Lên lớp 8 các em một lần nữa, được gặp lại bài toán này nhưng ở một mức độ cao hơn(được giới thiệu trên một số sách tham khảo)?. Vậy bản chất của bài toán này là gì?[r]
Trang 11
Phương pháp chứng minh phân số tối giản
Nguyeón Baự Phuực _ GV: Trửụứng THCS Maừ
Thaứnh
Trong chương trình toán 6 các em đã được học về phân số tối giản, nhưng đó chỉ
là những kiến thức ban đầu, còn sơ sài và đơn giản Lên lớp 8 các em một lần nữa, được gặp lại bài toán này nhưng ở một mức độ cao hơn(được giới thiệu trên một số sách tham khảo) Vậy bản chất của bài toán này là gì? Phương pháp chứng minh như thế nào? Bài viết này với mong muốn giúp các em trả lời được các câu hỏi này
A Lí thuyết
1) Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
- Phân số tối giản (hay phân số không thể rút gọn được nữa) là phân số mà “tử”
và “mẩu” chỉ có Ước chung là 1 và - 1
- Hay nói cách khác phân số tối giản (a ; b) = 1
b) Tính chất liên quan
- Nếu a d và b d thì a b d
- Nếu 1 d thì d = 1
2) Phương pháp chứng minh một phân số là phân số tối giản
a) Nguyên tắc
Để chứng minh phân số tối giản ta cần phải chứng minh Ước chung của a và b bằng 1 hoặc bằng – 1
b) Cách làm:
Bước 1 Đặt d = (a ; b)
Bước 2 Tìm 2 số tự nhiên n và m sao cho: n.a m.b = 1
Bước 3 Lập luận để có: n.a m.b d hay 1 d rồi từ đó suy ra d = 1
B BàI tập áp dụng
Bài 1 Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n Z
a) 3
2
n n
b)
2 3
n n
Giải
a) Gọi d là Ước chung của (n + 3) và (n + 2)
Ta có: (n + 3) d và (n + 2) d (n + 3) – (n + 2) d hay 1 d d = 1
“tử” và “mẩu” của phân số 3
2
n n
chỉ có Ước chung là 1 và - 1 phân số 3
2
n
n
là phân số tối giản
b) Gọi d là Ước chung của (2 – 3n) và (3n - 1)
Ta có: (2 – 3n) d và (3n - 1) d (2 – 3n) + (3n - 1) d hay 1 d d = 1
Trang 22
“tử” và “mẩu” của phân số 2 3
n n
chỉ có Ước chung là 1 và - 1 phân số
2 3
n
n
là phân số tối giản
Bài 2 Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n
a) 3 1
n n
b)
n n
(Sách Nâng cao và phát triển Toán 8)
Phân tích tìm lời giải:
Rỏ ràng bài Toán này không còn dể dàng như bài Toán 1 nửa Vì ở đây (3n +1) + (5n +2) và (3n +1) - (5n +2) đều không bằng 1 hoặc bằng - 1 Vậy làm thế nào để có được lời giải của bài Toán này? Các em thử suy nghỉ rộng ra một chút nhé!!! Để có tổng hoặc hiệu của “tử” và “mẩu” bằng 1 hoặc – 1 thì ta phải làm mất n đi Muốn vậy, ta chỉ cần nhân “tử” với 5 và nhân “mẩu” với 3, từ đó sẻ có ngay lời giải cho bài Toán
Giải:
a) Gọi d là Ước chung của (3n +1) và (5n +2)
Ta có: (3n +1) d và (5n + 2) d 5(3n +1) d và 3(5n + 2) d
5(3n +1) – 3(5n +2) d - 1 d d = 1
3 1
n n
là phân số tối giản
b) Tương tự:
Gọi d là Ước chung của (12n +1) và (30n +2)
Ta có: (12n +1) d và (30n + 2) d 5(12n +1) d và 2(30n + 2) d
5(12n +1) – 2(30n +2) d 1 d d = 1
12 1
n n
là phân số tối giản
Bài 3 Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi n Z
Phân tích tìm lời giải:
Đến bài Toán này lại không còn dể dàng như bài Toán 2 nửa Vì ở đây ta không thể làm mất “n” bằng cách nhân “tử” và “mẩu” với một số nào đó! Vậy làm thế nào đây? Ta lại thấy rằng : “tử” của phân số có n3, còn “mẩu” của phân số có n4 (tử và mẩu có bậc khác nhau) Từ đó, ta thử làm mất n4 đi Muốn vậy, ta chỉ cần nhân “tử” với n là xong
Giải:
Gọi d là Ước chung của (n3 + 2n) và (n4 + 3n2 + 1)
Ta có: (n3 + 2n) d n.(n3 + 2n) d hay n4 + 2n2 d (1)
Mặt khác ta lại có: n.(n3 + 2n) d và (n4 + 3n2 + 1) d
n(n3 + 2n) - (n4 + 3n2 +1) d
n2 + 1 d
(n2 + 1)2 d hay n4 + 2n2 + 1 d (2)
Trang 33
Từ (1) và (2) (n4 + 2n2 + 1) - (n4 + 2n2) d 1 d d = 1
là phân số tối giản
C BàI tập về nhà
Bài 4 Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n, m Z
a) 11 4
n n
b)
m m
Bài 5 Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n Z
a) 21 4
n n
b)
2 ( 1)
n
n n
Bài 6 Chứng minh rằng tổng và hiệu của một số nguyên và một phân số tối giản là
một phân số tối giản
Bài 7 Tổng của một số hửu tỉ và một số vô tỉ có thể là một số hửu tỉ được không?
Tổng của hai số vô tỉ có thể là một số hửu tỉ được không?
Bài 8 Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi n Z
Trang 4
4