1 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI -ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC : 2010-2011 MƠN : TỐN – LỚP ( Thời gian làm : 150 phút Câu 1( đ ) : Giải phơng trình a) x x - 2007 1 x = x 1 b) x  x  + x  x  = C©u2( đ ) : a) Tìm a , b , c biết a , b ,c số dơng vµ 32       1       = abc a  b  c  2 b) T×m a , b , c biÕt : a = 2b ; b = 2c ; c = 2a 1 b 1 c a Câu ( đ ) : b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc víi a,b,c khác a + b+ c Tính P = (2006+ a) T×m GTNN cđa a b )(2006 + b c ) ( 2006 + c a ) A = x  x 2 2006 x Câu 4.(3đ ) Cho hình bình hành ABCD cho AC đờng chéo lớn Từ C vẽ đờng CE CF lần lợt vuông góc cới đờng thẳng AB AD Chứng minh AB AE + AD AF = AC2 Bµi 5: Cho tam giác ABC từ điểm D cạnh BC ta dựng đờng thẳng d song song với trung tuyến AM Đờng thẳng d cắt AB E cắt AC ë F a, Chøng minh AE = AB AF AC b, Chøng minh DE + DF =2AM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2010-2011 -MƠN : TỐN – LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC ( Thời gian làm : 150 phút C©u I: Cho ®êng th¼ng y = (m-2)x + (d) a) Chøng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn CâuII: Giải phơng trình: a) x  x   x  x  6 b) x  x   x  x  1 C©u III: 2 a) Tìm giá trị nhỏ của: A= b) Giải hệ phơng trình: c) B = x x  2x x x  2x  xy yz zx   z x y với x, y, z số dơng x + y + z=  x   y   z     3 x  y  z 12 x x  2x x x  2x Tìm điều kiện xác định B Rút gọn B Tìm x để B 0, y >       Bài 2: (4 điểm) a Xác định m để phương trình sau vơ nghiệm x  x  xm x b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2 Bài 3: (2 điểm) Bốn người 1; 2; 3; tham dự hội nghị Biết : a Mỗi người biết hai bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt b Người biết tiếng Nga, tiếng Pháp c Người biết tiếng Anh, tiếng Pháp phải phiên dịch cho người người d Người tiếng Nga, khơng biết tiếng Việt nói chuyện trực tiếp với người Hỏi người biết thứ tiếng ? Bài 4: (4 điểm) a Cho a  b, x  y Chứng minh (a + b) (x + y)  2(ax + by) (1) b Cho a + b  Chứng minh a2006 + b2006  a2007 + b2007 (2) Bài 5: (8 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a  a Nêu cách dựng dựng  ABC cho BAC 60 trực tâm H  ABC trung điểm đường cao BD (2 điểm) b Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC K Chứng minh OK  BC (2 điểm) c Chứng minh AOH cân tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC theo a (2 điểm) d Tính diện tích tam giác ABC theo a ĐỀ THI ĐỘI TUYỂN TOÁN Thời gian: 120 phút Câu 1: Cho biểu thức D =  a b a  b  2ab  a  b     : 1   ab    ab    ab a) Rút gọn D b) Tính giá trị D a = c) Tìm giá trị lớn D 2 (2 điểm) Câu 2: a) Cho a+b+c= 2010 1 1    Chứng minh số a,b,c có a b c 2010 số 2010 b) Cho số dương a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=1 Tính giá trị biểu thức: 1  b 1  c   b 1  c 1  a   c 1  a 1  b  S a 2 1 a2 1 b2 2 1 c2 Câu 3: Giải phương trình sau: a) x  x   x  x   x  b) x   x  3 x  Câu 4: Cho tổng S=15+25+35+ + n5 P= 1+2+3+ + n ( n sô tự nhiên khác 0) Chứng minh S P Câu a) Cho số a,b,c thoả mãn a, b, c 1 Chứng minh 2 a  b  c  3  a b  b c  c a b) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn 1   2 a 1 b 1 c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P=abc Câu a) Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn hệ thức 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy b) Chứng minh phương trình 2x2+2x = 4y3-z2+2 khơng có nghiệm ngun Câu 7: Cho (O;R) đương kính AB Trên bán kính OA,OB lấy điểm M N cho OM=ON Qua M N vẽ dây CD EF song song với (C,E thuộc nửa đường trịn đường kính AB) a) Chứng minh rằng: tứ giác CDFE hình chữ nhật b) Cho OM  R góc nhọn CD OA 600 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE theo R Đề số Thời gian: 150 phút Câu I ( điểm) Giải phơng trình x x   x  10 x  25 8 y2 – 2y + = x  2x  C©u II (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc : A= x2  2x ( x 2)2 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A Cho a>0; b>0; c>0 1 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c)     9  a b c C©u III (4,5 điểm) Giải toán cách lập phơng trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phơng chữ số Cho phơng trình: x2 (m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đờng chéo AC BD cắt I Góc ACD = 600; gọi E; F; M lần lợt trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đờng cao SH hình chóp   Chøng minh r»ng: AOB BOC COA 900 §Ị số Bài (2đ): Cho biểu thức: A=       xy  x x 1   1 :     xy  1  xy   xy  x xy   x   xy   a Rót gän biĨu thøc 1  6 T×m Max A b Cho x y Chứng minh với số nguyên dơng n ta cã: 1 1   1      n (n  1) n n 1  S= 1 tõ ®ã tÝnh tæng: 1 1 1         2 2 2005 20062 Bµi (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bµi (2đ): Tìm giá trị a để phơng tr×nh sau chØ cã nghiƯm: x  6a   5a (2a  3)  x  a 1 ( x  a )( x  a  1) Giả sử x1,x2 nghiệm phơng trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức: 2  x1   x2       3  x2   x1  Bài 4: (2đ) Cho hệ phơng trình: x         y  m 2 y  3m 1 x 1 Giải hệ phơng trình với m = Tìm m để hệ đà cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phơng tr×nh: x  x   x  10 x  14 4  x x 2 Giải hệ phơng trình:  y  x  27 x  27 0   z  y  27 y  27 0  x  z  27 z  27 0 Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2kx + (k 1)y = (k tham số) Tìm k ®Ĩ ®êng th¼ng (d) song song víi ®êng th¼ng y = 3.x ? Khi hÃy tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất? Bài (2đ): Giả sử x, y số dơng thoả mÃn đẳng thức: x y 10 Tìm giá trị x y để biểu thøc: P ( x  1)( y  1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gäi O lµ giao điểm đờng phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đờng thẳng AB Vẽ phía AB hình vuông AMCD, BMEF a Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đờng thẳng DF luôn ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh M chun ®éng đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vuông M chuyển động đờng thẳng AB cố định Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng đờng thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành tam giác có diện tích nhỏ 10 Đế số8 Bài 1: Chứng minh: 3 -1 = (2 ®iĨm) - +3 Bµi 2: Cho 4a + b = ab (2a > b > 0) TÝnh sè trÞ biĨu thøc: M = 2ab (2 ®iĨm) 4b  b Bµi 3: (2 ®iĨm) Chøng minh: a, b nghiệm phơng trình: x + px + = vµ c,d lµ nghiệm phơng trình: x2 + qx + = th× ta cã: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2 Bµi 4: (2 điểm) Giải toán cách lập phơng trình Tuổi anh em cộng lại 21 Hiện tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em hiƯn TÝnh ti cđa anh, em Bµi 5: (2 điểm) Giải phơng trình: x + x 2006 = 2006 Bài 6: (2 điểm) Trong hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - x2 đờng thẳng (d): y = mx – 2m – 1 VÏ (P) T×m m cho (d) tiÕp xóc víi (P) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định A (P) Bài 7: (2 điểm) Cho biểu thức A = x – xy + 3y - x + Tìm giá trị nhỏ mà A đạt đợc Bài 8: (4 điểm) Cho hai đờng tròn (O) (O) Kẻ tiếp tuyến chung ngoµi AB vµ tiÕp tuyÕn chung EF, A,E  (O); B, F  (O’) a Gäi M lµ giao điểm AB EF Chứng minh: AOM ∾ ∆ BMO’ b Chøng minh: AE  BF c Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O thẳng hàng Bài 9: (2 điểm) Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thớc d góc nhọn đờng chéo Đế sô Câu 1(2đ) : Giải PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, x   x   x   x  = Câu 2(2đ): a, Thực phép tính : 13 100  53  90 b, Rót gän biĨu thøc : ...        4  n 1  75( 4 199 3  199 2    5)  25 2) N= Câu VI : Chứng minh : a=b=c chØ a  b  c 3abc Đề số 14 Câu I : Rút gọn biểu thøc A =   29  12 B= x  x2  x x Câu II : Giải... 2ON C©u : Cho  ABC cã diƯn tÝch S , bán kính đờng tròn ngoại tiếp R ABC có cạnh tơng ứng a,b,c Chứng minh S = abc 4R Đề số 12 Câu I : Tính giá trị biểu thức: 1 A= + + 3 5 7 + .+ 97  99 ... x =  y = 22 +23 = 45 Trái giả thi? ??t xe chở không 32 người Với x-1 = 23 x = 24  y 22 1 23 32 (thoả mãn đ/k) Vậy số ôtô ban đầu 24 tổng số khách du lịch là: 22.24+1= 5 29 người Bài 4: (5 điểm)