1 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa CHƯƠNG II : SỐ NGUYÊN BÀI 1:TẬP HỢP SỐ NGUYÊN A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN DẠNG 1: Xác định số nguyên, biểu diễn số nguyên trục số So sánh hai số nguyên I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cách biểu diễn số nguyên trục số - Số nguyên dương a nằm bên phải điểm cách a đơn vị - Số nguyên âm b nằm bên trái điểm cách b = b đơn vị Chú ý: - Tất số tự nhiên số nguyên -Trong số biết số thập phân phân số thực ( phân số không cịn rút gọn có mẫu khác ± 1) khơng phải số nguyên -Tập hợp số nguyên kí hiệu Z Để so sánh hai số nguyên - Nếu a, b nguyên dương so sánh biết số tự nhiên - Nếu a, b nguyên âm a < b a > b - Nếu a nguyên âm, b nguyên dương a < b II BÀI TẬP MẪU Bài Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai? 1) Ơ 2)  3) 4,5  4)  5) Ơ ¢ 6) ¥ ⊂ ¢ Lời giải Số số nguyên nên 2) 4) Đúng Số –3 không số tự nhiên; 4,5 không số nguyên nên 1) 3) Sai Tập ¥ tập ¢ nên 6) Đúng 5) Sai Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa Bài Vẽ trục số 1) Biểu diễn số 2; –3; 4; –6; 0; 3; trục số 2) Cho biết điểm cách điểm bốn đơn vị biểu diễn số nào? Nhận xét điểm cách biểu diễn số nào? 3) Khẳng định, trục số điểm gần điểm biểu diễn số nhỏ có khơng? Hãy phát biểu cho Lời giải 1 2) Những điểm cách bốn đơn vị biểu diễn số –4 (hai số đối nhau) Những điểm cách biểu diễn hai số đối 3) Khẳng định Sai Cần phát biểu lại sau: Trên trục số (nằm ngang), điểm nằm bên phải điểm 0, điểm gần điểm biểu diễn số nhỏ Đối với điểm nằm bên trái điểm 0, điểm gần điểm biêu diễn số lớn Bài 1) Sắp xếp số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: –12; 3; 15; 12; –7; –6; 2) Tìm số nguyên x cho −3 < x < Lời giải 1) Sắp xếp số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: –12; –7; –6; 0; 3; 12; 15 2) Những số nguyên x cần tìm là: –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; Bài 1) Tìm số đối số nguyên sau: –15; 0; 3; 2) Tìm số liền sau số nguyên sau: –13; 0; 1; Lời giải 1) Số đối –15 15; số đối 0; số đối –3; số đối –7 2) Số liền sau số số đơn vị, đó: Số liền sau số nguyên – 13; 0; 1; –12; 1; 2; Bài Vẽ trục số cho biết: a) Những điểm nằm cách điểm bốn đơn vị Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa b) Những điểm nằm điểm −4 Lời giải a) Những điểm nằm cách điểm bốn đơn vị: −1 b) Những điểm nằm điểm −4 : −3; −2; −1;0;1 III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai? a) ∈ ¥ b) −6 ∈ ¥ c) 4,5 ∈ ¢ d) ∈ ¢ e) −6 ∈ ¢ g) ∈ ¢ Bài Điền kí hiệu thích hợp vào dấu Ơ 12   Ơ 4,5 ¢ ¥ −100 ¢ 10 ¢ Bài Vẽ trục số a) Biểu diễn số 2; –3; 4; –6; 0; 3; –4 trục số b) Cho biết điểm cách điểm bốn đơn vị biểu diễn số nào? Nhận xét điểm cách biểu diễn số nào? c) Khẳng định “trên trục số điểm gần điểm biểu diễn số nhỏ hơn” có khơng? Nếu không phát biểu lại cho Bài Tìm số nguyên x cho: a) −8 < x < b) −2 ≤ x ≤ 10 c) −7 < x ≤ d) −5 ≤ x < Bài Sắp xếp số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: −20;10; 0; − 3; − 5; 17 Bài a) Tìm số đối số nguyên sau: –298; 25; 0; –53; 71 b) Tìm số liền sau số nguyên sau: –63; 0; 11; –27 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa c) Tìm số liền trước số nguyên sau: –110; 99; –999; 1000; HƯỚNG DẪN Bài Các khẳng định a), d), e), g) Các khẳng định sai b), c) Bài Cách điền sau: – 7∉ N; 3∈ Z; 0∈ N; –12∈ Z; 4,5∉ Z; ∉ N; –100∈ Z; 10∈ Z Bài a) Biểu diễn số 2, –3, 4, –6, 0, 3, –4 trục số sau: b) Những điểm cách điểm bốn đơn vị biểu diễn số –4 Những điểm cách biểu diễn hai số đối c) Khẳng định sai Chẳng hạn, trục số điểm –3 gần điểm điểm –6, –3 > –6 Phát biểu sau: Trên trục số, điểm nằm bên trái điểm 0, điểm gần lớn hơn, điểm nằm bên phải điểm 0, điểm gần nhỏ Bài a) x ∈ { −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3} ; b) x ∈ { −2; −1;0;1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10} ; c) x ∈ { −6; −5; −4; −3; −2; −1} ; d) x ∈ { −5; −4; −3; −2; −1;0} ; Bài Sắp xếp số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: 17, 10, 0, –3, –5, –20 Bài a) Số đối số nguyên –289, 25, 0, –53, 71 thứ tự là: 289, –25, 0, 53, –71 b) Số liền sau số nguyên –63, 0, 11, –27 thứ tự là: –62, 1, 12, –26 c) Số liền trước số nguyên –110, 99, –999, 1000, thứ tự là: –1111, 98, –1000, 999, –1 DẠNG 2: Giá trị tuyệt đối số nguyên I PHƯƠNG PHÁP GIẢI * Với a nguyên a số tự nhiên * Tìm số nguyên x cho x = a - Nếu a số nguyên dương x = a a = –a - Nếu a = x = Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa - Nếu a số ngun âm khơng có số x thỏa mãn * Tìm số nguyên x cho x a (a số nguyên dương) cần tìm x cho x ∈ {a+1; a + 2; … } Tức x ∈ { ± (a + 1); ± (a + 2); } II BÀI TẬP MẪU Bài Tính giá trị biểu thức sau 1) −7 − −4 2) −8 − −3 3) 32 : −4 4) + −16 − −15 Lời giải 1) −7 − −4 = – = 2) −8 − −3 = – = 3) 32 : −4 = 32 : = 4) + −16 − −15 = + 16 – 15 = Bài Tìm số nguyên x biết 1) x = 2) x = 4) x = 10 x > 5) x = x < Lời giải 1) x = ⇔ x = x = −5 2) x = ⇔ x = 3) x = −5 ; x > nên không tồn số x 4) x = 10 ⇔ x = 10 x = −10 x> nên x = 10 5) x = ⇔ x = x = −7 x < nên x = −7 3) x = −5 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa Bài Tìm số nguyên x biểu diễn chúng trục số: 1) x < 2) x ≥ 10 Lời giải 1) Cách 1: x < nên x = 0; 1; 2; 3; - Với x = x = - Với x = x = ±1 - Với x = x = ±2 - Với x = x = ±3 - Với x = x = ±4 Biểu diễn trục số 2 Cách 2: x < ⇔ −5 < x < x số nguyên nên: x ∈ {0; ± 1; ± 2; ± 3; ± 4} 2) x ≥ 10 nên x ≥ 10 x ≤ −10 x số nguyên nên x ∈ { ; − 13; − 12; − 11; 11; 12; 13; } Biểu diễn trục số: … 14 13 12 11 Bài 4: Tìm x ∈¢ biết: −2000 < | x | ≤ Lời gii x  thỡ | x | Ơ Ta cú: | x | = 0; 1; => x = 0; 1; −1; 2; − III BÀI TẬP VẬN DỤNG 11 12 13 14 … Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa Bài Tìm giá trị biểu thức sau a) −5 + + 15 + −1 b) −9 + −7 + −5 + −3 + −1 Bài a) Tìm số nguyên âm a cho a = 50 b) Tìm số nguyên dương b cho b = 15 Bài Tìm số nguyên x biểu diễn chúng trục số a) < x < 10 b) x ≤ c) x ≥ b) −11 −13 c) −15 14 Bài So sánh cặp số sau a) −12 12 Bài Tìm x ∈ ¢ để | x | +1963 đạt giá trị nhỏ Bài Tìm x, y ∈ ¢ biết: | x | + | y |= HƯỚNG DẪN Bài a) −5 + + −15 + −1 = + + 15 + = 24; b) −9 + −7 + −5 + −3 + −1 = + + + + = 25 Bài a) a = −50; b) b = 15; c) c = 10 c = −10 Bài a) x ∈ { ±3; ± 4; ± 5; ± 6; ± 7; ± 8; ± 9} b) x ∈ { 0; ± 1; ± 2; ±3; ± 4; ± 5; ± 6; ± 7} c) x ∈ { ± 5; ± 6; ± 7; ±8; } Bài a) −12 = 12 ; Bài 5: x  thỡ | x | Ơ b) 11 < −13 ; c) −15 > 14 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa Ta có | x | +1963 ≥ 1963 Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ | x | +1963 1963 Bài 6: Ta có: | x |∈ ¥ ; | y |∈ ¥ |x| | y| x ±2 ±1 y ±2 ±1 Bài 2: PHÉP CỘNG SỐ NGUYÊN TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG SỐ NGUYÊN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phép cộng hai số nguyên - Để cộng hai số nguyên dấu ta cộng hai giá trị tuyệt đối chúng đặt trước kết tìm dấu chung chúng - Hai số nguyên đối có tổng - Để cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối chúng (số lớn trừ số nhỏ) đặt kết tìm dấu số có giá trị tuyệt đối lớn Tính chất phép cộng Với a; b; c ∈ ¢ ta có: - Tính chất giao hốn: a + b = b + a - Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) - Cộng với 0: a + = + a = a - Cộng với số đối: a + ( − a ) = − a + a = - Nếu a + b = a = − b b = − a B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN DẠNG 1: Thực phép cộng Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Công Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa I Phương pháp giải - Để thực phép cộng số nguyên, ta cần áp dụng quy tắc cộng hai số nguyên - Tổng số với số dương lớn - Tổng số với số âm nhỏ - Tổng số với - Tổng hai số đối II Bài tập mẫu Bài Tính 1) 2316 + 115 2) ( −315 ) + ( −15) 3) (−215) + 125 4) (−200) + 200 Lời giải 1) 2316 + 115 = 2431 2) ( −315 ) + ( −15) = −( −315 + −15 ) = −(315 + 15) = −330 3) (−215) + 125 = −( −215 − 125) = −(215 − 125) = −90 4) (−200) + 200 = (do 200 –200 hai số đối nhau) Bài So sánh 1) 125 125 + ( −2 ) 2) –13 (–13) + 3) –15 (–15) + (–3) Lời giải 1) Do –2 < nên 125 > 125 + ( −2 ) 2) Do > nên –13 < (–13) + 3) Do –3 < nên –15 > (–15) + (–3) Bài Tính nhận xét kết tìm 1) 52 + ( −23) (−53) + 23 10 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa 2) 15 + ( −15) (−27) + 27 Lời giải 1) 52 + ( −23) = 30 (−53) + 23 = −30 ; 30 –30 hai số đối Nhận xét: Khi đổi dấu số hạng tổng tổng đổi dấu 2) 15 + (−15) = (−27) + 27 = Nhận xét: Tổng hai số đối ln III Bài tập vận dụng Bài Điền số thích hợp vào bảng sau a 13 –5 –12 –10 b 21 –17 25 a+b –10 12 10 –8 –12 Bài Tính giá trị biểu thức a) x + 123 với x = –23 b) (–203) + y với y = 16 c) z + (–115) với z = –20 Bài Hãy so sánh a) 801 + (–65) 801 b) (–125) + 15 (–125) c) (–123) + (–20) (–123) d) 116 + (–20) 116 Bài 4.Tính tổng số nguyên x thỏa mãn: −2009 < x ≤ 2008 Bài a) Viết số dạng tổng hai số nguyên nhau: 86; − 42; − 2286; 2008 b)Viết số dạng tổng ba số nguyên nhau: 33; − 60; + 3000; − 369 Bài 6.Cho tập hợp A = { − 51; 47}; B = {23; −8} Viết tập hợp giá trị biểu thức x + y với x ∈ A; y ∈ B Bài Cho a, b số ngun có bốn chữ số Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tổng a + b 29 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Công Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa −16 = ( −4 ) −25 = ( −5 ) Bài Tính 1999.23 = ( 2000 − 1) 23 = 15977 Suy ra: a) ( −1999 ) 23 = −45977; b) 1999 ( −23) = −45977; c) ( −1999 ) ( −23) = 45977 Bài a) 0; b) −110; c) −110; d) 400 Bài a) x = −11, ( −8 ) ( −11) = 88; b) x = −18, 10 ( −18 ) = −180; c) x = −9, ( −6 ) ( −9 ) = ( −3) ( −18 ) ; d) x = 27, 16 27 = ( −12 ) ( −36 ) Bài a) ( −22 ) ( −5 ) > 0; b) ( −7 ) 20 < −7; c) 13 ( −16 ) < ( −13) ( −16 ) > nên 13 ( −16 ) < ( −13 ) ( −16 ) ; d) ( −39 ) 12 = 39 ( −12 ) Bài Mỗi ngày số vải tăng: S = ( 250 + y ) x + 300.y ( cm ) a) Với x = 10; y = −1 S = 2190; b) x = −10; y = S = −1050; c) x = 5; y = S = 3080; d) x = −10; y = −7 S = −4530 DẠNG Vận dụng tính chất phép nhân I/ Phương pháp giải Để tìm kết phép tính có dấu ngoặc ta thực ngoặc trước, thực theo thứ tự nhân chia trước, cộng trừ sau Cũng áp dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng thực phép tính theo thứ tự Tùy theo trường hợp ta thực tính chất giao hoán kết hợp phép nhân cho việc tính tốn thuận tiện II/ Bài tập mẫu Bài Tính: 1) ( 35 − 15 ) ( −4 ) + 24 ( −13 − 17 ) ; 2) ( −13) ( 57 − 34 ) + 57 ( 13 − 45 ) Lời giải 1) ( 35 − 15 ) ( −4 ) + 24 ( −13 − 17 ) = 20 ( −4 ) + 24 ( −30 ) = −80 − 720 = −800 2) Cách 1: 30 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa ( −13) ( 57 − 34 ) + 57.( 13 − 45 ) = ( −13) 23 + 57 ( −32 ) = −299 − 1824 = −2123 Cách 2: ( −13) 57 − ( −13) 34 + 57.13 − 57.45 = ( −13) 57 + 13.57 + 13.34 − 57.45 = 442 − 2565 = −2123 Bài Thực phép tính cách hợp lí nhất: 1) ( −8 ) ( −12 ) ( −125) ; 2) ( −134 ) + 51.134 + ( −134 ) 48; 3) 45 ( −24 ) + ( −10 ) ( −12 ) Lời giải Vận dụng tính chất giao hốn, kết hợp phân phối phép nhân phép cộng để tính (chú ý số thừa số âm tích số chẵn tích mang dấu “+”, số thừa số âm tích số lẻ tích mang dấu “–” 1) ( −8 ) ( −12 ) ( −125 ) = ( −8 ) ( −125 )  ( −12 ) = 1000 ( −12 ) = −12000; 2) ( −134 ) + 51.134 + ( −134 ) 48 = 134 ( −1 + 51 − 48 ) = 134.2 = 268; 3) 45 ( −24 ) + ( −10 ) ( −12 ) = −45.24 + 5.24 = 24 ( −45 + ) = 24 ( −40 ) = −960 Bài Tính nhanh: 1) ( −49 ) 99; 2) ( −52 ) ( −101) Lời giải Để tính nhanh tích, trước hết ta xác định dấu tích nhận xét: 99 = 100 − 1; 101 = 100 + 1) ( −49 ) 99 = −49.99 = −49 ( 100 − 1) = − ( 49.100 − 49 ) = −4851; 2) ( −52 ) ( −101) = 52.101 = 52 ( 100 + 1) = 5200 + 52 = 5252 III/ Bài tập vận dụng Bài Thực phép tính cách hợp lí nhất: a) ( −25 ) ( −4 ) 50; b) ( −125 ) ( −16 ) ( −8 ) ; c) ( −5) ( −3) 23 ; Bài Tính nhanh: a) ( −48 ) 98 ; 2 d) − ( −4 ) ( −5 ) b) ( −520 ) ( −102 ) ; c) 124 + ( −52 ) 124 + ( −124 ) ( −47 ) ; 31 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Công Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa d) −55.78 + 13 ( −78 ) − 78 ( −65 ) Bài So sánh: a) ( −3) ( −5 ) ( −7 ) ( −9 ) ( −11) với ( −9 ) ( −11) ; b) 18 − ( −13) ( −15 ) ( −17 ) với Bài Cho a = −5, b = −6 Tính giá trị biểu thức: a) a − 2ab + b ( a − b ) ; b) ( a + b ) ( a − b ) a − b ; c) a + 2ab + b ( a + b ) Từ kết nhận được, nêu nhận xét Bài Viết tích sau dạng lũy thừa số nguyên: a) ( −27 ) ( −125 ) ( −64 ) ; b) ( −7 ) ( −49 ) ( −64 ) ( −1000 ) HƯỚNG DẪN Bài a) ( −25) ( −4 ) 50 = ( 2.50 ) ( −25 ) ( −4 )  = 10000; b) ( −125 ) ( −16 ) ( −8 ) = ( −125 ) ( −8 ) ( −16 ) = 1000 ( −80 ) = −80000; c) ( −5) ( −3) 23 = 25.8 ( −27 ) = 200 ( −27 ) = −5400; ( ) 2 d) − −4 ( −5 ) = 16.9.125 = 16.125.9 = 18000 Bài a) ( −48) 98 = − ( 100 − ) 48 = − ( 4800 − 96 ) = −4704; b) ( −52 ) ( −102 ) = 52 ( 100 + ) = 5200 + 104 = 5304; c) 124 + ( −52 ) 124 + ( −124 ) ( −47 ) = 124 ( − 52 + 47 ) = −496; d) −55.78 + 13 ( −78 ) − 78 ( −65 ) = 78 ( −55 − 13 + 65 ) = −234 Bài a) ( −3) ( −5 ) ( −7 ) ( −9 ) ( −11) < (do tích có số lẻ thừa số âm) ( −9 ) ( −11) > => ( −3) ( −5 ) ( −7 ) ( −9 ) ( −11) < ( −9 ) ( −11) Bài Với a = −5, b = −6, ta có: a) a − 2ab + b = ( a − b ) = b) ( a + b ) ( a − b ) = −11 a − b = −11 c) a + 2ab + b = 121 ( a + b ) = 121 Từ kết nhận được, ta thấy: a − 2ab + b = ( a − b ) ; ( a + b) ( a − b ) = a − b2; a + 2ab + b = ( a + b ) Bài a) ( −27 ) ( −125 ) ( −64 ) = −33.23.53.43 = −1203 = ( −120 ) 32 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa 3 3 b) ( −7 ) ( −49 ) ( −64 ) ( −1000 ) = 7.49.8.64.1000 = 10 = 560 DẠNG Tốn tìm x I/ Phương pháp giải - Một tích số thừa số tích Nếu ab = a = b = - Để tìm x cho đẳng thức cần vận dụng định nghĩa tính chất phép nhân, kết hợp với quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế II/ Bài tập mẫu Bài Tìm số nguyên x, biết: 1) ( x − ) = 0; 2) ( − x ) ( x + ) = 0; Lời giải 1) ( x − ) = ⇔ x − = ⇔ x = 0; 3) ( −4 ) x = 20 2) ( − x ) ( x + ) = ⇔ − x = x + = ⇔ x = x = −7; 3) ( −4 ) x = 20 Nhận thấy 20 = ( −4 ) ( −5 ) nên x = −5 Bài Tìm số nguyên x, biết: 1) x + x + x + 91 = −2; 2) −152 − ( 3x + 1) = ( −2 ) ( −27 ) ; 3) 5x + = 11 Lời giải 1) x + x + x + 91 = −2 ⇔ 3.x + 91 = −2 ⇔ 3x = −2 − 91 ⇔ 3x = −93 Do −93 = ( −31) nên x = −31 2) −152 − ( 3x + 1) = ( −2 ) ( −27 ) ⇔ −152 − 3x − = 54 ⇔ 3x = −153 − 54 ⇔ 3x = −207 Do 207 = 3.69, suy x = −69 3) 5x + = 11 ⇔ 5x + = 11 5x + = −11 Với 5x + = 11 ⇔ 5x = 11 − = 10 ⇔ x = Với 5x + = −11 ⇔ 5x = −12 nên khơng có x ngun thỏa mãn Vậy x = III/ Bài tập vận dụng Bài Tìm số nguyên x, biết: a) ( −1005 ) ( x + ) = 0; b) ( + x ) ( − x ) = 0; c) 8x ( − x ) = 0; Bài Tìm số nguyên x, biết: a) x + x + x + 82 = −2 − x; c) ( −1) ( −3) ( −6 ) x = 36; Bài Tìm số nguyên x, biết: a) x − ( −8 ) = −16; c) − 4x = 7; Bài Tìm số nguyên x,biết: d) x − 5x = b) ( −4 ) x = −100; d) −152 − ( 3x + 1) = ( −2 ) ( −77 ) b) − 5x = 24 với x ≤ 0; d) 2x + x − 12 = 60 với x > 12 33 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa a) x ( x − ) = 0; b) x ( x − ) > 0; Bài Tính giá trị biểu thức: a) x + x − với x = −2; b) −5.x x − + 15 với x = −2; c) x ( x − ) < c) − ( x − 1) ( x + ) với x = 3; d) ( 4x − ) ( x − ) với ( x − ) ( x + 3) = HƯỚNG DẪN Bài a) ( −1005) ( x + ) = ⇔ x + = ⇔ x = −2 b) ( + x ) ( − x ) = ⇔ + x = − x = ⇔ x = −8 x = c) 8x ( − x ) = ⇔ x = x = d) x − 5x = ⇔ x ( x − ) = ⇔ x = x = Bài a) x + x + x + 82 = −2 − x ⇔ 4x = −84 ⇔ x = −21; b) ( −4 ) x = −100 ⇔ −20.x = −100 ⇔ x = 5; c) ( −1) ( −3) ( −6 ) x = 36 ⇔ −18.x = 36 ⇔ x = −2; d) −152 − ( 3x + 1) = ( −2 ) ( −77 ) ⇔ 3x = −153 − 144 ⇔ x = −99 Bài a) x − ( −8 ) = −16 ⇔ x − = ⇔ x − = x − = −2 ⇔ x = 11 x = 7; b) Do x ≤ nên − 5x > Từ suy − 5x = 24 ⇔ x = −4 (thỏa mãn x ≤ ) c) − 4x = ⇔ − 4x = − 4x = −7 Tìm x = −2 d) Do x > 12 nên 2x = 2x; x − 12 = x − 12 Từ 2x + x − 12 = 60, suy 3x − 12 = 60 ⇔ x = 24 Bài a) x = x = 2; b) x ∈ { ; −2; −1;3; 4;5; } ; Bài a) Với x = −2 x + x − = ( −2 ) − − = −6; b) Với x = −2 −5.x x − + 15 = −5 ( −2 ) −2 − + 15 = −105 c) Với x = ⇔ x = x = −3; + Khi x = − ( x − 1) ( x + ) = −10; + Khi x = −3 − ( x − 1) ( x + ) = −4 d) Với ( x − ) ( x + 3) = x = x = −3; + Khi x = ( 4x − ) ( x − ) = −15; + Khi x = −3 ( 4x − ) ( x − ) = 170 BÀI 5: BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN c) x = 34 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Với a, b ∈ Z b ≠ Nếu có số nguyên q cho a = b.q ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ướccủa a Nhận xét - Nếu a = b.q ta nói a chia cho b q viết a : b = q - Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số -1 ước số ngun Tính chất Có tất tính chất tập N - Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c a Mb bMc ⇒ a Mc - Nếu a chia hết cho b bội a chia hết cho b a Mb ⇒ ka Mb ( k ∈Z) - Nếu a, b chia hết cho c tổng hiệu chúng chia hết cho c a Mc, bMc ⇒ a + b Mc; a − b Mc - Nếu a, b chia cho c số dư a – b chia hết cho c Nhận xét: - Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho a a = ± b - Nếu a chia hết cho hai số m, n nguyên tố a chia hết cho m.n - Nếu a n chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p - Nếu ab chia hết cho m b, m nguyên tố chung a chia hết cho m - Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DẠNG Tìm bội ước số nguyên I PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Tập hợp bội số ngun a có vơ số phần tử { k.a | k ∈ Z} - Tập hợp ước số số nguyên a ( a ≠ ) ln hữu hạn Cách tìm: Trước hết ta tìm ước số nguyên dương a (làm tập số tự nhiên), chẳng hạn p, q, r Khi − p, − q, − r ước số a Do ước a p, q, r, –p, –q, –r Như số ước nguyên a gấp đôi số ước tự nhiên II BÀI TẬP MẪU Bài 1) Tìm năm bội của: – 5; 5; 35 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa 2) Tìm bội – 12, biết chúng nằm khoảng từ – 100 đến 24 Lời giải 1) Các bội số 5; –5 có dạng 5.k ( k ∈Z) Chẳng hạn chọn năm bội số 5; –5 là: –15, –10, –5, 0, 2) Các bội số –12 có dạng 12.k ( k ∈Z) Cần tìm k cho: –100 < 12k < 24 Tức là: –9 < k < 2, chọn k ∈ { −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1;0;1} Vậy bội –12 nằm khoảng từ –100 đến 24 −96, −84, −72, −60, −48, −36, −24, −12, 0,12 Bài Tìm tất ước của: 1) –3; 2) –25; 3) 12 Lời giải 1) Các ước tự nhiên 1, Do ước –3 −3, −1, 1, 2) Các ước tự nhiên 25 1, 5, 25 Do ước 25 −25, −5, −1, 1, 5, 25 3) Các ước tự nhiên 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Do ước 12 −12, −6, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12 Nhận xét: Số tự nhiên a phân tích thừa số nguyên tố có dạng p n q m r k (p, q, r số nguyên tố) số ước tự nhiên a ( n + 1) ( m + 1) ( k + 1) Khi số nguyên a, –a có ( n + 1) ( m + 1) ( k + 1) ước nguyên Số nguyên tố p có ước nguyên − p, −1, 1, p Bài Tìm số nguyên n để: a) n chia hết cho –2; b) chia hết cho n; c) chia hết cho n + 1; d) n – 18 chia hết cho 17 Lời giải a) n chia hết cho –2, nên n bội Vậy n = 2k (k số nguyên tùy ý) b) chia hết cho n, nên n ước Vậy n ∈ { −8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8} c) chia hết cho n + 1, nên n + ước Suy n + ∈ { −9; −3; −1; 1; 3; 9} Với n + = −9 ⇔ n = −9 − ⇔ n = −10; Với n + = −3 ⇔ n = −3 − ⇔ n = −4; Với n + = −1 ⇔ n = −1 − ⇔ n = −2; Với n + = ⇔ n = − ⇔ n = 0; Với n + = ⇔ n = − ⇔ n = 2; Với n + = ⇔ n = − ⇔ n = −8; Vậy n ∈ { −10; −4; −2; 0; 2; 8} d) n – 18 chia hết cho 17, nên n – 18 bội 17 Do n – 18 = 17k ( k ∈ Z) 36 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa Vậy n = 18 + 17k ( k ∈ Z) III BÀI TẬP Bài 1) Tìm bốn bội –9; 2) Tìm bội –24, biết chúng nằm khoảng từ 100 đến 200 Bài Tìm tất ước của: 1) –17; 2) 49; 3) –100 Bài 1) Tìm tập hợp ƯC(–12; 16); 2) Tìm tập hợp ƯC(15;–18;–20) Bài Tìm số nguyên n để: 1) n chia hết cho 3; 2) –22 chia hết cho n; 3) –16 chia hết cho n – 1; 4) n + 19 chia hết cho 18 Bài Tìm tập hợp BC (15;–12;–30) Bài Cho hai tập hợp A = { 1; 2; 3; 4; 5} B = { −2; −4; −6} a) Viết tập hợp gồm phần tử có dạng a b với a ∈ A, b ∈ B b) Trong tích có tích chia hết cho 5? HƯỚNG DẪN Bài a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; b) 120; 144; 168; 192 Bài a) Ư(–17) = {–17; –1; 1; 17} b) Ư(49) = {–49; –7; –1; 1; 7; 49} c) Ư(100) = {–100; –50; –25; –20; –10; –5; –4; –2; –1; 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100} Bài a) ƯCLN(12; 16) = suy ƯC(–12; 16) = {–4; –2; –1; 2; 4} b) ƯCLN(15; 18; 20) = suy raƯC(15; –18; –20) = {–1; 1} Bài a) n M3 mà (7; 3) = nên n M3 n = 3k ( k ∈ ¢ ) b) −22 Mn nên n ∈ { − 22; − 11; − 2; − 1; 1; 2; 11; 22} c) −16 M( n − 1) nên (n − 1) ∈ { − 16; − 8; − 4; − 2; − 1; 1; 2; 4; 8; 16} Vậy n ∈ { − 15; − 7; − 3; − 1; 0; 2; 3; 5; 9; 17} 37 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Công Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa d) ( n + 19) M18 nên (n + 1) M18 suy n = 18k − (k ∈ ¢ ) Bài BCNN(15; 20; 30) = 60 Suy BC(15; –20; –30) = B(60) = 60k (k ∈ ¢ ) Bài Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {–2; –4; –6} a) C = {ab | a ∈ A; b ∈ B} = { − 2; − 4; − 6; − 8; − 10; − 12; − 16; − 18; − 20; − 24; − 30} ( Chú ý: Các phần tử tập hợp phải khác đơi một) b) Trong tích có tích chia hết cho ứng với a = b ∈ B DẠNG Vận dụng tính chất chia hết số nguyên I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để chứng minh biểu thức A chia hết cho số ngun a; - Nếu A có dạng tích m.n.p cần m (hoặc n, p) chia hết cho a Hoặc m chia hết cho a1 , n chia hết cho a , p chia hết cho a a = a1a 2a - Nếu A có dạng tổng m + n + p cần m, n, p chia hết cho a, tổng số dư chia m, n, p cho a phải chia hết cho a - Nếu A có dạng hiệu m – n cần m, n chia cho a có số dư Vận dụng tính chất chia hết để làm tốn tìm điều kiện để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết II BÀI TẬP MẪU Bài Chứng minh rằng: S = + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 chia hết cho (–6) Lời giải Nhóm tổng S thành tổng bội số (–6) cách: S = ( + 2 ) + ( 23 + 24 ) + ( 25 + 26 ) + ( 27 + 28 ) = + 22.6 + 4.6 + 26.6 Mỗi số hạng tổng S chia hết cho (–6), nên S chia hết cho (–6) Bài Cho số a = −108 + 23 Hỏi số a có chia hết cho (–9) khơng? Lời giải 8 a = −10 + = −10 + + = − 199 +7 gom chu so Số hạng đầu a chia hết cho 9, cịn khơng chia hết a không chia hết cho Do a khơng chia hết cho –9 Bài Cho a, b số nguyên Chứng minh 6a + 11b chia hết cho 31 a + 7b chia hết cho 31 Điều ngược lại có khơng? Lời giải Ta có: 6a + 11b = ( a + 7b ) − 31b (*) 38 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Công Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa 31, 31, 6a + 11bM31, từ (*) suy ( a + 7b ) M Do 31bM Mà 31 nguyên tố nhau, nên suy a + 7bM 31 31, từ (*) suy 6a + 7bM 31 , mà 31bM 31 Ngược lại, a + 7bM Vậy điều ngược lại Ta phát biểu tốn lại sau: “Cho a, b số nguyên Chứng minh 6a + 11b chia hết cho 31 a + 7b chia hết cho 31” Bài Tìm số nguyên x cho: a) 3x + chia hết cho x − 3; Lời giải b) x + ước số x + a) Nhận thấy 3x + = ( x − 3) + ( x − 3) , nên ( 3x + ) M( x − 3) 5M( x − 3) Do ( x − 3) M Suy x − ∈ { −5; −1; 1; 5} Vậy x ∈ { −2; 2; 4; 8} b) Nhận thấy x + = x ( x + 1) − ( x + 1) + Do x ( x + 1) M( x + 1) , nên x + 7M( x + 1) 8M( x + 1) Suy x + ∈ { −8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8} Vậy x ∈ { −9; − 5; − 3; − 2; 0; 1; 3; 7} III BÀI TẬP Bài Chứng minh rằng: S = + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 chia hết cho ( −39 ) Bài Cho số a = 11 11 (gồm 20 chữ số 1) Hỏi số a có chia hết cho 111 không? Bài Cho a, b số nguyên Chứng minh 5a + 2b chia hết cho 17 9a + 7b chia hết cho 17 Bài Tìm số nguyên x cho: a) 2x – chia hết cho x – 1; b) x + ước số x + Bài Tìm cặp số nguyên x, y cho: a) ( x − 1) ( y + 1) = 5; b) x ( y + ) = −8; c) xy − 2x − 2y = Bài Tìm tất cặp số nguyên x, y cho 20x + 10y = 2010 Bài Tìm số nguyên x cho x – bội 15 x + ước số 1001 HƯỚNG DẪN Bài S = + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 = (3 + 32 + 33 ) + (34 + 35 + 36 ) + (37 + 38 + 39 ) = 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)M39 Suy S M39 nên SM(−39) 39 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa Bài Nhận thấy: a = 111.1017 + 111.1014 + 111.1011 + 111.108 + 111.105 + 111.10 + 11 =111.(1017 + 1014 + 1011 + 108 + 105 + 102 ) + 11 => a tổng hai số hạng có số chia hết cho 111, số không chia hết cho 111 nên a không chia hết cho 111 Vậy a không chia hết cho 111 Bài Xét hiệu 5.(9a + 7b) − 9.(5a + 2b) = 17b Nhận thấy 17b M17 nên: Nếu 9a + 7b M17 9.(5a + 2b) M17 , mà (9; 17) = nên 5a + 2b M17 Nếu 5a + 2b M17 5.(9a + 7b) M17 , mà (5; 17) = nên (9a + 7b) M17 Bài a) x − = 2( x − 1) − nên (2 x − 5)M( x − 1) ⇔ 3M( x − 1) ( x − 1)∈{ − 3; − 1; 1; 3} Vậy x − ∈{ − 2; 0; 2; 4} b) Do x + = x ( x + 2) − 2( x + 2) + 12 nên ( x + 8) M( x + 2) ⇔ 12 M( x + 2) Do ( x + 2) ∈{ − 12; − 6; − 4; − 3; − 2; − 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12} Vậy x ∈ { − 14; − 8; − 6; − 5; − 4; − 3; − 1; 0; 1; 2; 4; 10} Bài a) Vì = 5.1 = (−1).( −5) nên ta có trường hợp sau: 1) x − = y + = ⇔ x = y = 2) x − = y + = ⇔ x = y = 3) x − = −1 y + = −5 ⇔ x = y = −6 4) x − = −5 y + = −1 ⇔ x = −4 y = −2 b) ( x; y ) = ( −8; −1); (1; −10); (8; −3);( −1; 6); ( −4; 0); (2; −6); (4; −4); (−2; −6) c) xy − x − y = ⇔ ( x − 2).( y − 2) = 40 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa Do tìm ( x; y ) = (3; 6);(6; 3);(1; −2);( −2; 1);(4; 4);(0; 0) Bài Từ điều kiện đề suy x + y = 201 201 số lẻ 2x số chẵn, suy y số lẻ Khi y có dạng: y = 2k + (k ∈ ¢ ) ⇒ x = 100 − k Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: ( x; y ) = (100; 1); (99; 3); (101; − 1); (98; 5) Bài Ư(1001) = {1001; –1001; 143; –143; 91; –91; 77; –77; 13; –13; 11; –11; 7; –7; 1; –1} Ta có: x – bội 15 nên x – = 15k ( k ∈ ¢ ) ⇔ x + = 15k + ( k ∈ ¢ ) Mà x + ước 1001 nên kiểm tra thấy x + = 77 ⇔ x =76 Vậy x = 76 ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG SỐ NGUYÊN ĐỀ SỐ I.TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3.0 điểm) Mỗi phương án 0, điểm Câu Trong số 3; +6 ; -9 ; Số số nguyên âm A B.+6 C -9 D Câu So sánh A -2 < -7 B -2 > -7 C -9>1 D -9>-1 Câu |x| = giá trị x A B -3 C -3 D Câu Tập hợp ước -8 A {-1; -2; -4; -8} B {1; 2; 4; 8} C {1; 2; 4; 8; -1; -2; -4; -8} D {1; 2; 4; 8; 0; -1; -2; -4; -8} Câu Cho x + (-2019) = (-2019) + 2020 Số nguyên x A -2019 B -2019 -2020 Câu Hai số nguyên đối có tổng C -2020 D 2020 41 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa A B C số nguyên âm II TỰ LUẬN D số nguyên dương (7,0 điểm) Bài (3,0 điểm) Thực phép tính (Khơng dùng máy tính cầm tay) a b c Bài 49 + (–16) + (–49) + (–4) 38 + (-85) 34.(15 –10) – 15.(34 –10) ( 2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết a – (10 – x) = b x = –28 Bài 3: (1,0 điểm) Tìm số nguyên n cho 2n – bội n + Bài 4: (1,0 điểm) Trong thi hái hoa học tập, lớp phải trả lời 20 câu Mỗi câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm, bỏ qua không trả lời điểm Hỏi lớp 6A điểm, biết lớp A trả lời 11 câu, sai câu bỏ qua câu? ĐỀ SỐ I.TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3.0 điểm) Mỗi phương án 0, điểm Câu 1: Cho a số nguyên âm, khẳng định sau sai ? A = a = - a B – a < C a2 > D a3 < Câu 2: Cho a, b hai số nguyên âm, khẳng định sau ? A a.b > B a.b < D a + b ∈ N C a + b > Câu 3: Cho a, b hai số nguyên âm a < b khẳng định sai ? A  a  >  b  B – a > - b C  a  <  b  D a – b > a + b Câu 4: Kết luận sau ? A a – ( b – c ) = a + b + c B a – ( b – c ) = a – b – c C a – ( b – c) = - a – b – c D a – (b – c) = a – b + c Câu 5: Khẳng định sau đúng: A | -8| = -8 B -| -8| = C -(-8) = D -(-8) = -8 42 Tài liệu dạy thêm tốn – GV: Lương Cơng Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa Câu 6: Tổng tất số nguyên a mà -7 < a ≤ A B -7 II TỰ LUẬN C -1 D (7,0 điểm) Bài : Thực phép tính ( 2.0 điểm) a/ (- 38) + 65 +(-62) b/ (-5) 42 (-20) c/ 127.( -26) + 26.37 Bài : Tìm số nguyên x, biết : (2.0 điểm ) a/ x - 11 = -2 b/ x +19 = 15 Bài : (1.0 điểm) a/ Tìm bội -7 b/ Tìm tất ước -4 Bài : (1.0 điểm) Cho 101 số nguyên bất kỳ, số có hai chữ số Chứng minh ln có hai số số cho có hai chữ số tận giống Bài : (1.0 điểm)Cho 2020 số nguyên bất kỳ, số số ln có tích số ngun âm Hỏi tổng 2020 số nguyên số nguyên dương hay nguyên âm? Vì sao? ĐỀ SỐ I.TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3.0 điểm) Mỗi phương án 0, điểm Câu 1: – [7 + - 9] biểu thức sau đây? A -7 – + B -7 – – C – + D – – Câu 2: Tổng số nguyên x cho -5 < x < là: A B -5 C -4 D -9 B -8 C D -6 Câu 3: Giá trị (-2)3 là: A Câu 4: -54 – 18 số sau đây? A 36 B -36 C 72 D -72 43 Tài liệu dạy thêm toán – GV: Lương Công Hiển THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa Câu 5: Trong tập hợp Z ước -12 là: a {1, 3, 4, 6, 12} b {-1; -2; -3; -4; -6; -12; 1; 2; 3; 4; 6; 12} c {-1; -2; -3; -4; -6} d {-2; -3; -4 ; -6; -12} Câu 6: Giá trị x thoả mãn x + = -12 là: a b -8 II TỰ LUẬN c -16 d 16 (7,0 điểm) Bài (3,0 điểm) Tính : a) b) d) e) Bài (2điểm) Tìm a) c) biết : b) c) Bài (1,0 điểm) Tính tổng tất số nguyên x thỏa mãn : Bài 5: (1,0 điểm).Có tồn hay khơng số ngun a,b,c,d thỏa mãn đồng thời a.b.c.d-a = 2019; a.b.c.d- b = 2017; a.b.c.d- c = 2015 a.b.c.d- d = 2021 ... 43 + (? ??215) + (? ??25) 2) (? ??312) + (? ??327) + (? ??28) + 27 Lời giải 1) 215 + 43 + (? ??215) + (? ??25) = [(2 15 + (? ??215)] + (? ??25) + 43 = 43 – 25 = 18 2) (? ??312) + (? ??327) + (? ??28) + 27 = [(? ??312) + (? ??28)] + [(? ??327)... ) ( −64 ) ( −1000 ) HƯỚNG DẪN Bài a) ( −25) ( −4 ) 50 = ( 2.50 ) ? ?( −25 ) ( −4 )  = 10000; b) ( −125 ) ( −16 ) ( −8 ) = ( −125 ) ( −8 ) ( −16 ) = 1000 ( −80 ) = −80000; c) ( −5) ( −3)... Số tự nhiên a phân tích thừa số ngun tố có dạng p n q m r k (p, q, r số nguyên tố) số ước tự nhiên a ( n + 1) ( m + 1) ( k + 1) Khi số nguyên a, –a có ( n + 1) ( m + 1) ( k + 1) ước nguyên Số