A/đặt vấn đề I LI M U: Hin nay, mt phận không nhỏ học sinh học môn tốn cách thụ động, rập khn theo dạng tốn mà thầy giáo, giáo hay sách sẵn mà không chịu suy nghĩ tìm đường lối giải, đặt vấn đề trở lại tốn đó, lời giải Chính vậy, gặp toán mà em chưa tiếp xúc việc tìm lời giải cho tốn nhiều học sinh khó khăn, khơng thể tư tìm đường lối giải Quá trình tìm đường lối giải có tính chất quan trọng, định việc giải tốn Q trình sở cho việc rèn luyện khả tư duy, làm việc sáng tạo - khả không thể thiếu người giải Toán Bài toán tÝnh tÝch ph©n tốn bn cua chng trỡnh Toỏn THPT nhiên không cẩn thận học sinh dễ mắc sai lầm dẫn đến việc kết luận sai II thực trạng Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN năm toán tích phân hầu nh thiếu nhng học sinh THPT toán tích phân toán khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phơng pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phơng pháp đổi biến số, phơng pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm đợc có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phơng pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tơng đơng không? trình tính tích phân học sinh thờng mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Một số sai lầm thờng gặp học sinh tính tích phân Nhằm giúp học sinh khắc phục đợc yếu điểm nêu từ đạt đợc kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung III.Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nh đà nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dới dấu tích phân,cận tích phân để lựa chọn phơng pháp phù hợp sở giáo viên đa sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trình suy luận,trong bớc tính tích phân từ hớng em đến lời giải Sau hớng dẫn học sinh nh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trớc em đà thận trọng tìm trình bày lời giải đà giải đợc lợng lớn tập B/ GIải QUYếT VấN Đề I/ sở khoa học Dựa nguyên tắc trình nhận thức ngời từ: sai đến gần đến khái niệm đúng, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thøc cđa häc sinh II/ néi dung thĨ Mét số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ: Bài 1: Tính tích phân: I = dx (x  1) 2 * Sai lầm thờng gặp: I = dx =  (x  1) d ( x  1) ( x  1) 2 =- x 1 2 =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = ( x 1) không xác định x= -1 2;2 suy hàm số không liên tục 2;2 nên không sử dụng đợc công thức newtơn leibnitz nh cách giải * Lời giải Hàm số y = ( x 1) không xác định x= -1    2;2 suy hµm sè không liên tục 2;2 tích phân không tồn * Chú ý häc sinh: b Khi tÝnh  f ( x)dx cÇn ý xem hàm số y=f(x) có liên tục a a; b không? có áp dụng phơng pháp đà học để tính tích phân đà cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tơng tự: Tính tích phân sau: 1/ dx 4) (x  2/ x( x  1) dx 2  3/  dx cos x  x e x  x dx x3 1 4/ Bài :Tính tích phân: I = dx 1  sin x 2dt 1t2 x * Sai lầm thờng gặp: Đặt t = tg dx = ; =  t  sin x (1  t ) 2  2dt dx 1  sin x = (1  t ) = 2(t  1)  d(t+1) =  dx = tg x    sin x   I=  +c t 1  2 = tg   - tg   tg không xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tg x x x   0;   t¹i x = tg nghĩa * Lời giải ®óng: x  d   dx dx  4 x      tg    0 = tg  tg  I=  =    sin x  x  2 4  0  cos x   cos    2  2 4      2 * Chú ý học sinh: Đối với phơng pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục a; b *Một số tập tơng tự: Tính tích phân sau:  1/ dx sin x  dx  cos x 2/  Bµi 3: TÝnh I =  x  6x  dx * Sai lầm thờng gặp: I= 4 x  6x  dx =   x  3 dx  x  3 d  x  3  0  x  3 2  2 * Nguyên nhân sai lầm: PhÐp biÕn ®ỉi  x  3  x với x 0;4 không tơng đơng * Lời giải đúng: I= x  6x  dx 4 0 =   x  3 dx x   x  3 =-  x  3  3 d  x  3   x  3 d  x  3   x  3 d  x  3   5 2 * Chó ý ®èi víi häc sinh: 2n  f  x   2n b   f  x I=  n 1, n  N   f  x 2n 2n a b   f  x  dx ta phải xét dấu hàm số f(x) a; b dùng a tính chất tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tơng tự: 1/ I =   sin x dx ; 2/ I = x  x  x dx  3/ I =    x   4/ I =  tg    2 x  dx x  cot g x  dx Bµi 4: TÝnh I = x 1 dx  2x  * Sai lầm thờng gặp: I= d x  x  1 1 1 arctg  x  1 1  arctg1  arctg  * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không häc kh¸i niƯm arctgx s¸ch gi¸o khoa hiƯn thêi * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tgt dx 1  tg t dt víi x=-1 th× t = víi x = th× t =  Khi ®ã I =  1  tg t dt    tg t  dt t   * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày sách giáo khoa thời Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trớc năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm sách giáo khoa nên học sinh không đợc áp dụng phơng pháp Vì gặp b tích phân dạng 1 x dx ta dùng phơng pháp đổi biến số đặt a t = tgx hc t = cotgx ; b  1 a x2 dx đặt x = sint x = cost *Một số tập tơng tự: 1/ I =  x  16 dx x 2/ I = 2x  2x  dx  x2 1 3/ I = x dx  1 x8 Bµi 5: TÝnh :I = x3  1 x2 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt  x3 sin t dx  dt cos t 1 x §ỉi cËn: víi x = th× t = th× t = ? với x= * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa x thờng đặt x = sint nhng tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = không tìm đợc xác t = ? * Lời giải đúng: x Đặt t =  x  dt =  x2 dx  tdt  xdx §ỉi cËn: víi x = th× t = 1; víi x = I = x 15 1 x 15 1 15 = dx  1  t tdt  t  1  t dt  t  th× t =  15 t   15 15 15  33 15      192    192  3    * Chó ý ®èi với học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa x thờng đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x2 đặt x = tgt nhng cần ý đến cận tích phân cận giá trị lợng giác góc đặc biệt làm đợc theo phơng pháp không phải nghĩ đếnphơng pháp khác *Một số tập tơng tù: 1/ tÝnh I = x3  1 x 2/tÝnh I = x dx dx x2 1 x2  Bµi 6: tÝnh I =  dx  11  x   1   x  x2 dx * Sai lầm thờng mắc: I =   2   1  x x   x2 x  1 1 x   dx x2  Đặt t = x+ dt §ỉi cËn víi x = -1 th× t = -2 ; víi x=1 th× t=2; 2 dt 1  )dt =(ln t  -ln t  I =2 = ( t  t  t  2 2 = ln 2 2  ln  2  2 2 ln 2) 2 ln t t 2 2 2 2 2 1 x2 x 1 sai 1;1 chứa 1 x4 x x2 * Nguyên nhân sai lầm: x = nên chia tử mẫu cho x = đợc * Lời giải ®óng: xÐt hµm sè F(x) = F’(x) = Do ®ã I = 2 2 ln x2  x 1 x2  x 1 (ln x2  x 1 x2   ) x 1 x2  x 1 x2  1 x2  x 1 dx ln =  2 x2  x 1  11  x 1  ln 2 2 *Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = hÕt 10 ... thờng gặp: I = dx = (x  1) d ( x  1) ( x  1) 2 =- x 1 2 =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = ( x 1) không xác định x= -1    2;2 suy hµm sè không liên tục 2;2 nên không... x2 x  1 1 x   dx x2   §Ỉt t = x+  dt 1   §ỉi cËn víi x = -1 th× t = -2 ; víi x=1 th× t=2; 2 dt 1  )dt =(ln t  -ln t  I =2 = ( t  t  t  2 2 = ln 2 2  ln  2  2 2 ln... sin x = (1  t ) = 2(t  1)  d(t+1) =  dx = tg x    sin x   I=  +c t 1  2 = tg   - tg   tg kh«ng xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tg x x x   0;