TS PHẠM GIA HƯNG (Chủ biên) ThS NGUYỄN THỊ HÀ, ThS NGUYỄN THỊ THÙY DUNG GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐẠI HỌC NHA TRANG Bộ mơn Tốn 9/2019 PHAM G HUNG NGUYEN T HA, NGUYEN T.T DUNG LINEAR ALGEBRA NHA TRANG UNIVERSITY Maths Departement, September 2019 Lời giới thiệu Mục đích giáo trình cung cấp kiến sở chương môn Đại số tuyến tính cho sinh viên học ngành kỹ thuật kinh tế; xem tập đầu mơn học Để phù hợp với tình hình chung thời lượng dành cho mơn học ỏi (2 tín chỉ) phổ cập đại học làm cho khả tiếp thụ sinh viên chênh lệch nên vấn đề trình bày tỉ mỉ, có nhiều ví dụ Hầu hết kết chứng minh dành cho độc giả muốn nghiên cứu chi tiết mơn học; cịn người coi mơn học cơng cụ cần hiểu ý nghĩa biết cách sử dụng kết Nội dung giáo trình gồm chương Chương nói ma trận định thức, với khái niệm ma trận, số dạng ma trận phép toán ma trận; khái niệm tính chất định thức; khái niệm ma trận nghịch đảo, điều kiện khả nghịch phương pháp tính ma trận nghịch đảo Chương nói hệ phương trình tuyến tính, với khái niệm chung hệ phương trình tuyến tính, hệ Cramer; khái niệm hạng ma trận cách tìm hạng ma trận; số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Chương nói khơng gian véc-tơ n , với khái niệm tính chất không gian này; khái niệm tính chất hệ véc-tơ phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính; Cơ sở số chiều không gian n ; Tọa độ vector theo sở; Ma trận chuyển sở công thức đổi tọa độ Cuối chương có tóm tắt kiến thức quan trọng, tối thiểu hệ thống tập để sinh viên tự làm Các tập chia thành mức độ: Mức nhằm giúp người học ôn luyện kiến thức quan trọng, tối thiểu chương; Mức đòi hỏi người học phải hiểu sâu vấn đề, biết vận dụng kiến thức tổng hợp để giải Lần giáo trình mắt bạn đọc khơng tránh khỏi sai sót, mong bạn đọc góp ý để giáo trình phục vụ bạn tốt Nhóm tác giả Một số ký hiệu chữ viết tắt     1, 2, 3, Tập số tự nhiên  n  x X x X X Y X  Y  {x : x  X  x  Y } X  Y  {x : x  X  x  Y } X \Y  {x : x  X  x  Y } X Y  {(x , y ) : x  X , y  Y } p Tập số thực Tập véc-tơ (thực) n chiều Tập rỗng Phần tử x thuộc tập X Phần tử x không thuộc tập X Tập X tập tập Y Giao X Y Hợp X Y Hiệu X Y Tích Descartes X Y Phủ định mệnh đề p (không p ) p q p q p q p q p q p suy q p q p tương đương với q P (x ), x  X P (x ) với x thuộc X x  X : P (x ) Với x thuộc X ta có P (x ) x  X : P (x ) Tồn x thuộc X cho P (x ) f : X Y Ánh xạ f từ tập X vào tập Y  m n Tập ma trận cỡ m  n (A)ij Phần tử nằm hàng i cột j ma trận A Ai * Hàng thứ i ma trận A A* j Cột thứ j ma trận A A AT A1 O I det A r (A) x [x ]B Ma trận đối ma trận A Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận nghịch đảo ma trận A Ma trận không Ma trận đơn vị Định thức ma trận A Hạng ma trận A Véc-tơ x Véc-tơ không Tọa độ véc-tơ x ttheo sở B dim n Số chiều không gian n Mục lục Lời giới thiệu Một số ký hiệu chữ viết tắt Chương Ma trận - Định thức 1.1 Các khái niệm sở 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Mệnh đề toán học 1.1.3 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 Ma trận 1.2.1 Các khái niệm ma trận 1.2.2 Các dạng ma trận 1.2.3 Các phép toán ma trận 1.3 Định thức 1.3.1 Khái niệm định thức 1.3.2 Các tính chất định thức 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.4.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo điều kiện khả nghịch 1.4.2 Phương pháp Gauss-Jordan tìm ma trận nghịch đảo 1.4.3 Phương trình ma trận Tóm tắt kiến thức quan trọng chương Bài tập chương 7 10 10 10 12 14 22 22 23 34 35 37 39 40 43 Chương Hệ phương trình tuyến tính 46 2.1 Hệ phương trình tuyến tính 2.1.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 2.1.2 Hệ phương trình Cramer 2.2 Hạng ma trận 2.2.1 Định thức hạng ma trận 2.2.2 Cách tìm hạng ma trận 2.3 Điều kiện tương thích số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2.3.1 Điều kiện tương thích 2.3.2 Phương pháp Gauss 2.3.3 Phương pháp Cramer Tóm tắt kiến thức quan trọng chương Bài tập chương 46 46 48 50 50 52 55 55 60 65 68 70 Chương Không gian vector 73 3.1 Không gian vector n 73 3.1.1 Các khái niệm không gian véc-tơ n 73 3.1.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.1.3 Hạng hệ véc-tơ 75 78 3.2 Cơ sở số chiều không gian n Tọa độ véc-tơ theo sở 3.2.2 Cơ sở số chiều không gian n 3.2.3 Tọa độ vector theo sở 3.2.2 Ma trận chuyển sở - Công thức đổi tọa độ 81 81 82 84 Tóm tắt kiến thức quan trọng chương 88 Bài tập chương 91 Tài liệu tham khảo 93 Chương Ma trận định thức 1.1 Các khái niệm sở 1.1.1 Tập hợp 1) Khái niệm Tập hợp (gọi tắt tập) phần tử khái niệm tốn học khơng định nghĩa, chúng làm sở để định nghĩa khái niệm khác Người ta thường mô tả tập hợp lớp hay nhóm đối tượng có chung tính chất đó, chẳng hạn tập học sinh lớp học, tập nghiệm phương trình,… Nếu x phần tử thuộc (tương ứng, khơng thuộc) tập A ta viết x Ỵ A (tương ứng, x Ï A ) Ta nói A tập B , ký hiệu A Ì B , phần tử A phần tử B Nếu A Ì B B Ì A ta nói A B nhau, ký hiệu A = B Người ta quy ước rằng, tập không chứa phần tử gọi tập rỗng (hay tập trống), ký hiệu Ỉ , tập rỗng tập tập hợp 2) Các cách cho tập hợp Để diễn tả tập hợp người ta thường liệt kê phần tử tập hợp dấu ngoặc nhọn {¼} nêu thuộc tính chung P (x ) phần tử x tập hợp cách viết {x : P (x )} Ví dụ 1.1.1 Tập A = {1, 2, 3, 4} mơ tả dạng A = {x Ỵ  : £ x £ 4} ,  := {1, 2, 3, ¼} tập số tự nhiên 3) Các tập số Tập số nguyên tập số hữu tỷ, tương ứng, tập ìp ü ï ï  := {0, 1, 2, ¼} ,  := ïí : p Î , q Î ïý ï ï ïq ï ợ ỵ Tp s hu t bao gm cỏc s nguyên, số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn, chẳng hạn số -1 = 5; = -0, 25; = 0, 33333 ¼ Số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi số vô tỷ, chẳng hạn p = 3,1415926535 ¼, e = 2, 7182818284 ¼, = 1, 4142135623 ¼ Tập gồm số hữu tỷ vô tỷ gọi tập số thực, ký hiệu  4) Một số phép toán tập hợp Hợp, giao, hiệu, tích Descates hai tập A B tương ứng tập cho A ầ B := {x : x ẻ A  x Ỵ B } ,  A È B := {x : x Ỵ A  x Ỵ B } ,  A \ B := {x : x Î A  x Ï B } ,  A ´ B := {(x , y ) : x Ỵ A  y Ỵ B } , đó, dấu “ ,  ” tương ứng đọc “và, hoặc” Ví dụ 1.1.2 Cho Khi A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6} A È B = {1, 2, 3, 4, 6}, A Ç B = {2, 4}, A \ B = {1, 3} , A ´ B = {(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 2),(3, 4),(3, 6),(4, 2),(4, 4),(4, 6)} Tích Descartes n tập hợp A1, A2 , , An cho { } A1 ´ A2 ´ ´ An = (a1 , a2 , , an ) : Ỵ Ai , i = 1, n , i = 1, n nghĩa i Î {1, 2, n } Khi A1 = A2 = = An = A ta viết { } An := A ´ A ´ ´ A = (a1, a2 , , an ) : Ỵ A, i = 1, n  n Ví dụ 1.1.3 Ta có  = {(x , y ) : x , y Ỵ  } ,  = {(x 1, x , x ) : x 1, x , x Ỵ } 1.1.2 Mệnh đề toán học 1) Khái niệm Mệnh đề (toán học) khẳng định hoặc sai Sai hay mệnh đề quy ước Ví dụ 1.1.4 Mệnh đề p := (1 + = 2) mệnh đề Mệnh đề q : (2  3) mệnh đề sai 2) Các phép tốn mệnh đề Ta thực phép toán mệnh đề để tạo dựng nên mệnh đề phức tạp  Phủ định mệnh đề p , ký hiệu p , mệnh đề p sai ngược lại Ví dụ 1.1.5 Nếu p = (1 + = 2) mệnh đề p = (1 + ¹ 2) mệnh đề sai Nếu q = (2 > 3) mệnh đề sai q = (2 £ 3) mệnh đề  Mệnh đề p kéo theo mệnh đề q , ký hiệu p  q đọc ( p suy q ) hay (nếu p q ), mệnh đề sai p q sai trường hợp cịn lại Ta nói: p điều kiện đủ để có q q điều kiện cần để có p Như vậy, p q p  q đúng, cịn p sai dù q hay sai p  q Điều có nghĩa là, giả thiết p sai muốn kết luận q Khi làm toán người ta thường ý tới trường hợp giả thiết p mà thơi Ví dụ 1.1.6 Ta có ( a < b)  (b > 0) Vậy, ( a < b) điều kiện đủ để có (b > 0) ; (b > 0) điều kiện cần để có ( a < b)  Mệnh đề p tương đương với mệnh đề q , ký hiệu p  q đọc ( p q ) ( p q ) hay ( p điều kiện cần đủ q ), mệnh đề hội hai mệnh đề p  q q  p Ví dụ 1.1.7 Ta có (a < b)  (b > a ) , ( x £ a )  (-a £ x £ a )  Nếu phần tử x thuộc tập A thỏa tính chất P (x ) ta ký hiệu "x Ỵ A : P (x ) hay P (x ), "x Ỵ A đọc (với x thuộc A ta có P (x ) ) hay ( P (x ) với x thuộc A ) Ví dụ 1.1.8 Ta có ("x Ỵ  : x + x + > 0)  (x + x + > 0, "x Ỵ ) , tương ứng đọc (với x Î  ta có x + x + > ) ( x + x + > với x Ỵ  )  Nếu có phần tử x thuộc tập A thỏa tính chất P (x ) ta ký hiệu $x Ỵ A : P (x ) đọc (tồn phần tử x thuộc tập A cho P (x ) ) đơn giản (tồn x thuộc A cho P (x ) ) Ví dụ 1.1.9 Mệnh đề ( $x Î  : x - = ) đọc (tồn x Ỵ  cho x - = 0) Ví dụ 1.1.10 Mệnh đề ( $ ! x Ỵ  : x = ) đọc (tồn x Ỵ  cho x = 0) Ở đây, ký hiệu ( $ ! ) đọc (tồn nhất) 3) Một số tính chất phép toán mệnh đề a) (p  q )  (p  q ) , b) (p  q )  (q  p ) , c) ("x Ỵ A : P (x ))  ($x Ỵ A : P (x )) , d) ($x Ỵ A : P (x ))  ("x Ỵ A : P (x )) 1.1.4 Phương pháp quy nạp toán học Hình thức đơn giản phổ biến phương pháp quy nạp toán học suy luận mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n với tất giá trị n Cách chứng minh bao gồm hai bước sau: 1) Bước sở: Chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n (thông thường n = n = ) 2) Bước quy nạp: Chứng minh rằng, mệnh đề với số số tự nhiên n = k với n = k + Giả thuyết bước quy nạp mệnh đề với số n = k gọi giả thiết quy nạp Để thực bước quy nạp, ta sử dụng giả thiết quy nạp để chứng minh mệnh đề với n = k + Ví dụ 1.1.13 Chứng minh rằng, với số tự nhiên n ta ln có n(n + 1) Rõ công thức n = Giả sử công thức với n = k , tức + + + n = k (k + 1) Ta chứng minh công thức với n = k + Thật vậy, ta có k (k + 1) + + + k + (k + 1) = + (k + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1) éëê(k + 1) + 1ùûú  ĐPCM = = 2 + + + n = Nhận xét 1.1.2 Có thể trình bày bước quy nạp sau: Giả sử công thức với n - , tức (n - 1)n + + + (n - 1) = Ta chứng minh công thức với n Thật vậy, ta có n éêë(n - 1) + 2ùúû (n - 1)n n(n + 1) +n = = + + + (n - 1) + n = 2 1.2 Ma trận 1.2.1 Các khái niệm ma trận Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận cỡ m ´ n bảng số xếp thành m hàng v n ct, ký hiu ổa ỗỗ 11 a12 ỗỗ a a22 A = ỗỗ 21 ỗỗ ỗỗ ỗốam am 10 a1n ư÷ ÷÷ a2n ÷÷ ÷÷ ÷÷ ÷÷ amn ÷÷ø Bây ta đưa cách tìm hạng hệ véc-tơ Xét hệ véc-tơ A  a1, , am  n ,   a1  (a11, a21 , , an ), a2  (a12 , a22 , , an ), , am  (a1m , a2m , , anm ) Khi ma trận  a11 a12  a a22 S   21   a n an  a1m   a2m    anm   gọi ma trận hệ véc-tơ A Định lý 3.5 Hạng hệ véc-tơ A hạng ma trận S hệ véc-tơ Chứng minh Nếu S  O định lý hiển nhiên Giả sử S  O r (S )  r  Khi S có chứa định thức cấp r khác Khơng tính tổng qt coi a11 a12 : a1r a a : a 2r  : 21 22  : : : : ar ar : arr Ta chứng minh a1, , ar độc lập tuyến tính véc-tơ ar 1, , am tổ hợp tuyến tính a1, , ar , nghĩa r (A)  r Thật vậy, xét 1a1   rar  hay viết qua tọa độ ta hệ phương trình tuyến tính a111  a12 2   r a1r   a211  a22 2   r a2r    a   an 2   r anr   n1 Do   nên hạng ma trận hệ số  r  số ẩn nên hệ phương trình có nghiệm tầm thường 1   r  Nếu r  m việc chứng minh định lý kết thúc, ta giả thiết r  m Ta   chứng minh hệ véc-tơ a1 , , ar , a j , j  r  1, m phụ thuộc tuyến tính Xét định thức a 11 a 12 : a 1r a1 j a 21   : ar ai1 a 22 : ar : a 2r : : : a rr : a ir a2 j : a rj a ij i  1, n  với  j  r  m 1,  79 Nếu i  r    có hai hàng giống nhau; cịn i  r    định thức cấp r  S Vậy nên ta ln có    Khai triển định thức theo hàng cuối ta      (1)r 1 1Dr 1,1  2Dr 1,2   air Dr 1,r  aij   , Dr 1,k (k  1, r ) định thức cấp r suy từ   cách bỏ hàng r  cột k Suy   a D  2Dr 1,2   air Dr 1,r  i r 1,1 : r 1,1ai  r 1,2ai   r 1,r air (i  1, n, j  r  1, m ) , aij  (1)r 1 ik  (1)r 1 Dr 1,k  Từ suy  r 1,1a1  r 1,2a2   r 1,r ar (i  r  1, m ) Điều chứng tỏ véc-tơ ar 1, , am biểu diễn tuyến tính qua véc-tơ a1, , ar , nên r (A)  r  r (S ) Nhận xét 1.3.2 Do hạng ma trận bất biến phép chuyển vị nên từ Định lý 3.5, để tìm hạng hệ véc-tơ A  a1, , am , ta thiết lập ma trận S có hàng   cột thành phần véc-tơ hệ A Tìm hạng ma trận S tìm hệ A Ví dụ 1.3.1 Tìm hạng hệ véc-tơ       A  a1  1, 4, , a2  0,1, , a  1,1,    Hệ A phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính? Tìm hệ véc-tơ độc lập tuyến tính cực đại hệ A Ma trận hệ A (các thành phần véc-tơ hệ A xếp theo hàng)  1 0   S   2 1  1 2    Ta có 1 0 1 0     h3 h3  h2 S    1   0 1  1  0 0 0     Vậy r (A)  r (S )    số véc-tơ hệ A nên hệ A phụ thuộc tuyến tính Do q trình biến đổi ta khơng thay đổi vị trí hàng ma trận nên dễ thấy hệ hai véc-tơ a1, a2 hệ véc-tơ độc lập tuyến tính tối đại A h2 h2 h1 h3 h3  h1  80  Ví dụ 1.3.1 Tìm hạng hệ véc-tơ       A  a1  1, 4, , a2  0,1, , a  1,1,    Hệ A phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính? Ma trận hệ véc-tơ A (các thành phần véc-tơ hệ A xếp theo cột) 1 1   S  4 1 0 0   Do det S   nên r (A)  r (S )   số véc-tơ hệ A nên hệ A độc lập tuyến tính 3.2 Cơ sở số chiều khơng gian n Tọa độ véc-tơ theo sở 3.2.1 Cơ sở số chiều không gian n Định nghĩa 2.1.1 Một hệ véc-tơ gọi sở của không gian n hệ véctơ độc lập tuyến tính véc-tơ khơng gian n biểu diễn tuyến tính qua hệ véc-tơ Nhận xét 2.1.1 Hệ véc-tơ       E  e1  1, 0, , , e2  0,1, , , , en  0, 0, ,1    n sở không gian n gọi đơn vị hay sở tắc Thật  Hệ E độc lập tuyến tính 1e1   n en   (1, , n )  (0, , 0)  1   n   Với x  (x 1, , x n )  n bất kỳ, ta có x  x 1e1   x n en tức x biểu diễn tuyến tính qua hệ E Vậy hệ E sở không gian n Định lý 3.6 Trong không gian véc-tơ n , số lượng véc-tơ hai sở n  Chứng minh Giả sử A  a1, , ak  B  b , , b  hai sở không gian m n Theo Định nghĩa 2.1.1, hệ A biểu diễn tuyến tính qua sở B A độc lập tuyến tính nên k  m theo Định lý 3.3 Thay đổi vai trò A B , lập luận 81 tương tự, ta có m  k Do m  k Hơn theo Nhận xét 2.1.1, sở đơn vị không gian n có số lượng véc-tơ n nên m  k  n Định nghĩa Số lượng véc-tơ (n ) sở không gian n gọi số chiều khơng gian đó, ký hiệu dim n  n Định lý 3.7 a) Số lượng véc-tơ hệ véc-tơ độc lập tuyến tính không gian n  n b) Mọi hệ gồm n véc-tơ độc lập tuyến tính khơng gian n sở không gian n Chứng minh a) Trước hết ta thấy véc-tơ x  (x 1, , x n ) biểu diễn tuyến tính   qua sở đơn vị E  e1, e2 , , en (xem Nhận xét 2.1.1): x  x 1e1  x 2e2   x n en Vì hệ véc-tơ không gian n biểu diễn tuyến tính qua sở E Do đó, theo Định lý 3.3, hệ A  a1, , ak  n độc lập tuyến tính  k  n    b) Giả sử B  b1, , bn  n hệ véc-tơ độc lập tuyến tính x  n  véc-tơ tùy ý Khi theo a), hệ x , b1, , bn  phụ thuộc tuyến tính nên tồn số , 1, , n không đồng thời cho x  1b1   nbn  Rõ ràng   ,   1b1   nbn  suy 1   n  (vô lý) Do   nên   x   b1   n bn   nghĩa x biểu diễn tuyến tính qua hệ A nên A sở khơng gian n Ví dụ 2.1.1 Theo Ví dụ 1.2.3, hệ véc-tơ   A  a1  (1, 1, 1), a2  (1, 1, 2), a  (1, 2, 3) độc lập tuyến tính khơng gian chiều  nên tạo thành sở không gian  3.2.2 Tọa độ véc-tơ theo sở   Định lý 3.8 Giả sử B  b1, , bn  n sở không gian n Khi véc-tơ khơng gian n biểu diễn tuyến tính cách qua hệ B 82  Chứng minh Cho véc-tơ x  n Khi hệ x , b1, , bn  phụ thuộc tuyến tính, nên tồn số , 1, , n không đồng thời cho x  1e1   mem  Rõ ràng   (vì   1   n  ) Do x   e   mem  1e1   m em ,  11  i   sở B i   (3.2) (i  1, n ) Điều chứng tỏ x biểu diễn tuyến tính qua Mặt khác x biểu diễn tuyến tính qua sở B dạng khác x  1e1   n en (3.3) Trừ vế hai đẳng thức (3.2) (3.3)  (1  1 )b1   (n  n )bn Do hệ B độc lập tuyến tính nên suy (1  1 )   (n  n )  hay 1  1 , , n  n , nghĩa x biểu diễn tuyến tính cách qua hệ B   Định nghĩa 2.2.1 Giả sử B  b1, , bn sở không gian n Theo Định lý 3.6, với véc-tơ x  n tồn số 1, , n cho x  n b i 1 i i  1b1   nbn Các số 1, , n gọi tọa độ véc-tơ x theo sở B , ký hiệu    1 x    :   1, , n B    n    T  Nhận xét 2.2.1 Như ta biết, với véc-tơ x  x 1, , x n  n với sở đơn vị        E  e1  1, 0, , , e2  0,1, , , , en  0, 0, ,1 , ta viết x  x 1e1   x nen nên thành phần x 1, , x n véc-tơ x tọa độ x theo sở đơn vị 83 Ví dụ 2.2.1 Cho sở   B  b1  (1,1,1), b2  (1,1, 2), b3  (1, 2, 3) khơng gian  (xem ví dụ 2.1.1) Tìm tọa độ x  (6, 9,14)   theo sở Ta tìm 1, 2 ,    , cho x  1b1  2b2   3b3 Hệ thức tương ứng với hệ phương trình           1  2  2   2    2  3  14   3   Vậy   T x  b1  2b2  3b3 hay x   1, 2, B 3.2.3 Ma trận chuyển sở Công thức đổi tọa độ  Giả sử khơng gian n có sở A  a1, , an  B  b , ,b  Khi đó, n theo Định lý 3.8, tồn số sij (i, j  1, n ) cho bj  n s a i 1 ij i  s1 j a1  s2 j a2   snj an (3.4) hay  bj   s1 j , s2 j , , snj  A  T Ta gọi ma trận  S  (sij )  b1  , b2  , , bn  A A A   s11 s12  s s   21 22 : :   sn s n  s1n   s2n   n n : :   snn   ma trận chuyển sở từ A sang B Với véc-tơ x  n có hai cách phân tích theo sở A (cơ sở cũ) B (cơ sở mới) x  n  a i 1 x  n  b j 1 84 i i j j  1a1  2a2   nan (3.5)  1b1  2b2   nbn (3.6) Thay (3.4) vào (3.6), ta x  n  b j 1 j j   1 s11a1  s21a2   sn 1an      1 s12a1  s22a   sn 2an   n s1na1  s2na2   snnan       s111 +s122 +  s1n n a1  s211 +s222 +  s2n n a2     sn 11  sn 22   snn n an So sánh đẳng thức cuối với (3.5), ta nhận 1  s111  s122 +  s1n n  2  s211  s222 +  s2n n   n  sn 11  sn 22 +  snn n  Hoặc viết dạng ma trận x   S x  A B (3.7) x   S 1 x  B A (3.8) hay Các công thức (3.7) (3.8) gọi công thức đổi tọa độ Công thức (3.7) cho phép ta tính tọa độ véc-tơ theo sở cũ (tọa độ cũ) qua tọa độ véctơ theo sở (tọa độ mới); cịn cơng thức (3.8) tính tọa độ theo tọa độ cũ Như vậy, S ma trận chuyển sở từ A sang B S 1 ma trận chuyển sở từ B sang A Ví dụ 2.3.1 Trong khơng gian  , cho     E  e1  (1, 0, 0), e2  (0,1, 0), e3  (0, 0,1) sở đơn vị B  b1  (1,1,1), b2  (1,1, 2), b3  (1, 2, 3) sở khác Hãy tìm ma trận chuyển sở từ E sang B B sang E Tìm tọa độ x  (6, 9,14) theo sở B (xem Ví dụ 2.2.1) - Ma trận chuyển sở S từ E sang B  S  b1  , b2  , b3  E E E  1 1     1  1    - Tìm ma trận chuyển sở S 1 từ B sang E Ta có 85 b  e  e  e e  e  e  b 3 1 1 b2  e1  e2  2e3  e1  e2  2e3  b2 b  e  2e  3e e  2e  3e  b 3 3 1 (3.9) Trong hệ (3.9), ta coi e1, e2 , e3 ẩn b1 , b2 , b3 biết Dùng phương pháp Gauss, ta 1 1 b  1 1 b  H H1 1   HH 23    H  H A   1 b2    0 b2  b1   b   b  b   1   1 1 b    H H   b3  b1   0 b  b  1  Hệ (3.9) tương đương với e  e  e  b e  b  b  b 1 1 1        e e b b e b b b3 2 2 3 1 e  b  b e  b  b 1 3 3 Vậy ma trận chuyển sở từ B sang E  S 1  e1  , e2  , e3  E E E   1 1      2   1      Cách khác Trước hết, ta tìm tọa độ véc-tơ x  x 1, x , x   theo sở B , tức tìm 1, 2 ,    , cho       x  x  1b1  2b2   3b3  1  2  2  x    2  3  x 3  Dùng phương pháp Gauss giải hệ (3.10), ta 1 1 x  1 1 x  H H 1   HH 23    H H A   1 x     0 x  x1   x   x  x   1   1 1 x    H H   x  x   0 x  x  1  86 (3.10) Hệ (3.10) tương đương với       x   x  x  x 1   2  2  x  x  2  x  2x  x        x  x 1   Vậy x  (x 1, x , x )  (x  x  x )b1  (x  2x  x )b2  (x  x )b3 Thay vai trò x e1, e2 , e3 , ta nhận e  b  b  b 1 e2  b1  2b2  b3 e  b  b 3 Vậy  S 1  e1  , e2  , e3  E E E   1 1      2   1    - Tìm x  Ta có B   1      [x ]B =S -1[x ]E =S -1       14        hay x  b1  2b2  3b3 Ví dụ 2.3.2 Trong khơng gian  , cho hai sở  B  b  A  a1  (1,1,1), a2  (1,1, 0), a  (1, 0, 0)   (1, 1, 1), b2  (1, 1, 1), b3  (1,1, 1) Hãy tìm ma trận chuyển sở từ A sang B công thức đổi tọa độ tương ứng - Tìm tọa độ véc-tơ x  (x 1, x , x )   theo sở A , tức tìm 1, 2 ,    , cho x  1a1  2a2   x     x   x        x    3a  1  2  x   x   x     x  x    x  x  A x  x   x2   87 Thay vai trò x  (x 1, x , x ) b1 , b2 , b3 ta  1   1   1        b1     , b2     , b1     A A A 0 2 0       Vậy ma trận chuyển sở từ A sang B  1 1 1    S   0  0 0   - Công thức đổi tọa độ              1  1              x S x S    A  2    B       22  3  3   hay               2  Tóm tắt kiến thức quan trọng chương C3.1 Không gian véc-tơ n C3.1.1 Các khái niệm không gian véc-tơ n  Một véc-tơ n chiều n số thực có thứ tự, ký hiệu x : (x 1, , x n ) Véc-tơ : (0, , 0) gọi véc-tơ không Tập tất véc-tơ n chiều ký hiệu n  Tập n với hai phép toán sau gọi không gian véc-tơ n (gọi tắt không gian n ): a) Phép cộng véc-tơ: Tổng hai véc-tơ x : (x 1, , x n ) y  (y1, , yn ) , ký hiệu x  y , véc-tơ xác định x  y : (x  y1, , x n  yn )  n b) Phép nhân số (vơ hướng) với véc-tơ: Tích số  với véc-tơ x : (x 1, , x n ) , ký hiệu x , véc-tơ xác định x : (x 1, , x n )  n 88  Ta gọi véc-tơ đối véc-tơ x : (x 1, , x n ) véc-tơ x  (x , , x n )  n Phép cộng véc-tơ với véc-tơ đối véc-tơ khác gọi phép trừ véc-tơ, cụ thể là, hiệu véc-tơ x : (x 1, , x n ) với véc-tơ y  (y1, , yn ) cho x  y : x  (y )  (x  y1, , x n  yn )  Hai véc-tơ x : (x 1, , x n ) y  (y1, , yn ) gọi nhau, ký hiệu x  y , x  x , , x n  yn Tính chất Với ,    x , y , z  n , ta có (t1 ) x  y  y  x (t2 ) (x  y )  z  x  (y  z ) (t3 ) x   x (t4 ) x  (x )  (t5 ) (x  y )  x  y (t6 ) (  )x  x  x (t7 ) ()x  (x ) (t8 ) 1x  x (t9 ) 0x  (t10 )   (t11 ) (1)x  x C3.1.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính    Cho hệ véc-tơ A  a1, , am  n a) Biểu thức m a i i i 1  1a1   mam  n với i  , i  1, m gọi tổ hợp tuyến tính hệ A b) Ta nói véc-tơ a  n biểu diễn tuyến tính qua hệ A tồn số 1, , m cho  a  1a1   mam  n   Hệ véc-tơ A  a1, , am  n gọi phụ thuộc tuyến tính tồn số 1, , m khơng đồng thời cho 1a1   mam  gọi độc lập tuyến tính hệ A khơng phụ thuộc tuyến tính, nghĩa có 1a1   mam  suy 1   m  Tính chất  Nếu phận hệ véc-tơ phụ thuộc tuyến tính tồn thể hệ phụ thuộc tuyến tính Hay nói cách khác, hệ véc-tơ độc lập tuyến tính phận độc lập tuyến tính  Hệ gồm m véc-tơ khác véc-tơ khơng (với m > 1) phụ thuộc tuyến tính tồn véc-tơ hệ biểu diễn tuyến tính qua véc-tơ lại hệ 89   Nếu véc-tơ hệ véc-tơ độc lập tuyến tính A  a1, a2 , , ak    biểu diễn tuyến tính qua hệ véc-tơ B  b1, b2 , , bm k  m C3.1.3 Hạng hệ véc-tơ  Cho hệ A  n gồm m véc-tơ hệ P  A gồm r (r  m ) véc-tơ Ta nói hệ P hệ véc-tơ độc lập tuyến tính cực đại hệ A thêm vào P véc-tơ tuỳ ý hệ A hệ trở thành hệ phụ thuộc tuyến tính  Số lượng véc-tơ hệ véc-tơ độc lập cực đại hệ A gọi gọi hạng hệ A , ký hiệu r (A) quy ước r ({0})  Tính chất  Các hệ véc-tơ độc lập cực đại hệ S có số véc-tơ  Hạng hệ véc-tơ A hạng ma trận S hệ véc-tơ C3.2 Cơ sở số chiều không gian n Tọa độ véc-tơ theo sở C3.2.1 Cơ sở số chiều không gian n  Một hệ véc-tơ gọi sở của không gian n hệ véc-tơ độc lập tuyến tính véc-tơ khơng gian n biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ  Cơ sở đơn vị (cơ sở tắc) khơng gian n       E  e1  1, 0, , , e2  0,1, , , , en  0, 0, ,1    n Tính chất  Trong không gian véc-tơ n , số lượng véc-tơ hai sở n  Số lượng véc-tơ hệ véc-tơ độc lập tuyến tính khơng gian n  n  Mọi hệ gồm n véc-tơ độc lập tuyến tính khơng gian n sở không gian n C3.2.2 Tọa độ véc-tơ theo sở    Giả sử B  b1, , bn  n sở khơng gian n Khi véc-tơ khơng gian n biểu diễn tuyến tính cách qua hệ B Nghĩa là, với véc-tơ x  n tồn số 1, , n cho x  n b i 1 i i  1b1   nbn Các số 1, , n gọi tọa độ véc-tơ x theo sở B , ký hiệu 90    1 x    :   1, , n B    n   T Bài tập chương Tìm véc-tơ x từ phương trình a) v1  2v2  3v3  x  với v1  (5, 8, 1, 2), v2  (2, 1, 4, 3), v  (3, 2, 5, 4) b) 3(v1  x )  2(v2  x )  5(v3  x ) với v1  (2, 5,1, 3), v2  (10,1, 5,10), v3  (4,1, 1,1) Xét xem véc-tơ x có biểu diễn tuyến tính qua hệ véc-tơ S hay không, với   a) x  (1, 7, 4) S  v1  (1, 3, 2), v2  (2, 1,1)   (1, 3, 4) S  v   (2,1, 0) b) x  (2, 6, 4) S  v1  (1,1, 0), v2  (1, 0,1), v  (0, 0,1) c) x  (1, 2, 3), v2  (3, 2,1), v3   c) x  (7,14, 1, 2) S  v1  (1, 2, 1, 2), v2  (2, 3, 0, 1), v3  (1, 2,1, 3) Tìm điều kiện m để véc-tơ x biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ S     b) x   5, 9, m  S  v  (4, 4, 3), v  (7, 2,1), v  (4,1, 6) c) x   9,12, m  S  v  (3, 4, 2), v  (6, 8, 7) d) x  1, 3,  S  v  (3, 2, 5), v  (2, 4, 7), v  (5, 6, m ) a) x  7, 2, m S  v1  (2, 3, 5), v2  (3, 7, 8), v3  (1, 6,1) 2 Tìm điều kiện m, n để véc-tơ x biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ S a) x  (4, 8, 9, n )   S  a1  (1, 2, 2,1), a2  (2, 3, 5, 3), a  (3, 5, 7, 4), a  (5,10, 9, m ) b) x  (3, 6, 7, n )   S  a1  (1, 2, 2,1), a2  (2, 5, 3, 3), a  (2, 5, 3, 4), a  (2, 4, 5, m ) Xét xem hệ véc-tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?  b) S  v b) S  v  a) S  v1  (1, 2, 3), v2  (3, 6, 7)   (0, 0, 7)  (2, 3, 0), v2  (0,1, 2), v3  (1, 0, 3)  (2, 3,1), v2  (0, 5, 3), v3 91   c) S  v1  (1, 2, 3, 4), v2  (3, 3, 5,1), v3  (3, 0, 3, 10) Tìm số thực  véc-tơ sau phụ thuộc tuyến tính     1  1 1 u1   ,  ,   , u2    , ,   , u    ,  ,   2 2    2  Tìm số thực  véc-tơ sau độc lập tuyến tính  a1  (,1, 0), a2  (1, ,1), a  (0,1, ) Chứng minh hệ B tạo thành sở khơng gian véc-tơ tương ứng Tìm tọa độ x theo sở  b) B  b c) B  b d) B  b  a) B  b1  (2,1, 3), b2  (3, 2, 5), b3  (1, 1,1) x  (6, 2, 7)    (1, 2, 3), b2  (1,1,1), b3  (1,1, 2) x  (1, 2, 0)   (2,1, 1), b2  (2, 1, 2), b3  (3, 0,1) x  (1, 2, 3)   (0,1,1,1), b2  (1, 0,1,1), b3  (1,1, 0,1), b4  (1,1,1, 0) x  (1,1,1,1)    Bài tập làm thêm Trong  , cho véc-tơ x  (4, 2, 0) hai hệ véc-tơ   v   (1,1, 3) U  u1  (1,1, 0), u2  (1, 0, 1), u  (0,1, 2) , V  (0,1, 1), v2  (2, 0, 3), v3 a) Chứng minh U ,V sở khơng gian  b) Tìm ma trận chuyển sở từ U sang E ; từ E sang V ; từ U sang V , E sở tắc c) Tìm x  , x  U V   10 Yêu cầu 9, xét không gian  với x  3, 2, 0,1   v  U  u1  (1, 2, 1, 0); u2  (1, 1,1,1); u  (1, 2,1,1), u  (1, 1, 0,1) ; V   (2,1, 0,1); v2  (0,1, 2, 2); v3  (2,1,1, 2); v  (1, 3,1, 2) 11 Tính hạng hệ véc-tơ S Hệ có độc lập tuyến tính hay khơng?  b) S  a c) S  a d) S  a  a) S  a1  (0, 2,-1),a2  (3, 7, 1),a  (2, 0, 3)   92   (0, 3, 1), a2  (3, 1, 5), a  (1, 4, 0)    (2, 1, 3, 1),a2  (1, 2, 0, 1),a  (1, 1, 3, 0)    (1, 3, 1, 0),a2  (2, 0,1, 1),a  (0, 1, 4, 3)     12 Trong không gian véc-tơ n , chứng minh rằng, hệ véc-tơ v1, v2, v3  độc lập tuyến tính hệ véc-tơ v1  v2, v2  v3, v3  v1 độc lập tuyến tính 13 Trong không gian véc-tơ n , chứng minh rằng, hệ có hai véc-tơ hệ phụ thuộc tuyến tính 14 Trong khơng gian véc-tơ 2 , chứng minh rằng, hai véc-tơ phụ thuộc tuyến tính thành phần chúng tỉ lệ với Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hãn, Đại số tuyến tính kỹ thuật NXB ĐH&THCN, Hà Nội 1994 [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, 2005 [3] Hoàng Kỳ & Vũ Tuấn, Bài tập đại số cao cấp, Tập 1&2 NXB Giáo Dục 1978 [4] Ngô Thúc Lanh, Đại số tuyến tính NXB ĐH&THCN, Hà Nội 1970 [5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên): Toán học cao cấp, Tập NXB Giáo Dục, Hà Nội 1996 [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên): Bài tập Toán học cao cấp Tập NXB Giáo Dục, Hà Nội 1996 [7] Ngơ Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính NXB ĐH Quốc Gia, Hà Nội 2002 [8] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, 2005 Nha Trang, 09/2019 Phạm Gia Hưng Email: phamgiahung@ntu.edu.vn 93 ... hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn có ma trận hệ số khơng suy biến có nghiệm tầm thường Chứng minh Vì hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn có ma trận hệ số khơng... Chương Hệ phương trình tuyến tính 2.1 Hệ phương trình tuyến tính 2.1.1 Các khái niệm chung hệ phương trình tuyến tính  Một hệ m phương trình tuyến tính (bậc nhất), n ẩn hệ phương trình có dạng... phương trình tuyến tính Chương nói khơng gian véc-tơ n , với khái niệm tính chất khơng gian này; khái niệm tính chất hệ véc-tơ phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính; Cơ sở số chiều không gian