ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— TRẦN THỊ HỒNG MINH TÔPÔ I-ADIC TRÊN VÀNH NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành môđun Noether 1.2 Giới hạn ngược hệ môđun 11 1.3 Vành môđun phân bậc 16 Topo I-adic vành Noether 19 2.1 Lọc môđun, vành phân bậc liên kết vành Rees 19 2.2 Định lí Artin-Rees hệ 23 2.3 Đầy đủ I-adic 26 2.4 Vành địa phương đầy đủ m-adic 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa 17 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Tự Cường, Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, khoa Giáo dục Trung học sở - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho R vành giao hốn, I iđêan R Mục đích luận văn nghiên cứu tôpô I -adic xác định vành R iđêan I Đặc biệt, xem xét trường hợp vành R Noether địa phương Các nội dung trình bày luận văn dựa giảng GS.TSKH Nguyễn Tự Cường [1] hai tài liệu tham khảo tác giả M F Atiyal and I G Macdonald [4] D Northcott [3] Với mục đích tìm hiểu tơpơ I -adic vành Noether, đặc biệt vành Noether địa phương tính chất đầy đủ I -adic Tôi lựa chọn đề tài "Tôpô I -adic vành Noether " làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ Luận văn gồm chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức sở định nghĩa tính chất vành môđun Noether; Giới hạn ngược hệ mơđun tính chất nó, đặc biệt tính chất khớp Định nghĩa tính chất vành môđun phân bậc đưa phần cuối chương Đây công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương chương luận văn Trong chương này, nghiên cứu tôpô I -adic vành Noether Phần đầu chương trình bày định nghĩa tính chất lọc mơđun; Vành phân bậc liên kết vành Rees; Định lý Artin - Rees hệ Phần chúng tơi trình bày kết nghiên cứu tôpô I -adic vành Noether Chúng tơi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn rằng: Đầy đủ I -adic vành Noether Noether Phần cuối ˆ chương trình bày số tính chất vành đầy đủ m-adic R vành Noether địa phương (R, m) Trong trình trình bày luận văn, tác giả cố gắng chứng minh chi tiết số vấn đề trình bày vắn tắt tài liệu Một số ví dụ tập minh họa tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho nội dung trình bày Vì điều kiện thời gian, lực kinh nghiệm thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn học viên độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011 Tác giả TRẦN THỊ HỒNG MINH Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành môđun Noether Mục chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất vành môđun Noether Những vấn đề sở để nghiên cứu tôpô I - adic vành Noether mục sau Định lý 1.1.1 Cho M R-mơđun Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) Mọi tập hợp khác rỗng mơđun M có phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng môđun M M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ dừng, nghĩa tồn m để Mk = Mm , ∀k ≥ m (iii) Mọi môđun M hữu hạn sinh Chứng minh (i)⇒(ii): Lấy tuỳ ý dãy tăng R-môđun môđun M M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gọi F tập tất phần tử dãy Bởi (i), tập có phần tử cực đại Mm với m Khi ta có Mk = Mm với k ≥ m hay dãy dừng (ii)⇒(iii): Giả sử trái lại, tồn môđun N M không hữu hạn sinh Khi N tồn dãy vơ hạn phần tử m Rxi Mj ⊂ Mj+1 với x1 , x2 , , xn , cho đặt Mm = i=1 j ≥ Ta nhận dãy tăng vô hạn mà không dừng M1 ⊆ M2 ⊆ ⊂ Mn ⊆ môđun M , mâu thuẫn với (ii) (iii)⇒(i): Giả sử S tập khác rỗng mơđun M Vì S tập khác rỗng, nên ta chọn mơđun M1 ∈ S Khi M1 phần tử cực đại S tồn M2 thực chứa M1 Lặp lại luận ta suy S khơng có phần tử cực đại, tồn dãy tăng vô hạn M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ không dừng môđun M Dễ thấy N = ∪ Mi i≥1 môđun M , nên N môđun hữu hạn sinh Giả sử {x1 , x2 , , xm } hệ sinh N Vì dãy mơđun nhận dãy tăng nên tồn k để x1 , x2 , , xm ∈ Mk Khi m Rxi ⊆ Mk , N= i=1 Mk = N , dãy bị dừng bắt đầu vị trí thứ k (mâu thuẫn) Vậy S phải có phần tử cực đại Định nghĩa 1.1.2 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Khi đó, R-mơđun M gọi mơđun Noether thoả mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện tương đương Định lý 1.1.1 Vành R vành Noether R-mơđun Noether Từ Định nghĩa ta dễ dàng có nhận xét sau Nhận xét 1.1.3 Vì tập khác rỗng R R-môđun R-môđun R iđêan R, nên R vành Noether R thoả mãn ba điều kiện tương đương sau (i) Mọi tập hợp khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng iđêan R I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ dừng, nghĩa tồn m để Ik = Im , ∀k ≥ m (iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh Ví dụ 1.1.4 (a) Vành số nguyên Z vành Noether, iđêan iđêan nên hữu hạn sinh Tổng qt, vành vành Noether (b) Một trường vành Noether có hữu hạn iđêan (c) Một khơng gian véctơ môđun Noether hữu hạn chiều (d) Vành đa thức vơ hạn biến vành giao hốn R khác khơng, R [x1 , x2 , ] vành Noether, có dãy tăng vơ hạn iđêan R [x1 , x2 , ] (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ⊂ (x1 , x2 , , xn ) ⊂ Định lý 1.1.5 Cho R vành giao hốn có đơn vị dãy khớp ngắn R-môđun → M → M → M → Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi M môđun Noether M M mơđun Noether Chứng minh Khơng làm tính tổng quát ta giả thiết thêm M R-môđun M M = M/M Giả sử M mơđun Noether Vì xích tăng mơđun M xích tăng M , nên M Noether Cho N1 ⊆ N2 ⊆ ⊆ Nn ⊆ dãy tăng mơđun M Khi đó, tồn dãy tăng môđun M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ M cho Nn = Mn /M , ∀n Suy tồn k ∈ N để Mn = Mk , ∀n ≥ k , tức Nn = Nk , ∀n ≥ k M Noether Ngược lại, cho M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ xích tăng tuỳ ý mơđun M Khi ta nhận xích tăng mơđun M1 ∩ M ⊆ M2 ∩ M ⊆ ⊆ Mn ∩ M ⊆ M (M1 + M ) /M ⊆ (M2 + M ) /M ⊆ ⊆ (Mn + M ) /M ⊆ M/M Theo giả thiết tồn số tự nhiên k cho Mn ∩ M = Mk + M (Mn + M ) /M = (Mk + M ) /M , ∀n ≥ k Từ ta dễ dàng suy Mn = Mk , ∀n ≥ k , tức M Noether Sau hệ suy trực tiếp từ Định lý 1.1.5 Hệ 1.1.6 Vành thương vành Noether Noether Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.1.7 Tổng trực tiếp họ hữu hạn R-môđun Noether R-mơđun Noether Hệ nói lên mối quan hệ môđun hữu hạn sinh môđun Noether Hệ 1.1.8 Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R-mơđun Noether Tính Noether mơđun bảo tồn qua địa phương hố, thể qua định lý sau Định lý 1.1.9 Nếu M R-mơđun Noether S tập đóng nhân R S −1 M S −1 R-mơđun Noether Trong trường hợp M = R, ta có kết sau Hệ 1.1.10 Nếu R vành Noether S tập đóng nhân R S −1 R vành Noether Sau kết đặc sắc Hilbert vành Noether Định lý 1.1.11 (Định lý sở Hilbert) Vành đa thức biến R [x] lấy hệ tử vành Noether R vành Noether Chứng minh Cho R vành Noether, để chứng minh R [x] vành Noether, ta iđêan khác khơng hữu hạn sinh Cho I iđêan khác không tuỳ ý R [x] Xét tập hợp R I0 = a ∈ R ∃f ∈ I : f = axm + a1 xm−1 + + am Nói cách khác I0 tập tất hệ số cao đa thức thuộc I Dễ dàng kiểm tra I0 iđêan R Vì R vành Noether nên I0 hữu hạn sinh Giả sử I0 = (a1 , , an ) , ∈ R, i = 1, , n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hiệu ξn Ta có phép chiếu θn+1 : G/Gn+1 → G/Gn ξn+1 → ξn Do dãy Côsi xn G xác định dãy khớp {ξn } cho công thức θn+1 (ξn+1 ) = ξn Cuối cùng, với dãy khớp {ξn }, ta xây dựng dãy Cơsi tăng xn xn phần tử dãy {ξn } cho xn+1 − xn ∈ Gn Do đầy đủ G định nghĩa tốt qua tập dãy khớp {ξn } theo cấu trúc nhóm Bây giờ, ta xem xét trường hợp đặc biệt giới hạn ngược Xét dãy nhóm {An } đồng cấu θn+1 : An+1 → An Ta gọi (An , θn ) hệ ngược nhóm tất dãy khớp (an ) (tức an ∈ An cho θn+1 (an+1 ) = an ) gọi giới hạn ngược hệ lim An = {(an ) |an ∈ An , θn+1 (an+1 ) = an } ← Với cách xác định ta có G∼ = lim G/Gn ← Sự đầy đủ hố tơpơ G theo ngơn ngữ giới hạn ngược có nhiều ứng dụng Tính chất khớp đầy đủ ứng dụng quan trọng giới hạn ngược Theo định lý 1.2.8, ta có (An ) , (Bn ) (Cn ) hệ ngược biểu đồ sau −−→ An+1 −−→ Bn+1 −−→ Cn+1 −−→       θA θB θC n+1 n+1 n+1 −−→ An −−→ Bn −−→ Cn −−→ giao hốn Khi qua giới hạn ngược dãy đồng cấu cảm sinh → lim An → lim Bn → lim Cn → ← ← ← 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A là khớp trái Và khớp hệ (An ) hệ toàn cấu, tức θn+1 toàn cấu với n Theo đó, ta có định lý quan trọng sau p Định lý 2.3.2 Cho → G → G → G → dãy khớp nhóm Giả sử G tơpơ xác định dãy nhóm {Gn } G , G tôpô cảm sinh, tức G , G tôpô theo dãy {G ∩ Gn } {pGn } Khi dãy đầy đủ 0→G →G→ G →0 khớp Chứng minh Xét dãy khớp → G /G ∩ Gn → G/Gn → G /pGn → Theo Định lý 1.2.8, qua giới hạn ngược ta có dãy khớp → lim G /G ∩ Gn → lim G/Gn → lim G /pGn → ← ← ← Vậy dãy đầy đủ 0→G →G→G →0 khớp Hệ 2.3.3 Với giả thiết Định lý, thêm xét trường hợp đặc biệt G = Gn G = G/Gn Khi G tơpơ rời rạc G =G Hệ 2.3.4 Gn nhóm G ta có G/Gn ∼ = G/Gn Lấy giới hạn ngược vế đẳng cấu ta kết quan trọng sau Định lý 2.3.5 G ∼ = G 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu φ : G → G phép đẳng cấu ta nói G đầy đủ Do đó, Định lý 2.3.5 khẳng định đầy đủ G (tức G) đầy đủ Chú ý định nghĩa đầy đủ ta bao hàm Hausdorff Ví dụ 2.3.6 Lớp ví dụ quan trọng nhóm tơpơ mà quan tâm đến xác định G vành A Gn = I n , I iđêan vành A Khi tơpơ xác định A gọi tơpơ I -adic Vì I n iđêan, với n nên khơng khó để kiểm tra với tôpô A vành tôpô, tức phép tốn liên tục Và theo Bổ đề 2.3.1, tôpô Hausdorff ∩ I n = Đầy đủ I -adic n≥0 A A lại vành tôpô đồng cấu φ : A → A liên tục có Ker φ = ∩ I n n≥0 Tương tự A-môđun M , ta xét trường hợp G = M Gn = I n M , xác định tôpô I -adic M đầy đủ M M A-môđun tôpô (tức ánh xạ A × M → M liên tục) Nếu f : M → N A-đồng cấu mơđun f (I n M ) = I n f (M ) ⊆ I n N , f liên tục tơpơ I - M N xác định đồng cấu f : M → N Ta xét vài ví dụ cụ thể sau a) A = k [x], với k trường, I = (x) Ta xác định đầy đủ A Ta có I n = (xn ) hệ ngược A = A/I ⊇ A/I ⊇ A/I ⊇ A = lim A/I n = ← f1 , f2 , fi+1 − fi ∈ I i = f1 , f2 , fi+1 − fi ∈ xi = a, bx + a, cx2 + bx + a, ∼ = k [[x]] vành chuỗi luỹ thừa hình thức k với biến x b) R = A [x1 , , xn ] , I = (x1 , , xn ) Khi R = A [[x1 , , xn ]] c) A = Z, I = (p) = pZ, với p số nguyên tố Xét hệ ngược ⊇ Z/pZ ⊇ Z/p2 Z ⊇ 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi A = Zp -vành số nguyên p-adic = (a0 , a1 , ) ai+1 − pi ∼ = ∞ an pn , ≤ an ≤ p − n=0 n→∞ Ta có pn → Định lý sau suy từ Định lý Artin - Rees Định lý 2.3.7 Giả sử A vành Noether, I iđêan A, M A-môđun hữu hạn sinh M mơđun M Khi lọc I n M (I n M ) ∩ M sai khác chặn Đặc biệt, tôpô I -adic M trùng với tôpô cảm sinh tôpô I -adic M Kết hợp Định lý 2.3.7 với Định lý 2.3.2, ta thu tính chất khớp đầy đủ I -adic sau Định lý 2.3.8 Cho → M → M → M → dãy khớp môđun hữu hạn sinh vành Noether A Giả sử I iđêan A dãy đầy đủ I - adic 0→M →M →M →0 khớp Vì ta có đồng cấu tự nhiên φ : A → A nên ln coi A A-đại số với A-mơđun M ta tạo A-mơđun A⊗A M Đó cách tự nhiên để so sánh với A-mơđun M Với A-đồng cấu mơđun M → M xác định A-đồng cấu môđun A⊗A M → A⊗A M → A⊗A M = M 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thông thường với A M tuỳ ý, đồng cấu không đơn ánh khơng tồn ánh Tuy nhiên, trường hợp đặc biệt ta có định lý sau Định lý 2.3.9 Cho A vành tuỳ ý, M A-môdun hữu hạn sinh Khi A⊗A M → M tồn cấu Hơn nữa, vành A Noether A⊗A M → M đẳng cấu Chứng minh Theo Định lý 2.3.2, với dãy khớp 0→M →M ⊕M →M →0 dãy đầy đủ I -adic 0→M →M ⊕M →M →0 khớp Tức ta có M ⊕ M = M ⊕ M Suy ra, đầy đủ I -adic giao hoán với tổng trực tiếp hữu hạn Do đó, ˆ AF ∼ F ∼ = An A⊗ = Fˆ Bây giờ, giả sử M hữu hạn sinh Khi đó, ta có dãy khớp → N → F → M → Ta có biểu đồ giao hốn A⊗A N −−→ A⊗A F −−→ A⊗A M −−→       γ α β −−→ N −−→ F δ −−→ M −−→ Vì hàm tử tenxơ khớp phải nên dòng khớp Theo Định lý 2.3.2, δ tồn cấu Vì β đẳng cấu, suy α : A⊗A M → M toàn cấu Tiếp theo, giả sử A vành Noether, suy N hữu hạn sinh Theo chứng minh γ : A⊗A N → N tồn cấu Theo tính khớp đầy đủ dịng biểu đồ khớp Do đó, α đơn cấu Suy α đẳng cấu 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 2.3.10 Nếu A vành Noether, I iđêan A A đầy đủ I -adic A A A-đại số hồn tồn phẳng Tiếp theo, nghiên cứu chi tiết tính chất vành đầy đủ I -adic A Định lý 2.3.11 Giả sử A vành Noether, I iđêan A A đầy đủ I -adic A Khi ta có (i) I = AI ∼ = A⊗A I n (ii) (I n ) = I (iii) I n /I n+1 ∼ = I n /I n+1 (iv) I ⊆ J A ; Ở J A Jacobson A Chứng minh (i) Vì A vành Noether, I iđêan hữu hạn sinh, nên theo Định lý 2.3.9, ánh xạ A⊗A I → I có ảnh AI , đẳng cấu Do đó, I∼ = AI ∼ = A⊗A I (ii) Áp dụng (i) iđêan I n , ta có (I n ) = AI n = AI n n = I (iii) Theo Hệ 2.3.4, ta có A/I n ∼ = A/I n Suy I n /I n+1 ∼ = I n /I n+1 ∼ = I n /I n+1 (iv) Theo (ii) Định lý 2.3.5, A vành đầy đủ lọc I -adic Do đó, với x ∈ I ta có (1 − x)−1 = + x + x2 + hội tụ A, − x khả nghịch suy x ∈ J(A) Vậy I ⊆ J(A) Hệ 2.3.12 Cho A vành Noether I iđêan A Khi ta có GI (A) ∼ = G (A) I 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Ta có vành phân bậc liên kết GI (A) = ⊕ I n /I n+1 ; GI (A) = ⊕ I n /I n+1 n≥0 n≥0 Theo Định lý 2.3.11, ta có đẳng cấu I n /I n+1 ∼ = I n /I n+1 suy điều phải chứng minh Một kết quan trọng mục đầy đủ I -adic vành Noether Noether Để có kết này, trước hết ta cần bổ đề kỹ thuật sau Bổ đề 2.3.13 Giả sử φ : A → B đồng cấu lọc nhóm, tức φ(An ) ⊆ Bn G(φ) : G(A) → G(B), φ : A → B đồng cấu cảm sinh nhóm phân bậc liên kết nhóm đầy đủ Khi (i) Nếu G(φ) đơn cấu φ đơn cấu (ii) Nếu G(φ) tồn cấu φ tồn cấu Chứng minh Xét biểu đồ giao hốn với dịng khớp −−→ An /An+1 −−→ A/An+1 −−→ A/An −−→       αn+1 αn G (φ) n −−→ Bn /Bn+1 −−→ B/Bn+1 −−→ B/Bn −−→ Khi đó, ta có dãy khớp → ker Gn (φ) → ker αn+1 → ker αn → cokerGn (φ) → cokerαn+1 → cokerαn → Từ dãy khớp này, quy nạp theo n, ta có ker αn = (trường hợp (i)) cokerαn = (trường hợp (ii)) Hơn nữa, trường hợp (ii) ker αn+1 → ker αn toàn cấu Lấy giới hạn ngược hệ đồng cấu αn ta điều phải chứng minh Định lý 2.3.14 Giả sử A vành, I iđêan A, M A-môđun, (Mn ) I -lọc M Giả sử A đầy đủ I -adic M Hausdorff đối 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn với lọc tơpơ nó, tức ∩ Mn = Thêm nữa, G(M ) G(A) n≥0 mơđun hữu hạn sinh Khi M A - môđun hữu hạn sinh Chứng minh Ta có G(M ) = ⊕ Mn /Mn+1 hữu hạn sinh, chọn n≥0 dãy hữu hạn phần tử sinh G(M ) làm chẻ chúng thành phần chúng Gọi ξi (1 ≤ i ≤ r) có bậc n(i) ảnh xi ∈ Mn(i) Đặt F i A-môđun với I -lọc tốt cho r Fki = I k+n(i) , F = ⊕ F i Khi xác định đồng cấu i=1 φ:F →M F i → xi ∈ Mn(i) ⊆ M lọc nhóm, tức φ(Fki ) ⊆ Mn ánh xạ G(φ) : G(F ) → G(M ) G(M )-đồng cấu Theo cách xác định, ta có G(φ) tồn cấu Do theo Bổ đề 2.3.13 φ : F → M tồn cấu Bây giờ, xét biểu đồ φ F −−→ M     α β φ F −−→ M Vì F tự do, A đầy đủ (A ∼ = A) suy α đẳng cấu Lại có M Hausdorff nên ta có ker β = ∩ Mn = hay β đơn cấu Suy ra, φ n≥0 toàn cấu (do φ toàn cấu) Điều có nghĩa x1 , , xr phần tử sinh M A-môđun Hệ 2.3.15 Với giả thiết Định lý, cộng thêm điều kiện G(M ) G(A)-môđun Noether M A-mơđun Noether Chứng minh Để chứng minh M Noether, ta chứng minh môđun M hữu hạn sinh Đặt M n = M ∩ Mn (M n ) 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn I -lọc M phép nhúng M M n /M n+1 n → Mn cảm sinh đơn cấu → Mn /Mn+1 có phép nhúng G(M ) → G(M ) Suy G(M ) môđun G(M ) Do G(M ) G(A)-môđun Noether nên G(M ) hữu hạn sinh ta có M Hausdorff ∩ M n≥0 n ⊆ ∩ Mn = n≥0 Do theo Định lý 2.3.14 M hữu hạn sinh Vậy M A-mơđun Noether Từ đó, ta có kết quan trọng sau Định lý 2.3.16 Nếu A vành Noether I iđêan A đầy đủ I -adic A A Noether Chứng minh Vì A vành Noether, I iđêan A nên A vành đầy đủ (A ∼ = A) lọc I -adic M = A Hausdorff lọc Mặt khác theo Định lý 2.3.11, I ⊆ J(A) nên theo Hệ Định lý Giao ∩ I n = n≥0 Hơn theo Hệ 2.3.12, vành phân bậc Noether GI (A) ∼ = GI (A) Cuối cùng, áp dụng Định lý 2.3.16 cho vành đầy đủ A M = A Suy A vành Noether Hệ 2.3.17 Nếu A vành Noether vành chuỗi luỹ thừa hình thức B = A [[x1 , x2 , , xn ]] A vành Noether Đặc biệt, vành chuỗi luỹ thừa hình thức n biến x1 , x2 , , xn trường k vành Noether Chứng minh Vì A vành Noether nên A [x1 , x2, , xn ] vành Noether (theo Định lý sở Hilbert), xét iđêan I = (x1 , x2, , xn ) A [x1 , x2, , xn ] Khi B đầy đủ I -adic A [x1 , x2, , xn ] nên theo Định lý 2.3.16 B vành Noether 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ kết trên, tác giả giải số tập đặt cuối chương X, [2], thể nhận xét sau Nhận xét 2.3.18 Giả sử A vành Noether, I iđêan A A đầy đủ I -adic A Cho x ∈ A, giả sử x ảnh x A Khi x khơng ước khơng A x không ước không A Tuy nhiên A miền ngun nói chung A không miền nguyên Chứng minh Nếu x không ước khơng A x = Xét dãy x khớp → A → A Do tính khớp đầy đủ I -adic vành Noether nên x ta có dãy khớp → A → Aˆ Suy x không ước không A Bây giờ, giả sử A miền nguyên, tức A vành giao hoán khác khơng khơng có ước khơng Theo trên, với x ∈ A x khơng ước không A Tuy nhiên ta ví dụ A miền nguyên A không miền nguyên Ta dễ dàng nhận thấy I iđêan nguyên tố đầy đủ I -adic A A miền nguyên Do để xây dựng phản ví dụ, ta cần tìm iđêan nguyên tố p iđêan m ⊇ p, m thuộc miền nguyên B , với A = B/p cho đầy đủ m-adic p nguyên tố Xét dãy khớp → p → B →B/p → Theo Định lý 2.3.8, dãy đầy đủ m-adic → p → B → B/p → khớp Do đó, ta có B/p ∼ = B/p ∼ = A Giả sử B = Q [x, y], p = y − x3 − x2 , m = (x, y) Khi đầy đủ madic B B = Q [[x, y]] Suy A = B/p = Q [x, y] / y − x3 − x2 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn miền nguyên, đầy đủ m-adic A = B/p = Q [[x, y]] / y − x3 − x2 lại khơng miền ngun Thật ta có y − x3 − x2 = y − x2 (1 + x) (1 + x) số phương (1 + x) = (1 + 21 x − 81 x2 + 16 x − 128 x + )2 Suy iđêan p không nguyên tố vành B nên A không miền nguyên 2.4 Vành địa phương đầy đủ m-adic Trong mục ta xét vành R địa phương Noether với iđêan cực đại m, ký hiệu vành (R, m) Trên vành (R, m) ta nghiên cứu tính chất vành đầy đủ m-adic Định lý 2.4.1 Giả sử (R, m) vành địa phương Khi đầy đủ m-adic R R vành địa phương với iđêan cực đại m Chứng minh Theo Định lý 2.3.11 (iii) R/m ∼ =R/m Do m iđêan cực đại R nên R/m trường Khi R/m trường Suy m iđêan cực đại R Hơn nữa, theo Định lý 2.3.11 (iv) m = J(R), với J(R) Jacobson R m iđêan cực đại R Vậy (R, m) vành địa phương Định lý 2.4.2 Nếu (R, m) vành địa phương Noether M Rmơđun hữu hạn sinh tơpơ m-adic M Hausdorff Đặc biệt, tôpô m-adic R Hausdorff Chứng minh Với giả thiết Định lý, theo Hệ 2.2.5 Định lý Artin-Ress, ta có ∩ mn M = ∩ mn = Từ đó, suy điều n≥0 n≥0 phải chứng minh 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Iđêan I vành địa phương (R, m) gọi iđêan định nghĩa mn ⊆ I ⊆ m với n > Rõ ràng I iđêan định nghĩa R R đầy đủ m-adic R I R iđêan định nghĩa R Bây giờ, giả sử dimR = d Khi đó, ta nhớ hệ tham số R gồm d phần tử - chúng sinh iđêan định nghĩa Định lý 2.4.3 Giả sử R vành địa phương R đầy đủ m-adic R Khi dimR = dim R Chứng minh Giả sử a1 , a2 , , ad hệ tham số R ⇒ dim R = d Ra1 +Ra2 + +Rad iđêan định nghĩa R ⇒ Ra1 + Ra2 + + Rad ˆ dim R ≤ d = dim R iđêan định nghĩa R ˆ ⇒ dim R = p X = Rω1 + Giả sử ω1 , ω2 , , ωp hệ tham số R Rω2 + + Rωp iđêan định nghĩa R Suy A = X ∩ R iđêan định nghĩa R Hơn nữa, A sinh p phần tử ⇒ dim R ≤ p = dim R Vậy dimR = dim R Hệ 2.4.4 Giả sử b1 , b2 , , bd phần tử vành địa phương (R, m) Khi đó, bi lập thành hệ tham số R chúng lập thành hệ tham số đầy đủ m-adic R Kết vành địa phương có tính chất đầy đủ m-adic Định lý 2.4.5 Giả sử R vành địa phương R đầy đủ m-adic R điều kiện sau tương đương: (i) Mọi hệ tham số R lập thành R-dãy (ii) Mọi hệ tham số R lập thành R-dãy Chứng minh Giả sử a1 , a2 , , ad hệ tham số R Theo Hệ 2.4.5 hệ tham số R Hơn nữa, ta lại có 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (Ra1 + + Rai−1 ):R = Ra1 + + Rai−1 ⇔ (Ra1 + + Rai−1 ):R = Ra1 + + Rai−1 Vậy a1 , a2 , , ad R-dãy R-dãy Định lý 2.4.6 Giả sử (R, m) vành địa phương Noether Rm đầy đủ m-adic vành địa phương Rm Khi Rm coi đầy đủ m-adic R theo cách này, đồng cấu vành tắc R → Rm hợp thành đồng cấu vành tắc R → Rm Rm → Rm Chứng minh Ta biết, đầy đủ m-adic R thu cách lấy giới hạn ngược hệ → R/mn+1 → R/mn → R/mn−1 → Mặt khác, Rm đồng với giới hạn ngược hệ → Rm /mn+1 Rm → Rm /mn Rm → R/mn−1 Rm → Và ánh xạ R/mn → Rm /mn cảm sinh ánh xạ R → Rm đẳng cấu Vì biểu đồ R/mn+1   −−→ R/mn   Rm /mn+1 Rm −−→ Rm /mn Rm giao hốn nên ta có đơn cấu vành R → Rm Cuối cùng, ta có biểu đồ R −−→ R     Rm −−→ Rm giao hốn 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Tôpô I-adic vành Noether vấn đề quan trọng Đại số giao hoán Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết nghiên cứu đầy đủ I-adic vành Noether vành Noether địa phương Kết luận văn bao gồm nội dung sau 1) Hệ thống lại số kiến thức vành môđun Noether; Giới hạn ngược hệ môđun; Vành môđun phân bậc 2) Định nghĩa tính chất lọc mơđun, vành phân bậc liên kết vành Rees; Định lý Artin-Rees hệ 3) Trình bày xây dựng tôpô I-aidc vành Noether, đầy đủ I-adic vành Noether tính chất quan trọng 4) Một số kết nghiên cứu đầy đủ m-adic vành Noether địa phương (R, m) 5) Đưa số ví dụ tập minh họa cho nội dung trình bày luận văn Luận văn chúng tơi hồn thành tiến độ đạt kết Do thời gian lực hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến q thầy cơ, bạn học viên độc giả quan tâm để luận văn chúng tơi hồn thiện 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường, Bài giảng chuyên đề Hình học đại số, 2010 [2] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình Đại số đại (tập I) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [3] D Northcott, Lessons on rings, modules and multiplicities Cambridge University Press 1968 [4] M F Atiyal and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra Addition - Wesley, Reading, Mass 1969 [5] H Matsumura, Commutative Algebra Second edition Benjamin/Cummings Publ., Massachusetts 1980 [6] H Matsumura, Commutative ring theory Cambridge University Press 1986 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... phẳng Tiếp theo, nghiên cứu chi tiết tính chất vành đầy đủ I -adic A Định lý 2.3.11 Giả sử A vành Noether, I iđêan A A đầy đủ I -adic A Khi ta có (i) I = AI ∼ = A⊗A I n (ii) (I n ) = I (iii) I n... họ đồng cấu (fi )i? ? ?I gi? ?i hạn (Mi , θji ) Khi đó, tồn λ1 : N → M λ2 : M → N cho fi ◦ λ1 = fi fi ◦ λ2 = fi v? ?i i ∈ I Do fi ◦ λ1 ◦ λ2 = fi v? ?i i ∈ I Mặt khác fi ◦ idM = fi v? ?i i ∈ I Nên tính λ... A⊗A I (ii) Áp dụng (i) i? ?êan I n , ta có (I n ) = AI n = AI n n = I (iii) Theo Hệ 2.3.4, ta có A /I n ∼ = A /I n Suy I n /I n+1 ∼ = I n /I n+1 ∼ = I n /I n+1 (iv) Theo (ii) Định lý 2.3.5, A vành