai phân hàm lưới Lưới sai phân Chọn số nguyên N ≥ 1, M ≥ Đặt h= b−a ; xi = a + ih; i = 0, 1, 2, N, N τ= T ; ti = jτ ; j = 0, 1, M M Hình 1.1 Chia miền QT thành đường thẳng x = xi , t = tj Mỗi điểm (xi , ti ) gọi nút Nút (xi , tj ) viết gọn (i, j) h bước theo không gian, τ gọi bước theo thời gian Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tập tất nút tạo thành lưới sai phân QT Lưới (a, b]( lưới không gian) - Tập Ωh = {xi = |i = 1, 2, , N − 1} gọi tập nút lân cận [a, b] - Tập Γh = {xi = |i = 0, N } gọi tập nút [a, b] Nút nút N hai nút biên - Tập Ωh = Ωh ∪ Γh gọi lưới sai phân [a, b] Lưới [0, T] (lưới thời gian) - Tập Ωτ = {tj |j = 1, 2, M } gọi lưới sai phân (0, T] - Tập {Ωτ = {tj |j = 0, 1, M } = Ωτ ∪ {t0 = 0} gọi lưới sai phân [0, T], nút t0 = nút ban đầu - Tập Ωhτ = Ωh × Ωτ tập nút QT - Tập Γhτ − = {x0 = a} × Ωτ gọi tập nút bên trái - Tập Γhτ + = {x0 = b} × Ωτ gọi tập nút bên phải - Tập Γ0hτ = Ωh × {t0 = 0} gọi tập nút ban đầu tập Ωhτ = Ωh × Ωτ lưới sai phân QT Ta phân lưới sai phân QT thành nhiều lớp Lớp thứ j tạo nút ứng giá trị thời gian tj j Ωh = {(xi , tj ), i = 0, 1, , N }, nút (x0 , tj ) = (a, tj ) với (xN , tj ) = (b, ti ) hai nút biên 1.2.2 Hàm lưới Hàm số xác định nút lưới gọi hàm lưới Giá trị hàm lưới v nút (i, j) viết vij Các giá trị hàm Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ j lưới v nút lớp Ωh tạo thành hàm lưới v j xác định Ωh Ta có j v j = (v0j , v1j , , vN ) ∈ RN +1, , tập hàm lưới ta xét hai chuẩn vj vi 2= ∞= max {|vij |} 0≤i≤N i )2 (v0i )2 + (v1i )2 + + (vN Mỗi hàm số u(x, t) xác định QT có giá trị (i, j) u(xj , tj ) tạo hàm lưới u xác định uji = u(xi , tj ) 1.3 Xấp xỉ đạo hàm Áp dụng công thức Taylor F (x, x ( x)2 x) = F (x) + F (x) + F (x) + + 1! 2! ( x)m (m) F (x) + O(( x)m+1 ) m! ta có u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj ) + O(τ ), (1.4) τ ∂t u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj+1 ) + O(τ ), (1.5) τ ∂t u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj + l/2) + O(τ ), (1.6) τ ∂t u(xi+1 , tj ) − 2u(xi , tj ) + u(xi−1 , tj ) ∂ u = (xi , tj ) + O(h2 ), (1.7) h ∂x u(xi+1 , tj+1 ) − 2u(xi , tj+1 ) + u(xi−1 , tj+1 ) ∂ u = (xi , tj+1 ) + O(h2 ), h ∂x (1.8) u(xi+1 , tj+1 ) − 2u(xi , tj+1 ) + u(xi−1 , tj+1 ) + h2 u(xi+1 , tj ) − 2u(xi , tj ) + u(xi−1 , tj ) ∂ 2u = (xi , tj + τ /2) + O(h2 + τ ), 2 h ∂x (1.9) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Từ cơng thức (2.36) ta có: α1j = P0j , β1j = Φj0 Do mà công thức (2.39) cho phép ta tính α1j , β1j , i = 1, N lớp thứ j Từ (2.37), ta cho i = N − suy j j j j vN −1 = αN vN + βN , thay vào biểu thức j j j vN = pjN vN −1 + ΦN Trong cơng thức (2.36) ta có j j j j vN = pj1 vN + βN αN + ΦjN ⇒ j vN = j pj1 vN + ΦjN j − pj1 αN j (Lưu ý: phần tiếp theo, ta chứng minh 1−pj1 αN = thỏa mãn) Khi tính giá trị v1j , i = 1, N − lớp thứ j theo công thức (2.37) Như sau lần giải hệ phương trình truy đuổi dạng ba đường chéo ta tìm nghiệm số toán sai phân lớp lưới theo biến số t 31 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Sự ổn định, hội tụ sai số Chương tác giả đề cập tới: ổn định, hội tụ sai số phương pháp sai phân cho tốn sai phân có hệ số liên tục 3.1 Sự ổn định phương pháp sai phân Ta thấy: với τ > 0, h > tốn tử sai phân Lhτ , l0hτ , l1hτ , lξhτ định nghĩa chương II III thỏa mãn nguyên lý cực đại Định lý 3.1 Nguyên lý cực đại ∗ Nếu v = const Ωhτ , vi0 ≤ 0, Lhτ v ≤ 0, l0hτ v ≤ 0, l1hτ v ≤ 0, lξhτ v ≤ Ωhτ v không đạt cực đại dương Ωhτ ∗ Nếu v = const Ωhτ , vi0 ≥ 0, Lhτ v ≥ 0, l0hτ v ≥ 0, l1hτ v ≥ 0, lξhτ ≥ Ωhτ v khơng đạt cực tiểu âm Ωhτ Chứng minh Nguyên lý Giả sử v đạt cực đại dương Ωhτ v = const nên tồn nút lưới (i, j), v đạt cực đại cho vij lớn hẳn giá trị v nút lân cận Tiếp theo ta xét hai trường hợp sau j a) Tại nút lưới trong, ta xét toán tử Lhτ vij lξhτ vN j j b) Tại nút lưới biên, ta xét toán tử l0hτ vi l1ξhτ vN 32 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Trường hợp a • Khi v đạt cực đại dương Ωhτ nút (i, j), i = 0, N0 , N Từ định nghĩa toán tử Lhτ v ta suy tốn tử Lhτ vij , có Lhτ vij j j vi+1 − vij vij − vi−1 vij − vij−1 j = − ri ai+1 − − τ h h h j j j j + (+1) j vi+1 − vi − j vi − vi−1 − (b a )i − (b a)i + dji vij h h vij , i = 0, N0 , N cực đại Ωhτ nên ta có  j   vi+1 − vij ≤ 0,   j vij − vi−1 ≥ 0,    v j − v j−1 ≥ 0, i i Đồng thời ba bất đẳng thức có bất đẳng thức ngặt Lhτ vij > 0, điều trái với giả thiết Lhτ vij ≤ • Khi v đạt cực đại dương Ωhτ nút (N0 , j) j Từ định nghĩa toán tử lξhτ vN ta suy j j j − vN j j j vN0 − vN0 −1 = + (sξ − aN0 ) h1 h0 j j−1 vN0 − vN 1 − + j j + (h0 d(ξ ) + h1 d(ξ ) + 2σξ ) vN0 + (h0 + h1 ) 2 τ j lξhτ vN −0 vj j j j N0 +1 −(sξ + aN0 +1 ) v đạt cực đại dương Ωhτ nút (N0 , j) nên ta có  j   vj − vN ≤ 0,   N0 +1 j j vN − vN ≥ 0, 0 −1    v j − v j−1 ≥ N0 N0 Đồng thời ba bất đẳng thức có bất đẳng j thức ngặt, Lξhτ vN > Điều trái với giả thiết j Lξhτ vN0 ≤ Trường hợp b: v đạt cực đại dương Ωhτ nút (0, j) nút (N, j) 33 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • Khi v đạt cực đại dương Ωhτ nút (0, j) Từ định nghĩa toán tử l0hτ v0j chương 1, ta có l0hτ v0j Mà j j h0 v0j − v0j−1 h0 j j v0 − v1 = − s a1 + σ0j + dj0 v0j τ h0  v j − v j−1 ≥ 0, 0 j v − v j ≤ 0, hai bất đẳng thức có bất đẳng thức ngặt, l0hτ v0j > 0, điều mâu thuẫn với giả thiết l0hτ v0j ≤ • Khi v đạt cực đại dương Ωhτ nút (N, j) j Từ định nghĩa toán tử lξhτ vN chương 1, ta có j l1hτ vN j j j j−1 − vN h1 vN h1 j j vN − vN −1 j = − s aN + σ1j + djN vN τ h1 Mà  v j − v j−1 ≥ 0, N N v j − v j N N −1 ≥ 0, hai bất đẳng thức có nhât bất đẳng thức ngặt, j j l1hτ vN > 0, điều mâu thuẫn với giả thiết l1hτ vN ≤ j Theo kết trường hợp a b, ta có Lhτ vi > 0, l0hτ v0j > j 0, l1hτ vN > 0, j lξhτ vN > Điều mâu thuẫn với giả thiết Lhτ vij ≤ 0, l0hτ v0j ≤ j j 0, l1hτ vN ≤ 0, lξhτ vN ≤ 0, ta có nguyên lý cực đại Để xét hội tụ toán ta dụng kết hai bổ đề sau: Bổ đề Xét toán  P j y j − Qj y j + K j y j = −Φj , i i i i+1 i i i−1 y j = pj y j + Φj , y j = pj y j + Φj 0 1 N −1 N N (3.1) 34 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ≤ i ≤ N − 1, < j ≤ M (M N hai số nguyên dương)    Pij ≥ C10 , Kij ≥ C11 , Qji − (Pij + Kij ) ≥ 0, i = N0       < pj0 ≤ 1, < pj1 ≤ 1, pj0 + pj1 <     j |Pi − Kij | ≤ C12 h, i = N0    C10 = const, C11 = const, C12 = const      PNj     C13 < K j < C14 , C13 = const, C14 = const N0 (3.2) Giả sử yij nghiệm toán lớp thứ j, ta có kết sau |yij | ≤ N −1 N s−1 j j j j {|ΦN |+|Φ0 |+ |Φs |}+C16 {N |Φ0 |+ j pji αN | s=1 s=i+1 r=1 C17 |1 − |Φjr |} (3.3) Trong C16 , C17 số dương,C17 = max{1, C16 } Bổ đề Xét toán phụ  −(r(aωx )x )j − (b+ a(+1) ωx )j − (b− aωx )j + (dω)j = φj , < i = N0 < N, i i i i i (−sξ + aN +1 ωxN + sξ − aN ωxN + (h0 d(ξ − ) + h1 d(ξ + ) + 2σξ )ωN )j = φj 0 0 N0 (3.4) Tại vị trí biên  h0  j −aj1 sj0 ωx0 + σ0j + dj0 ω0j = φj0 , (3.5) h1 j j j j j j j  aN s1 ωxN + σ1 + dN ωN = φ1 Ta có kết bổ đề ω j ≤ C ϕj , C = const, (3.6) ωtj ≤ C{ ϕj−1 + ϕjt }, (3.7) 35 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3.1.1 Khái niệm ổn định, bất đẳng thức ổn định Xét toán    L z j = φji , i = 1, N − 1, j = 1, M   ht i l0ht z0j = φj0    l z j = φj 1ht N N (3.8) Bài toán (3.8) ổn định có nghiệm nhất, đồng thời nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải ϕji , i = 0, N Sự ổn định tốn cịn định nghĩa sau Bài tốn (3.8) ổn định có nghiệm với vế phải ϕji , i = 0, N đồng thời thỏa mãn bất đẳng thức z j ≤ z + C| φj | (3.9) Trong j j | φ| = τ φk−1 + φ k=1 k j , C = const Bất đẳng thức (3.9) gọi bất đẳng thức ổn định toán (3.8) 3.1.2 Xét toán Lht zij = ϕji , l0ht z0j = ϕj0 , j l1ht zN = ϕjN , j lξht zN = ϕjN0 , zi0 = Trong i j số nguyên thỏa mãn: < i = N0 < N, < j ≤ M 36 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đặt z =ω+Z ⇒ Z = z − ω (ω nhắc đến nghiệm toán (3.4), (3.5) xét bổ đề bên trên) Ta có j j Lht Zij = ψij , l0ht Z0j = ψ0j , l1ht ZNj = ψN , lξht ZNj = ψN , 0 < i = N0 < N, < j ≤ M Trong  j j j j   ψ = L z − L ω = (−ω ) ht ht  t i i i i , i = N0 ,     ψ0j = l0ht z0j − l0ht ω0j = (−ωt )ji , i = N0 , h j j j j  ψ = l z − l ω = (− ωt )N ,  1ht 1ht N N N     j j j j  ψN = l z − l ω = (h0 + h1 )ωtN ξht 0ht N N 0 0 (3.10) |ψij | ≥ nên theo định lý 1, chương này, ta có Yij ≥ Ωht ≥ Mặt khác    Lht (Z − Y )ji = Lht Zij − Lht Yij = ψij − |ψij | ≤ 0,       (Z − Y )0i = Zi0 − Yi0 = ψi0 − |ψi0 | ≤ 0,   l0ht (Z − Y )j0 = l0ht Z0j − l0ht Y0j = ψ0j − |ψ0j | ≤ 0,    j j   l1ht (Z − Y )jN = l1ht ZNj − l1ht YNj = ψN − |ψN | ≤ 0,     l (Z − Y )j = l Z j − l Y j = ψ j − |ψ j | ≤ ξht ξht N0 ξht N0 N0 N0 N0    Lht (Z + Y )ji = Lht Zij + Lht Yij = ψij + |ψij | ≤ 0,       (Z + Y )0i = Zi0 + Yi0 = ψi0 + |ψi0 | ≤ 0,   l0ht (Z + Y )j0 = l0ht Z0j + l0ht Y0j = ψ0j + |ψ0j | ≤ 0,    j j   l1ht (Z + Y )jN = l1ht ZNj − l1ht YNj = ψN − |ψN | ≤ 0,     l (Z + Y )j = l Z j − l Y j = ψ j − |ψ j | ≤ ξht ξht N0 ξht N0 N0 N0 N0 37 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Do đó, theo định lý ta có  (Z − Y )j ≤ 0, i (Z + Y )j ≤ i ⇒ −Yij ≤ Zij ≤ Yij ⇒ |Zij | ≤ Yij Ωht Bất đẳng thức với i = 1, N nên ta suy Z j ≤ Y j , ∀j = 1, M (3.11) Giả sử hàm Yij đạt cực đại Ωht điểm (xt0 , tj ) j cố định √ Yij − Y0j j Nếu i0 = Yx0 = ≤ h Do đó, từ l0ht Y0j = h j h Yt0 − sj0 aji Yxj0 + (σ0j + dj0 )Y0j = |ψ0j |, 2 suy h j h Y0j − Y0j−1 j Y ≤ |ψ0 | ⇒ ≤ t0 τ h − ωt j , Suy Y0j ≤ Y0j−1 + τ |ωtj0 | ⇒ Y j ≤ Y j−1 + τ ωij Mà theo bổ đề ωij ≤ C{ φj−1 + φji } vậy, ta có Y j ≤ Y j−1 + τ C{ φj−1 + φji , } √ Nếu i0 = N YxjN (3.12) Yij − YNj −1 = ≥ h Do đó, từ l1ht YNj = h j h j YtN − sj1 ajN YxjN + (σ1j + djN )YNj = |ψN | 2 38 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ suy h j h YNj − YNj−1 j Y ≤ |ψN | ⇒ ≤ tN τ h − ωt j N Suy YNj ≤ YNj−1 + τ |ωtjN | ⇒ Y j ≤ Y j−1 + τ ωij Mà theo bổ đề ωij ≤ C{ φj−1 + φji }, nên Y j ≤ Y j−1 + τ C{ φj−1 + φji } √ (3.13) Nếu < i0 = N0 < N   Yij0 +1 − Yij0  j Yx = ≤ ⇒ (b+ a(+1) Yx )ji0 ≤ 0, i h j j  Y − Yi0 −1  Yxj = i0 ≥ ⇒ (b− aYx )ji0 ≤ i h (r(aYx )x )ji0 = rij0 Yj − (+1) j i0 +1 (a )i0 h2 Yij0 − (a)ji0 Yij0 − Yij0 −1 − ≤0 h2 Do đó, từ lht Yij0 = (Yt − r(aYt )x − b+ a(+1) Yx − b− a(+1) Yx + qY )ji0 = |ψij0 | Suy (Yt )ji0 ≤ |ψij0 | Yij0 − Yij−1 ⇒ ≤ |(−ωt )ji0 | τ j ⇒ Yi0 ≤ Yij−1 + τ |ωtij | ⇒ Y j ≤ Y j−1 + τ ||ωij || Mà theo bổ đề ωij ≤ C{ φj−1 + φji } 39 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Vì ta có Y j ≤ Y j−1 + τ C{ φj−1 + φji } √ Nếu i0 = N0   YNj 0+1 − YNj  j Y ≤ ⇒ −(sξ , aN0 +1 , YxN )j ≥ 0, xN = h j j  Y − YN 0−1 j  N0 YxN = ≥ ⇒ (sξ , aN0 , YxN0 )j ≥ 0 h Do đó, từ  lξht YNj  − + −sξ aN0 +1 YxN0 + sξ aN0 YxN0 + (h0 d(ξ ) + h1 d(ξ )+, =  +2σξ )YN0 + (h0 + h1 )YtN0 j lξht YNj = |ψN | Ta suy 1 j j (h0 + h1 )YtN0 ≤ |ψN | = (h0 + h1 )|ψtN | 0 2 Suy YNj − YNj−1 j j j−1 j ≤ |ωtN | ⇒ Y ≤ Y + τ |ω | N N tN 0 0 τ ⇒ Y j ≤ Y j−1 + τ ||ωtj || Mà theo bổ đề ωtj ≤ C φj−1 + φjt ta có Y j ≤ Y j−1 + τ C{ φj−1 + φji } Công thức (3.13) luôn nên ta có Y j ≤ Y j−1 + τ C{ φj−1 + φjt } 40 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Y j−1 ≤ Y j−2 + τ C{ φj−2 + φj−1 } t Y j ≤ Y + τ C{ φ0 + φjt } j Y j ≤ Y { ϕk−1 + ϕkt } + τC k=1 Yi0 = ⇒ Y = nên ta có kết sau j Y j { ϕk−1 + ϕkt } ≤ τC k=1 Theo (3.13) Z j ≤ Y j , ∀j = 1, M j Zj ≤ τ C { ϕk−1 + ϕkt } k=1 Mặt khác z = Z + ω ⇒ zj = Z j + ωj ≤ Z j + ωj j ⇒ z j ≤ Z j + ω j ≤C τ ϕk−1 + ϕkt k=1 Đặt j ϕ j := ϕk−1 + ϕkt τ k=1 ⇒ z j ≤ C| ϕj | (3.14) Bất đẳng thức (3.14) bất đẳng thức ổn định cần chứng minh ( z = 0) 41 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3.1.3 Ý nghĩa bất đẳng thức ổn định Khi vế phải bất đẳng thức (3.14) có ϕ → 0, ϕt → nghiệm z → Nếu z = vh − uh (trong v nghiệm tốn sai phân cịn u nghiệm tốn đạo hàm riêng) nghiệm toán sai phân tiến dần đến nghiệm toán đạo hàm riêng (v → u) 3.2 Sự hội tụ sai số • Sự hội tụ Đặt z = vh − uh Theo công thức khai triển Taylor chương 2, mục "Xấp xỉ đạo hàm riêng" ta có    Lht uji = fij + O(h2 + τ ),      l0ht uj0 = g0j + h f0j + O(h2 + τ ), h j j j   fN + O(h2 + τ ), l u = g +  1ht N     lξht uj = lξ u + O(h2 + τ ), O(h2 + τ ) = max(O(h2 + τ ), O(h2 + τ )) N0 (3.15) Xét toán    Lht zij = φji , zi0 = 0,     l z j = φj , 0ht 0 j   l1ht zN = φjN ,     l z j = φj ξht N0 N0 (3.16) với < i = N0 < N, < j < M 42 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Trong    φji = Lht vij − Lht uji = O(h2 + τ ), < i = N0 < N,     φj = l v j − l uj = O(h2 + τ ), 0ht 0ht 0 j   φjN = l1ht vN − l1ht ujN = O(h2 + τ ),     φj = l v j − l uj = O(h2 + τ ) = max(O(h2 + τ ), O(h2 + τ )) ξht N0 ξht N0 N0 Áp dụng bổ đề cho toán (3.16) ta j τ { φk + φjt } = O(h2 + τ ) ≤ C(h2 + τ ) zj ≤ C k=1 ⇒ (v − u)j ≤ C(h2 + τ ) (3.17) Công thức (3.17) cho ta thấy, h → 0, τ → (v − u)j → hay v j → uj Điều có nghĩa h, τ bé nghiệm gần v j gần nghiệm uj 43 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Phương pháp sai phân với toán Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục "bài toán biên loại 3" nghiên cứu truyền nhiệt vật chất mỏng, đồng chất có chiều dài đơn vị dài, có hệ số vật lý hàm số liên tục miền xét đơn vị dài khoảng thời gian đơn vị thời gian Đây hướng nghiên cứu mở nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuât Trong luận văn tác giả nghiên cứu số kết sau • Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều • Phương pháp sai phân toán truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục • Sự ổn định, hội tụ sai số Hướng nghiên cứu phát triển ra: • Phương pháp sai phân toán truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số gián đoạn • Trường hợp có nhiều điểm gián đoạn 44 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng việt [1] Lê Trọng Vinh (2007),Giáo trình Giải tích số, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [2] Tạ Văn Đĩnh (2000),Khai triển tiệm cận sai số phương pháp luân phương ẩn giải toán truyền nhiệt chiều, Kỷ yếu hội nghị Toán học ứng dụng toàn quốc lần thứ Hà Nội, tập III [3] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tài liệu Tiếng Nga [4] I.I, Liaskô, A.K Boiartrue, Lê Trọng Vinh (1974), Độ lược đồ sai phân phương trình khuyếch tán mơi trường hai pha, Tạp chí Tốn học tính tốn ứng dụng số 24 [5] B.F Đemtrenkô, Lê Trọng Vinh (1974), Độ lược đồ sai phân phương trình khuyếch tán mơi trường nhiều pha, Tạp chí Tốn học tính tốn ứng dụng số 24 [6] A A Camafski (1971), Lý thuyết lược đồ sai phân, Nhà xuất Mạc Tư Khoa 45 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... nghiên cứu số kết sau • Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều • Phương pháp sai phân tốn truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục • Sự ổn định, hội tụ sai số Hướng... dựng phương pháp Bài toán sai phân Sự xấp xỉ Sự ổn định 1.5.5 Sự hội tụ sai Phương pháp sai phân với toán Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục. .. sai phân với toán Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục, mà cụ thể trình bày theo bố cục sau Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều Chương 2: Phương pháp