ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG THU PHƯƠNG BÀI TỐN NỘI SUY SINH BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ TRÁI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG THU PHƯƠNG BÀI TỐN NỘI SUY SINH BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ TRÁI VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - 2011 Mục lục Mở đầu Lý thuyết toán tử khả nghịch phải 1.1 Toán tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính 1.2 Toán tử ban đầu 11 1.3 Công thức Taylor Taylor - Gontcharov 26 Bài toán nội suy sinh toán tử khả nghịch phải 29 2.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh toán tử khả nghịch phải 29 2.2 Một số toán nội suy cổ điển 36 2.2.1 Bài toán nội suy Hermit 36 2.2.2 Bài toán nội suy Lagrange 42 2.2.3 Bài toán nội suy Newton 45 2.2.4 Bài toán nội suy Taylor 51 Lý thuyết toán tử khả nghịch trái 57 3.1 Toán tử khả nghịch trái khơng gian tuyến tính 57 3.2 Toán tử đối ban đầu 62 3.3 Công thức Taylor Taylor - Gontcharov 66 Bài toán nội suy sinh toán tử khả nghịch trái 4.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh toán tử khả nghịch trái 4.2 Một số toán nội suy cổ điển 68 68 70 4.2.1 Bài toán nội suy Hermit 70 4.2.2 Bài toán nội suy Lagrange 70 4.2.3 Bài toán nội suy Newton 71 4.2.4 Bài toán nội suy Taylor 71 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu Các toán nội suy vấn đề liên quan đến phần quan trọng đại số giải tích tốn học Nó có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong hầu hết kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực quốc tế, Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến nội suy hay đề cập thuộc loại khó khó Các toán khai triển, đồng thức, ước lượng tính giá trị cực trị tổng, tích toán xác định giới hạn biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến toán nội suy tương ứng Các toán nội suy chuyên đề chọn lọc cần thiết cho giáo viên học sinh hệ chuyên tốn bậc trung học phổ thơng, sinh viên năm đầu đại học chuyên đề cần nâng cao cho bậc sau đại học Vì lí nên tơi định chọn đề tài " Bài tốn nội suy sinh toán tử khả nghịch phải trái áp dụng" Đây đề tài thiết thực, giúp tơi hiểu sâu sắc lí thuyết nội suy có ý nghĩa thực tiễn việc giảng dạy sau Luận văn gồm chương Chương Lý thuyết toán tử khả nghịch phải Chương Bài toán nội suy sinh toán tử khả nghịch phải Chương Lý thuyết toán tử khả nghịch trái Chương Bài toán nội suy sinh toán tử khả nghịch trái Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tôi vô biết ơn thầy, cô giáo, đặc biệt thầy, cô giáo Tổ Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dạy dỗ, đóng góp mặt nội dung cách thức trình bày luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Hoàng Thu Phương Chương Lý thuyết toán tử khả nghịch phải Cho X không gian vectơ trường vô hướng F (F = R F = C) Kí hiệu L(X) tập tất tốn tử tuyến tính có miền xác định miền giá trị chứa X , tức L(X) = {A : domA → ImA tốn tử tuyến tính, domA ⊂ X, ImA ⊂ X} L0 (X) = {A ∈ L(X) : domA = X} 1.1 Tốn tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1 Tốn tử D ∈ L(X) gọi khả nghịch phải tồn toán tử R ∈ L0 (X) cho RX ⊂ domD DR = I, I tốn tử đồng Khi tốn tử R gọi nghịch đảo phải cuả D Kí hiệu R(X) tập tất toán tử khả nghịch phải thuộc L(X) RD tập tất nghịch đảo phải D Khi đó, ta có RD = {R ∈ L0 (X) : DR = I} Định nghĩa 1.2 Toán tử ∆ ∈ L(X) gọi khả nghịch trái tồn toán tử L ∈ L(X) cho ∆X ⊂ domL L∆ = I Kí hiệu Λ(X) tập tốn tử khả nghịch trái L∆ tập tất khả nghịch trái ∆ ∈ Λ(X) Định nghĩa 1.3 Toán tử ∆ ∈ L(X) gọi khả nghịch vừa khả nghịch phải vừa khả nghịch trái Ví dụ 1.1 Cho X = C(a, b) tập hợp hàm liên tục (a, b) với a, b ∈ R Rõ ràng X không gian tuyến tính Định nghĩa tốn tử D sau d , t ∈ (a, b) dt D= Rõ ràng domD = C (a, b) ⊂ X Toán tử D khả nghịch phải không khả nghịch Thật vậy, xét tốn tử t (Rx)(t) = x(s)ds, t0 t0 cố định thuộc (a, b), x ∈ C(a, b) Ta thấy R toán tử tuyến tính (Rx)(t) ∈ C(a, b) với x(t) ∈ C(a, b) Do đặt t x(s)ds, y(t) ∈ C(a, b) y(t) = (Rx)(t) = t0 Ta có (DRx)(t) = d y(t) = x(t), dt suy DR = I, hay D toán tử khả nghịch phải Tuy nhiên tốn tử D khơng khả nghịch Thật vậy, với tốn tử R xác định ta có t dx(s) = x(t) − x(t0 ) (RDx)(t) = t0 Nếu x(t0 ) = (RDx)(t) = x(t), hay RD = I Như toán tử D khả nghịch phải khơng khả nghịch Ví dụ 1.2 Giả sử X tập hợp tất dãy vô hạn x = {xn } = {x0 , x1 , x2 , }, với xn ∈ F (trong F = R F = C ) Tập X trang bị hai phép toán: Phép cộng x + y = {xn + yn }, với x = {xn } ∈ X, y = {yn } ∈ X Phép nhân vô hướng λx = {λxn }, với x = {xn } ∈ X, λ ∈ F Tập X xác định không gian tuyến tính Trên X, định nghĩa tốn tử D sau Dx = {xn+1 − xn } = {x1 − x0 , x2 − x1 , }, với x = {xn } ∈ X Ta thấy domD = X Toán tử D khả nghịch phải khơng khả nghịch Thật vậy, xét tốn tử Rx = {0, x0 , x0 + x1 , x0 + x1 + x2 , } n−1 = {yn : y0 = 0, yn = xk , n = 1, 2, } k=0 = y Ta thấy R ∈ L0 (X) Ta có DRx = Dy = {yn+1 − yn } = {xn } = x hay DR = I Điều có nghĩa D tốn tử khả nghịch phải R ∈ RD Tuy nhiên toán tử D khơng khả nghịch Thật vậy, ta có RDx = R{xn+1 − xn } = R{x1 − x0 , x2 − x1 , } = {0, x1 − x0 , x2 − x0 , } = x Do RD = I , hay tốn tử D khơng khả nghịch Tính chất 1.1 Nếu dim ker D = D khơng khả nghịch trái Chứng minh Ta có θ ∈ ker D dim{θ} = Mà dim ker D = 0, suy ker D = {θ} Do ∃z ∈ ker D, z = θ mà Dz = θ Suy ∀L ∈ L(X) ta có LDz = Lθ = θ = z Do LD = I, ∀L ∈ L(X) Vậy D không khả nghịch trái Mệnh đề 1.1 [5] Nếu D ∈ R(X) R ∈ RD , Dn Rn = I, ∀n ∈ N∗ (1.1) Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phương pháp qui nạp tốn học Với n = 1, ta có DR = I , (1.1) Giả sử (1.1) với n = k, k ∈ N∗ , tức Dk Rk = I, ta chứng minh (1.1) n = k + 1, tức Dk+1 Rk+1 = I Suy x − ∆Lx ∈ ker L Do x − ∆Lx = G(x − ∆Lx) = Gx − G(∆Lx) = Gx − (G∆)Lx = Gx G∆ = , hay Gx = (I − ∆L)x Do x phần tử thuộc domL nên G = I − ∆L domL Điều kiện đủ Giả sử G = I − ∆L domL Ta có G2 = (I − ∆L)(I − ∆L) = I − ∆L − ∆L + ∆L∆L = I − 2∆L + ∆L = I − ∆L = G Với x ∈ ker L, ta có Gx = (I − ∆L)x = x − ∆Lx = x, suy ker L ⊂ {x ∈ domL : Gx = x} Do LG = L(I − ∆L) = L − L∆L = L − L = nên {x ∈ domL : Gx = x} ⊂ ker L Vậy {x ∈ domL : Gx = x} = ker L Với x ∈ ker G, ta có Gx = (I − ∆L)x = x − ∆Lx = 0, 63 hay ∆Lx = x, suy ker G ⊂ ∆X Mặt khác theo hệ 3.1 ta có ∆X ⊂ ker G Do ∆X = ker G Vậy G toán tử đối ban đầu ∆ tương ứng với khả nghịch trái L Định nghĩa 3.3 Các phần tử có dạng z0 + ∆z1 + · · · + ∆m zm zk ∈ ker L, gọi ∆-đa thức Định nghĩa 3.4 Cho ∆ ∈ Λ(X) Tốn tử đối ban đầu G0 ∆ có tính chất c(∆) L ∈ L∆ , tồn đại lượng vô hướng ck cho G0 ∆k z = ck z , ∀z ∈ ker L, k ∈ N k! Khi ta viết G0 ∈ c(∆) Ví dụ 3.5 Cho X = C(R), t ∆= , (Lx)(t) = dx dt Ta xác định tập toán tử đối ban đầu ∆ Gọi G toán tử đối ban đầu ∆ tương ứng với L Theo định lí 3.2 với x ∈ domL ta có (Gx)(t) = (I − ∆L)x(t) = x(t) − (∆L)(t) = x(t) − x(t) + x(0) = x(0) Giả sử Li ∈ L∆ , L∆ = {Li : (Li x)(t) = 64 dx + ci x(0), ci ∈ R} dt Gi toán tử đối ban đầu ∆ tương ứng với Li Theo định lí 3.2 với x(t) ∈ domL ta có (Gi x)(t) = (I − ∆Li )x(t) = x(t) − (∆Li x)(t) t = x(t) − ( dx + ci x(0))ds dt = x(t) − x(t) + x(0) − ci x(0)t = x(0) − ci x(0)t Mỗi họ nghịch đảo trái dx + ci x(0), ci ∈ R} dt xác định họ toán tử đối ban đầu L∆ = {Li : (Li x)(t) = G∆ = {Gi : (Gi x)(t) = x(0) − ci x(0)t, ci ∈ R} Ví dụ 3.6 Cho X tập hợp tất dãy vô hạn x = {xn } = {x0 , x1 , x2 , }, với xn ∈ R Cho x ∈ X, x = {xn }, ∆x = {0, x0 , x0 + x1 , x0 + x1 + x2 , } n−1 = {yn : y0 = 0, yn = xk , n = 1, 2, }, k=0 Lx = {xn+1 − xn } = {x1 − x0 , x2 − x1 , } Ta xác định tập toán tử đối ban đầu ∆ Gọi G toán tử đối ban đầu ∆ tương ứng với L Theo định lí 3.2 với x ∈ domL ta có Gx = (I − ∆L)x = x − (∆L)x = {x0 , x0 , } Giả sử Li ∈ L∆ , L∆ = {Li : Li x = {zn : zn = xn+1 − xn + ci x0 , ci ∈ R}, x = {xn } ∈ X} 65 Gi toán tử đối ban đầu ∆ tương ứng với Li Theo định lí 3.2 với x(t) ∈ domL, ta có Gi x = (I − ∆Li )x = x − ∆Li x mà ∆Li x = {0, x1 − x0 + ci x0 , x2 − x0 + 2ci x0 , } nên Gi x = {x0 , x0 − ci x0 , x0 − 2ci x0 , } Do đó, họ nghịch đảo trái L∆ = {Li : Li x = {zn : zn = xn+1 − xn + ci x0 , ci ∈ R}, x = {xn } ∈ X} xác định họ toán tử đối ban đầu G∆ = {Gi : Gi x = {x0 , x0 − ci x0 , x0 − 2ci x0 , }, x = {xn } ∈ X} 3.3 Công thức Taylor Taylor - Gontcharov Từ định lí 3.2 thấy họ L∆ = {Lβ }β∈Γ tất nghịch đảo trái toán tử ∆ ∈ Λ(X) xác định họ G∆ = {Gβ }β∈Γ toán tử đối ban đầu ∆ Gβ = I − ∆Lβ domL, ∀β ⊂ Γ (3.2) Định lý 3.3 (Công thức Taylor - Gontcharov) Giả sử ∆ ∈ Λ(X) G∆ = {Gβ }β∈Γ họ toán tử đối ban đầu ∆ tương ứng với L∆ = {Lβ }β∈Γ Giả sử {βn } ⊂ Γ dãy số, N −1 ∆k Gβk Lβk−1 Lβ0 +∆N LβN −1 Lβ0 dom(LβN −1 Lβ0 ), I = Gβ0 + k=1 (3.3) với giả thiết Im(LβN −1 Lβ0 ) ⊂ dom∆k (k = 1, , N ) 66 Chứng minh Chứng minh định lí phương pháp quy nạp toán học Với N = 1, ta có (3.2) I = Gβ0 + ∆Lβ0 domL Giả sử (3.3) với N ∈ N∗ Khi đó, theo giả thiết qui nạp, dom(LβN Lβ0 ) ta có ∆N +1 LβN Lβ0 = ∆N (∆LβN )LβN −1 Lβ0 = ∆N (I − GβN )LβN −1 Lβ0 = ∆N LβN −1 Lβ0 − ∆N GβN LβN −1 Lβ0 N −1 ∆k Gβk Lβk−1 Lβ0 − ∆N GβN LβN −1 Lβ0 = I − Gβ0 − k=1 N ∆k Gβk Lβk−1 Lβ0 = I − Gβ0 − k=1 Định lí chứng minh Nếu (3.3) đặt Lβk = L Gβk = G, với k = 0, 1, , N − có cơng thức Taylor N −1 ∆k GLk + ∆N LN domLN , I= k=0 với giả thiết ImLk ⊂ dom∆k (k = 1, 2, , N ) 67 Chương Bài toán nội suy sinh toán tử khả nghịch trái 4.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh toán tử khả nghịch trái Trong phần này, giả sử dim coker∆ = tức ∆ không khả nghịch phải Bài toán Cho N số nguyên dương Ii , i = 1, 2, , n n tập hữu hạn số nguyên không âm nhỏ N cho N = r1 +r2 +· · ·+rn , với ri số phần tử Ii , i = 1, 2, , n Giả sử phần tử Ii thứ tự, tức ≤ ki1 < ki2 < · · · < kiri , i = 1, 2, , n Tìm đa thức u bậc N −1, u = z0 +∆z1 +· · ·+∆N −1 zN −1 với ∆ ∈ Λ(X) z0 , z1 , , zn ∈ ker L xác định cho n toán tử đối ban đầu khác G1 , G2 , , Gn ∈ c(∆), ta có Gi Lk u = uik , k ∈ Ii , i = 1, , n, uik ∈ ker L cho trước Theo giả thiết, G1 , G2 , , Gn ∈ c(∆) nên tồn đại lượng vô hướng dik thỏa mãn Gi ∆k z = dik z, ∀z ∈ ker L, k ∈ Ii , i = 1, , n k! 68 Theo mệnh đề 3.1, ta có N −1 kij Gi Lkij ∆m zm Gi L u = m=0 kij −1 N −1 kij = m Gi Lkij ∆m zm Gi L ∆ zm + m=0 m=kij kij −1 N −1 kij −m = Gi L m m m=0 m=kij kij −1 N −1 kij −m = Gi Lkij ∆kij ∆m−kij zm L ∆ zm + Gi L Gi ∆m−kij zm zm + m=0 m=kij N −1 Gi ∆m−kij zm = m=kij N −1 = m=kij di,m−kij zm , (m − kij )! i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , ri Xét toán tử vectơ có số chiều N (kij ) Gˆi =(Gi Lkij , Gi Lkij −1 , , Gi , Gi ∆, , Gi ∆N −1−kij ), i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , ri , đặt N −1 ∆j (ker L) PN (∆) = j=0 Tương tự định lí 2.1 định lí 2.2 ta có kết sau Định lý 4.1 [4] Bài toán nội suy tổng quát toán tử khả nghịch trái (kij ) ∆ có nghiệm hệ vectơ {Gˆi }i=1,2, ,n,j=1,2, ,r i độc lập tuyến tính PN (∆) 69 4.2 Một số toán nội suy cổ điển Trong phần ta xét số toán nội suy cổ điển, trường hợp cụ thể toán nội suy tổng quát sinh toán tử khả nghịch trái 4.2.1 Bài toán nội suy Hermit Nếu toán nội suy sinh toán tử khả nghịch trái, cho Ii = {0, 1, 2, , ri − 1} ta có toán nội suy Hermit (H2 ) Bài toán (H2 ) Tìm đa thức u bậc N −1, u = z0 +∆z1 +· · ·+∆N −1 zN −1 với ∆ ∈ Λ(X) z0 , z1 , , zN −1 ∈ ker L xác định cho n(n < N ) toán tử đối ban đầu khác G1 , G2 , , Gn ∈ c(∆), ta có Gi Lk u = uik , k = 0, 1, 2, , ri − 1; i = 1, 2, , n, uik ∈ ker L cho trước Từ định lí 4.1 ta có Định lý 4.2 Giả sử ∆ ∈ Λ(X), L ∈ L∆ G1 , G2 , , Gn ∈ c(∆) Khi tốn nội suy (H2 ) có nghiệm hệ vectơ {Gi Lk }i=1,2, ,n;k=0,1, ,ri −1 độc lập tuyến tính PN (∆) 4.2.2 Bài tốn nội suy Lagrange Nếu toán nội suy sinh toán tử khả nghịch trái, cho Ii = {0}, i = 1, 2, , n ta có toán nội suy Lagrange (L2 ) Bài toán (L2 ) Tìm đa thức u bậc n − 1, u = z0 + ∆z1 + · · · + ∆n−1 zn−1 với ∆ ∈ Λ(X) z0 , z1 , , zn ∈ ker L xác định cho n toán tử đối ban đầu khác G1 , G2 , , Gn ∈ c(∆), ta có Gi u = ui , i = 1, 2, , n, ui ∈ ker L cho trước 70 Từ định lí 4.1 ta có Định lý 4.3 Giả sử ∆ ∈ Λ(X), L ∈ L∆ G1 , G2 , , Gn ∈ c(∆) Khi tốn nội suy (L2 ) có nghiệm hệ vectơ {Gi }i=1,2, ,n độc lập tuyến tính Pn (∆) 4.2.3 Bài toán nội suy Newton Trong toán nội suy sinh toán tử khả nghịch trái cho Ii = {i} với i = 1, 2, , n ta có tốn nội suy Newton (N2 ) Bài tốn (N2 ) Tìm đa thức u bậc n − 1, u = z0 + ∆z1 + · · · + ∆n−1 zn−1 với ∆ ∈ Λ(X) z0 , z1 , , zn−1 ∈ ker L xác định cho n toán tử đối ban đầu khác G0 , G1 , , Gn−1 ∈ c(∆), ta có Gm Lm u = um , m = 0, 1, , n − 1, um ∈ ker L cho trước Từ định lí 4.1 ta có Định lý 4.4 Giả sử ∆ ∈ Λ(X), L ∈ L∆ G1 , G2 , , Gn ∈ c(∆) Khi tốn nội suy (H2 ) có nghiệm hệ vectơ {Gi Li }i=1,2, ,n độc lập tuyến tính Pn (∆) 4.2.4 Bài tốn nội suy Taylor Trong toán nội suy sinh toán tử khả nghịch trái cho I = {1, 2, , N − 1} ta có toán nội suy Taylor (T2 ) Bài toán 10 (T2 ) Cho ∆ ∈ Λ(X) G toán tử đối ban đầu ∆ tương ứng với L Tìm đa thức u bậc N − 1, u = z0 + ∆z1 + · · · + ∆N −1 zN −1 với L ∈ L∆ z0 , z1 , , zN −1 ∈ ker L xác định, cho GLi u = ui , i = 0, 1, , N − 1, u0 , u1 , , uN −1 ∈ ker L cho trước 71 Ví dụ 4.1 Cho X = C(R), t ∆= , d , dt (Gx)(t) = x(0) L= Tìm đa thức x bậc N −1, x = z0 +∆z1 +· · ·+∆N −1 zN −1 với z0 , z1 , , zN −1 ∈ ker L cho GLi x = xi , i = 0, 1, , N − 1; xi ∈ R Giải Với x = z0 +∆z1 +· · ·+∆N −1 zN −1 , L ∈ L∆ z0 , z1 , , zN −1 ∈ ker L ta có N −1 i i ∆k zk GL x = GL k=0 i−1 i N −1 k = GL ( i k=0 i−1 Li−k zk + zi + = G( ∆k zk ) ∆ zk + ∆ zi + k=0 k=i+1 N −1 k−i ∆ zk ) k=i+1 = Gzi (do zk ∈ ker L G∆ = X) = zi (do zi ∈ ker L) Từ phương trình GLi x = xi , i = 0, 1, , N − 1, suy zi = xi , i = 0, 1, , N − N −1 Do x = ∆k xk nghiệm toán k=0 N −1 Ta chứng minh x = ∆k xk nghiệm toán k=0 72 Thật vậy, giả sử y, z hai nghiệm toán N −1 N −1 ∆k zk ; yk , zk ∈ ker L k ∆ yk , z = y= k=0 k=0 Ta có GLi (y − z) = GLi y − GLi z = ui − ui = Mặt khác GLi (y − z) = GLi y − GLi z = yi − zi , suy yi − zi = hay yi = zi , ∀i = 0, 1, , N − Do y = z , hay tốn có nghiệm N −1 N −1 tk k Vậy x = ∆ xk = xk nghiệm tốn k=0 k=0 k! Ví dụ 4.2 Cho x ∈ X, x = {xn } = {x0 , x1 , x2 , }, ∆x = {0, x0 , x0 + x1 , x0 + x1 + x2 , } n−1 = {yn : y0 = 0, yn = xk , n = 1, 2, }, k=0 Lx = {xn+1 − xn } = {x1 − x0 , x2 − x1 , } Tìm đa thức x bậc N −1, x = z0 +∆z1 +· · ·+∆N −1 zN −1 với z0 , z1 , , zN −1 ∈ ker L cho GLi x = xi , i = 0, 1, , N − 1; xi ∈ ker L Giải Với x = z0 +∆z1 +· · ·+∆N −1 zN −1 , L ∈ L∆ z0 , z1 , , zN −1 ∈ 73 ker L ta có N −1 i i ∆k zk GL x = GL k=0 i−1 N −1 k i ∆ zk + ∆ zi + = GL ( k=0 i−1 Li−k zk + zi + = G( ∆k zk ) i k=i+1 N −1 k−i ∆ zk ) k=i+1 k=0 = Gzi (do zk ∈ ker L G∆ = X) = zi (do zi ∈ ker L) Từ phương trình GLi x = xi , i = 0, 1, , N − 1, suy zi = xi , i = 0, 1, , N − N −1 Do x = ∆k xk nghiệm tốn k=0 N −1 Ta chứng minh x = ∆k xk nghiệm toán k=0 Thật vậy, giả sử y, z hai nghiệm toán N −1 N −1 k y= ∆k zk ; yk , zk ∈ ker L ∆ yk , z = k=0 k=0 Ta có GLi (y − z) = GLi y − GLi z = ui − ui = Mặt khác GLi (y − z) = GLi y − GLi z = yi − zi , suy yi − zi = hay yi = zi , ∀i = 0, 1, , N − Do y = z , hay tốn có nghiệm Với xk ∈ ker L, ta có xk = {dk , dk , , dk }, dk ∈ R 74 Do ∆xk = {y1n : y10 = 0, y1n = ndk , n = 1, 2, }, n−1 j ∆ xk = {yjn : yj0 = 0, yjn = yj−1i , n = 1, 2, }, i=0 với j = 2, 3, , N − Nhận xét Ta xác định nghiệm tốn nội suy Taylor dựa vào cơng thức Taylor Ta có N −1 ∆k GLk + ∆N LN domLN , I= k=0 suy N −1 ∆k GLk x + ∆N LN x x= k=0 N −1 k Do GL x = xk x = ∆k zk , zk ∈ ker L nên N −1 N L x=L N ∆k zk = Lzk = 0, từ ta xác định nghiệm tốn 75 Kết luận Luận văn trình bày phần lý thuyết toán tử khả nghịch phải trái toán nội suy sinh tốn tử khả nghịch phải trái Ngồi luận văn cịn có hệ thống ví dụ nhằm minh họa cho phần lý thuyết trình bày, giúp ta hiểu sâu sắc lí thuyết nội suy mối liên hệ nội suy toán tử nội suy hàm số Tuy nhiên thời gian trình độ thân cịn hạn chế nên luận văn cịn nhiều thiếu sót Mong nhận thơng cảm, đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn để tiếp tục bổ sung hồn thiện đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn! 76 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết tốn tử phương trình tích phân kì dị, NXB Giáo dục [3] Nguyen Van Mau (2005), Algebraic elements and boundary value problems in linear spaces, Vietnam National University Publishers, Hanoi [4] Nguyen Van Mau (1990), "Interpolation problems induced by right and left invertible operators and its applications to singular integral equations", Demonstratio Mathematica, 23 , 191-212 [5] Przeworska - Rolewicz D (1988), Algebraic Analysis, PWN and Reidel, Warszawa - Dordrecht [6] Przeworska - Rolewicz D (1988), "Property (c) and interpolation formulae induced by right invertible operators", Demonstratio Mathematica, 21, 1023-1044 77 ... 26 Bài toán nội suy sinh toán tử khả nghịch phải 29 2.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh toán tử khả nghịch phải 29 2.2 Một số toán nội suy cổ điển 36 2.2.1 Bài toán nội suy Hermit... số toán nội suy cổ điển Trong phần ta xét số tốn nội suy cổ điển, trường hợp cụ thể toán nội suy tổng quát sinh toán tử khả nghịch phải 2.2.1 Bài toán nội suy Hermit Trong toán nội suy sinh toán. .. trái 4.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh toán tử khả nghịch trái 4.2 Một số toán nội suy cổ điển 68 68 70 4.2.1 Bài toán nội suy Hermit 70 4.2.2 Bài toán nội suy Lagrange