ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— HỒNG MINH GIANG VỀ TÍNH CHẤT COFINITE CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HỒNG THÁI NGUN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG Phản biện 1: GS TSKH PHÙNG HỒ HẢI Phản biện 2: PGS TS LÊ THANH NHÀN Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày 16 tháng 10 năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm tử mở rộng hàm tử xoắn 1.2 Biểu diễn thứ cấp 1.3 Đối đồng điều địa phương 10 1.4 Môđun Artin đối ngẫu Matlis 12 Tính cofinite cho trường hợp iđêan có chiều 14 2.1 Môđun minimax môđun cofinite 14 2.2 Chứng minh Định lý 0.0.1 19 2.3 Một số hệ Định lý 0.0.1 23 Tính cofinite cho trường hợp iđêan chiều cao 25 3.1 Trường hợp I iđêan 25 3.2 Chứng minh Định lý 0.0.3 27 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 17 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hoàng, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên; Trường THPT Cao Lộc, sở GD&ĐT - Tỉnh Lạng Sơn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho R vành giao hoán Noether, I iđêan R, K R−môđun K gọi môđun I−cofinite Supp(K) ⊆ V (I) ExtiR (R/I, K) hữu hạn sinh với i ≥ (xem [7]) Tính cofinite cho mơđun giới thiệu Hartshorne báo đăng tạp chí tiếng Inventiones Mathematica năm 1970, ơng chứng minh HIj (M ) I−cofinite với j R vành quy địa phương đầy đủ I iđêan I iđêan nguyên tố chiều Cụ thể kết sau: Định lý (Hartshorne [7]) Nếu R vành quy địa phương đầy đủ, M R−môđun hữu hạn sinh I iđêan R thỏa mãn hai điều kiện sau (a) I iđêan nguyên tố p cho dim R/p = 1; (b) I iđêan khác khơng HIj (M ) mơđun I−cofinite với j Một khoảng thời gian sau đó, kết (a) Hartshorne mở rộng tới số trường hợp vành R giao hoán địa phương Noether tổng quát hơn: I không thiết iđêan nguyên tố, có điều kiện dim R/I = C Huneke-J Koh [8] chứng minh kết R miền nguyên Gorenstein địa phương đầy đủ Tiếp đến, Delfino [4] mở rộng kết tới miền nguyên địa phương đầy đủ chứa trường Đến năm 1997, Delfino-T Marley [5], K Yoshida [19] chứng minh kết cho iđêan I có dim R/I = vành địa phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Noether tùy ý Gần nhất, năm 2009, K Bahmanpour-N Naghipour [2] mở rộng kết tới trường hợp R vành giao hoán Noether (không thiết địa phương) Cụ thể định lý sau đây: Định lý 0.0.1 ([2, Định lý 2.6]) Giả sử R vành giao hoán Noether, I iđêan R, M R−môđun hữu hạn sinh Cho t số nguyên không âm cho dim Supp(HIi (M )) ≤ với i < t Khi phát biểu sau đúng: (i) R−mơđun HIi (M ) I−cofinite với i < t; (ii) R−môđun HomR (R/I, HIt (M )) hữu hạn sinh Bên cạnh toán mở rộng kết (a) Hartshorne nêu trên, người ta quan tâm đến việc mở rộng kết (b) Hartshorne Năm 1998, K Kawasaki [9] chứng minh kết sau: Định lý 0.0.2 [9, Định lý 1] Cho R vành giao hoán Noether, I = Rx iđêan chính, M R−mơđun hữu hạn sinh Khi ExtiR (R/I, HIj (M )) R−mơđun hữu hạn sinh với i, j Lưu ý trường hợp (R, m) vành giao hoán địa phương Noether, người ta thấy môđun m−cofinite mơđun Artin Mặt khác, L Melkersson [12] chứng minh HIn (M ) môđun Artin với iđêan I M R−mơđun hữu hạn sinh chiều n Từ đó, hệ hiển nhiên, ta suy HIn (M ) mơđun m−cofinite Sau đó, Delfino-Marley [5] chứng minh kết mạnh sau: Định lý 0.0.3 ([5, Định lý 3]) Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether, I iđêan R M R−mơđun hữu hạn sinh chiều n Khi HIn (M ) I−cofinite Mục đích luận văn trình bày chi tiết lại chứng minh Định lý 0.0.1, 0.0.2, 0.0.3 nêu trên, chứng minh dựa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bốn báo [1], [2], [5], [9] Luận văn chia làm chương Chương trình bày kiến thức sở cần thiết dùng để chứng minh kết chương sau Một số kiến thức trình bày là: mơđun Ext, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, Định lý triệt tiêu Grothendieck, đối ngẫu Matlis Chương dành để trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 0.0.1 Bên cạnh số hệ quan trọng Định lý 0.0.1 trình bày Chương chứng minh chi tiết Định lý 0.0.2 0.0.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức cần thiết để sử dụng chương sau Một số kiến thức trình bày là: mơđun Ext, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, Định lý triệt tiêu Grothendieck 1.1 Hàm tử mở rộng hàm tử xoắn Các kiến thức mục trích theo sách [15] Định nghĩa 1.1.1 Cho M, N R−môđun n ≥ số tự nhiên Môđun dẫn xuất phải thứ n hàm tử Hom(−, N ) ứng với M gọi môđun mở rộng thứ n M N kí hiệu ExtnR (M, N ) Cụ thể, để xây dựng ExtnR (M, N ) ta lấy giải xạ ảnh M u u P0 −→ M −→ −→ P2 −→ P1 −→ Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp ta có đối phức u∗ u∗ Hom(P2 , N ) −→ −→ Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Khi ExtnR (M, N ) = Ker u∗n+1 / Im u∗n môđun đối đồng điều thứ n đối phức (môđun không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lưu ý người ta xây dựng ExtnR (M, N ) sau: lấy giải nội xạ N v0 α v1 v n−1 0→N → − E0 − → E1 − → −−→ E n −→ Tác động hàm tử Hom(M, −) vào dãy ta phức v0 v1 ∗ ∗ → Hom(M, E ) − → Hom(M, E ) − → Hom(M, E ) → v n−1 ∗ ∗ −− → Hom(M, E n ) −→ Khi ExtnR (M, N ) = Ker v∗n / Im v∗n−1 Định nghĩa 1.1.2 Cho M, N R-môđun n ≥ số tự nhiên Môđun dẫn xuất trái thứ n hàm tử − ⊗ N ứng với M gọi môđun xoắn thứ n M N kí hiệu TorR n (M, N ) Cụ thể, để xây dựng TornR ta lấy dải xạ ảnh M v v −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ Tác động hàm tử − ⊗ N vào dãy khớp ta có phức v∗ v∗ −→ P2 ⊗ N −→ P1 ⊗ N −→ P0 ⊗ N −→ ∗ ∗ Khi TorR n (M, N ) = Ker / Im vn+1 môđun đồng điều thứ n phức (môđun không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh M ) Sau số tính chất sở môđun Ext Tor dùng luận văn Mệnh đề 1.1.3 ∼ (a) Ext0R (M, N ) ∼ = Hom(M, N ) TorR (M, N ) = M ⊗ N (b) Nếu M N xạ ảnh TorR n (M, N ) = với n ≥ (c) Nếu M xạ ảnh N nội xạ ExtnR (M, N ) = với n ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (d) Nếu −→ N −→ N −→ N −→ dãy khớp ngắn tồn đồng cấu nối ExtnR (M, N ) −→ Extn+1 R (M, N ) với n ≥ cho ta có dãy khớp dài −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N ) −→ Ext1R (M, N ) −→ Ext1R (M, N ) −→ Ext1R (M, N ) −→ Ext2R (M, N ) −→ (e) Nếu −→ M −→ M −→ M −→ dãy khớp ngắn tồn đồng cấu nối ExtnR (M , N ) −→ Extn+1 R (M , N ) với n ≥ cho ta có dãy khớp dài −→ Hom(M , N ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M , N ) −→ Ext1R (M , N ) −→ Ext1R (M, N ) −→ Ext1R (M , N ) −→ Ext2R (M , N ) −→ Hệ 1.1.4 Nếu M, N hữu hạn sinh ExtnR (M, N ) TorR n (M, N ) hữu hạn sinh với n Kết cho ta tính chất giao hốn mơđun Ext, Tor với hàm tử địa phương hóa tương đương hai hàm tử Ext Tor vành địa phương đầy đủ Mệnh đề 1.1.5 Nếu S tập đóng nhân R ta có đẳng cấu S −1 (ExtnR (M, N )) ∼ = ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ), S −1 R ∼ (S −1 M, S −1 N ), S −1 (TorR n (M, N )) = Torn S −1 hàm tử địa phương hóa Đặc biệt, (ExtnR (M, N ))p ∼ = ExtnRp (Mp , Np ), Rp ∼ (TorR n (M, N ))p = Torn (Mp , Np ) với iđêan nguyên tố p R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thiểu A, với T m−thứ cấp Si pi −thứ cấp với i = 1, 2, , n Vì x ∈ / pi với i = 1, 2, , n, nên ta suy xA = xT + S1 + S2 + + Sn Do A/xA ảnh đồng cấu T Vì T có độ dài hữu hạn, nên A/xA có độ dài hữu hạn Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.1.10 Cho (R, m) vành địa phương, A R−môđun Artin I iđêan R thoả mãn HomR (R/I, A) R-mơđun hữu hạn sinh Khi V (I) ∩ AttR (A) ⊆ V (m) Chứng minh Lấy p ∈ V (I) ∩ AttR (A) Giả sử A = T + S1 + S2 + + Sn biểu diễn thứ cấp cực tiểu A, với T p−thứ cấp Si pi −thứ cấp với i = 1, 2, n Vì T p−thứ cấp, nên tồn số nguyên k thoả mãn pk T = Do I k T = (lưu ý I ⊆ p) Mặt khác, HomR (R/I, A) hữu hạn sinh nên HomR (R/I k , A) R-mơđun hữu hạn sinh Do đó, T ⊆ HomR (R/I k , A) suy T có độ dài hữu hạn Vì p = m Do V (I) ∩ AttR (A) ⊆ V (m) 2.2 Chứng minh Định lý 0.0.1 Mục dành để chứng minh kết thứ luận văn Để tiện lợi cho việc theo dõi, ta phát biểu lại định lý sau Định lý 2.2.1 Giả sử R vành giao hoán Noether, I iđêan R, M R−môđun hữu hạn sinh Cho t số nguyên không âm cho dim Supp(HIi (M )) ≤ với i < t Khi phát biểu sau đúng: (i) R−mơđun HIi (M ) I−cofinite với i < t; 19 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) R−môđun HomR (R/I, HIt (M )) hữu hạn sinh Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t Nếu t = 1, theo hiển nhiên HI0 (M ) hữu hạn sinh Hơn theo Bổ đề 2.1.6, HomR (R/I, HI1 (M )) hữu hạn sinh Nên ta có điều phải chứng minh Giả sử t > kết chứng minh cho t − Bằng cách thay M M/ΓI (M ), khơng tính tổng qt ta giả thiết M mơđun hữu hạn sinh khác không, môđun không I -xoắn (tức ΓI (M ) = 0) Khi ta thu I ⊆ ∪p∈AssR (M ) p Đặt t−1 Supp(HIi (M )); S= T = {p ∈ S| dim(R/p) = 1} t=0 Ta thấy T hữu hạn Để chứng minh điều này, ta giả sử trái lại T vô hạn, ta mâu thuẫn Thật vậy, tồn j cho ≤ j ≤ t − thoả mãn T ∩ Supp(HIj (M )) vơ hạn Vì dim Supp(HIi (M )) ≤ với i < t nên phần tử T ∩ Supp(HIj (M )) cực tiểu Supp(HIj (M )) T ∩ Supp(HIj (M )) ⊆ AssR (HIj (M )) Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, R−môđun HI0 (M ), HI1 (M ), , HIt−2 (M ) I -cofinite R−môđun HomR (R/I, HIt−1 (M )) hữu hạn sinh, suy AssR (HIi (M )) hữu hạn với i < t Đặc biệt, suy tập AssR (HIj (M )) hữu hạn, T ∩ Supp(HIj (M )) hữu hạn, điều mâu thuẫn Do T hữu hạn Giả sử T = {p1 , pn } Khi đó, ta thấy i Supp(HIR (Mpk ) ⊆ V (pk Rpk ) p k 20 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với i < t k = , n Từ đó, theo Mệnh đề 2.1.7, ta thấy i HIR (Mpk ) Rpk −môđun Artin Suy p k i V (IRpk ) ∩ AttRpk (HIR (Mpk ) ⊆ V (pk Rpk ) p k với i < t k = 1, 2, , n (theo Hệ 2.1.8 Bổ đề 2.1.10) Tiếp theo, ta đặt t−1 n i {q ∈ Spec(R)| qRpk ∈ AttRpk (HIR (Mpk ))} p U= k i=0 k=1 Khi U ∩ V (I) ⊆ T Mặt khác, theo Định lý tránh nguyên tố, tồn phần tử x ∈ I thoả mãn x∈ / q ∪ q∈U \V (I) p p∈AssR (M ) Bây giờ, dãy khớp x −→ M −→ M −→ M/xM −→ cảm sinh dãy khớp dài x → HIj (M ) −→ HIj (M ) −→ HIj (M/xM ) x −→ HIj+1 (M ) −→ HIj+1 (M ) −→ Do đó, với j ≥ 0, ta có dãy khớp ngắn sau −→ HIj (M )/xHIj (M ) −→ HIj (M/xM ) −→ (0 :H j+1 (M ) x) −→ I Vì dim Supp(HIi (M )) ≤ với i < t, nên từ dãy khớp ngắn ta suy dim Supp(HIj (M/xM )) ≤ với j < t − Do theo giả thiết quy nạp, ta có R−mơđun HI0 (M/xM ), HI1 (M/xM ), , HIt−2 (M/xM ) 21 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn I -cofinite R−môđun HomR (R/I, HIt−1 (M/xM ) hữu hạn sinh Đặt Lj = HIj (M )/xHIj (M ) với j = 1, 2, , t − Từ Bổ đề 2.1.9, ta suy (Lj )pk có độ dài hữu hạn với k = 1, 2, , n Do tồn môđun hữu hạn sinh Ljk Lj thoả mãn (Lj )pk = (Ljk )pk Đặt L∗j = Lj1 + Lj2 + + Ljn Khi L∗j mơđun hữu hạn sinh Lj thoả mãn SuppR (Lj /L∗j ) ⊆ S\{p1 , , pn } ⊆ Max(R) Đặt Nj := HIj (M/xM ) Lúc tồn mơđun hữu hạn sinh Nj∗ Nj cho dãy −→ Lj /L∗j −→ Nj /Nj∗ −→ (0 :H j+1 (M ) x) −→ I khớp Ta chứng tỏ Lj R−mơđun minimax Thật vậy, Nj /Nj∗ I -cofinite với j < t − 1, nên ta suy HomR (R/I, Lj /L∗j ) R−môđun hữu hạn sinh Nhưng Supp(Lj /L∗j ) ⊆ Max(R) Lj /L∗j I−xoắn, theo [3, Định lý 7.1.2] ta có Lj /L∗j R−mơđun Artin Tức Lj R−môđun minimax Sử dụng dãy khớp −→ Lj −→ Nj −→ (0 :H j+1 (M ) x) −→ 0, I ta thấy HomR (R/I, Lj ) R−môđun hữu hạn sinh với j < t Do đó, theo Bổ đề 2.1.4, ta có Lj I−cofinite Từ có hệ R-môđun (0 :H j+1 (M ) x) I−cofinite với j < t Đặc biệt, I suy R−môđun HIt−1 (M )/xHIt−1 (M ) minimax I−cofinite Do đó, R−mơđun HomR (R/I, (0 :HIt (M ) x)) ∼ = HomR (R/I, HIt (M )) hữu hạn sinh Bây giờ, R−mơđun (0 :H j (M ) x) HIj (M )/xHIj (M ) I I−cofinite với j < t, nên theo [13, Hệ 3.4], ta thu HIj (M ) I−cofinite với j < t Điều kết thúc chứng minh 22 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3 Một số hệ Định lý 0.0.1 Hệ 2.3.1 Giả sử R vành giao hoán Noether, I iđêan R, M R−môđun hữu hạn sinh cho dim(M/IM ) ≤ Khi R−mơđun HIj (M ) I−cofinite với i Chứng minh Vì Supp(HIi (M )) ⊆ Supp(M/IM ) dim(M/IM ) ≤ 1, nên suy dim(Supp(HIi (M ))) ≤ Do kết suy từ Định lý 0.0.1 Hệ 2.3.2 Cho I iđêan vành giao hốn Noether R, M R−mơđun hữu hạn sinh cho dim(M/IM ) ≤ Khi đó, với i ≥ 0, ta có HIi (M )/K I−cofinite với mơđun minimax K HIi (M ) Đặc biệt, suy Ass(HIi (M )/K) tập hữu hạn với i ≥ Chứng minh Theo Hệ 2.3.1, HIi (M ) I−cofinite với i Do Hom(R/I, K) hữu hạn sinh, từ theo Bổ đề 2.1.4, suy K I−cofinite Bây giờ, từ dãy khớp → K → HIi (M ) → HIi (M )/K → 0, suy R−môđun HIi (M )/K I−cofinite Hệ 2.3.3 Cho R vành giao hoán Noether, I iđêan R Giả sử M R−môđun hữu hạn sinh khác không, t số nguyên không âm thoả mãn Supp HIi (M ) hữu hạn với i < t Khi R−mơđun HI0 (M ), HI1 (M ), , HIt−1 (M ) I−cofinite R−môđun HomR (R/I, HIt (M )) hữu hạn sinh, đặc biệt suy AssR (HIi (M )) hữu hạn với i ≤ t Chứng minh Vì Supp HIi (M ) hữu hạn với i < t, nên ta suy dim Supp(HIi (M )) ≤ với i < t Do kết suy từ Định lý 0.0.1 23 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L T Nhàn [14] định nghĩa khái niệm dãy quy suy rộng mơđun hữu hạn sinh M vành giao hoán đia phương Noether (R, m), chứng minh dãy quy suy rộng cực đại R−môđun M hữu hạn sinh khác không iđêan I R có độ dài, kí hiệu gdepth(I, M ), gdepth(I, M ) = min{i | Supp(HIi (M )) tập vô hạn } Ta có kết sau Hệ 2.3.4 Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether, I iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh Giả sử t = gdepth(I, M ) Khi (i) HIi (M ) I−cofinite với i < t (ii) HomR (R/I, HIt (M )) hữu hạn sinh (iii) AssR HIi (M ) hữu hạn với i ≤ t Chứng minh Theo Hệ 2.3.3 ta có điều phải chứng minh 24 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tính cofinite cho trường hợp iđêan chiều cao 3.1 Trường hợp I iđêan Trong mục ta ln giả thiết R vành giao hoán Noether Để chứng minh Định lý 0.0.2, trước hết ta cần số bổ đề sau Bổ đề 3.1.1 ([9, Bổ đề 1]) Cho t số ngun khơng âm, R vành giao hốn Noether, M R−môđun hữu hạn sinh, K R−môđun Khi ExttR (K, HI1 (M )) R−mơđun hữu hạn sinh ExttR (K, DI (M )) R−môđun hữu hạn sinh Chứng minh Theo [3, Định lý 2.2.4 ], ta có dãy khớp sau → ΓI (M ) → M → DI (M ) → HI1 (M ) → Do ta thu dãy khớp ngắn → L → DI (M ) → HI1 (M ) → 0, L = M/ΓI (M ) Vì L hữu hạn sinh nên kết luận bổ đề suy từ dãy khớp sau ExttR (K, L) → ExttR (K, DI (M )) → ExttR (K, HI1 (M )) → Extt+1 R (K, L) 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 3.1.2 ([9, Bổ đề 2]) Giả sử I iđêan vành giao hốn Noether R, M R−mơđun hữu hạn sinh cho HIj (M ) = với j = 0, Khi ExtiR (R/I, HIj (M )) R−môđun hữu hạn sinh với i, j Chứng minh Hiển nhiên ExtiR (R/I, HI0 (M )) hữu hạn sinh với i Mặt khác từ giả thiết ta suy ExtiR (R/I, HIj (M )) = với j > i Do ta cần chứng tỏ ExtiR (R/I, HI1 (M )) R−môđun hữu hạn sinh với i Cho tùy ý R−mơđun nội xạ E Khi theo [3, Theorem 2.2.4 ], ta có dãy khớp → ΓI (E) → E → DI (E) → HI1 (E) → Vì HI1 (E) = 0, nên dãy rút gọn lại ta dãy khớp ngắn → ΓI (E) → E → DI (E) → Do DI (E) ∼ = E/ΓI (E) R−mơđun nội xạ không I−xoắn Đặc biệt ta suy Hom(R/I, DI (E)) = Bây ta lấy E • giải nội xạ M Khi hàm tử DI (−) j+1 hàm tử khớp trái, Rj DI (M ) ∼ = HI (M ) = với j > 0, nên ta suy DI (E • ) giải nội xạ DI (M ) Theo ta thấy Hom(R/I, DI (E • )) phức khơng, nên ta suy ExtiR (R/I, DI (M )) = với i ≥ Từ theo Bổ đề 3.1.1 ta suy ExtiR (R/I, HI1 (M )) hữu hạn sinh với i ≥ Ta có điều phải chứng minh Dưới ta phát biểu lại Định lý 0.0.2 đưa chứng minh Định lý 3.1.3 ([9, Định lý 1]) Cho R vành giao hốn Noether, I = Rx iđêan chính, M R−mơđun hữu hạn sinh Khi ExtiR (R/I, HIj (M )) R−môđun hữu hạn sinh với i, j Chứng minh Theo [3, Định lý 3.3.1], ta suy HIj (M ) = với j > Do đó, từ Bổ đề 3.1.2, ta suy điều phải chứng minh 26 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 Chứng minh Định lý 0.0.3 Trong mục ta giả thiết (R, m) vành giao hoán địa phương Noether Ta kí hiệu E(k) bao nội xạ R−mơđun k = R/m Kí hiệu D(K) = HomR (K, E(k)) đối ngẫu Matlis R−môđun K Để chứng minh Định lý 0.0.3 ta cần số kiến thức chuẩn bị Bổ đề 3.2.1 Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether R vành đầy đủ R theo tôpô m−adic Lấy I iđêan R K R−môđun Khi HIi (K) I−cofinite HIi R (K ⊗R R) I R−cofinite Chứng minh Vì j ExtjR (R/I, HIi (K)) ⊗R R ∼ = ExtR (R/I R, HIi R (K ⊗R R)), nên ta cần chứng minh R−môđun N hữu hạn sinh N ⊗R R hữu hạn sinh coi R−môđun Nếu N hữu hạn sinh hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Nếu N ⊗R R hữu hạn sinh cách sử dụng tính chất hồn tồn phẳng R, ta chứng minh dãy tăng mơđun N phải dãy dừng Định nghĩa 3.2.2 ([18]) Cho K R−môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi nguyên tố đối liên kết K p iđêan nguyên tố liên kết D(K) = HomR (K, E(k)) Tập tất iđêan đối liên kết K CoassR (K) Coass(K) Chú ý Coass(K) = ∅ K = Chú ý 3.2.3 ([21, Định lý 1.22]) Cho (R, m) vành giao hốn địa phương Noether, M R−mơđun hữu hạn sinh K R−môđun tuỳ ý Khi Coass(M ⊗R K) = Supp(M ) ∩ Coass(K) 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thật vậy, ta có D(M ⊗R K) ∼ = Hom(M, D(K)) Do Coass(M ⊗R K) = Ass(Hom(M, D(K))) = Supp(M ) ∩ Ass(D(K)) = Supp(M ) ∩ Coass(K) Chú ý 3.2.4 ([15, Định lý 3.33]) Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether chiều d, I iđêan R K R−mơđun Khi HId (K) ∼ = K ⊗R HId (R) Bổ đề 3.2.5 ([5, Bổ đề 3]) Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether đầy đủ, I iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh chiều n Khi Coass HIn (M ) = {p ∈ V (Ann(M )) | dim(R/p) = n, I + p = m} Chứng minh Lấy S = R/ Ann(M ) ES = Hom(S, E(k)) Ta thấy HomS (HIn S(M ), ES ) ∼ = HomR (HIn (M ), ES ) ∼ = HomR (HIn (M ) ⊗R S, E(k)) ∼ = HomR (HIn (M ), E) Từ suy n CoassR (HIn (M )) = f (CoassS (HIS (M ))) với f : Spec(S) → Spec(R) Vì thế, ta giả thiết Ann(M ) = n = dim(R) Theo Chú ý 3.2.3, 3.2.4, ta có Coass(HIn (M )) = Coass(M ⊗R HIn (R)), ta cần chứng minh kết trường hợp M = R Theo Định lý Hartshorne-Lichtenbaum [3, Định lý 8.2.1], hai tập bổ 28 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đề tập rỗng HIn (R) = Do ta giả thiết HIn (R) = Lấy q ∈ Coass(HIn (R)) Theo Chú ý 3.2.3, ta suy q ∈ Coass(R/q⊗R HIn (R)) Đặc biệt, R/q ⊗R H n (R) ∼ = H n (R/q) = Vì vậy, n = dim(R/q) I + q I I m−nguyên sơ (theo [3, Định lý 8.2.1]) Ngược lại, giả sử dim(R/q) = n √ I + q = m Bằng lập luận đảo ngược ta thu R/q ⊗R HIn (R) = Lấy p ∈ Coass(R/q ⊗R HIn (R)), theo Chú ý 3.2.3, p ⊇ q p ∈ Coass(HIn (R)) Theo lập luận ta thấy iđêan nguyên tố đối liên kết HIn (R) có chiều n, tối tiểu R Do dim(R/p) = dim(R/q) = n p ⊇ q; suy q = p ∈ Coass(HIn (R)) Dưới ta phát biểu lại Định lý 0.0.3 đưa chứng minh Định lý 3.2.6 Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether, I iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh chiều n Khi HIn (M ) I−cofinite Chứng minh Theo Bổ đề 3.2.1 ta giả sử R đầy đủ Giả sử Coass(HIn (M )) = {p1 , , pk } Vì HIn (M ) Artin (theo [3, Định lý 7.1.6]), nên ta có D(HIn (M )) mơđun hữu hạn sinh (theo [3, Định lý 10.2.12]) Do Supp(D(HIn (M )) = V (p1 ∩ ∩ pk ) Theo đối ngẫu Matlis ta thấy ExtiR (R/I, HIn (M )) có độ dài hữu hạn n D(ExtiR (R/I, HIn (M ))) ∼ = TorR i (R/I, D(HI (M ))) n (theo [15, Theorem 11.57]) có độ dài hữu hạn Vì TorR i (R/I, D(HI (M ))) hữu hạn sinh, nên ta cần chứng minh tập giá chứa 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn {m} Ta có n n Supp TorR i (R/I, D(HI (M ))) ⊆ V (I) ∩ Supp(D(HI (M ))) = V (I) ∩ V (p1 ∩ ∩ pk ) = V (I + (p1 ∩ ∩ pk )) = {m} (theo Bổ đề 3.2.5) Ta có điều phải chứng minh 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Tóm lại, luận văn chúng tơi trình bày lại chứng minh chi tiết kết quả: +) Định lý 2.6 Bahmanpour-Naghipour trình bày báo "K Bahmanpour, R Naghipour (2009), Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension, J Algebra 321, 1997-2011." (Định lý 0.0.1 luận văn) +) Định lý K Kawasaki trình bày báo "K I Kawasaki (1998), Cofiniteness of local cohomology modules for principal ideals, Bull London Math Soc 30, 241-246." (Định lý 0.0.2 Trong luận văn) +) Định lý Delfino-Marley trình bày báo "D Delfino and T Marley (1997), Cofinite modules and local cohomology, J Pure and Appl Algebra 121, 45-52." (Định lý 0.0.3 luận văn) Kết luận văn gồm nội dung sau: Hệ thống lại số kiến thức sở cần thiết dùng để chứng minh kết luận văn Kiến thức sở trình bày luận văn là: môđun Ext, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, Định lý triệt tiêu Grothendieck Trình bày “Tính cofinite cho trường hợp iđêan có chiều một” thông qua việc chứng minh chi tiết Định lý 0.0.1 luận văn Trình bày số hệ quan trọng định lý Trình bày “Tính cofinite cho trường hợp iđêan chiều cao nhất” thơng qua việc chứng minh chi tiết Định lý 0.0.2 0.0.3 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] K Bahmanpour, R Naghipour (2008), "On the cofiniteness of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 136, 2359-2363 [2] K Bahmanpour, R Naghipour (2009), "Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension", J Algebra 321, 1997-2011 [3] M P Brodmann, R.Y Sarp (1998), "Local Cohomology; An Algebraic Introduction with Geometric Applications", Cambridge Univ Press, Cambridge [4] D Delfino (1994), "On the cofiniteness of local cohomology modules", Math Proc Cambridge Philos Soc.115, 79-84 [5] D Delfino and T Marley (1997), "Cofinite modules and local cohomology", J Pure and Appl Algebra 121, 45-52 [6] A Grothendieck, "Cohomologie locale des faisceaux coherents et theorems de Lefschetz locaux et globaux " (SGA 2) (North Holand (1968) [7] R Hartshorne (1970), "Affine duality and cofiniteness", Invent Math 9, 145-164 [8] C Huneke, J Koh (1991), "Cofiniteness and vanishing of local cohomology modules", Math Proc Cambridge Philos Soc 110, 421-429 [9] K I Kawasaki (1998), "Cofiniteness of local cohomologu modules for principal ideals", Bull London Math Soc 30, 241-246 [10] I G Macdonald (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica 11, 23-43 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [11] H Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge University press [12] L Melkersson (1990) , "On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal", Math Proc Cambridge Philos Soc 107, 267-271 [13] L Melkersson (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", J Algebra 285, 649-668 [14] L T Nhan (2005), "On generalized regula sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules", Comm Algebra 33, 793-806 [15] J Rotman, "An Introduction to Homological Algebra" (Academic Press, Orlando, FL, 1979) [16] R Y Sharp (1981), "On the attached prime ideals of certain Artinian local cohomology modules", Proc Edinburgh Math Soc 24 [17] R Y Sharp (1989) "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour", in: Commutative Algebra, Math Sci Res Inst Publ No 15, Spinger-Verlag, New York, 443465 [18] S Yassemi (1994), "Generalized section functors", J Pure Appl Algebra 95, 103-119 [19] K I Yoshida (1997), "Cofiniteness of local cohomology modules for ideal of dimension one", Nagoya Math J 147, 179-191 [20] H Zoschinger (1986), "Minimax modules", J Algebra 102, 1-32 [21] W Vasconcelos, "Divisor theory in module categories" (NorthHoland, Amsterdam, 1974) 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... dẫn xuất phải thứ i I−xoắn ΓI Ri ΓI gọi hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i iđêan I , kí hiệu HIi (−) Mơđun Ri ΓI (M ) gọi môđun đối đồng điều địa phương thứ i iđêan I , kí hiệu HIi (M ) Bổ đề... sở trình bày luận văn là: môđun Ext, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, Định lý triệt tiêu Grothendieck Trình bày ? ?Tính cofinite cho trường hợp iđêan... http://www.lrc-tnu.edu.vn Tiếp theo ta xét thêm số tính chất quan trọng môđun đối đồng điều địa phương Mệnh đề 1.3.4 ([3, Định lý 7.1.3]) Cho (R, m) vành giao hốn địa phương Noether, M R−mơđun hữu hạn sinh