ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÀNH AN BÀI TỐN VỀ CHIA HÌNH VNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Ghép hình chữ nhật từ hình vng 1.1 1.2 Ghép hình chữ nhật từ hình vng Đồ thị mạch điện Định lý chia hình chữ nhật thành hình vng khơng 24 2.1 2.2 Định lý Bài tốn chia hình chữ nhật dãy Fibonacci 24 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Lời cảm ơn Trước tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tất quý thầy giảng dạy chương trình Cao học khóa 2013-2015 lớp K7Q, chun ngành Phương pháp tốn sơ cấp, quan tâm đạo, tạo điều kiện Ban giám hiệu, phịng, khoa chun mơn trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, kiến thức thầy cô giảng dạy làm sở cho tác giả thực tốt luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Văn Minh, tận tình hướng dẫn cho tác giả thời gian thực luận văn Mặc dù, trình thực luận văn, có giai đoạn khơng thuận lợi mang yếu tố chủ quan thầy cố gắng hướng dẫn, bảo, cho tác giả nhiều kiến thức kinh nghiệm thời gian thực đề tài Sau cùng, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trường THPT Hoàng Hoa Thám- Đông Triều- Quảng Ninh, anh chị em đồng nghiệp gia đình, ln tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2015 Phạm Thành An Học viên Cao học Toán K7Q Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Luận văn trình bày tốn tiếng: "Chia hình vng K thành số hình vng nhỏ hơn" Vấn đề trở thành dễ dàng khơng địi hỏi cách chia hình vng phải khác đơi (hình 1) • Nếu u cầu tất hình vng phải chia hình 1a,b, nghĩa số hình vng phải phương • Nếu khơng u cầu tất hình vng nhau, số hình vng (hình 1c) (hình 1d) Hình 1: Tuy nhiên u cầu “các hình vng khác đơi một” vấn đề khơng đơn giản Một điều thú vị, từ tốn chia hình vng biến thành mạch điện tương đương, cách xem xét ô vuông điện trở nối với cạnh cạnh hình vng lớn, sau áp dụng định luật mạch định luật Kirchhoff mà đề cập luận văn để giải toán Luận văn đề cập đến hai khái niệm Đồ thị Mạch điện, dựa vào lý thuyết đồ thị để giải tốn chia hình chữ nhật thành hình vng không nhau, đặc biệt Định lý Euler "Số đỉnh trừ số cạnh cộng số diện đồ thị ln 1", ta thấy song ánh hoi Hình học Điện học Hơn nữa, việc chứng minh Định lý chia hình chữ nhật thành hình vng khơng hình vng chia thành hình vng nhỏ đơi khác Bài tốn ghép hình vng để hình chữ nhật cho ta thấy liên hệ toán với dãy số Fibonacci Cấu trúc luận văn: Chương 1: Ghép hình chữ nhật từ hình vng: Giải tốn chia hình chữ nhật thành hình vng khác đơi ghép hình chữ nhật từ hình vng khác đơi Chương 2: Định lý chia hình chữ nhật thành hình vng khơng nhau: Phát biểu chứng minh lại Định lý điều kiện cần đủ phép chia hình chữ nhật thành hình vng khơng nhau, tìm hệ thức liên hệ tốn chia hình chữ nhật thành hình vng với dãy Fibonacci biết Thái Ngun, tháng 04 năm 2015 Phạm Thành An Học viên Cao học Toán K7Q Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: Phamthanhan.c3hht@quangninh.edu.vn Chương Ghép hình chữ nhật từ hình vng 1.1 Ghép hình chữ nhật từ hình vng Trong mục ta xét tốn sau: Bài tốn: Chia hình chữ nhật thành n hình vuông khác đôi Liên quan đến tốn tốn : "Ghép n hình vng khác đơi thành hình chữ nhật" Người ta chứng minh rằng, ghép n hình vng khác đơi để hình chữ nhật với n ≤ (chi tiết xem [5]) Với n = 9, ghép hình vng khác đơi thành hình chữ nhật minh họa hình (1.1, 1.2, 1.3, 1.4) Hình 1.1: Hình 1.2: Hình 1.3: Hình 1.4: Dễ thấy, ta ghép n hình vng khác đơi để hình chữ nhật ghép n + hình vng khác đơi để hình chữ nhật Thật vậy, hình chữ nhật P ghép từ n hình vuông khác đôi, cách ghép thêm vào P hình vng có cạnh cạnh lớn P , ta hình chữ nhật P1 Hình vng thứ n + có cạnh lớn tất cạnh hình vng hợp thành P Như vậy, hình vng P1 ghép từ n + hình vng khác đơi Một số nhà tốn học xét tốn: Tìm số n bé cho chia hình vng có kích thước cho trước thành n hình vng khác đôi Người xét toán P Sprag vào năm 1939 [6] Trên hình 1.5 cách chia hình vng cạnh 175 thành 24 hình vng khác đơi với cạnh sau: Hình 1.5: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18, 20, 29, 30 31, 33, 35, 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64, 81 Ví dụ Willcocks T.H.A.[8] Cho đến nay, 24 số hình vng khác đơi mà ghép thành hình vng có cạnh 175 Ví dụ cho phân hoạch hình chữ nhật có kích thước 422 × 593 thành hình vng khác đơi (1.6): Hình 1.6: Các kết kể tốn chia hình chữ nhật thành hình vuông khác đôi liên quan đến hai khái niệm quan trọng khái niệm đồ thị khái niệm mạch điện 1.2 Đồ thị mạch điện Các phương pháp sử dụng để nhận đa số kết 1.1 liên quan đến sở lý thuyết đồ thị phương pháp biểu diễn mạng điện phức tạp Đồ thị mặt phẳng hệ thống đường, ví dụ đoạn thẳng, nối điểm hệ điểm cho Các điểm gọi đỉnh đồ thị, đường (các đoạn thẳng) nối điểm gọi cạnh đồ thị Phần mặt phẳng giới hạn đường gấp khúc khép kín (nói chung, đường cong) lập từ cạnh đồ thị, tương tự miền I miền II hình 1.7a gọi diện đồ thị Hình 1.7: Định lý sau kết quan trọng lý thuyết đồ thị: Định lý 1.1 (Định lý Euler) [5] Nếu đồ thị có B đỉnh, P cạnh G diện số nguyên dương B, P, G liên hệ với hệ thức: B−P +G=1 (E) Chẳng hạn, đồ thị hình 1.7a ta có : B = 6, P = 10, G = − 10 + = Cuối cùng, cần nói thêm đồ thị mà cạnh kèm theo mũi tên hướng cạnh (ví dụ, xem hình 1.7b) gọi đồ thị định hướng Giả sử ta có phân hoạch hình chữ nhật hay hình vng thành hình vng nhỏ hơn; để xác định ta nói phân hoạch hình chữ nhật với cạnh 32 33 thành hình vng khác đơi biểu diễn hình 1.2, nói phân hoạch hình chữ nhật thành hình vng khơng thiết phải khác Như thường lệ, ta xem cạnh hình chữ nhật nằm ngang thẳng đứng; cạnh tất hình vng nằm ngang thẳng đứng Ta xét tất đoạn nằm ngang hình vẽ ta, tức đoạn A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 , A4 B4 , A5 B5 , A6 B6 (hình 1.8) 33 Hình 2.3: hình chữ nhật Pk lại gặp lại phân hoạch khác hình chữ nhật 593 Giả sử cạnh bé hình chữ nhật P0 cịn cạnh lớn ; 422 ta ký hiệu u0 Ký hiệu cạnh lớn hình chữ nhật P1 u1 , cạnh lớn hình chữ nhật P2 u2 , v.v (cạnh bé tất hình chữ nhật 1) Từ quy luật dựng hình chữ nhật suy với k bất kỳ: uk = uk−1 + uk−1 (vì hình chữ nhật Pk nhận cách ghép hình chữ nhật Pk−1 với cạnh uk−1 với hình chữ nhật đồng dạng với Pk−1 , cạnh lớn 1, tức hình chữ nhật với cạnh , 1; vậy, cạnh uk−1 hình chữ nhật Pk uk = uk−1 + , (xem hình 2.4) Hiệu uk−1 số uk − uk−1 = ký hiệu qua vk ; rõ ràng, vk cạnh hình chữ uk−1 nhật cần ghép vào hình chữ nhật Pk−1 để nhận hình chữ nhật Pk Hình chữ nhật P1 bao gồm hai hình chữ nhật đồng dạng với P0 ; cạnh bé hình (hình P0 ) 1, cịn cạnh bé hình v1 = Hình u0 chữ nhật P2 bao gồm hai hình chữ nhật đồng dạng với P1 ; cạnh bé hình (hình P1 ), cịn cạnh bé hình v2 = Vì P1 bao u1 34 gồm hai hình chữ nhật đồng dạng với P0 ta kết luận P2 bao gồm bốn hình chữ nhật đồng dạng với P0 , cạnh bé hai chúng ( lập thành hình P1 P1 , cạnh bé hai hình chữ nhật cịn lại v2 v2 v1 Tương tự, hình chữ nhật P3 bao gồm hai hình chữ nhật đồng dạng với P2 ; cạnh bé chúng tương ứng v2 = u2 Từ suy P3 bao gồm tám hình chữ nhật đồng dạng với P0 ; cạnh bé bốn chúng 1, v1 , v2 , v2 v1 , cạnh bé bốn hình cịn lại v3 1, v3 v1 , v3 v2 , v3 v2 v1 Cũng vậy, chứng minh hình chữ nhật P4 bao gồm 16 hình chữ nhật đồng dạng với P0 ; cạnh bé chúng bằng1, v1 , v2 , v3 , v4 , v1 v2 , v1 v3 , v1 v4 , v2 v3 , v2 v4 , v3 v4 , v1 v2 v3 , v1 v2 v4 v1 v3 v4 , v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 Kích thước 2k hình chữ nhật đồng dạng với P0 hợp thành hình chữ nhật Pk xác định tương tự (k=1,2,3,4, ) Hình 2.4: Giả sử x cạnh hình vng phân hoạch hình chữ nhật Pk Hình vng tham gia vào thành phần 2k hình chữ nhật đồng dạng với P0 hợp thành hình chữ nhật P0 ; hệ số đồng dạng tích dạng vi1 vi2 vin Ta xem nhân tử tích xếp theo thứ tự tăng dần số, số khác chúng không vượt k, tức ≤ i1 < i2 < < in ≤ k; từ suy số nhân tử khơng vượt k, nghĩa n ≤ k Ta ký hiệu cạnh hình vng phân hoạch hình chữ nhật P0 tương ứng với hình vng xét phân hoạch hình chữ 35 nhật đồng dạng với P0 qua c; đó, rõ ràng x = vi1 vin c Bây giả sử rằng, hình chữ nhật Pr cạnh x hình vng hai phân hoạch cạnh y hình vng khác phân hoạch phân hoạch khác Pr Giả sử x = vi1 vi2 vin c, y = vj1 vj2 vjm d Trong c, d cạnh hình vng tương ứng phân hoạch P0 , đồng thời ≤ i1 < i2 < < in ≤ r ≤ j1 < j2 < < jm ≤ r Như vậy, ta nhận đẳng thức: vi1 vi2 vin c = vj1 vj2 vjm d Từ suy rằng: vi vi vin d = c vj1 vj2 vjm (A) ta xem tất nhân tử tử số mẫu số khác nhau, trường hợp trái lại ta rút gọn Bây ta chứng minh đẳng thức (A) (tương đương với đẳng thức x=y) khơng thể xảy Ta cần số khảo sát sơ để chứng minh khẳng định sở cho lý luận Xuất phát từ số u0 = 593 : 422 hữu tỷ suy tất số u1 = u0 + 1 , u2 = u1 + , u3 = u2 + , u0 u1 u2 hữu tỷ Nhưng trường hợp tất số v1 = 1 , v2 = , v3 = , u0 u1 u2 hữu tỷ; đó, chúng biểu diễn dạng v1 = p1 p2 p3 , v2 = , v3 = , q1 q2 q3 pk , qk ( k=1,2,3, ) số nguyên dương nguyên tố 36 Đẳng thức (A) có dạng pi pi pin qj1 qj2 qjm d pi1 pi2 pin pj1 pj2 pjm = : = c qi1 qi2 qin qj1 qj2 qjm pj1 pj2 pjm qi1 qi2 qin (B) Bây cố gắng nắm bắt quy luật, theo số pk , qk hình thành Như thấy: uk = vk+1 = uk−1 + uk−1 = + vk vk Nhưng vk+1 = qk+1 qk pk p2 + qk2 , + vk = + = k pk+1 vk pk q k pk qk Từ suy qk+1 p2k + qk2 = pk+1 pk q k (1) pk+1 = pk qk , qk+1 = p2k + qk2 (1a) (Do số pk , qk nguyên tố nên số p2k + qk2 , pk qk nguyên tố ; vậy, đẳng thức (1), hai vế phân số tối giản, tương đương với đẳng thức (1a)) Từ đẳng thức (1a) kết luận rằng: a qk+1 > qk b Các số qk+1 nguyên tố với số p1 , p2 , , pk , pk+1 q1 , q2 , , qk Khẳng định suy từ đẳng thức qk+1 = p2k + qk2 Khẳng định thứ hai cần chứng minh Ta cần chứng minh qk+1 nguyên tố với số q1 , q2 , , qk p1 , theo đẳng thức (1a) : pi = p1 q1 q2 qi−1 (2) với i = 2, 3, 4, , k + (tuy nhiên, cần hạn chế giá trị i = 2, 3, , k biết trước số qk+1 , pk+1 nguyên tố nhau) 37 Tiếp theo, (2) đẳng thức thứ hai (1a) (trong cần đặt k=i) cho ta: qi+1 = p21 q12 q22 qi−1 + qi2 (3) Bây dễ dàng chứng minh khẳng định (b) Thực vậy, (1a) q2 = p21 + q12 số p1 = 422, q1 = 593 nguyên tố (chú ý : p1 = v1 = q1 422 = ), từ suy q2 nguyên tố với p1 q1 Từ (3) ta u0 593 nhận được: q3 = p21 q12 + q22 q2 nguyên tố với p1 q1 , từ suy q3 nguyên tố với p1 , q1 q2 ; q4 = p21 q12 q22 + q32 q3 nguyên tố với p1 , q1 q2 , từ đẳng thức suy q4 nguyên tố với p1 , q1 , q2 q3 v.v Cuối từ đẳng thức (3) (trong cần đặt i = k) suy qk nguyên tố với p1 , q1 , q2 , qk−1 (điều xác lập bước lý luận trước) qk+1 nguyên tố với p1 , q1 , q2 , , qk−1 qk Đây điều phải chứng minh Giả sử đẳng thức (B) (tương đương với (A)) thỏa mãn Để xác định ta xem jm > in [lý luận khơng có thay đổi có bất đẳng thức ngược lại, trường hợp jm = in bị loại trừ ta xem nhân tử tử số mẫu số vế phải (A) phân biệt] Khi đó, b) nhân tử qjm tử số phân số nằm vế phải công thức (B) rút gọn d với nhân tử mẫu số phân số Nhưng tỷ số hai c số (I), (II) gồm 26 số nguyên 2, 22, 37, 39, 41, 43, 80, 164, 178, 200, 207, 215, 222 (I) 18, 38, 49, 67, 72, 85, 103, 116, 154, 175, 192, 230, 247 (II) 38 cạnh hình vng hai phân hoạch hình chữ nhật với cạnh 422 593 Vì số lớn số 247 tử số phân số nằm vế trái liên hệ (B) khơng thể có số lớn 247 Tuy nhiên, qjm > q1 = 593 tử số vế phải liên hệ chứa nhân tử lớn 593 (không thể rút gọn với nhân tử mẫu) Mâu thuẫn nhận chứng tỏ đẳng thức (B) xảy Như vậy, ta chứng tỏ đẳng thức (B) (nghĩa đẳng thức (A) tương đương với nó) khơng thể xảy Do đó, khơng có hai hình vng hình vng phân hoạch hai phân hoạch khác hình chữ nhật Pk (k = 0, 1, 2, 3, ) Từ dễ dàng chứng tỏ tồn vơ số phân hoạch khác hình vng thành hình vng khác đơi Thực vậy, ta chia cạnh hình vng K theo tỷ số cạnh hình chữ nhật Pk phân hình vng K thành hai hình vng nhỏ K1 , K2 hai hình chữ nhật P P’ đồng dạng với Pk (hình 2.5) Sau hình chữ nhật P P’ phân thành hình vng khác đơi cách khác Khi tồn hình vng K phân thành hình vng khác đơi Như ta nhận xích vơ hạn phân hoạch hình vng K thành hình vng khác đơi tương ứng với hình chữ nhật P0 , P1 , P2 , (phân hoạch ứng với P0 phân hoạch hình vng thành 28 hình vng khơng đơi biểu diễn hình 2.6) Hình 2.5: 39 Hình 2.6: 2) Tồn nhiều vô số phân hoạch khác hình vng thành hình vng khác đơi, đồng thời hình vng có mặt phân hoạch khơng có mặt phân hoạch khác Để chứng minh khẳng định này, ta xuất phát từ xích vơ hạn phân hoạch hình vng thành hình vuông khác đôi xây dựng Trước hết, ta chứng minh tỷ số cạnh lớn cạnh bé hình vng Pk tăng vô hạn tăng số k (chứng minh phần lý luận đoạn này) Thực vậy, tỷ số uk : cạnh hình vng Pk tỷ số uk−1 : cạnh hình vng Pk−1 có liên hệ: uk = uk−1 + uk−1 Từ suy uk > uk−1 liên hệ: uk = uk−1 + = + (uk−2 + uk−1 uk−1 1 = + + + + u0 uk−1 uk−2 u0 uk−2 )= 40 Bây giả sử tất số uk bị chặn số nguyên N đó: 1 lớn , đó: uk < N với k = 0, 1, 2, Khi tất số uk N uN = uN −1 + uN −2 + + 1 1 + u0 > + + + + u0 > N u0 N N N N lần Mâu thuẫn nhận chứng tỏ dãy {uk } không bị chặn Như vậy, ta khẳng định hình chữ nhật P P’ (xem hình 2.5) làm “mỏng” tùy ý Từ suy khẳng định đòi hỏi Thực vậy, ta bắt đầu phân hoạch xác định hình vng K thành hình vuông khác đôi, chẳng hạn, phân hoạch xác định hình chữ nhật P0 (với tỷ số cạnh 422:593, xem hình 1.6) Bây giả sử α cạnh hình vng bé tham gia vào phân hoạch Ta chọn số k đủ lớn để hình chữ nhật P P’ đồng dạng với hình chữ nhật Pk có cạnh bé nhỏ α Rõ ràng không hình vng phân hoạch hình vng phân hoạch đầu Thực vậy, hình vng tham gia vào phân hoạch hình chữ nhật P P’ bé hình vng bé phân hoạch (vì cạnh chúng bé α), cịn hình vng K1 K2 khơng thể hình vng phân hoạch đầu; hình vng bé hình vng bé phân hoạch đầu, hình vng cịn lại lớn hình vng lớn phân hoạch đầu Tiếp theo, thế, ký hiệu β cạnh hình vng bé phân hoạch thứ hai hình vng K thành hình vng khơng đơi (tức phân hoạch tương ứng với hình chữ nhật Pk ) Ta xây dựng phân hoạch thứ ba cho cạnh bé hình chữ nhật P P’ đồng dạng với hình chữ nhật Pl (trong số l chọn đủ lớn) bé β Rõ ràng, cách lặp lại chiến thuật ta tìm số tùy ý lớn phân hoạch khác hình vng K thành hình vuông khác đôi, thỏa mãn điều kiện nêu điểm 2) 41 Như vậy, ta hoàn thành chứng minh định lý 2.2 Bài tốn chia hình chữ nhật dãy Fibonacci Trong mục 1.1 phương pháp chia hình chữ nhật thành số tùy ý n ≥ 10 hình vng khác đơi, hay nói khác ghép số hình vng khác đơi để hình chữ nhật (xem hình 2.7 hình 2.8) Hình 2.7: Hình 2.8: Trong mục ta nghiên cứu mối liên hệ toán ghép hình vng với dãy số Fibonacci 42 Hình 2.9: Ví dụ 2.1 Trên hình 2.9 cách ghép sau: - Đầu tiên ta ghép hình vng có cạnh ta hình chữ nhật có kích thước × 2, ký hiệu hình chữ nhật P1 Ta dùng ký hiệu hình vng F1 , F2 , đơn giản ta dùng ký hiệu độ dài cạnh hình vng F1 = 1, F2 = - Ghép vào cạnh lớn hình chữ nhật P1 hình vng F3 = Ta hình chữ nhật P2 có kích thước × - Lại ghép vào cạnh lớn hình chữ nhật P2 hình vng F4 = Ta hình chữ nhật P3 kích thước × - Lặp lại cách làm vậy, ta hình chữ nhật ghép từ nhiều hình vng đơi khác (trừ hình vng nhau) Với cách làm đó, ta thấy cạnh hình vng có tính chất: F1 = F2 = 1, Fn+1 = Fn−1 + Fn , n>2 Đây dãy Fibonacci mà ta biết Hình chữ nhật Pn ghép từ n + hình vng Diện tích hình chữ nhật Pn là: Sn−1 = Fn Fn+1 , n ≥ Nếu tính diện tích hình chữ nhật thứ n tổng diện tích hình vng ghép thành, ta nhận tính chất dãy Fibonacci: F12 + F22 + F32 + + Fn2 = Fn Fn+1 (F ) 43 Hình 2.10: Ví dụ 2.2 Trên hình 2.10a hình chữ nhật P1 có kích thước p×(p+q) Ta thực bước sau: - Ghép vào cạnh lớn hình chữ nhật P1 hình vng K1 có cạnh H1 = p + q, hình chữ nhật ghép P1 K1 ký hiệu P2 - Ghép vào cạnh lớn hình chữ nhật P2 hình vng K2 , có cạnh H2 = p + 2q, hình chữ nhật ghép P2 K2 ký hiệu P3 - Ghép vào cạnh lớn hình chữ nhật P3 hình vng K3 , có cạnh H3 = 2p + 3q, hình chữ nhật ghép P3 K3 ký hiệu P4 - Ghép vào cạnh lớn hình chữ nhật Pn−1 hình vng Kn−1 , có cạnh Hn−1 , hình chữ nhật ghép Pn−1 Kn−1 ký hiệu Pn Ta nhắc lại đây, dãy Fibonacci dãy số: F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 , (n = 2, 3, ) Ta dễ dàng chứng minh Hn = pFn + qFn+1 , (n = 1, 2, 3, ) Thật vậy, công thức với n = 1, giả sử công thức đến n − 1, tức ta có: Hn−2 = pFn−2 + qFn−1 , Hn−1 = pFn−1 + qFn , ta phải chứng minh công thức với n Chú ý Hn = Hn−1 + Hn−2 44 Theo giả thiết quy nạp, ta có: Hn = Hn−2 + Hn−1 = (pFn−2 + qFn−1 ) + (pFn−1 + qFn ) = p(Fn−2 + Fn−1 ) + q(Fn−1 + Fn ) = pFn + qFn+1 (đpcm) Theo cách dựng trên, ta thấy hình chữ nhật thứ n ghép từ n − hình vng hình chữ nhật P1 Diện tích hình chữ nhật Pn là: p(p + q) + H12 + H22 + + Hn2 = Hn Hn+1 Ta công thức: H12 + H22 + + Hn2 = Hn Hn+1 − p(p + q) (H) Từ công thức (H) trên, biểu diễn Hn qua Fn ; Fn+1 H12 = p2 F12 + 2pqF1 F2 + p2 F22 H22 = p2 F22 + 2pqF2 F3 + p2 F32 H32 = p2 F32 + 2pqF3 F4 + p2 F42 H42 = p2 F42 + 2pqF4 F5 + p2 F52 Hn2 = p2 Fn2 + 2pqFn Fn+1 + p2 Fn+1 −−−−−−−−−−−−−−−−−− n n Hk2 =p k=1 n Fk2 + 2pq k=1 n Fk Fk+1 + q k=1 2 Fk+1 k=1 = (pFn + qFn+1 )(pFn+1 + qFn+2 ) − q(p + q) Sử dụng cơng thức (F), ta có: n 2 Fk Fk+1 + q Fn Fn+1 + q Fn+1 − p2 F12 p Fn Fn+1 + 2pq k=1 = (pFn + qFn+1 )(pFn+1 + qFn+2 ) − q(p + q) Chuyển vế rút gọn ta tìm lại tính chất dãy Fibonacci Fn−1 Fn+1 − Fn2 − F1 F2 + F2 F3 + + Fn−1 Fn = Như vậy, từ tốn ghép hình vng để nhận hình chữ nhật ta thu đồng thức (F) (H) liên quan đến dãy Fibonacci 45 Kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày cách khái quát lý thuyết đồ thị mạch điện Trình bày mối liên hệ tốn phân hoạch hình vng với tốn mạch điện Trình bày cách chứng minh định lý điều kiện cần đủ để phân hoạch hình chữ nhật thành hình vng khác Luận văn trình bày liên quan tốn phân hoạch hình chữ nhật với dãy số Fibonacci Tuy nhiên, số vấn đề mà luận văn chưa đề cập tới, chẳng hạn như: Ước lượng số hình vng phân hoạch hình chữ nhật Tức cho trước hình chữ nhật có độ dài cạnh số tự nhiên m, n (m n nguyên tố nhau), cần ước lượng số hình vng nhận phân hoạch hình chữ nhật Tương tự tốn mặt phẳng tốn hình hộp chữ nhật hình lập phương khơng gian 46 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Chúng (1997), Đại cương Toán học hữu hạn, NXB Giáo dục [2] Đào Tam (2006), Bài tập hình học phẳng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Đào Tam (2006), Hình học sơ cấp, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [4] Dunkel O (1957), Memorial Problem Book, New York Tài liệu Tiếng Nga ✗❣❧♦♠ ■✳ ▼✳ ✭✶✾✻✽✮✱ ❑❛❦ r❛③r❡③❛t ❦✈❛❞r❛t ✱ ■③❞✳ ◆❛✉❦❛ [6] ❙♣r❛❣ P✳ ✭✶✾✸✾✮✱ Pr✐♠❡r r❛③❧♦✙❡♥✐❛ ❦✈❛❞r❛t❛ ♥❛ ♣♦♣❛r♥♦ r❛✲ ③❧✐q♥✐❡ ❦✈❛❞r❛t② ✱ ■③❞✳ ◆❛✉❦❛ [7] ❙♣r❛❣ P✳ ✭✶✾✹✵✮✱ ❖ r❛③❧♦✙❡♥✐❛ ♣r♦✉❣♦✠♥✐❦♦✈ ♥❛ ♣♦♣❛r♥♦ r❛③❧✐q✲ ♥✐❡ ❦✈❛❞r❛t② ✱ ■③❞✳ ◆❛✉❦❛ [8] ❱✐❧❦♦❦s ❋✳●✳❆✳ (Willcocks T.H.) (1948), Fairly Chess Review , Au- [5] gust [9] ❱✐❧❦♦❦s ❋✳●✳❆✳ ✭❲✐❧❧❝♦❝❦s ❚✳❍✳❆✮ ✭✶✾✺✶✮✱ ❩❛♠❡t❦❛ ♦ ♥❡❦♦t♦✲ r②❤ s♦✈❡r①❡♥②❤ ❦✈❛❞r✐r♦✈❛♥✐✤❤ ❦✈❛❞r❛t♦✈ (A note of some perfect squared squares), Canadian Journal of Math, pp304-308 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÀNH AN BÀI TỐN VỀ CHIA HÌNH VNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - 2015 ... đơi (hình 1) • Nếu u cầu tất hình vng phải chia hình 1a,b, nghĩa số hình vng phải phương • Nếu khơng u cầu tất hình vng nhau, số hình vng (hình 1c) (hình 1d) Hình 1: Tuy nhiên u cầu “các hình. .. phân hoạch hình chữ nhật thành hình vng khác đơi Hình 1.26: Hình 1.27: Như ta đưa tốn chia hình vng tốn ghép hình vng đơi khác chia hình chữ nhật thành hình vng khơng (điều kiện hai cạnh hình chữ... nhật m : n chia hình chữ nhật thành m × n hình vng (ta gọi hình vng hình vng sơ cấp) Đối với hình vng sơ cấp, ta chọn cho hình phân hoạch chia thành hình vng khơng đơi (ta gọi hình vng hình vng