ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THU HÀ HỆ ĐỘNG LỰC P −ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THU HÀ HỆ ĐỘNG LỰC P - ADIC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào nhà trường Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Mở đầu hệ động lực p−adic 1.1 Tập hút tập đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ 1.1.2 Tập hút, tập đẩy tính chất 1.2 Điểm bất động ánh xạ 1.2.1 Quan hệ Riemann - Hurwitz 1.2.2 Điểm bất động hàm nguyên Họ hàm chuẩn tắc lý thuyết Fatou - Julia 2.1 Họ chuẩn tắc định lý Montel 2.1.1 Họ chuẩn tắc tính chất 2.1.2 Định lý Montel 2.2 Lý thuyết Fatou - Julia 2.2.1 Một số khái niệm 2.2.2 Tính chất tập Julia 3 12 12 16 20 20 20 26 36 36 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 iii Mở đầu Một vấn đề nghiên cứu quan trọng hàm phân hình nghiên cứu hệ động lực ánh xạ lặp thực hàm phân hình, tức nghiên cứu tính chất ánh xạ lặp thực hàm phân hình Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết hệ động lực phức nghiên cứu quỹ đạo ánh xạ, tính chất bất biến tập hợp qua ánh xạ, điểm bất động ánh xạ, tính chất chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình lý thuyết Julia-Fatou Cuối kỷ 19, kết nghiên cứu hệ động lực phức tập trung vào tính chất địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động Năm 1906, P Fatou cho biết dáng điệu tồn cục ánh xạ thơng qua số kết nghiên cứu Về sau, vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới G Julia, S Lattes, J F Ritt, J Milnor, L.Carleson, T,W Gamelin Ngày động lực phức lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với lĩnh vực khác có nhiều ứng dụng rộng rãi Song song với việc phát triển lý thuyết hệ động lực ánh xạ lặp thực hàm phân hình phức, thời gian gần nhà tốn học nghiên cứu tính chất tương tự cho ánh xạ thực hàm phân hình trường khơng Acsimet Những nghiên cứu công bố P C Hu, C C.Yang, A F Beardon, W K Hayman, I N Baker, E Hille, A Escassut Hu, P.C & Yang, C.C tập hợp lại sách "Meromorphic functions over Non - Archimedean Fields" ([7]) Với mong muốn tìm hiểu kiến thức ban đầu lý thuyết hệ động lực p−adic chọn đề tài "Hệ động lực p−adic" Mục đích luận văn giới thiệu số tính chất quỹ đạo, tính chất bất biến, điểm bất động ánh xạ thực hàm phân hình trường Cp Ngoài ra, luận văn giới thiệu số kết nghiên cứu tính chất chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình lý thuyết Julia-Fatou tác giả giới công bố thời gian gần Luận văn chia làm hai chương, Chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình p−adic giới thiệu số kiến thức mở đầu hệ động lực p−adic quỹ đạo ánh xạ, tính chất bất biến ánh xạ, điểm bất động ánh xạ Chương chúng tơi trình bày nghiên cứu họ hàm chuẩn tắc lý thuyết Fatou - Julia Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà Chương Mở đầu hệ động lực p−adic 1.1 Tập hút tập đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ Trước hết ta giới thiệu số khái niệm Cho M tập hợp hợp khác rỗng, f : M −→ M ánh xạ Một tập E M là: (a) Bất biến tiến f (E) = E; (b) Bất biến lùi f −1 (E) = E; (c) Hoàn toàn bất biến f −1 (E) = E = f (E) Nếu f đơn ánh bất biến tiến kéo theo bất biến lùi hoàn toàn bất biến (do f tồn ánh) Một cách tổng qt, ta có liên hệ sau: Bổ đề 1.1 ([6]) Nếu E bất biến lùi f (E) = E ∩ f (M ) ⊂ E; Nếu f −1 (E) ⊂ E, f (E) ⊂ E E bất biến lùi Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Do f (E) ⊂ E nên với x ∈ E : f (x) ∈ E Suy x ∈ f −1 (E) suy E ⊂ f −1 (E) suy E = f −1 (E) Cho M, N hai khơng gian topo, kí hiệu C(M, N ) tập ánh xạ liên tục từ M vào N Lấy f ∈ C(M, N ) ta kí hiệu lặp f f = id, f n = f n−1 ◦ f = f ◦ f n−1 (n > 0)) Ta ký hiệu quỹ đạo tiến x ∈ M O+ (x) = {f n (x)} n Các phần tử O+ (x) gọi phần tử x Ta kí hiệu quỹ đạo lùi x O− (x) = {f −n (x)} n Các phần tử O− (x) gọi phần tử trước x Ta kí hiệu quỹ đạo tồn phần x O(x) = O+ (x) O− (x) Tổng quát, với E ⊂ M , ta định nghĩa quỹ đạo tiến, lùi, toàn phần E cách tương ứng O+ (E) = f n (E), O− (E) = n≥0 f −n (E), O(E) = O+ (E) O− (E) n≥0 Hiển nhiên, ta có O− (E) = O+ (x), O+ (E) = x∈E O− (x) x∈E Với x, y ∈ M , ta xác định quan hệ ∼ M x ∼ y tồn m, n ∈ N cho f m (y) = f n (x), nghĩa x y có chung phần tử Ta thấy: ❼ “ ∼ ” đối xứng x ∼ y tồn m, n ∈ N∗ f m (x) = f n (y) Suy f n (x) = f m (y) suy y ∼ x ❼ “ ∼ ” phản xạ x ∼ x với n : f n (x) = f n (x) ❼ “ ∼ ” bắc cầu x ∼ y, y ∼ z tồn m, n, k, l ∈ N∗ : f m (x) = f n (y), f k (y) = f l (z), (f m (x))k = (f n (y))k suy f mk (x) = (f k (y))n , suy f mk (x) = (f l (z))n = f nl (z) Bởi ∼ quan hệ tương đương M Ta kí hiệu lớp tương đương chứa x [x], gọi quỹ đạo tổng quát x Vì ∼ quan hệ tương đương nên hai quỹ đạo tổng quát đồng rời Dễ dàng chứng minh O− (f n (x)) [x] = O+ (x) n O(f n (x)) = n Định lý 1.2 ([6]) Các quỹ đạo tổng quát tập nhỏ có tính chất bất biến lùi Hệ 1.3 ([7]) Một tập E M bất biến lùi hợp lớp tương đương [x] Trong trường hợp này, phần bù M \ E phải hợp lớp tương đương bất biến lùi Hệ 1.4 ([7]) Giả sử f : M → M ánh xạ mở liên tục giả sử E bất biến lùi Thì phần E ◦ , biên ∂E , bao đóng E E bất biến lùi Với E ⊂ M , ta xác định [E] = [x] x∈E Khi [E] bất biến lùi (vì [x] bất biến lùi) Hiển nhiên, E bất biến lùi [E] = O(E) = E Tập [E] tập có tính chất bất biến lùi nhỏ chứa E Một điểm bất động ánh xạ f : M → M điểm x ∈ M cho f (x) = x Kí hiệu tập điểm bất động f Fix(f ) Một k - vòng (vòng bậc k ) k - gồm k phần tử x0 , , xk−1 M đôi khác cho f (xi ) = xi+1 (0 k − 1; f (xk−1 ) = x0 i Đối với họ k -vòng {x0 , , xk−1 }, hiển nhiên xi thỏa mãn f k (xi ) = xi , nghĩa {x0 , , xk−1 } ⊂ Fix(f k ) Mỗi xi gọi điểm bất động cấp k f Một 1-vịng f điểm bất động f Đặt: ∞ Fix(f k ) Per(f ) = k=1 Các điểm cuả Per(f ) gọi điểm tuần hoàn f Hiển nhiên x ∈ Per(f ) f k (x) = x với k ∈ Z+ Giá trị k bé cho f k (x) = x gọi chu kỳ x Nếu k chu kỳ x k 1, {x, f (x), , f k−1 (x)} k -vòng f Bởi Per(f ) hợp vòng f Với x ∈ M , ta xác định tập w - giới hạn L+ (x) x bởi: L+ (x) = f n (x) k 0n k Và F đồng liên tục a Định lý 2.12 ([7]) Giả sử F họ hàm chỉnh hình tập mở D ∈ Cp Nếu hàm thuộc F không nhận giá trị F liên tục cầu đồng bậc D Chứng minh Lấy z0 ∈ D Không tính tổng quát, ta giả thiết z0 = Chú ý hàm F biểu diễn chuỗi lũy thừa đĩa cực đại tâm 0, ta gọi Cp (0, ρ) Ta có ν(r, f ) = 0, r < ρ f khơng có khơng điểm Cp (0, ρ) Suy µ(r, f ) = |aν |rν = |a0 | = const Suy ∞ aj z j = |a0 | = |f (0)|, f ∈ F |f (z)| = i=0 Đặt F1 = {f ∈ F | |f (0)| 1} , F2 = {f ∈ F | |f (0)| > 1} , | f ∈ F2 F3 = f Khi F1 F3 bị chặn Cp (0, ρ) Theo Định lý 2.11, chúng đồng liên tục Cp (0, ρ) Chú ý χ(f (z), f (w)) = χ 1 , f (z) f (w) 1 − f (z) f (w) Ta suy F2 đồng liên tục cầu Cp (0, ρ) F3 đồng liên tục Cp (0, ρ) F = F1 ∪ F ∪ F Vậy F đồng liên tục Cp (0, ρ) Hệ 2.13 ([7]) Giả sử F họ hàm chỉnh hình tập mở D Cp Nếu hàm F khơng nhận giá trị a ∈ Cp , F đồng liên tục cầu D Chứng minh Kết luận chứng minh dựa vào Định lý 2.12 bất đẳng thức χ(f (z), f (w)) |a|∨ χ(f (z) − a, f (w) − a) 30 Hệ 2.14 ([7]) Giả sử F họ hàm phân hình tập mở D ⊂ Cp Nếu hàm F không nhận hai giá trị phân biệt a, b ∈ Cp , F liên tục cầu đồng bậc D Chứng minh Nếu b = ∞, hệ suy từ Hệ 2.13 Khi a b hữu hạn, ta xét họ |f ∈F f −a G= b−a Do G đồng liên tục cầu D Bổ đề suy từ bất đẳng thức Hiển nhiên, hàm G phân hình khơng nhận giá trị χ(f (z), f (w)) (|a|ν ) χ(f (z) − a, f (w) − a) 1 , = |a|∨ χ f (z) − a f (w) − a Định lý 2.15 ([7]) Một ánh xạ hữu tỷ f thỏa mãn điều kiện Lipschitz χ(f (z), f (w)) λχ (z, w) Cp , liên tục cầu Cp Chứng minh Đặt Rf (z) = |z|∨ |f (z)|∨ |f (z)| (2.8) Xét trường hợp sau: ❼ f (z) → ∞ z → ∞ ❼ f (z) → z → ∞ ❼ f (z) → α = z → ∞ ta chứng minh lim Rf (z) < +∞ Ta chứng minh điều z→∞ tương tự cực điểm Rf (z) (2.8) Đối với ánh xạ Mobius f (z) = az + b , cz + d 31 ad − bc = 1, ta ước lượng λ Định lý 2.15 Do f (z) = , nên (cz + d)2 hàm Rf (2.8) là: |z|∨ max{|az + b| , |cz + d|} Rf (z) = thỏa mãn bất đẳng thức Rf (z) −2 f , , f = max {|a|, |b|, |c|, |d|} Ta chứng minh Rf (z) = Thật vậy, |z| |z|∨ max{|a|, |z|, |b|, |c|, |z|, |d|} , (max{|a|, |z|, |b|, |c|, |z|, |d|})2 Rf (z) |z| > Rf (z) = |b| |d| max |a|, , |c|, |z| |z| Nhận thấy f −1 (z) = (max{|a|, |z|, |b|, |c|, |z|, |d|})2 dz − b suy f −1 = f , a − cz Rf −1 (f (z))Rf (z) = Tiếp theo ta chứng minh Rf (z) = Ta có Rf −1 (f (z)) = |z|∨ max{|dz − b|, |cz − a|} |f (z)|∨ max {|df (z) − b| , |cf (z) − a|} Ở χ(f (z), f (w)) f χ(z, w) (2.9) Xa hơn, ta giả thiết tồn α > cho χ(f (0), f (1)) α, χ(f (1), f (∞)) 32 α, χ(f (∞), f (0)) α (2.10) Khi χ(f (0), f (1))χ(f (1), f (∞))χ(f (∞), f (0)) α3 Biến đổi vế trái bất đẳng thức ta α3 (max {|a|, |c|} max {|b|, |c|} max {|a + b|, |c = d|})2 Chú ý = ad − bc = d(a + b) − b(c + d), = |d(a + b) − b(c + d)| , max {d(a + b), b(c + d)} , max {|b|, |d|} max {|a + b|, |c + d|} Bởi ta rút gọn max {|a|, |c|} α max {|b|, |d|} α , tương tự , kéo theo f α3 χ(f (z), f (w)) α Suy f = max {|a|, |b|, |c|, |d|} 2 α3 , χ(z, w) Định lý 2.16 ([7]) Cho F họ hàm phân hình tập mở D Cp Cho ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 hàm phân hình D cho: inf χ(ϕi (z), ϕj (w)) α > 0, z,w∈D i = j Nếu f ∈ F thỏa mãn f (z) = ϕi (z), i = 1, 2, 3, z ∈ D, F đồng liên tục cầu D Chứng minh Trước hết, theo (2.9) với f ánh xạ Mobius χ(f (z), f (w)) f 33 χ(z, w) Do f song ánh nên z = f −1 (f (z)) Suy χ(z, w) = χ(f −1 (f (z)), f −1 (f (w))) f −1 = f −2 χ(f (z), f (w)) χ(f (z), f (w)) Điều kéo theo f −2 χ(f (z), f (w)) Bởi vậy, với g ánh xạ Mobius g −2 χ(g ◦ f (z), g ◦ f (w)) χ(f (z), f (w)) χ(f (z), f (w)) g f χ(f (z), f (w)) χ(g ◦ f (z), g ◦ f (w)) Do F đồng liên tục cầu D g ◦ f đồng liên tục cầu D Khơng tính tổng qt, ta giả sử ∞ ∈ ϕ3 (D) Bây ta xét họ f − ϕ1 ,f ∈ F G= F |F = f − ϕ2 Hiển nhiên, hàm G chỉnh hình khơng nhận giá trị Do G đồng liên tục cầu D Tương tự họ G1 = h|h= ,f ∈ G F −1 đồng liên tục D hàm G1 chỉnh hình khác (-1) Tiếp theo ta xét họ G2 = {Ψh | Ψ = ϕ2 − ϕ1 , h ∈ G1 } Cố định z0 ∈ D Chú ý χ(Ψ(z)ϕ(h), Ψ(z0 )h(z0 )) max {A(z)χ(h(z), h(z0 )), B(z)χ(Ψ(z), Ψ(z0 ))} Ở đây, |Ψ(z)| |h(z)|∨ |h(z0 )|∨ A(z) = , |Ψ(z)h(z)|∨ |Ψ(z0 )h(z0 )|∨ |h(z0 )| |Ψ(z)|∨ |Ψ(z0 )|∨ B(z) = |Ψ(z)h(z)|∨ |Ψ(z0 )h(z0 )|∨ Vì Ψ giải tích z0 , nên Ψ bị chặn lân cận z0 Cp (z0 , r) A, B bị chặn Cp (z0 , r) A, B bị chặn Cp (z0 , r) Từ tính liên tục Ψ z0 tính đồng liên tục G1 kéo 34 theo G2 đồng liên tục cầu z0 , đồng liên tục cầu D Chú ý f − ϕ1 F = ∈ G, suy f − ϕ2 f= ϕ2 f − ϕ1 ϕ2 − ϕ1 = ϕ2 + , F −1 F −1 nghĩa là, F = {ϕ2 + ξ | ξ ∈ G2 } Bây ta có χ(f (z), f (z0 )) = χ(ϕ2 (z) + ξ(z), ϕ2 (z0 ) + ξ(z0 )) max {C(z)C(z0 )χ(ϕ2 (z), ϕ2 (z0 )), H(z)H(z0 )χ(ξ(z), ξ(z0 ))} , |ϕ2 (z)|∨ C(z) = |ϕ2 (z) + ξ(z)|∨ |ϕ2 (z)|∨ , |ξ(z)|∨ H(z) = |ϕ2 (z) + ξ(z)|∨ Chú ý H [max {|ϕ2 (z) + ξ(z)|, |ϕ2 (z)|}]∨ |ϕ2 (z) + ξ(z)|∨ |ϕ2 (z)|∨ Do ϕ2 hàm giải tích z0 , nên ϕ2 bị chặn lân cận z0 , gọi Cp (z0 , r), C H bị chặn Cp (z0 , r) Bởi vậy, F đồng liên tục cầu z0 , F đồng liên tục D Bằng cách chứng minh tương tự Định lý 2.16, ta chứng minh định lý sau: Định lý 2.17 ([7]) Giả sử F họ hàm phân hình tập mở D Cp Giả sử ϕ1 , ϕ2 hai hàm giải tích D cho: inf χ(ϕ1 (z), ϕ2 (w)) z,w∈D α > Nếu hàm f ∈ F thỏa mãn f (z) = ϕi (z), i = 1, 2, F đồng liên tục cầu D 35 z ∈ D, 2.2 Lý thuyết Fatou - Julia 2.2.1 Một số khái niệm Giả sử D ký hiệu Cp Cp Trong phần này, ta xét ánh xạ chỉnh hình khác f : D → D Nếu D = Cp , f hàm nguyên (bao gồm đa thức) Nếu D = Cp , f hàm hữu tỷ gọi ánh xạ hữu tỷ Định nghĩa 2.18 ([7]) Một họ F hàm phân hình địa phương xác định tập mở D gọi chuẩn tắc z0 ∈ D tồn đĩa Cp [z0 ; r] ⊂ D cho F chuẩn tắc Cp [z0 ; r] Hiển nhiên, họ F chuẩn tắc D chuẩn tắc điểm D Lấy họ {Uα } tập mở D mà F chuẩn tắc, ta có nguyên lý sau: Định lý 2.19 ([7]) Giả sử F họ hàm phân hình địa phương xác định tập mở D Khi tồn tập mở cực đại F(F) D mà F chuẩn tắc Đặc biệt, f : D → D ánh xạ chỉnh hình, tồn tập mở cực đại F(f ) ⊂ D mà họ {f n }∞ n=1 chuẩn tắc Các tập hợp F(F) F(f ) Định lý 2.19 thường gọi tập Fatou F f tương ứng Các tập Julia F f ký hiệu tương ứng bởi: J(F) = D \ F (F), J(f ) = D \ F (f ) Dễ thấy J(F), J(f ) tập đóng D Nếu F hữu hạn, ta xác định J(F) = Ø Tương tự, lấy tập hợp {Vβ } lớp tất tập mở D mà F đồng liên tục cầu, ta có nguyên lý Định lý 2.20 ([7]) Giả sử F họ hàm phân hình địa phương xác định tập mở D Khi tồn tập mở cực đại Fequ (F) D mà F đồng liên tục cầu Đặc biệt, f : D → D ánh xạ chỉnh hình, tồn tập mở lớn Fequ (f ) = Fequ (f, χ) D mà họ hàm {f n }∞ n=1 đồng liên tục cầu Xác định tập đóng Jequ (F) = D \ Fequ (F), Jequ (f ) = Jequ (f, χ) = D \ Fequ (f, χ) Theo Định lý 2.9, ta có: F (f ) ⊂ Fequ (f ), Jequ (f ) ⊂ J(f ) Ta có kết sau: 36 Định lý 2.21 ([7]) Các tập F = F (f ) J = J(f ) bất biến lùi, nghĩa f −1 (F ) = F f −1 (J) = J (2.11) Chứng minh Giả sử ∆ ⊂ D đĩa Giả sử D thành phần f −1 (∆) Vì F J tập D, khẳng định giả thiết suy từ đồng tầm thường f n |D = f n−1 |D ◦f |D hai trường hợp phân biệt sau: a) ∆ ⊂ F Khi với z ∈ D , D ⊂ f −1 (∆) suy f (z) ∈ ∆ f n chuẩn tắc y = f (z) nên f n chuẩn tắc z Vậy f n chuẩn tắc b) ∆ ∩ J = Ø Điều có nghĩa dãy {f n } không chuẩn tắc D , D ∩ J = Ø Nếu cho ∆ co lại tới điểm z0 ∈ J f −1 (z0 ) ⊂ J f −1 (J) ⊂ J z0 Chú ý f tồn ánh, f (D) = D Theo Bổ đề 1.1 (2.11) f (F ) = F, f (J) = J (2.12) Do đó, F J hồn tồn bất biến Ngoài ra, ta dễ dàng chứng minh tập Fequ (f ) Jequ (f ) hoàn toàn bất biến Định lý 2.22 ([7]) Với số nguyên dương m F (f ) ⊂ F (f m ), 2, ta có J(f m ) ⊂ J(f ) (2.13) J(f m ) = J(f ) (2.14) Hơn nữa, D = Cp , F (f m ) = F (f ), Chứng minh Điều đủ để chứng minh tập Fatou Khi họ {f mn } chứa họ {f n }, ta có (2.13) Giả sử D = Cp Cho đĩa ∆ ⊂ Cp , ta có họ F = {f n |∆ | n 0} , Fj = f i ◦ f mn |∆ | n Rõ ràng F = F0 ∪ ∪ Fm−1 , f j liên tục cầu Cp theo Định lý 2.15, F chuẩn tắc F0 chuẩn tắc 37 Chú ý Định lý 2.22 cho tập Fequ (f ) Jequ (f ) Định lý 2.23 ([7]) Tập Julia J(f ) chứa tất điểm đẩy Chứng minh Giả thiết, điểm bất động ξ f đẩy Bằng định nghĩa, tồn lân cận U ξ cho với zj ∈ U −[ξ](j = 1, 2, ), nj ∈ Z+ với f n (zj ) ∈ / U với n nj Lấy dãy {zj } ⊂ U − [ξ] cho zj → ξ j → ∞ Giả sử, ξ ∈ F (f ) Ta tìm đĩa ∆ ⊂ U có tâm ξ dãy {f nk } f n mà hội tụ cầu tới hàm φ ∆ Hiển nhiên, φ(ξ) = ξ φ hàm liên tục cầu ∆ Viết ∆ = Cp [ξ; r], r > Lấy j, với zj ∈ Cp [ξ; r] χ(φ(zj ), ξ) < r Sau có k0 cho χ(f nk (zj ), φ(zj )) < r với k > k0 cho χ(f nk (zj , ξ) max{χ(f nk (zj ), φ(zj )), χ(φ(zj ), ξ)} < r, f nk (zj ) ∈ ∆, với k > k0 , f nk (zj ) ∈ / U nk > nj Điều mâu thuẫn Như vậy, D = Cp , Định lý 2.23 Định lý 2.22 cho thấy tập Julia J(f ) chứa bao đóng tập chứa tất điểm đẩy J(f ) tập đóng Vậy theo chứng minh Định lý 1.10 chứng minh kết sau: Định lý 2.24 ([7]) Tập Fatou F(f) tập chứa tất điểm hút Nếu z0 điểm hút bất động, chứng minh Định lý 1.10, đặc biệt theo (1.1), ta có r ∈ R+ cho Cp (z0 ; r) ⊂ F (f ) Từ đó, F (f ) hồn tồn bất biến, ta có Att(z0 ) = O− (Cp (z0 ; r)) ⊂ F (f ) đó, F (f ) chứa vùng thu hút z0 Hơn nữa, f ánh xạ hữu tỷ theo Định lý 2.22 Định lý 1.10, F (f ) chứa tất chu kỳ hút vùng thu hút Hiển nhiên, Định lý 2.24 giữ cho tập Fequ (f ) Theo Định lý 1.12 (1.2), ta thấy Định lý 2.23 cho Jequ (f ) Từ chứng minh Định lý 1.23 ta có: Định lý 2.25 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ bậc nhỏ hai Khi tập Exc(f ) điểm bỏ chứa F (f ) Định lý 2.26 ([7]) Tập Fequ (f ) chứa tất điểm bất động trung lập Chứng minh Lấy z0 điểm bất động trung lập f Khơng tính tổng qt, ta giả sử z0 = Theo (1.2), ta có r ∈ R+ cho: |f (z)| = |z|, z ∈ Cp [0; r] 38 Vì thế, cách lặp lặp lại, ta thu |f n (z)| = |z|, n ∈ Z+ , z ∈ Cp [0; r] Do {f n (z)} đồng liên tục z = 0, đồng liên tục cầu z = 2.2.2 Tính chất tập Julia Định lý 2.27 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f ) 2, giả sử E ⊂ Cp đóng, hồn tồn bất biến Khi E có hai phần tử E ⊂ Exc(f ) ⊂ F (f ), E vô hạn Jequ (f ) ⊂ E Chứng minh Theo Định lý 1.21, E có hai phần tử E vô hạn Nếu E hữu hạn, Định lý 1.23 Định lý 2.25 kéo theo E ⊂ Exc(f ) ⊂ F (f ) Giả sử E vô hạn Chú ý E c = Cp − E hồn tồn bất biến Do đó, ánh xạ f : E c → E c mở Theo Hệ 2.14, họ F = {f n } đồng liên tục cầu E c , hiển nhiên E c ⊂ Fequ (f ) Bởi vậy, Jequ (f ) ⊂ E Theo Định lý 2.27 ta có: Định lý 2.28 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f ) Khi J(f )(tương ứng., Jequ (f )) rỗng J(f )(tương ứng., Jequ (f )) vô hạn Thật vậy, Jequ (f ) rỗng Trong thực tế, Exc(f ) chứa hai điểm, trường hợp f (z) = z d , theo Hệ 2.14, họ {f n } đồng liên tục cầu Cp − Exc(f ) Cp − Exc(f ) hồn tồn bất biến, Fequ (f ) = Cp theo Định lý 2.27 Ở liệu kết luận J(f ) = Ø hay không? Cho ánh xạ f (z) = z d , ta có: J(f ) ⊂ Cp 0; , xác nhận liệu J(f ) = Cp 0; hay J(f ) = Ø Định lý 2.29 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f ) Khi J(f )(tương ứng., Jequ (f )) = Ø Cp , J(f )(tương ứng., Jequ (f )) phần rỗng Chứng minh Ở đây, viết J = J(f ) F = F (f ) Chú ý ta có phân tích rời Cp = J o ∪ ∂J ∪ F Từ đó, F J hàm hồn toàn bất biến, theo Hệ 1.4, J o ∂J hồn tồn bất biến Nếu F khơng rỗng, ∂J ∪ F vơ hạn, đóng, 39 hoàn toàn bất biến, chứa J (theo Định lý 2.27) Do đó, J ⊂ ∂J, tức J = Ø J o = Ø Tương tự, ta chứng minh khẳng định cho tập Jequ (f ) Định lý 2.30 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f ) Khi đó, tập dẫn xuất Jequ (f ) rỗng vơ hạn Jequ (f ) Chứng minh Cho J = Jequ (f ) tập dẫn xuất Jequ (f ), là, tập hợp điểm tích lũy Jequ (f ) Khi J đóng Giả sử J = Ø Từ f liên tục, rõ ràng f (J ) ⊂ J , J ⊂ f −1 (J ) Lại có, dễ dàng thấy f −1 (J ) ⊂ J từ f ánh xạ mở, suy luận J hoàn toàn bất biến Từ Định lý 2.27 suy J vô hạn, Jequ (f ) ⊂ J , Jequ (f ) = J Định lý 2.31 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f ) Giả sử Jequ (f ) = Ø lấy D tập mở, khác rỗng thỏa mãn Jequ (f ) Khi Cp − Exc(f ) ⊂ O+ (D) Chứng minh Viết S = Cp − O+ (D) Nếu S chứa hai điểm nhỏ riêng biệt, gọi z1 z2 , theo Hệ 2.14, họ {f n } đồng liên tục cầu D, D ⊂ Jequ (f ) Điều mâu thuẫn Do S chứa nhiều điểm Cp Lấy z ∈ / Exc(f ) Theo − Định lý 1.24, quỹ đạo phía sau O (z) z vơ hạn, O− (z) ∩ O+ (D) = Ø theo lý luận Do đó, tồn vài điềm w số nguyên không âm m, n cho f m (w) = z w ∈ f n (D) Nó z ∈ f m+n (D) Định lý chứng minh Định lý 2.32 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f ) Giả sử Jequ (f ) = Ø, điểm lập Khi đó, Jequ (f ) chứa tập dẫn xuất tập Per(f ) điểm tuần hoàn f Đặc biệt Jequ (f ) ⊂ Per(f ) Chứng minh Lấy D tập mở thỏa mãn Jequ (f ) Ta chứng minh D chứa vài phần tử Per(f ) Ta chọn điểm w0 ∈ Jequ (f ) ∩ D cho w0 không giá trị tới hạn f Do đó, có bốn điểm phân biệt f −2 (w) Đặt ba số w1 , w2 , w3 , phân biệt từ w dựng lân cận Di (i = 0, 1, 4) wi , với bao đóng rời lẫn nhau, cho D0 ⊂ D f : Dj → D0 đồng phôi, với j = 1, 2, 40 Lấy ϕj : D0 → Dj nghịch đảo f : Dj → D0 Nếu f n (z) = ϕj (z), j = 1, 2, 3; n ∈ Z+ ; z ∈ D0 , theo Định lý 2.16 {f n } đồng liên tục cầu D0 Điều khơng thể D0 ∩ Jequ (f ) = Ø Vì thế, tồn z ∈ D0 , j ∈ {1, 2, 3} n ∈ Z+ cho f n (z) = ϕj (z) Điều nghĩa f 2+n (z) = f (ϕj (z)) = z z điểm tuần hoàn D Định lý 2.33 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f ) Jequ (f ) = Ø giả sử 1) Nếu z ∈ / Exc(f ), Jequ (f ) ⊂ O− (z) 2) Nếu z ∈ Jequ (f ), Jequ (f ) = O− (z) Chứng minh Lấy z ∈ / Exc(f ) cho D tập mở bất kỳ, không rỗng thỏa mãn Jequ (f ) Theo Định lý 2.31 ta có z ∈ f n (D) với n O− (z) ∩ D = Ø Điều chứng tỏ (1) Nếu z ∈ Jequ (f ), ta có: Jequ (f ) ⊂ O− (z) ⊂ Jequ (f ), quan hệ từ (1) thứ quan hệ thứ hai xuất phát từ bất biến hồn tồn tập đóng Jequ (f ) Như (2) chứng minh Định lý 2.34 ([7]) Cho f g hai ánh xạ hữu tỷ với deg(f ) deg(g) Giả sử f ◦ g = g ◦ f, Jequ (f ) = Ø, Jequ (g) = Ø Thì Jequ (f ) = Jequ (g) Chứng minh Ta tiếp tục theo chứng minh Beardon’s [2] Cho tập E ⊂ Cp , định nghĩa Diam[E] = sup χ(z, w) z,w∈E Theo Định lý 2.15, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz χ(f (z), f (w)) λχ(z, w) Cp Lấy w ∈ Fequ (g) Từ {g n } đồng liên tục cầu w, cho ε > 0, có số dương δ cho: ε Diam[g n (Cp (w, δ))] < , λ 41 hay Diam[g n ◦ f (Cp (w, δ))] = Diam[f ◦ g n (Cp (w, δ))] λDiam[g n (Cp (w, δ))] < ε Do đó, {g n } đồng liên tục cầu f (w), đặc biệt, f (w) ∈ Fequ (f ) Điều chứng tỏ f và, thế, f n , ánh xạ Fequ (g) nó, {f n } đồng liên tục cầu Fequ (g) theo Hệ 2.14 Ta kết luận Fequ (g) ⊂ Fequ (f ), và, đối xứng Fequ (g) = Fequ (f ) 42 KẾT LUẬN Với mục đích giới thiệu kết ban đầu lý thuyết hệ động lực p−adic, luận văn chúng tơi trình bày số kết sau đây: Giới thiệu số kiến thức mở đầu hệ động lực p−adic như: Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ, khái niệm tính chất tập hút, tập đẩy; quan hệ Riemann - Hurwitz; điểm bất động hàm phân hình Nghiên cứu số khái niệm tính chất ban đầu họ chuẩn tắc, Định lý Montel; khái niệm tập Fatou tập Julia, số tính chất tập Julia lý thuyết Fatou - Julia 43 Tài liệu tham khảo [1] Baker, I N (1960), "The existence of fixpoints of entire functions", Math Z 73 [2] Beardon, A F (1991), "Iteration of rational functions", Springer Verlag [3] Escassut, A (1962), "Analytic elements in p - adic analysis", World Scientific Publishing Co Pte Ltd [4] Hayman, W K (1964), "Meromorphic functions", Oxford: Clarendon Press [5] Hille, E (1962), "Analytic function theory II", Ginn and Company [6] Hu, P.C & Yang, C.C (1999), "Differentiable and complex dynamics of several variables", Kluwer Academic Publishers [7] Hu, P.C & Yang, C.C (2000), "Meromorphic functions over Non Archimedean Fields", AKluwer Academic Publishers 44 ... lý thuyết hệ động lực p? ? ?adic chọn đề tài "Hệ động lực p? ? ?adic" Mục đích luận văn giới thiệu số tính chất quỹ đạo, tính chất bất biến, điểm bất động ánh xạ thực hàm phân hình trường Cp Ngoài ra,... quan trọng hàm phân hình nghiên cứu hệ động lực ánh xạ l? ?p thực hàm phân hình, tức nghiên cứu tính chất ánh xạ l? ?p thực hàm phân hình Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết hệ động lực phức nghiên cứu... Ngày động lực phức lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với lĩnh vực khác có nhiều ứng dụng rộng rãi Song song với việc phát triển lý thuyết hệ động lực ánh xạ l? ?p thực hàm phân hình phức,