ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Minh Hưng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu 2 Kiến thức sở 1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.2 Nghiệm đa thức 11 1.3 Đa thức với hệ số nguyên 14 1.4 Đa thức bất khả quy 16 1.5 Đa thức nội suy 18 Một số toán liên quan đến đa thức biến 25 2.1 Một số toán xác định đa thức tìm nghiệm đa thức 25 2.2 Một số toán đa thức với hệ số nguyên 27 2.3 Một số tốn tính khả quy đa thức 30 2.4 Một số tốn áp dụng cơng thức nội suy 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn trình bày hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc thầy giáo GS TSKH Hà Huy Khối Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tơi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 - 2013, người đem tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K5B ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Hải Phòng, tháng 06 năm 2013 Tác giả Phạm Minh Hưng Số hóa Trung tâm học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Đa thức biến vấn đề quan trọng kiến thức toán học học sinh Lý thuyết đa thức biến phát triển từ lâu, đề cập tới nhiều sách giáo khoa bậc phổ thông, đặc biệt phần quan trọng ôn thi học sinh giỏi hay dạy lớp nâng cao Do thầy giáo cần có hiểu biết chun sâu lĩnh vực để nâng cao hiệu giảng dạy Mục đích luận văn trình bày cách có hệ thống kiến thức lí thuyết đa thức gồm vấn đề về: nghiệm đa thức, đa thức với hệ số nguyên, tính khả quy đa thức, đa thức nội suy Đồng thời luận văn cố gắng xây dựng hệ thống tập liên quan, làm tài liệu chuyên đề cho giáo viên học sinh, nhằm góp phần bồi dưỡng học sinh giỏi, nâng cao chất lượng giảng dạy Với mục đích luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức sở Chương nhắc lại cách có hệ thống kiến thức sở đa thức biến, nghiệm đa thức biến, đa thức với hệ số nguyên, đa thức nội suy, tính khả quy đa thức, có trình bày kèm theo số ví dụ Chương Một số toán liên quan đến đa thức Chương áp dụng lý thuyết đa thức biến để phân loại giải số loại tốn liên quan Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức sở Mục đích chương nhắc lại kiến thức sở đa thức biến, nghiệm đa thức biến, đa thức với hệ số nguyên, đa thức nội suy, tính khả quy đa thức Từ áp dụng vào giải toán chương sau 1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.1.1.Khái niệm đa thức biến Một đơn thức biến x biểu thức dạng cxk , c số k số nguyên không âm c số nguyên, số hữu tỉ, số thực hay số phức Định nghĩa 1: Đa thức biến x tổng hữu hạn đơn thức biến x Nói cách khác, biểu thức dạng P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 Nếu có hai ba số hạng khác không, P gọi nhị thức, tương ứng tam thức Các số a0 , , an (*) hệ số đa thức P Tập hợp đa thức với hệ số A ký hiệu A[x] Ví dụ: R[x] tập hợp đa thức với hệ số thực Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chúng ta giả thiết (*) an = (nếu an = 0, an xn bị xóa mà khơng cần thay đổi đa thức) Khi đó, số mũ n gọi bậc đa thức P ký hiệu degP Đặc biệt, đa thức bậc gọi tuyến tính Đa thức khơng P (x) ≡ gán bậc −∞ Ví dụ P (x) = x3 (x + 1) + (1 − x2 )2 = 2x4 + x3 − 2x2 + đa thức với hệ số nguyên bậc √ Q (x) = 0x2 − 2x + đa thức tuyến tính với hệ số thực √ √ R (x) = x2 = |x| , S (x) = x1 T (x) = 2x + không đa thức Tổng, hiệu tích đa thức đa thức: A (x) = a0 + a1 x + + an xn B (x) = b0 + b1 x + + bm xm A (x) + B (x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + , A (x) B (x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + + an bm xn+m Ví dụ Cho đa thức: f (x) = x3 − 2x2 + x − g (x) = 4x2 − x + Khi đó: f (x) + h (x) = x3 − 2x2 + x − + 4x2 − x + = x3 + 2x2 + f (x) h (x) = x3 − 2x2 + x − 4x2 − x + = 4x5 − 9x4 + 9x3 − 11x2 + 4x − 1.1.2.Định lý Nếu A B hai đa thức , đó: (i) deg(A ± B) ≤ max(degA, degB), Số hóa Trung tâm học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ (ii) deg(A.B) = degA + degB Một thương hai đa thức không thiết phải đa thức Thay vào đó, số nguyên, chúng chia với dư Ví dụ Tìm đa thức f(x) thỏa mãn quan hệ sau: a) x4 − 2x3 + 6x2 − 8x + = (x2 + 4)f (x) b) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (f (x))2 c) deg f = 2, f (x) − f (x − 1) = x Giải a) Vì bậc vế trái hệ số cao x nên f (x) = x2 + bx + c Ta khai triển đồng nhât : x4 − 2x3 + 6x2 − 8x + = x2 + = x4 + bx3 + (4 + c) x2 + 4bx + 4c x2 + bx + c Do đó:   b = −2     4+c=6 ⇔  4b = −8     4c = b = −2 c=2 Vậy f (x) = x2 − 2x + b) Xét f (x) = x2 + ax + b Ta khai triển đồng nhất: x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = x2 + ax + b = x4 + 2ax3 + (2b + a) x2 + 2ax + b2 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Do đó:   2a =     2b + a = ⇔  2a =     b2 = a=1 b=1 Vậy f (x) = x2 + x + c) Bậc f(x) nên f (x) = ax2 + bx + c,a = Khi f (x − 1) = a(x − 1)2 + b (x − 1) + c Đồng hệ số ta kết quả: a = b = 2 Vậy f (x) = x + x + c, c tùy ý 2 1.1.3 Định lý Với đa thức A B = , có đa thức Q (thương) đa thức R (dư) cho A = BQ + R degR < degB Chứng minh Cho A (x) = a0 + a1 x + + an xn B (x) = b0 + b1 x + + bk xk Giả sử k cố định n thay đổi Đối với n < k Q=0 Giả sử n = N ≥ k điều cần chứng minh n < N Khi an A1 (x) = A (x) − xn−k B (x) , bk B(x) đa thức bậc nhỏ n (hệ số xn khơng) Do theo giả thiết quy nạp, tồn đa thức Q-1 R mà A1 = BQ1 +R degR