ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn - Tin, Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo kính mến PGS TS Tạ Duy Phượng, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc công việc, gần gũi sống thầy giúp cho tơi có niềm tin, ý thức trách nhiệm tâm cao để hoàn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn gia đình bạn bè, người đồng hành, hết lịng động viên giúp đỡ tơi suốt trình học tập làm luận văn thạc sĩ Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hạnh Hoa i 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 1 Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến 1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân 1.1.1 Phương pháp Weerakoon Fernando (2000, [42]) 1.1.2 Phương pháp Frontini Sormani (2003, [25]) 1.1.3 Phương pháp Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang (2006, [17]) 1.1.4 Phương pháp Liang Fang, Guoping He, Zhongyong Hu (2008, [21]) 10 1.1.5 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [36]) 10 1.1.6 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat Yasmin (2010, [38]) 12 1.1.7 Phương pháp H H H Homeier (2005, [13]) 14 1.1.8 Phương pháp Rostam K Saeed Fuad W Khthr (2010, [40]) 1.1.9 Phương pháp P Wang (2011, [39]) 20 15 1.1.10 Phương pháp Sanjay K Khattri, Ravi P Agarwal (2010, [44]) 20 1.1.11 Phương pháp V Kanwar, Kapil K Sharma, Ramandeep Behl (2010, [48]) 21 1.1.12 Phương pháp Hadi Taghvafard (2011, [14]) 23 1.2 Phương pháp hai bước, ba bước bốn bước 25 1.2.1 Phương pháp Potra Pták (1984, [11]) 25 i 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC 1.2.2 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [37]) 25 1.3 1.2.3 Phương pháp Sanjay K Khattri, Ioannis K Argyros (2010, [43]) 26 1.2.4 Phương pháp Zhongyong Hu, Liu Guocai, Li Tian (2011, [50]) 27 1.2.5 Phương pháp Linke Hou Xiaowu Li (2010, [23]) 27 Phương pháp tham số 28 1.3.1 Phương pháp Mamta, V Kanwar, V K Kukreja, Sukhjit Singh (2005, [28]) 28 1.3.2 Phương pháp Sanjay K Khattri S Abbasbandy (2011, [45]) 29 1.3.3 Phương pháp Yao-tang Li, Ai-quan Jiao (2009, [49]) 29 1.3.4 Phương pháp Kou Jisheng, Li Yitian, Liu Dingyou He Julin (2007, [19]) 33 1.4 1.5 Phương pháp khai triển Taylor 33 1.4.1 Phương pháp Jisheng Kou (2007, [18]) 33 1.4.2 Phương pháp M M Hosseini (2009, [27]) 35 1.4.3 Phương pháp Chebyshev 36 Phương pháp nội suy tuyến tính 37 1.5.1 Phương pháp Manoj Kumar Singh (2009, [29]) 37 1.5.2 Phương pháp Muhammad Rafiullah, Muhammad Haleem (2010, [32]) 38 1.5.3 1.6 Phương pháp Manoj Kumar Singh S R Singh (2011, [30]) 39 Một số phương pháp khác 40 1.6.1 Phương pháp H H H Homeier (2003, [12]) 40 1.6.2 Phương pháp J R Sharma (2005, [15]) 41 1.6.3 Phương pháp B Neta (2008, [2]) 42 1.6.4 Phương pháp J R Sharma (2007, [16]) 43 1.6.5 Phương pháp Tibor Luki´c, Nebojˇsa M Ralevi´c [47] 44 1.6.6 Phương pháp Keyvan Amini (2007, [20]) 44 1.6.7 Phương pháp Mehdi Dehghan Masoud Hajarian (2010, [31]) ii 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến 48 2.1 Phương pháp Newton - Raphson 48 2.2 Phương pháp xấp xỉ 49 2.2.1 Phương pháp D K R Babajee MZ Dauhoo (2007, [9]) 49 2.2.2 Phương pháp N A Mir Naila Rafiq (2007, [33]) 51 2.2.3 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Farooq Ahmad, Muhammad Raza, Tahira Nawaz (2010, [35]) 52 2.3 Phương pháp tham số 53 2.3.1 Phương pháp Li Shengguo, Li Housen Cheng Lizhi (2009, [22]) 53 2.3.2 Phương pháp M Heydari, S M Hosseini, G B Loghmani (2010, [26]) 54 2.3.3 Phương pháp Behzad Ghanbari, Bijan Rahimi Mehdi Gholami Porshokouhi (2011, [5]) 55 2.3.4 Phương pháp B Neta, Anthony N Johnson (2008, [4]) 56 2.3.5 Phương pháp Beny Neta (2010, [3]) 57 2.3.6 Phương pháp S G Li, L Z Cheng, B Neta (2010, [41]) 58 2.3.7 Phương pháp Eldon Hansen Merrell Patrick (1977, [10]) 61 2.3.8 Phương pháp Ljiljana D Petkovi´c, Miodrag S Petkovi´c, Dragan ˇ Zivkovi´ c (2003, [24]) 62 2.4 Một số phương pháp khác 64 2.4.1 Phương pháp Naoki Osada (2007, [34]) 64 2.4.2 Phương pháp Changbum Chun, Hwa ju Bae, Beny Neta (2008, [7]) 65 2.4.3 Phương pháp Changbum Chun, Beny Neta (2009, [6]) 67 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iii 70 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Isaac Newton (1642 - 1727) nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên nhà toán học vĩ đại người Anh Ơng xây dựng cơng thức giải phương trình phi tuyến f (x) = viết năm 1671 công bố lần vào năm 1685 Newton tính tốn chuỗi đa thức sau ơng đưa đến nghiệm xấp xỉ phương trình Joseph Raphson (1648 - 1715) coi phương pháp Newton hoàn toàn phương pháp đại số giới hạn việc sử dụng cho đa thức biến Tuy nhiên Raphson mô tả phương pháp thông qua dãy xấp xỉ xn thay chuỗi đa thức phức tạp Newton Cách giải thích Raphson xem đơn giản Newton ông công bố vào năm 1690 Ngày gọi phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến f (x) = việc xây dựng dãy lặp hội tụ tới nghiệm phương trình Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trò quan trọng khoa học kĩ thuật, đặc biệt ngành Tốn học nói chung phương pháp số nói riêng Trong thực tế có khả ứng dụng lớn Sau phương pháp Newton – Raphson đời, việc giải phương trình phi tuyến phát triển mạnh mẽ có ứng dụng nhiều lĩnh vực Giải tốn có ý nghĩa thực tế quan trọng, đặc biệt giai đoạn với hỗ trợ máy tính điện tử việc trở nên có hiệu lực Điều thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu phương pháp Dựa sở phương pháp Newton – Raphson có, nhiều báo đăng tạp chí tiếng giới nói cách xây dựng phương pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, thực máy tính điện tử 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trong luận văn này, tơi trình bày tổng quan phương pháp Newton cải tiến có tốc độ hội tụ cao giải gần phương trình phi tuyến cho trường hợp phương trình có nghiệm đơn phương trình có nghiệm bội Do khuôn khổ luận văn, phương pháp Newton mở rộng cho hệ phương trình phi tuyến phương trình khơng gian Banach khơng trình bày Tuy nhiên, phần TÀI LIỆU BỔ SUNG chúng tơi có liệt kê báo phương pháp Newton cho hệ phương trình (trang 77 - 80, tài liệu [95] - [122]) phương trình khơng gian Banach (trang 80 - 82, tài liệu [123] - [145]) Luận văn gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương trình bày phương pháp tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Đồng thời đưa định lý hội tụ phương pháp minh họa số ví dụ Chương nhắc lại khái niệm nghiệm bội phương trình f (x) = đưa phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến số ví dụ minh họa Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hạnh Hoa 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Giải phương trình phi tuyến tốn quan trọng giải tích số Trước hết, xét phương trình f (x) = (1.1) Giải gần phương trình f (x) = thực theo hai bước: Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm Mỗi phương trình nói chung có nhiều nghiệm Chúng ta cần tìm khoảng chứa nghiệm (a, b), phương trình có nghiệm (có nghiệm) tiêu chuẩn sau Định lí (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f (x) liên tục đoạn [a, b] thỏa mãn điều kiện f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) Định lí (Hệ Định lí 1) Giả sử f (x) hàm liên tục đơn điệu ngặt đoạn [a, b] Khi f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) Định lí (Hệ Định lí 2) Giả sử f (x) có đạo hàm f (x) đạo hàm f (x) khơng đổi dấu đoạn [a, b] Khi f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Bước 2: Giải gần phương trình Sau sử dụng ba định lí để xác định khoảng chứa nghiệm phương trình f (x) = 0, xét phương pháp giải gần phương trình phi tuyến f (x) = trường hợp nghiệm đơn Ở f : R → R hàm phi tuyến trơn có nghiệm đơn x∗ , tức f (x∗ ) = f (x∗ ) = Xuất phát từ giá trị ban đầu x0 thuộc khoảng phân li nghiệm phương trình (1.1), xấp xỉ xác định công thức xn+1 = ϕ(xn ), n = 0, 1, 2, Phương pháp Newton - Raphson tìm nghiệm x∗ phương trình (1.1) sử dụng sơ đồ lặp xn+1 = xn − f (xn ) f (xn ) (1.2) Phương pháp lặp có tốc độ hội tụ bậc hai tốt f (x∗ ) = Người ta cải tiến phương pháp trở nên tốt cách nâng tốc độ hội tụ lên cao Trong chương này, trình bày lại nội dung số báo cải tiến phương pháp Newton giải gần phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao cho trường hợp nghiệm đơn minh họa qua số ví dụ tính tốn cụ thể Trường hợp nghiệm bội phương trình xét Chương 1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân Xét biểu diễn hàm f (x) dạng x f (x) = f (xn ) + f (t)dt (1.3) xn Nhiều nhà toán học cải tiến phương pháp Newton việc xấp xỉ tích phân cơng thức (1.3) quy tắc khác thu khơng phương pháp lặp tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao Dưới chúng tơi trình bày phương pháp giải phương trình f (x) = có tốc độ hội tụ bậc cao số báo 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Có nhiều tốn thực tế dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình phi tuyến f (x) = Nhiều phương pháp giải phương trình phi tuyến đưa ra, điển phương pháp: phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp dây cung, phương pháp cát tuyến, Đặc biệt Newton Raphson đưa phương pháp Newton - Raphson tiếng tìm nghiệm đơn nghiệm bội phương trình f (x) = Dựa vào tư tưởng phương pháp Newton - Raphson, nhiều người xây dựng phương pháp giải phương trình phi tuyến xuất phát từ điểm ban đầu cho trước tương đối tốt để tìm nghiệm xấp xỉ gần nghiệm phương trình, với tốc độ hội tụ cao Luận văn trình bày 34 phương pháp Newton cải tiến giải phương trình phi tuyến cho trường hợp nghiệm đơn 15 phương pháp Newton cải tiến cho trường hợp nghiệm bội phương trình Đồng thời đưa số định lý chứng minh hội tụ bậc cao phương pháp này, kết hợp số ví dụ minh họa giúp so sánh phương pháp Newton với phương pháp khác 75Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 69 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU TRÍCH DẪN [1] A M Ostrowski, Solutions of equations and system of equations, Academic Press, New York, 1960 [2] B Neta, On Popovski’s method for nonlinear equations, J Comput Appl Math (2008) [3] B Neta, Extension of Murakami’s high-order non-linear solver to multiple roots, Int J Comput Math Vol 87, No 5, April 2010, 1023-1031 [4] B Neta, Anthony N Johnson, High-order nonliear solver for multiple roots, Comput Math Appl (2008) 1-6 [5] Behzad Ghanbari, Bijan Rahimi and Mehdi Gholami Porshokouhi, A new class of third-order methods for multiple zeros, Int J Pure Appl Sci Tech., (2) (2011), 65-71 [6] Changbum Chun, Beny Neta, A third-order modification of Newton’s method for multiple roots, App Math Comput 211 (2009) 474-479 [7] Changbum Chun, Hwa ju Bae, Beny Neta, New families of nonlinear third-order solvers for finding multiple roots, Comput Math App (2008) [8] D B Popovski, A family of one point iteration formulae for finding roots, Int J Comput Math (1980) 85-88 76Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 70 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [9] D K R Babajee and MZ Dauhoo, A Uni-parametric family of two-point third order iterative methods free from second derivatives: Substitute for Chebyshev’s method, 2007 [10] Eldon Hansen and Merrell Patrick, A family of root finding methods, Numer Math 27, 257-269 (1977) [11] F A Potra and V Pták, Nondiscrete induction and iterative processes, Research Notes in Mathematics, Vol 103, Pitman, Boston (1984) [12] H H H Homeier, A modified Newton method for root finding with cubic convergence, J Comput Appl Math 157 (2003) 227-230 [13] H H H Homeier, On Newton-type methods with cubic convergence, J Comput Appl Math 176 (2005) 425-432 [14] Hadi Taghvafard, New iterative methods based on spline functions for solving nonlinear equations, Bulletin Math Analysis Appl.Vol Issue (2011), 31-37 [15] J R Sharma, A composite third order Newton–Steffensen method for solving nonlinear equations, Appl Math Comput 169 (2005) 242-246 [16] J R Sharma, A family of third-order methods to solve nonlinear equations by quadratic curves approximation, Appl Math Comput 184 (2007) 210-215 [17] Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang, A modification of Newton method with thirdorder convergence, J Comput Appl Math 181 (2006) 1106-1111 [18] Jisheng Kou, The improvements of modified Newton’s method, J Comput Appl Math 189 (2007) 602–609 [19] Kou Jisheng, Li Yitian, Liu Dingyou He Julin Third-order iterative methods free from second derivative, Int Math Forum, 2, 2007, No 14, 689-698 [20] Keyvan Amini, A new variant of Newton’s methods with fourth-order convergence, Int J Comput App Math Vol No (2007), 173-179 77Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [21] Liang Fang, Guoping He, Zhongyong Hu, A cubically convergent Newton-type method under weak conditions, J Comput Appl Math 220 (2008) 409-412 [22] Li Shengguo, Li Housen, Cheng Lizhi, Some second-derivative-free variants of Halley’s method for multiple roots, Appl Math Comput 215 (2009) 2192-2198 [23] Linke Hou, Xiaowu Li, Twelfth-order method for nonliear equations, IJRRAS (1) April 2010 ˇ [24] Ljiljana D Petkovi´c, Miodrag S Petkovi´c, Dragan Zivkovi´ c, Hansen-Patrick’s family is of Laguerre’s type, Novi Sad J Math Vol 33, No 1, 2003, 109-115 [25] M Frontini, E Sormani, Some variants of Newton’s method with third-order convergence, Appl Math Comput 140 (2003) 419-426 [26] M Heydari, S.M Hosseini, G.B Loghmani, Convergence of a family of third-order methods free from second derivatives for finding multiple roots of nonliear equations, World App Sciences J 11 (5): 507-512, 2010 [27] M M Hosseini, A Note on one-step iteration methods for solving nonlinear equations, World Applied Sciences Journal 7: 90-95, 2009 [28] Mamta, V Kanwar, V K Kukreja, S Singh, On some third order iterative methods for solving non-linear equations, Appl Math Comput 171 (2005), 272-280 [29] Manoj Kumar Singh, A six-order variant of Newton’s method for solving nonlinear equations, Comput Methods Science Tech 15 (2), 185-193 (2009) [30] Manoj Kumar Singh and S R Singh, A six-order modification of Newton’s method for solving nonlinear equations, Int J Comput cognition, Vol 9, No 2, June 2011, 66-71 [31] Mehdi Dehghan and Masoud Hajarian, Some derivative free quadratic and cubic convergence iterative formulas for solving nonlinear equations, Comput Appl Math., Vol 29, No 1, 19-30, 2010 78Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 72 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [32] Muhammad Rafiullah, Muhammad Haleem, Three-step iterative method with sixth order convergence for solving nonlinear equations, Int J Math Analysis, Vol 4, 2010, No 50, 2459-2463 [33] N A Mir, Naila Rafiq, Third-order and fourth-order iterative methods for finding multiple and distinct zeros of non-linear equations, App Math Comput 190 (2007) 432-440 [34] Naoki Osada, Chebyshev-Halley methods for analytic functions, Comput Math App 16 June 2007 [35] Nazir Ahmad Mir, Farooq Ahmad, Muhammad Raza, Tahira Nawaz, Fourth order methods for finding multiple as well as distinct zeros of non-linear equations, J Math Sciences 26(3) (2010) 321-333 [36] Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq, Quadrature based two-step iterative methods for non-linear equations, G Math vol 16, No (2008), 33-45 [37] Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq, Some improved iterative methods for solving non-linear equations, Int J App Math Vol 48 No.1, 2008, 11-19 [38] Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat Yasmin, Quadrature based three-step iterative method for non-linear equations, G Math Vol 18, No (2010), 31-42 [39] P Wang, A third-order family of Newton-Like iteration methods for solving nonlinear equations, J Numerical Math Stochastics, 3(1): 13-19, 2011 [40] Rostam K Saeed and Fuad W Khthr, Three new iterative methods for solving nonlinear equations, Aus J Basic App Scien., 4(6): 1022-1030, 2010 [41] S G Li, L Z Cheng, B Neta, Some fourth-order nonliear solvers with closed formulae for multiple roots, Comput Math App 59 (2010) 126-135 [42] S Weerakoon, T G I Fernando, A variant of Newton’s method with accelerated third-order convergence, Appl Math Lett.13 (2000) 87-93 79Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 73 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [43] Sanjay K Khattri, Ioannis K Argyros, How to develop fourth and seventh order iterative methods? Novi Sad J Math Vol 40, No 2, 2010, 61-67 [44] Sanjay K Khattri, Ravi P Agarwal, Quadrature based optimal iterative methods, arXiv:1004.2930v1 [math.NA] 16 Apr 2010 [45] Sanjay K Khattri and S Abbasbandy, Optimal fourth order family of iterative methods, 2011, 67-72 [46] T Murakami, Some fifth order multipoint iterative formulae for solving equations, J Inform Process (1978), 138-139 [47] Tibor Luki´c, Nebojˇsa M Ralevi´c, Newton’s method with accelerated convergence modified by an aggregation operator [48] V Kanwar, Kapil K Sharma, Ramandeep Behl, New variants of Newton’s method for nonlinear unconstrained optimization problems, Intelligent Information Management, 2010, 2, 40-45 [49] Yao-tang Li, Ai-quan Jiao, Some variants of Newton’s method with fifth-order and four-order convergence for solving nonlinear equations, Int J App Comput Vol 1(1), 1-16, 2009 [50] Zhongyong Hu, Liu Guocai and Li Tian, An Iterative Method with ninth-order convergence for solving nonlinear equations, Int J Contemp Math Sciences, Vol 6, 2011, No 1, 17-23 TÀI LIỆU BỔ SUNG [A] Tài liệu tiếng Việt [51] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [52] Nguyễn Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuất Văn Ninh, Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 1992 80Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [53] Tạ Duy Phượng, Một số chuyên đề Giải tích số, 2011 (bản thảo) [B] Tài liệu tiếng Anh Trong không gian R [54] A Bathi Kasturiarachi, Leap-frogging Newton’s method, Int J Math Educ Sci Technol., 2002, Vol 33, No 4, 521-527 [55] Ali R Soheili, S A Ahmadian, J Naghipoor, A family of predictor-corrector methods based on weight combination of quadratures for solving nonlinear equations, Int J Nonlinear Science, Vol.6 (2008) No.1, 29-33 [56] Bahman Kalantari, Halley’s method as the first member of an infinite family of cubic order root finding methods [57] C C Dong, A family of multipoint iterative functions for finding multiple roots, Int J Comput Math., 21 (1987), 363-367 [58] C Dong, A family of multipoint iterative functions for finding multiple roots, Int J Comput Math 21 (1987) 363-367 [59] E Bodewig, Sur la méthode Laguerre pour l’approximation des racines de certaines équations algébriques et sur la critique d’Hermite, Indag Math 8, 570-580 (1946) [60] F Ahmad, S Hussain, N A Mir and A Rafiq, New sixth order Jarratt method for solving nonlinear equation, Int J Appl Math Mech (5): 27-35, 2009 [61] F Soleymani, A Novel and precise sixth-order method for solving nonlinear equations, Int J Math Mod Meth App Sci [62] F Soleymani, M Sharifi, On a general efficient class of four-step root-finding methods, Issue 3, Vol 5, 2011 [63] H D Victory, B Neta, A higher order method for multiple zeros of nonlinear functions, Int J Comput Math 12 (1983) 329–335 81Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 75 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [64] H Susanto, N Karjanto, Newton’s method’s basins of attraction revisited, App Math Comput 215 (2009) 1084-1090 [65] I A Al-Subaihi, Mohd Taib Shatnawi, Hani I Siyyam, A ninth-order iterative method free from second derivative for solving nonlinear equations, Int J Math Analysis, Vol 5, 2011, No 47, 2337-2347 [66] J A Ezquerro, M A Hernandez, A uniparametric Halley-type iteration with free second derivative, Int J Pure Appl Math (2003) 103–114 [67] J A Ezquerro, M A Hernandez, On Halley-type iterations with free second derivative, J Comp Appl Math 170 (2004) 455–459 [68] J Chen, W Li, On new exponential quadratically convergent iterative formulae, Appl Math Comput 180 (1) (2006) 242–246 [69] Jisheng Kou, Xiuhua Wang and Shuyu Sun, Some new root-finding methods with eighth-order convergence, Bull Math Soc Sci Math Roumanie, Tome 53(101) No 2, 2010, 133-143 [70] K Karthikeyan, SK Khadar Babu, B Rajesh Anand, New numerical algorithms for minimization of nonlinear functions, Int J Comput Sci Eng, Vol.3, No.1, 2011 [71] Khalida Inayat Noor, Muhammad Aslam Noor, Predictor–corrector Halley method for nonlinear equations, App Math.Comput 188 (2007) 1587-1591 [72] Kou Jisheng, Li Yitian, Wang Xiuhua, Third-order modification of Newton’s method, J Comput App Math 205 (2007) 1-5 [73] Lidija Z Ranci´c, Miodrag S Petkovi´c, Square-root families for the simultaneous approximation of polynomial multiple zeros, Novi Sad J Math Vol 35, No 1, 2005, 59-70 [74] Min Chen, Tsu-Shuan Chang, Higher order two-step methods for root finding, Appl Comput Math (2008), No.2, pp 206-213 82Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 76 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [75] Miodrag S Petkovi´c, Ljiljana D Petkovi´c, Families of optimal multipoint methods for solving nonlinear equations: A survey, Appl Anal Discrete Math (2010), 1-22 [76] Miquel Grau-Sánchez and José Luis Díaz-Barrero, A technique to composite a modified Newton’s method for solving nonlinear equations [77] Miquel Grau-Sánchez, and José M Gutiérrez, Some variants of the Chebyshev–Halley family of methods with fifth order of convergence, Int J Comput Math, 87: (2008), 818-833 [78] Muhammad Aslam Noor, Waseem Asghar Khan, Akhtar Hussain, A new modified Halley method without second derivatives for nonlinear equation, App Math Comput 189 (2007) 1268-1273 [79] Naoki Osada, Asymptotic error constants of cubically convergent zero finding methods, 2005 [80] Nenad Ujevíc, A method for solving nonlinear equations, App Math Comput 174 (2006), 1416-1426 [81] Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, A note on the “constructing” of nonstationary methods for solving nonlinear equations with raised speed of convergence, Serdica J Computing (2009), 47-74 [82] P Jarratt, Multipoint iterative methods for solving certain equations, Comput J (1966) 398-400 [83] R Thukral, Eighth-order iterative methods without derivatives for solving nonlinear equations [84] Richard F King, A family of fourth order methods for nonlinear equations, SIAM Journal on Numerical Analysis, 10 (1973) 876-879 [85] Richard F King, A secant mothed for multiple roots, BIT 17 (1977), 321-328 83Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 77 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [86] S Amat, S Busquier, J M Gutiérrez, M A Hernández, On the global convergence of Chebyshev’s iterative method, J Comput App Math 220 (2008) 17-21 [87] Sanjay Kumar Khattri, How to increase convergence order of Newton’s method to × m? 2009 [88] Wang Haijun, On new third-order convergent iterative formulas, Numer Algor (2008) 48:317-325 [89] Weihong Bi, Hongmin Ren, Qingbiao Wu, Three-step iterative methods with eighthorder convergence for solving nonlinear equations, J Comput App Math., 225 (2009) 105-112 [90] Weonbae Kim, Changbum Chun and Yong-Il Kim, A fifth-order improvement of the Euler-Chebyshev method for solving non-linear equations, J the Chungcheong Math Soc., Vol 24, No 3, September 2011 [91] Xiangde Guo, Zhezhao Zeng, The neural-network approaches to solve nonlinear equation, J Comput., Vol 5, No 3, March 2010 [92] Xiaojian Zhou, Xin Chen, Yongzhong Song, Constructing higher-order methods for obtaining the multiple roots of nonlinear equations, J Comput Appl Math 235 (2011) 4199-4206 [93] Yong-Il Kim and Changbum Chun, New twelfth-order modifications of Jarratt’s method for solving nonlinear equations, Studies in Nonlinear Sciences (1): 14-18, 2010 [94] Young Ik Kim and Sang Deok Lee, A third-order variant of Newton-secan methods finding a multiple zero, J The Chungcheong Math Soci, Vol 23, No 4, 2010 Trong không gian Rn [95] A J Hughes Hallett, Multiparameter extrapolation and deflation methods for solving equation systems, Int J Math Sci., Vol 7, No (1984) 793-802 84Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO [96] A Germani, C Manes, P Palumbo, M Sciandrone, A higher order method for the solution of nonlinear scalar equations, ISSN: 1128-3378, 2003 [97] Anders Forsgren, A sufficiently exact inexact Newton step based on reusing matrix information, November 2009 [98] Bahman Kalantari, Halley’s method as the first member of an infinite family of cubic order root finding methods [99] Byeong-Chun Shin, M T Darvishi, Chang-Hyun Kim, A comparison of the Newton–Krylov method with high order Newton-like methods to solve nonlinear systems, App Math Comput 217 (2010), 3190-3198 [100] C T Kelley, Iterative methods for linear and nonlinear equations, Soci Indus App Math 1995 [101] D K R Babajee, M Z Dauhoo, M T Darvishi, A Barati, A note on the local convergence of iterative methods based on Adomian decomposition method and 3-node quadrature rule, App Math.Comput 200 (2008) 452-458 [102] Fadi Awawdeh, On new iterative method for solving systems of nonlinear equations, Numer Algor, September 2009 [103] Grigore Albeanu, On the generalized Halley method for solving nonlinear equations, Romai J., 4, 2(2008), 1-6 [104] H H H Homeier, A modified Newton method with cubic the multivariate case, J Comput Appl Math 169 (2004) 161-169 [105] H Xu and X W Chang, Approximate Newton methods for nonsmooth equations, J Opti Theory Appl: Vol 93, No 2, pp 373-394, May 1997 [106] Igor Konnov, Elena Mazurkevich, Mohamed Ali, On a regularization method for variational inequalities with P0 mappings, Int J Appl Math Comput Sci., 2005, Vol 15, No 1, 35-44 85Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 79 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [107] J Han, Z H Huang, and S C Fang, Solvability of variational inequality problems, J Opti Theory Appl: Vol 122, No 3, pp 501-520, September 2004 [108] Jafar Biazar, Behzad Ghanbari, A modification on Newton’s method for solving systems of nonlinear equations, World Acad Sci Engineer Tech 58, 2009 [109] Luís N Vicente, A comparison between line searches and trust regions for nonlinear optimization, 1-8 [110] M T Darvishi and Byeong-Chun Shin, High-order Newton-Krylov methods to solve systems of nonlinear equations, J Ksiam, Vol 15, No 1, 19-30, 2011 [111] M T Darvishi, A two-step high order Newton-like method for solving systems of nonlinear equations, Int J Pure App Math., Vol 57, No 4, 2009, 543-555 [112] M T Darvishi, Some three-step iterative methods free from second order derivative for finding solutions of system of nonlinear equations, Int J Pure App Math., Vol 57 No 2009, 557-573 [113] Michael A Savageau, Finding multiple roots of nonlinear algebraic equations using S-system methodology, App Math Comput 55:187-199 (1993) [114] Miquel Grau-Sánchez, Àngela Grau, José Luis Díaz-Barrero, On computational order of convergence of some multi-precision solvers of nonlinear systems of equations, Jun 2011 [115] Muhammad Aslam Noor and Muhammad Waseem, Variants of Newton’s method using fifth-order quadrature formulas: Revisited, J Appl Math Infor Vol 27(2009), No 5, pp 1195-1209 ă [116] Mustafa Ozel, A new decomposition method for solving system of nonlinear equations, Math Comput Appl., Vol 15, No 1, pp 89-95, 2010 [117] Rémi Choquet and Jocelyne Erhel, Newton-Gmres algorithm applied to compressible flows, Int J Num Meth Fluids, Vol 23, 177-190 (1996) 86Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 80 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [118] Richard P Brent, Some efficient algorithms for solving systems of nonlinear equations, J Numer Anal., Vol 10, No 2, April 1973 [119] Thomas Viklands, A cubic convergent iteration method (Internet) [120] W Gander, Change of basis in polynomial interpolation, Numer Linear Algebra Appl 2000; 00:1-6 [121] Yun-Bin Zhao, Gong-Nong Li, Properties of a homotopy solution path for complementarity problems with quasi-monotone mappings, App Math Comput 148 (2004) 93-104 [122] Yiqin Lin, Liang Bao, Xianzheng Jia, Convergence analysis of a variant of the Newton method for solving nonlinear equations, Comput Math Appl 59 (2010), 2121-2127 Trong không gian Banach [123] A Galántai, The theory of Newton’s method, J Comput App Math 124 (2000) 25-44 [124] Adi Ben-Israel, A Newton-Raphson method for the solution of systems of equations, J Math Analy App., Vol 15, No 2, august 1966 [125] Changbum Chun, Pantelimon Stănică, Beny Neta, Third-order family of methods in Banach spaces, Comput Math App 61 (2011) 1665-1675 [126] Dong Chen, I K Argyros, Q S Qian, A note on the Halley method in Banach spaces, App Math Comput 58:215-224 (1993) [127] Ioannis K Argyros, On the semilocal convergence of a fast two-step Newton method, Revista Colombiana de Matemáticas, Vol 42 (2008) 1, Páginas 15-24 [128] Ioannis K Argyros, Accessibility of solutions of equations on Banach spaces by Newton-like methods and applications, Bull Ins Math Acad Sinica, Vol 28, No 1, March 2000 87Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 81 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [129] Ioannis K Argyros, Sufficient conditions for constructing methods faster than Newton’s, App Math Comput 93 (1998) 169-181 [130] Ioannis K Argyros, On the convergence of the secant method under the gamma condition, Centr Euro J Math (2) 2007 205-214 [131] Ioannis K Argyros and Jinhai Chen, On local convergence of a Newton-type method in Banach space, Int J Comput Math., Vol 86, No 8, August 2009, 1366-1374 [132] Ioannis K Argyros, On the local convergence of a midpoint method in Banach spaces under a gamma-type condition, Pro J Math., Vol 28, No 2, pp 155-167, August 2009 [133] J A Ezquerro, M A Hernández, A uniparametric Halley-type iteration with free second derivative, Int J Pure App Math., Vol 6, No 1, 2003, 99-110 [134] J A Ezquerro, M A Hernández, N Romero, Sobre la región de accesibilidad de ciertas iteraciones de tercer orden, Sevilla, 24-28 septiembre 2007, pp 1-8 [135] J M Gutiérrez And M A Hernández, A family of Chebyshev-Halley type methods in Banach spaces, Bull Austral Math Soc., Vol 55 (1997) 113-130 [136] M A Hernández, N Romero, Toward a unified theory for third R-order iterative methods for operators with unbounded second derivative, App Math Comput 215 (2009) 2248-2261 [137] Qingbiao Wu, Hongmin Ren, Convergence ball analysis of a modified Newtons method under Hăolder continuous condition in Banach space [138] Qingbiao Wu, Yueqing Zhao, Third-order convergence theorem by using majorizing function for a modified Newton method in Banach space, App Math Comput 175 (2006) 1515-1524 [139] S Amat, S Busquier, Third-order iterative methods under Kantorovich conditions, J Math Anal Appl 336 (2007) 243–261 88Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 82 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [140] Tetsuro Yamamoto, Historical developments in convergence analysis for Newton’s and Newton-like methods, J Comput App Math 124 (2000) 1-23 [141] Wang Xinghua, Convergence of Newton’s method and inverse function theorem in Banach space, Math Comput., Vol 68, No 225, January 1999, pp 169-186 [142] Wu Peng, Han Danfu, A family of iterative methods with higher-order convergence, App Math Comput., 2006 [143] Xinghua Wang, Chong Li, On the united theory of the family of Euler-Halley type methods with cubical convergence in Banach spaces, J Comput Math., Vol 21, No 2, 2003, 195-200 [144] XintaoYe, Chong Li, Weiping Shena, Convergence of the variants of the ChebyshevHalley iteration family under the Hăolder condition of the first derivative, J Comput App Math 203 (2007) 279-288 [145] XintaoYe, Chong Li, Convergence of the family of the deformed EulerHalley iterations under the Hăolder condition of the second derivative, J Comput App Math 194 (2006) 294-308 89Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 83 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tiến phương pháp trở nên tốt cách nâng tốc độ hội tụ lên cao Trong chương này, trình bày lại nội dung số báo cải tiến phương pháp Newton giải gần phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao cho... quy tắc khác thu khơng phương pháp lặp tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao Dưới trình bày phương pháp giải phương trình f (x) = có tốc độ hội tụ bậc cao số báo 10Số hóa Trung... quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Phương pháp lặp hội tụ bậc ba Dựa số công thức lặp bậc ba (1.4), (1.5), (1.13), (1.55), ta xây dựng cải tiến phương pháp Newton: