BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Đặc trưng số lớp vành Artin vành Noether Đinh Đức Tài Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 05 01 Người hướng dẫn: GS TSKH Đinh Văn Huỳnh PGS TS Ngô Sỹ Tùng 2011 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Đinh Đức Tài ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn GS TSKH Đinh Văn Huỳnh (Trường Đại học Ohio, Hoa Kỳ) PGS.TS Ngô Sỹ Tùng (Trường Đại học Vinh) Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đinh Văn Huỳnh, người Thầy nghiêm khắc mẫu mực, định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình, đáo suốt thời gian tác giả thực luận án Xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, người thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận nhiều ý kiến đóng góp quý báu GS.TSKH Nguyễn Tự Cường (Viện Toán học Việt Nam), PGS TS Nguyễn Tiến Quang (ĐHSP Hà Nội), GS.TS Lê Văn Thuyết (ĐH Huế) Tác giả xin trân trọng cảm ơn Xin chân thành cảm ơn góp ý giúp đỡ nhà khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan dành cho tác giả trình viết chỉnh sửa luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: Khoa Toán khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh; Ban Giám hiệu trường Đại học Hà Tĩnh; Các thành viên nhóm xemina Lý thuyết Vành trường ĐH Vinh; iii Trung tâm Lý thuyết Vành ứng dụng (CRA) thuộc khoa Toán (Trường Đại học Ohio - Hoa Kỳ) tạo điều kiện thuận lợi để tác giả sang thực tập, nghiên cứu khoảng thời gian tháng quý báu (từ tháng đến tháng 12 năm 2008) Cuối cùng, xin gửi tới gia đình, anh em, bạn bè, lời biết ơn chân thành động viên, chia sẻ suốt thời gian qua Cảm ơn hy sinh vợ hai - chỗ dựa tinh thần vững giúp tơi vượt qua khó khăn hồn thành luận án Vinh, tháng 10 năm 2010 Đinh Đức Tài MỤC LỤC Lời cảm ơn ii Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 12 1.1 Các khái niệm 12 1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh mở rộng 17 1.3 Vành Artin, vành Noether lớp vành liên quan 19 Vành CS - nửa đơn 23 2.1 Một số bổ đề cần thiết 24 2.2 Đặc trưng vành CS - nửa đơn 27 2.3 Kết luận Chương 33 QF-vành 35 3.1 Một số bổ đề cần thiết 36 3.2 Đặc trưng QF-vành 38 3.3 Kết luận Chương 43 Điều kiện để số lớp vành trở thành Noether 44 4.1 Một số bổ đề cần thiết 45 4.2 Khi V-vành Noether 48 4.3 Điều kiện để vành đơn Noether 51 4.4 Khi vành đơn SI 56 4.5 Kết luận Chương 59 Kết luận luận án 61 Danh mục cơng trình liên quan 62 Tài liệu tham khảo 62 BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực C : Trường số phức A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A − B : A môđun cốt yếu B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Trong đại số nói chung lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng tính Artin tính Noether lớp vành đề tài rộng hấp dẫn nhà nghiên cứu cấu trúc vành Từ định lý cấu trúc Wedderburn - Artin điều kiện tương đương, lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành SI- vành xuất thu hút quan tâm nhiều nhà toán học 1.2 Lớp vành CS-nửa đơn lớp vành mở rộng thực lớp vành Artin nửa đơn lớp vành Artin hai phía Các kết lớp vành năm 1994 giới thiệu [11] Đặc trưng vành CS- nửa đơn thơng qua tính CS (hoặc điều kiện yếu hơn) lớp môđun hữu hạn sinh đếm sinh (xem [38], [32]) hướng nghiên cứu lớp vành nhiều nhà nghiên cứu cấu trúc vành quan tâm 1.3 Lớp QF- vành Nakayama định nghĩa năm 1939, chuyên khảo [54] tuyển tập đầy đủ kết liên quan đến lớp QF-vành, đồng thời phần nói lên quan tâm nhà nghiên cứu lớp vành Trong lý thuyết QF- vành, giả thuyết Faith hai giả thuyết dành quan tâm đặc biệt Việc nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ dần giả thuyết Faith đề tài hấp dẫn 1.4 Lớp V- vành lớp SI- vành hai hướng mở rộng khác lớp vành Artin nửa đơn Đặc trưng tính Noether lớp V- vành nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ năm 1976 (xem [17], [11]) nay, việc nghiên cứu lớp vành đề tài thú vị Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành trường hợp đặc biệt lớp vành Noether Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm đến lớp vành đơn đặc trưng tính Noether vành đơn cầu nối để thiết lập điều kiện cho vành đơn SI Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Đặc trưng số lớp vành Artin Noether Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án là: Đặc trưng số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông qua lớp môđun chúng Đặc trưng tính Noether lớp V- vành vành đơn, từ thu kết SI- vành Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn số điều kiện hữu hạn định Phạm vi nghiên cứu Nội dung luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành, vành đơn SI-vành Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu luận án nghiên cứu lý thuyết Sử dụng kỹ thuật liên quan đến đế môđun kỹ thuật khác vận dụng chứng minh Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết lớp vành CS- nửa đơn, V- vành, SI- vành, vành Noether Đặc biệt, kết lớp QF- vành hy vọng phần góp phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu lớp vành kể trên, luận án tài liệu tham khảo cho nhà nghiên cứu, học viên cao học sinh viên Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án: Cùng với nhóm trường, vành ba cấu trúc đại số có ứng dụng rộng rãi Vì việc nghiên cứu vành khơng túy đam mê tốn học mà cịn lơi ứng dụng đa dạng vào ngành khoa học khác Lý thuyết vành xuất khoảng 120 năm ngày phát triển cách phong phú bối cảnh Mục đích lý thuyết vành mô tả cấu trúc vành Tuy nhiên, với định nghĩa trừu tượng nó, khơng thể đưa điều nhiều tính chất chung chung Vì vậy, muốn nghiên cứu cấu trúc vành cách sâu sắc người ta phải đặt điều kiện cụ thể tìm cách mơ tả chúng sở cấu trúc biết Do đề xuất "điều kiện cụ thể" mà xuất nhiều lớp vành như: vành Artin, vành Noether, vành Goldie, vành Frobenius, vành tựa Frobenius (QF - vành), vành hoàn chỉnh, v.v Emil Artin người đặt móng cho việc nghiên cứu cấu trúc vành Năm 1928, ông chuyển định lý cấu trúc Wedderburn đại số hữu hạn chiều trường cho với điều kiện 55 thuẩn với kết Osofsky (Bổ đề 4.1.9) Như vậy, K1 ⊕ H/Soc(H1 ) CS môđun Từ mâu thuẩn có S2 = S3 , S = S2 có độ dài hữu hạn Kết cho phép kết luận N môđun Noether Cuối cùng, chứng minh M/Soc(M ) môđun Noether Theo kết chứng minh trên, với môđun cốt yếu E M , ta có M/E mơđun Noether Hay nói cách khác, M thỏa mãn ACC cho môđun cốt yếu Sử dụng kết Bổ đề 4.1.10(1) ta có M/Soc(M ) môđun Noether Định lý chứng minh Môđun suy biến R-mơđun phải suy biến M kí hiệu Z(M ), tập hợp phần tử x ∈ M cho linh hóa tử phải rR (x) phần tử x ∈ M iđêan phải cốt yếu R Từ kết định lý có hệ sau 4.3.4 Hệ Trên vành đơn R, điều kiện sau tương đương: (i) Mọi R-môđun phải xiclic suy biến CS; (ii) Tồn R-môđun phải xiclic X với X = Z(X) cho môđun xiclic X-suy biến σ[X] CS Trong trường hợp này, R vành Noether phải Chứng minh Ta thấy, chiều (i) ⇒ (ii) hiển nhiên Bây chứng minh (ii) ⇒ (i) Giả sử vành đơn R điều kiện (ii) thỏa mãn Nếu Soc(RR ) = R vành Artin nửa đơn phát biểu (i) hiển nhiên Chúng ta cần quan tâm đến trường hợp Soc(RR ) = Trong trường hợp này, có tồn x ∈ X cho X = xR Từ giả thiết X = Z(X) ta thấy iđêan linh hóa tử rR (x) R không iđêan phải cốt yếu R Do X = xR ∼ = RR /rR (x) nên X chứa môđun xiclic khác không Y mà Y đẳng cấu với iđêan phải R Do đó, Y mơđun khơng suy biến Soc(YR ) = Hiển nhiên có σ[Y ] ⊆ σ[X] Sử dụng kết Bổ đề 4.1.11 thấy RR đẳng cấu với hạng tử trực tiếp 56 Y k , k số nguyên dương Từ RR đẳng cấu với vật phạm trù σ[Y ] ⊆ σ[X], có σ[X] = M od-R, ta có (ii) ⇒ (i) Trong trường hợp vành đơn R thỏa mãn điều kiên (ii) có Soc(YR ) = Với môđun cốt yếu E ⊆ Y , áp dụng điều kiên (ii) cho phạm trù σ[Y /E] thấy (Y /E)R có chiều Goldie hữu hạn theo Bổ đề 4.1.3 Sử dụng Bổ đề 4.1.4 ta có Y /Soc(Y ) (= Y ) có chiều Goldie hữu hạn Đăc biệt, R có chứa iđêan phải nên R vành Goldie phải theo kết Bổ đề 4.1.6 Bây áp dụng kết Định lý 4.3.3 thấy YR môđun Noether Như vậy, R vành Noether phải hạng tử trực tiếp Y k 4.4 Khi vành đơn SI 4.4.1 Định nghĩa Môđun M gọi SI-môđun môđun M -suy biến M -nội xạ Chú ý rằng, [65], Yousif định nghĩa khái niệm này: Môđun M gọi SI-môđun môđun suy biến Mod-R M nội xạ Như nhận xét 4.3, môđun M -suy biến suy biến Mod-R Do thấy điều kiện Yousif đưa thực mạnh định nghĩa Tuy nhiên, trường hợp M = R hai khái niệm Trong luận án này, hiểu khái niệm SI-môđun theo định nghĩa Kết liên quan đến SI-vành định lý sau: 4.4.2 Định lý Cho R vành đơn Goldie phải Y Rmôđun phải xiclic khác không Nếu môđun xiclic Y -suy biến σ[Y ] tựa liên tục Y /E nửa đơn với môđun cốt yếu E ⊆Y 57 Chứng minh Xét Soc(RR ) đế phải R xem R-mơđun Chúng ta có hai khả xảy ra: Soc(RR ) = 0, Soc(RR ) = ( ) Nếu Soc(RR ) = từ tính chất đơn vành R ta có R = Soc(RR ) R vành Artin nửa đơn Do phát biểu định lý hiển nhiên ( ) Bây xét khả lại: Soc(RR ) = Giả sử Y R-môđun phải xiclic khác không cho môđun xiclic Y -suy biến σ[Y ] tựa liên tục Sử dụng kết Định lý 4.3.3, ta có Y /Soc(Y ) Noether phải Chúng ta chứng minh rằng: "(∗) Với môđun cốt yếu E ⊆ Y , ta có Y /E mơđun nửa đơn" Trước hết xét trường hợp X = Y /E mơđun Artin Do Soc(XR ) có độ dài hữu hạn, sử dụng Bổ đề 4.1.7 thấy X ⊕ Soc(XR ) môđun xiclic Từ X ⊕ Soc(XR ) ∈ σ[Y ] Y -suy biến, theo giả thiết mơđun tựa liên tục Sử dụng kết Bổ đề 2.1.1 có Soc(XR ) X- nội xạ Soc(XR ) hạng tử trực tiếp X Điều chứng tỏ X = Soc(XR ), nghĩa X môđun nửa đơn mơđun Artin Do để chứng minh (∗), cần chứng minh Y /E môđun Artin với môđun cốt yếu E ⊆ Y Giả sử ngược lại rằng, với môđun cốt yếu E ⊆ Y , Y /E không môđun Artin Từ YR môđun Noether modulo đế (Y /Soc(Y )), tồn mơđun cốt yếu F ⊆ Y , với F môđun tối đại tất môđun thỏa mãn điều kiện V = Y /F không môđun Artin Nếu V khơng mơđun có tồn hai mơđun khác khơng V1 , V2 ⊆ V , với V1 ∩ V2 = Đặt Ui , (i = 1, 2) tạo ảnh Vi Y qua đồng cấu tắc Y → Y /F (= V ) Từ tính chất tối đại F ta có Y /Ui môđun Artin Điều chứng tỏ V (= Y /F ) môđun Artin, mâu 58 thuẩn với giả sử Do có V mơđun Hơn nữa, với lý tương tự theo cách chọn F , có Soc(V ) = Cũng theo cách chọn F , với môđun khác không T ⊆ V , V /T môđun Artin mơđun nửa đơn Từ điều này, có tồn mơđun T U môđun V với = T ⊆ U ⊆ V cho U/T tổng trực tiếp hữu hạn môđun đơn Bây xét môđun Q = V ⊕ U Do V môđun xiclic Q/(0, T ) ∼ = V ⊕ (U/T ), sử dụng kết Bổ đề 4.1.7 có Q/(0, T ) mơđun xiclic Chọn x ∈ Q cho (x + (0, T )) phần tử sinh Q/(0, T ), nghĩa [xR + (0, T )]/(0, T ) = Q/(0, T ) Hiển nhiên chọn x cho xR chứa (V, 0) Do xR = V ⊕ W , (0, W ) = xR ∩ (0, U ) Từ xR môđun tựa liên tục có W V nội xạ Từ xR không môđun nên W = Do U chứa mơđun khác khơng U thỏa mãn U V -nội xạ Khi đó, U hạng tử trực tiếp V Điều hồn tồn mâu thuẩn với tính chất V Như vậy, chứng minh điều kiện (∗): Với môđun cốt yếu E Y , môđun thương Y /E môđun Artin Định lý chứng minh Từ định lý ta có hệ sau: 4.4.3 Hệ Trên vành đơn R, điều kiện sau tương đương: (i) Mọi R-môđun phải xiclic suy biến tựa liên tục; (ii) Tồn R-môđun phải xiclic X với X = Z(X) cho môđun xiclic X-suy biến σ[X] tựa liên tục Trong trường hợp này, R SI-vành phải Chứng minh Hiển nhiên có (i) ⇒ (ii) Ta phải chứng minh chiều ngược lại Lập luận tương tự phần chứng minh Hệ 4.3.4 có Mod-R = σ[X] ta có điều phải chứng 59 minh Mặt khác, điều kiện (i) (ii), sử dụng kết Định lý 4.3.3 ta có R/E nửa đơn với iđêan phải cốt yếu E ⊆ R Kết hợp giả thiết R vành không suy biến phải Bổ đề 4.1.12, ta có R SI-vành phải 4.4.4 Nhận xét 1) Khi xét M = R, trở lại vành R ta thu kết thú vị Đinh Văn Huỳnh - S K Jain S.R Lo’pez-Permouth [35], [36] hệ Tuy cần nhấn mạnh rằng, trường hợp đối tượng nghiên cứu rộng nhiều môđun phép nhân không định nghĩa Do vậy, việc phát triển kỹ thuật [35], [36] cần thiết cho trường hợp xét môđun 2) Chúng chưa biết liệu Định lý 4.3.3 Định lý 4.4.2 hay không bỏ điều kiện chiều Goldie phải hữu hạn vành R 4.5 Kết luận Chương Trong Chương 4, tập trung nghiên cứu số vấn đề sau: Khi V - vành Noether? Trên sở kết Đinh Văn Huỳnh tác giả [37] (Theorem C), chúng tơi tìm cách thay điều (℘) điều kiện (℘ ) yếu Đồng thời chúng tơi tìm cách thiết lập điều kiện để vành đơn Noether từ suy điều kiện cho vành đơn SI-vành Cụ thể sau: Thay điều kiện nội xạ Noether điều kiện (℘) (xem Theorem C, [37]) điều kiện CS chiều Goldie hữu hạn Kết thu Định lý 4.2.4, từ suy điều kiện để V -vành phải Noether phải (Hệ 4.2.5) Thiết lập điều kiện cho vành đơn Noether thơng qua tính chất CS môđun xiclic suy biến phạm trù σ[M ] (Định lý 4.3.3, Hệ 4.3.4) 60 Chứng minh kết SI- vành thơng qua tính chất tựa liên tục lớp môđun xiclic Y - suy biến phạm trù σ[Y ] (Định lý 4.4.2, Hệ 4.4.3) 61 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án này, thu kết sau đây: Đưa tiêu chuẩn lớp vành Artin lớp vành CSnửa đơn thông qua lớp môđun hữu hạn sinh thỏa mãn phân tích thành tổng trực tiếp mơđun nửa đơn môđun tựa liên tục (Bổ đề 2.2.4, Định lý 2.2.3) Đưa đặc trưng lớp QF-vành thơng qua tính chất (1 − C1 ), tính chất đếm Σ-(1 − C1 ) (Định lý 3.2.1, Hệ 3.2.4, Hệ 3.2.5) Thiết lập điều kiện để CS-vành phải vành liên tuc phải (Định lý 3.2.2) Từ có kết QF-vành từ lớp vành nguyên sơ Giảm nhẹ điều kiện nội xạ Noether điều kiện (℘) (xem Theorem C, [37]) điều kiện CS chiều Goldie hữu hạn Kết thu Định lý 4.2.4, từ đưa đặc trưng tính Noether V -vành phải (Hệ 4.2.5) Thơng qua tính chất CS môđun xiclic suy biến phạm trù σ[M ], thiết lập điều kiện để vành đơn Noether (Định lý 4.3.3, Hệ 4.3.4) Từ kết này, thu kết lớp SI-vành (Hệ 4.4.3) Các kết luận án công bố báo [44], [45] [46] 62 Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu số vấn đề sau: Nghiên cứu đặc trưng vành CS-nửa đơn thông qua lớp môđun hữu hạn sinh thỏa mãn phân tích thành tổng trực tiếp mơđun nửa đơn môđun CS (1 − C1 ) Tiếp tục quan tâm nghiên cứu giả thuyết Faith Đặc biệt, cố gắng giảm nhẹ thay giả thiết vành hoàn chỉnh lớp vành nửa địa phương Nghiên cứu tính chất Noether lớp vành đơn thơng qua tính chất CS lớp mơđun xiclic M -suy biến Hay nói rõ hơn, cố gắng loại bỏ giảm nhẹ điều kiện Goldie phải giả thiết Định lý 4.3.3 Danh mục cơng trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan đến luận án Dinh Van Huynh, Dinh Duc Tai and Le Van An, On the CS Condition and Rings with Chain Conditions Contemporary Mathematics Amer Math Soc, Vol.480 (2009), pp 241-248 Dinh Van Huynh and Dinh Duc Tai, A note on V-rings Southeast Asian Bull of Math, Vol 33, No (2009), pp 1071-1074 Dinh Van Huynh and Dinh Duc Tai, Cyclic Modules over Simple Goldie Rings Acta Math Vietnamica, Vol 35, No (2010), pp.329334 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W Anderson and K.R Furler, Ring and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin, 1974 [2] E Artin, Nesbitt, C.J and Thrall, R.M, Rings with minimum condition, Univ Michigan Publ in Math No 1, Ann Arbor, 1994 [3] E P Armendariz, Rings with DCC on essential left ideals Comm Algebra (1980), 299-308 [4] A W Chatters, A characterization of right noetherian rings, Quart J Math Oxford, 32(2) (1982), 65-69 [5] A.W Chatters and Hajarnavic, Rings with Chain Condition, Pitman, Lodon, 1980 [6] J Clark and Dinh Van Huynh, When is a self-injective semiperfect ring QF?, J Algebra, 165 (1994), 531-542 [7] J Clark and Dinh Van Huynh, A study of uniform one-side ideals in simple rings, Glasgow Math J, 49 (2007), 489-495 [8] J.H Cozzens, Homological properties of the ring of differential polynomials, Bull Amer Math Soc 76 (1990), 75-79 [9] J.H Cozzens and C Faith, Simple Noetherian Rings, Cambridge Univ Press.UK London, 1975 [10] R.F Damiano, Right PCI ring is right Noetherian, Proc Amer Math Soc 77 (1977), 11-14 64 [11] Nguyen Viet Dung, Dinh Van Huynh, P F Smith and R Wisbauer, Extending Modules, Pitman, London, 1994 [12] Nguyen Viet Dung and Patrick F Smith, Rings for which certain modules are CS, J.Pure Appl Algebra 102 (1995), 273-287 [13] N Er, Rings whose CS modules are countably −CS, Comm Algebra, 31(11) (2003), 5513-5523 [14] Noyan Er, Artinian Rings Characterized by Direct Sum of CS modules, Communications in Algebra, Vol.32(2004), No 12, pp 4821-4833 [15] C Faith, Algebra II, Ring Theory, Springer Verlag(1976) [16] C Faith, Algebra I, Rings, Modules and Categories, SpringerVerlag, Berlin/New York(1981) Z.,113(1970), 106-112 [17] C Faith, On hereditary rings and Boyle’s conjecture, Arch Math 27 (1976), 113-119 [18] C Faith, When are proper cylics injective?, Pacific J Math 45 (1973), 97-112 [19] C Faith and Dinh Van Huynh, When self-injective ring are QF: A report on a problem, J Algebra Appl (2002), 75-105 [20] L Fuchs and L Szele, On Artinian rings, Acta Sci Math Szeged, 17 (1956), 30-40 [21] J L Go’mez Pardo and P A Guil Asensio, Every −CS module has an indencomposable decomposition, Proc Amer Math Soc 129 (2001), 947-954 [22] J L Go’mez Pardo and P A Guil Asensio, Indencomposable decompositions of modules whose direct sum are CS, J Algebra, 262(1) (2003), 194-200 65 [23] K.R Goodearl, The Singular Torsion and the Splitting Properties, in: Mem Amer Math.Soc Vol.124 (1972) [24] K Hanada, Y Kuratomi and K Oshiro, On direct sums of extending modules and internal exchange property, J Algebre, 250 (2002), 115-133 [25] A Harmanci and P F Smith, Finite dierect sums of CS-modules, International Symposium on Ring Theory, Trends Math (2001), 149-159 [26] R Hart, Simple rings with uniform right ideals, J London Math Soc 42 (1976), 614-617 [27] Đinh Quang Hai and Dinh Van Huynh, A decomposition theorem for (℘∗ )−semisimple rings, J.Pure Appl Algebra, 186 (2004), 139 -149 [28] Dinh Van Huynh, Nguyen Viet Dung and Robert Wisbauer, Quasi - injective modules with ACC or DCC on essential submodules Arch Math Vol.53 (1989), 252-255 [29] Dinh Van Huynh, Structure of some noetherian SI rings, J Algebra, 254 (2002), 362 - 374 [30] Dinh Van Huynh, Rings with ACC on essential right ideals, Math Japonica, 35 (1990), 707-712 [31] Dinh Van Huynh, P F Smith and R Wisbauer, A note on GVmodules with Krull dimention, Glasgow Math J, 32 (1990), 389390 [32] Dinh Van Huynh and S T Rizvi, On some classes of Artinian rings, J Algebra, 223 (2000), 133-153 66 [33] Dinh Van Huynh and S T Rizvi, On countably sigma-CS rings, Algebra and Its Application, Narosa Publishing House, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata (2001), 119-28 [34] Dinh Van Huynh, S K Jain and S R Lo’pez-Permouth, Ring characterized by direct sums of CS modules, Comm Algebra, 28 (2000), 4219-4222 [35] Dinh Van Huynh, S.K Jain and S.R Lo’pez-Permouth, When is a simple ring Noetherian ?, Journal of Algebra, 184 (1996), 786-794 [36] Dinh Van Huynh, S.K.Jain, and S.R.Lo’pez-Permouth, When xiclic singular modules over a simple ring are injective, Journal of Algebra, 263 (2003), 188-192 [37] Dinh Van Huynh and S T Rizvi, An affirmative answer to a question on noetherian rings, J Algebra and Appl (2008), 4759 [38] Dinh Van Huynh, S T Rizvi, and M F Yousif, Rings whose finitely generated modules are extending, J Pure Apl Algebra 111 (1996), 325-328 [39] Dinh Van Huynh, Hong Kee Kim and Jae Keol Park, Some results on SI-Rings, J.Algebra, 174 (1995), 39-52 [40] Dinh Van Huynh and Tung Ngo Si, A note on quasi-Frobenius rings, Proc Amer Math Soc, 124 (1996), No.2, 371-375 [41] Dinh Van Huynh, Die Spaltbarkeit von MHR-Ringe, Bull Acad Polon Sci, 25 (1977), 939-941 ¨ [42] Dinh Van Huynh, Uber Artinsche Ringe, Math Nachr, 16 (1978), 187-194 67 [43] Dinh Van Huynh, A right countably sigma - CS ring with ACC or DCC on projective principal right ideals is left Artinian and QF 3, Trans Amer Math Soci, 347 (1995), 3131-3139 [44] Dinh Van Huynh, Dinh Duc Tai and Le Van An, On the CS Condition and Rings with Chain Conditions Contemporary Mathematics Amer Math.Soc, Vol.480 (2009), 241-248 [45] Dinh Van Huynh and Dinh Duc Tai, Cyclic Modules over Simple Goldie Rings Acta Math Vietnamica, Vol 35, No (2010), pp.329334 [46] Dinh Van Huynh and Dinh Duc Tai, A note on V-rings, Southeast Asian Bull of Math (2009), Vol 33, No (2009), pp 1071-1074 [47] F Kasch, Moduln und Ringe, Teubner Stuttgart, 1977 [48] A Kertész, Lectures on Artinian Rings, Akadémiai Kiadó, Budapest(1987) [49] A Kertész and A Widiger, Artinsche Ringe mit Artinschem Radikal, J reine angew Math, 242 (1970), 8-15 [50] T Y Lam, Lectures on Modules and Rings, GMT, Vol 189, Springer Verlag(1999) [51] T Y Lam, A First Course on Noncommutative Rings, Springer Verlag(1991) [52] G O Michler and O E Villamayor, On rings whose simple modules are injective, J Algebra, 25 (1973), 185-201 [53] S.H Mohamed and B.J Mă uller, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Note Ser Vol 147, Cambridge University Press, 1990 68 [54] W.K Nicholson and M.F Yousif, Quasi- Frobenius Rings, Cambridge Univ Press, Vol 158(2003) [55] B L Osofsky, A generalization of quasi - Frobenius rings, J Algebra, (1996), 373-387 [56] B.L Osofsky, Injective modules over twisted polynomial rings, Nagoya Math J, 119 (1990), 107-114 [57] B.L Osofsky, P.F Smith, Cyclic modules whose quotients have all complement submodules direct summands, J Algebra, 139 (1991), 342-354 [58] S Plubtieng, Rings with many direct summands, Math J Okayama Univ, 44 (2002), 29-35 [59] P F Smith, Some rings which are characterised by their finitely generated modules, Quart J Math Oxford, 29 (1978), 101-109 [60] P.F Smith, Rings characterizied by their cyclic modules, Canad J Math, 24 (1979), 93-111 ă [61] F Szász, Uber Artinsche Ringe, Bull Acad Polon Sci, 11 (1963), 351-354 [62] Dinh Duc Tai and Ngo Sy Tung, Characterizing noetherian and SI rings by the conditions ℘ and ℘∗ Journal of science of HNUE Natural Sci (2008), Vol 53, No 1, 30-34 [63] P Vámos, The dual of the notion of finitely generated, Bull London Math Soc, 43 (1968), 643-646 [64] N Vanaja and Vandana M Purav, Characterisasions of generalised uniserial rings in term of factor rings, Comm Algebra, 20(8) (1992), 2253-2270 69 [65] M F Yousif, SI-Modules, Math J Okayama Univ, 28 (1986), 133-146 ... cứu lớp vành đề tài thú vị Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành trường hợp đặc biệt lớp vành Noether Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm đến lớp vành đơn đặc trưng tính Noether vành. .. nghịch R Vành R gọi vành nửa địa phương (semilocal) vành thương R/J(R) Artin nửa đơn Như vậy, vành nửa địa phương lớp vành mở rộng lớp vành Artin Sau có thêm số lớp vành mở rộng khác lớp vành Artin. .. SỐ LỚP VÀNH TRỞ THÀNH NOETHER Trong đại số nói chung lý thuyết vành nói riêng, với lớp vành Artin, lớp vành Noether xem lớp vành bản, nghiên cứu cách rộng rãi sâu sắc Đặc trưng tính Noether vành