ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRỊNH VĂN DŨNG CÁC ĐƯỜNG TRÒN LEMOINE VÀ HỌ CÁC ĐƯỜNG TRỊN TUCKER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRỊNH VĂN DŨNG CÁC ĐƯỜNG TRÒN LEMOINE VÀ HỌ CÁC ĐƯỜNG TRÒN TUCKER Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2020 i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K12B; Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục Đào tạo Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K12B ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Trịnh Văn Dũng ii Danh mục hình 1.1 Ba đường đối trung đồng quy điểm Lemoine 1.2 Tính chất đường đối trung tam giác 1.3 L trọng tâm tam giác pedal 10 1.4 Hai đường đối song 14 1.5 Các cạnh đối song DE F K tam giác ABC 14 1.6 Mệnh đề 1.2.6 15 2.1 Đường tròn Lemoine thứ 2.2 Đường tròn Lemoine thứ hai 2.3 Dựng điểm Lemoine 2.4 Độ dài đường song song Lemoine 2.5 Độ dài đường đối song Lemoine 2.6 Tính bán kính đường trịn Lemoine thứ 35 2.7 Trục đẳng phương hai đường tròn Lemoine 2.8 Đường tròn Lemoine thứ ba 38 27 28 30 31 33 37 2.9 L trọng tâm ∆AAb Ac , ∆Ba BBc , ∆Ca Cb C 39 1 2.10 Bm K = BO = R 40 2 2.11 Các điểm S, L, K, M, U thẳng hàng 43 3.1 Lục giác Tucker 45 3.3 √ AKa : Ka L = λt : (2 ν − λt) 47 √ OK(t) : K(t)L = λt : νt 49 3.4 Các đường tròn Lemoine Ln , n = 0, 1, 2, 3.5 Các đường tròn Q.T.Bui 3.6 Đường tròn Taylor 54 3.2 52 53 iii 3.7 Đường tròn Gallatly 55 3.8 Hai đường tròn van Lamoen Kenmotu 56 3.9 Hai đường tròn van Lamoen Kenmotu 57 3.10 Hai đường tròn Tucker 59 3.11 Hai đường tròn Tucker tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp 62 iv Mục lục Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đường đối trung điểm Lemoine 1.1.1 Đường đối trung số tính chất 1.1.2 Tính chất điểm Lemoine 1.2 Đường đối song đường đối song Lemoine 13 1.3 Tọa độ Barycentric 17 1.3.1 Định nghĩa tính chất 17 1.3.2 Một số kết tọa độ barycentric 19 Chương Các đường tròn Lemoine 26 2.1 Đường tròn Lemoine thứ thứ hai 26 2.2 Một số cơng thức tính độ dài 30 2.3 Đường tròn Lemoine thứ 38 Chương Họ đường tròn Tucker trường hợp đặc biệt 44 3.1 Đường tròn Tucker C(t) 45 3.2 Một số đường tròn Tucker đặc biệt 51 3.3 Các đường tròn Tucker 58 3.4 Các đường tròn Tucker trực giao tiếp xúc 59 Tài liệu tham khảo 65 Giới thiệu luận văn Mục đích đề tài luận văn Các yếu tố hình học xung quanh đường tròn Lemoine phong phú, liên quan sâu sắc đến vấn đề đường tròn hình học sơ cấp Đó khái niệm: Điểm Lemoine, trục Brocard, đường thẳng Lemoine, lục giác Lemoine, lục giác Tucker Bằng cách tham số hóa ta xây dựng họ đường trịn Tucker với phương trình tổng quát tọa độ barycentric vấn đề khác Đó lý để tơi chọn đề tài Các đường tròn Lemoine họ đường tròn Tucker” làm luận văn thạc sĩ Mục đích đề tài là: - Trình bày đường trịn Lemoine gồm đường tròn Lemoine thứ nhất, đường tròn Lemoine thứ hai đường tròn Lemoine thứ ba tam giác ABC Bố cục chung xác định tâm, tính bán kính tính chất đặc trưng đường tròn Lemoine - Bằng cách sử dụng tọa độ barycentric, mở rộng lục giác Lemoine sang lục giác Tucker, tổng qt hóa đường trịn Lemoine thành họ đường trịn Tucker theo tham số t Từ quay trở lại xác định trường hợp đặc biệt khác họ đường tròn Tucker ứng dụng họ đường trịn Tài liệu tham khảo báo [4] đăng năm 2017 hai nhà hình học tên tuổi Sandor Nagydobai Kiss (Romania) Paul Yiu (USA) - Bồi dưỡng học sinh phổ thơng có khiếu Tốn, nâng cao khai thác chun đề hình học hay khó, chưa hệ thống giới thiệu chương trình Hình học phổ thơng giáo trình Hình học sơ cấp 2 Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Dựa vào tài liệu [1] [4], luận văn trình bày kiến thức bổ sung gồm đường đối trung, điểm Lemoine, đường song song, hệ tọa độ barycentric Từ nghiên cứu ba đường trịn Lemoine, tổng qt hóa nghiên cứu họ đường tròn Tucker phụ thuộc tham số độ dài t ứng dụng liên quan Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức bổ sung là: Đường đối trung, điểm Lemoine, đường đối song tọa độ barycentric Nội dung chương bao gồm (có tham khảo chọn lọc [1], [6]): 1.1 Đường đối trung điểm Lemoine 1.2 Đường đối song đường đối song Lemoine 1.3 Tọa độ barycentric Chương Các đường tròn Lemoine Xây dựng đường tròn Lemoine dựa vào khái niệm đường đối song, đường đối trung, điểm Lemoine, lục giác Lemoine, Phát biểu chứng minh tính chất đặc trưng đường tròn Lemoine Chương bao gồm (có tham khảo chọn lọc [5]): 2.1 Đường tròn Lemoine thứ thứ hai 2.1 Một số cơng thức tính độ dài 2.4 Đường trịn Lemoine thứ ba Chương Họ đường tròn Tucker ứng dụng Dựa vào khái niệm lục giác Tucker (tổng quát hóa từ lục giác Lemoine), tiến hành tham số hóa theo độ dài cạnh đối song thu họ đường trịn Tucker Từ phương trình tổng qt lại nhận nhiều trường hợp đặc biệt ứng dụng họ đường tròn Nội dung chương bao gồm (có tham khảo chọn lọc [4]): 3.1 Lục giác Tucker đường tròn Tucker C(t) 3.2 Một số đường tròn Tucker đặc biệt 3.3 Các đường tròn Tucker 3.4 Các đường tròn Tucker trực giao tiếp xúc KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu L T T S O9 σ P L1 ≡ (O1 , R1 ) L2 ≡ (O2 , R2 ) 10 OL 11 ω 12 L3 ≡ (O3 , R3 ) 13 C (t) Nội dung ký hiệu Trang Điểm Lemoine tam giác Là tâm vị tự đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 18 Là tâm vị tự ngồi đường trịn nội tiếp ∆ABC 18 Là diện tích ∆ABC 18 Là tâm Euler 18 hai lần diện tích ∆ABC 20 Là trọng tâm tam giác pedal 20 Đường tròn Lemoine thứ 28 Đường tròn Lemoine thứ hai 29 Trục Brocard 29 Góc Brocard 36 Đường trịn Lemoine thứ ba 38 Họ đường tròn Tucker tham số t 44 51 Chứng minh Từ tọa độ đỉnh lục giác J (t) cho (3.1) ta xác định phương trình đường trịn Tucker dạng (theo [?]): a2 yz + b2 zx + c2 xy − (x + y + z)(px + qy + rz) = 0, p, q, r số Ta biết p, q, r tương ứng phương trình tích A, B, C đối xứng với đường trịn Tucker C(t) Điều nghĩa p = ABa ABc = b tương tự: q = ct ab b bc − at bc = t(bc − at) , a t(ca − bt) t(ab − ct) ,r= Do phương trình C(t) b c (a2 yz + b2 zx + c2 xy) −(x + y + z)t bc ca −t x+ −t y+ a b ab −t z c = Từ dễ dàng suy phương trình (3.10) Hệ 3.1.2 Trục đẳng phương đường tròn Tucker phân biệt đường thẳng song song với trục Lemoine Chứng minh Vì tâm đường trịn Tucker nằm trục Brocard nên trục đẳng phương hai đường trịn Tucker đường thẳng vng góc với trục Brocard OL song song với trục Lemoine 3.2 Một số đường tròn Tucker đặc biệt (a) Các đường tròn lemoine Các đường tròn Lemoine tiếng trường hợp đặc biệt đường tròn Tucker với tham số cụ thể Thật vậy, với n = 1, 2, √ đường tròn Lemoine thứ n đường tròn Tucker ứng n ν : với tham số tn = λ Hình 3.4 biểu diễn đường tròn Lemoine với n = 1, 2, Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC coi đường tròn Lemoine với n = Các đỉnh lục giác Lemoine tương ứng dựng sau: 52 Hình 3.4: Các đường trịn Lemoine Ln , n = 0, 1, 2, (1) Bc,1 , Cb,1 giao đường thẳng qua L song song với BC cạnh AC, AB tương ứng, (2) Ba,2 , Ca,2 giao đường thẳng qua L đối song với BC cạnh AC, AB tương ứng, (3) Ba,3 , Ca,3 giao đường tròn (LBC) với cạnh AC, AB , tương ứng (b) Đường tròn Q.T Bui (Bùi Quang Tấn), [5] Q.T Bui xét ba đường tròn qua điểm Lemoine L tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp (ABC) đỉnh Như đường tròn qua L tiếp xúc (ABC) cắt AC Bc , cắt AB Cb , Hình 3.5 Tương tự có điểm Ca , Ac Ab , Ba Tọa độ chúng Ba = (2a2 + 2b2 − c2 : : 3c2 ); Ca = (2c2 + 2a2 − b2 : 3b2 : 0) Cb = (3a2 : 2b2 + 2c2 − a2 : 0); Ab = (0 : 2a2 + 2b2 − c2 : 3c2 : 0) Ac = (0 : 3b2 : 2c2 + 2a2 − b2 ); Bc = (3a2 : : 2b2 + 2c2 − a2 ) 53 Hình 3.5: Các đường trịn Q.T.Bui √ ν điểm nằm đường tròn Tucker với tham số t = , bán kính λ 9µ − 2λ2 RB = R, tâm điểm X(575) chia đoạn OL theo tỷ số : 2λ (c) Đường tròn Taylor Đối với lục giác Taylor Bc Cb Ca Ac Ab Ba (Hình 3.6), giao hai cạnh đối song trung điểm cạnh thứ ba tam giác trực tâm tam giác, tức Cb Ab Ac Bc cắt trung điểm Ma Hb Hc Tương tự cặp cạnh Ta có cơng thức đơn giản tính bán kính đường trịn Taylor Mệnh đề 3.2.1 Bán kính đường tròn Taylor RT = R sin2 A sin2 B sin2 C + cos2 A cos2 B cos2 C √ ν Chứng minh Tham số hóa lục giác Taylor t = , theo tính chất 4R2 3.4, bán kính RT đường trịn Taylor cho √ √ √ ν ν µ − λ ν +ν 4R2 4R2 RT = 4S 54 Hình 3.6: Đường trịn Taylor µ − 4R2 λ + 16R2 = ν 16R2 4S µ − 4R2 λ + 16R2 = −4R2 S 16R4 4S 2 µ − 4R λ + 16R4 = 16R2 2 b c + c2 a2 + a2 b2 − 4(a2 + b2 + c2 )R2 + 16R4 = 16R2 Với a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C đẳng thức trở thành RT2 = R2 (sin2 B sin2 C + sin2 C sin 2A + sin2 A sin2 B) − (sin2 A + sin2 B + sin2 C) + 1) = R2 (sin2 A sin2 B sin2 C + (1 − sin2 A)(1 − sin2 B)(1 − sin2 C)) = R2 (sin2 A sin2 B sin2 C + cos2 A cos2 B cos2 C) Mệnh đề được chứng minh (d) Đường tròn Torres Giả sử A , B , C đối xứng A, B, C qua cạnh đối diện Đó A = (−a2 : a2 + b2 − c2 : c2 + a2 − b2 ) B = (a2 + b2 − c2 : −b2 : b2 + c2 − a2 ) 55 C = (c2 + a2 − b2 : b2 + c2 − a2 : −c2 ) Các vết A , B , C cạnh tam giác ABC điểm: Vết Ba A AC có tọa độ (a2 b2 − 2S : : 2S ), Vết Ca A AB có tọa độ (c2 a2 − 2S : 2s2 : 0), Vết Cb B AB có tọa độ (2S : b2 c2 − 2S : 0), Vết Ab B BC có tọa độ (0 : a2 b2 − 2S : 2S ), Vết Ac C BC có tọa độ (0 : 2S : c2 a2 − 2S ), Vết Bc C AC có tọa độ (2S : : b2 c2 − 2S ) J Torres chứng minh đươc điểm đỉnh lục giác Tucker tâm đường tròn Tucker điểm X(52), trực tâm S tam giác Ha Hb Hc Đó đường trịn Tucker J R Hình 3.7: Đường trịn Gallatly (e) Đường trịn Gallatly Từ cơng thức (3.8) bán kính của√đường trịn C(t) ta ý đến giá trị λ ν cực tiểu R(t) đạt t = Đây tham số đường trịn 2µ Gallatly với tâm điểm X(39), trung điểm đoạn thẳng nối điểm Brocard Điều kéo theo đường trịn Gallatly đường trịn Tucker nhỏ nhất, hình (3.7) (f) Các đường trịn van Lamoen Kenmotu 56 Van Lamoen giải thích phép dựng lục giác Tucker cho tâm trục Brocard, xem [5] Dergiades thay đổi phép dựng cách sử dụng phép quay cạnh tam giác ABC quanh tâm Giả sử tâm điểm liên hợp đẳng giác tâm phối cảnh Kiepert K(θ) Khi quay cạnh BC, CA, AB quanh tâm K ∗ (θ), góc quay 2θ chúng cắt cạnh CA, AB, BC tương ứng Bc , Ca , Ab Từ điểm kẻ song song với BC, CA, AB cắt AB, BC, CA Cb , Ac , Ba Khi đường thẳng Ba Ca , Cb Ab , Ac Bc đường đối song Bc Cb , Ca Ac , Ab Ba đường song song lục giác Tucker với tâm K ∗ (θ) Chẳng hạn π , = ±1, ta nhận hai lục giác Tucker mà tâm điểm với θ = isodynamic (điểm đẳng động) J , lục giác chứa tam giác có đỉnh chung, Hình 3.8 a, b Hình 3.8: Hai đường trịn van Lamoen Kenmotu (g) Các đường tròn Tucker qua đỉnh bc Với tham số t = nhận đường tròn A−Tucker qua đỉnh A Các a đỉnh lục giác Tucker Baa = (a2 − c2 : : c2 ); Cba = (1 : : 0); Caa = (a2 − b2 : b2 : 0); Aab = (0 : a2 − c2 : c2 ); Aac = (0 : b2 : a2 − b2 ); Bca = (1 : : 0) 57 Các đường thẳng AAab , AAac đường đối song lục giác, độ dài bc chúng Vì tâm đường tròn A−Tucker Ca nằm đường a cao tam giác ABC (và đương nhiên nằm trục Brocard OL) Đó điểm (Hình 3.9) La = (2a2 (2S − b2 c2 ) : b2 c2 (a2 + b2 − c2 ) : b2 c2 (c2 + a2 − b2 )) Hình 3.9: Hai đường trịn van Lamoen Kenmotu Hoàn toàn tương tự ta xác định đường tròn B−Tucker C−Tucker (g) Đường tròn Apollonius Sau bảng liệt kê đường tròn biết thành viên họ đường tròn Tucker, Bảng 3.1, riêng hai công thức (a), (b) dài, xem trực tiếp mệnh đề 58 Đường trịn Tucker Tham số Tucker Tâm Bán kính L1 = X(182) R2 + t21 √ ν = t1 λ R2 + t23 √ Đường tròn Lemoine L1 Đường tròn Lemoine L2 Đường tròn Lemoine L3 Đường tròn Bui Đường tròn Apollonius A Đường tròn Taylor Đường trònTorres Đường tròn Gallatly Đường tròn van Lamoen Đường tròn van Lamoen Đường tròn Kenmotu Đường tròn Kenmotu ν λ √ t2 = λ ν √ t1 = λ ν √ t3/2 = 32λν = −p = −(a+b+c) −S t = 2R t = RS √ t = λ2µν √ ν √ t = λ+2 √ 3S ν √ t = λ−2 √ 3S ν t = λ+2S √ ν t = λ−2S t1 = t L2 = L = X(6) L3 = 2L2 − L1 X(575) = 32 L2 − L1 2 R + t23/2 X(970) p2 +r2 4r X(380) (a) R = RTa X(52) (b) R = RTo X(39) X(15) X(16) X(371) X(372) √ ν √ µ √ ν √ λ+2√ 3S ν √ λ−2 √ √3S ν λ+2S √ √ ν λ−2S Bảng 3.1: Các trường hợp đặc biệt họ đường tròn Tucker 3.3 Các đường tròn Tucker Giả sử C(t) C(t √ tròn Tucker phân biệt √ ) đường τ ν τ ν Ta viết t = t = với τ = τ Theo (3.8) ta có λ λ (τ + τ − 4)R2 + (τ + τ )ν = λ2 4R2 4λ2 4λ2 λ2 4R2 Từ đó, τ + τ = = = = = 2 + 4R2 S R + λν2 λ + 4S 4µ µ R λ2 √ λ ν Nói cách khác, t + t = Từ ta có kết µ Mệnh đề 3.3.1.√Hai đường tròn Tucker C(t) C(t ) λ ν t + t = µ Mệnh đề 3.3.2 Hai đường trịn Tucker C(t) C(t ) chúng đối xứng qua đường thẳng nối điểm Brocard ΩΩ 59 Hình 3.10: Hai đường trịn Tucker 3.4 Các đường tròn Tucker trực giao tiếp xúc Mệnh đề 3.4.1 Khoảng cách d(t, t ) đường tròn Tucker C(t) C(t ) cho (t − t)2 (λ2 − 3µ) 4S Chứng minh Độ dài đoạn thẳng OL tính theo công thức [d(t, t )] = (3.11) − sin2 ω R , OL = cos2 ω S2 với ω góc Brocard thỏa mãn ω = (xem [5]) Do đó, µ µ − (4µ − λ2 ) ν µ − 4S ν (µ − 4S ).ν (λ2 − 3µ)ν OL = = = = µ − S 4S 4S (µ − S ) S λ2 S λ2 Theo tính chất 3.3a, K(t) K(t ) chia đoạn OL theo tỷ số λt λt λt λt √ : 1− √ √ : − √ tương ứng, khoảng cách ν ν ν ν λ d(t, t ) = √ (t − t).OL Điều kéo theo ν [d(t, t )] = λ2 (λ2 − 3µ) (t − t)2 = (t − t)2 (λ2 − 3µ) 4ν S λ 4S 60 Đó điều phải chứng minh • Trường hợp hai đường tròn trực giao: Cho trước đường tròn Tucker C(t) ta tìm điều kiện để đường trịn C(t ) trực giao với C(t) Hai đường trịn trực giao R(t )2 + R(t)2 = d2 (t, t ), tương đương với √ √ √ (µt2 − λ νt + ν) + (µt − λ νt + ν) = (λ2 − 3µ)(t − t)2 Ta viết thành phương trình bậc t : √ √ (4µ − λ2 )t + 2(λ2 − 3µ)t − λ ν t + (4µ − λ2 )t2 − λ νt + 2ν = Biệt thức phương trình √ √ 2(λ2 − 3µ)t − λ ν − 4µ − λ2 4µ − λ2 t2 − λ νt + 2ν √ = 4µ(2λ2 − 7µ)t2 − 4λ ν(2λ2 − 7µ)t + (9λ2 − 32µ)ν √ = 4µ(2λ2 − 7µ)(µt2 − λ νt + ν) − (4µ − λ2 )ν √ (2λ2 − 7µ)(2µt − λ ν)2 − 2(4µ − λ2 )2 ν = µ Từ ta kết luận được: √ Mệnh đề 3.4.2 Đặt F := (2λ2 − 7µ)(2µt − λ ν)2 − 2(4µ − λ2 )2 ν (a) Khơng có đường tròn Tucker trực giao với C(t) F < 0, (b) Có đường trịn Tucker trực giao với C(t) F = 0, (c) Có hai đường trịn Tucker trực giao với C(t) F > √ λ ν Ví dụ 3.4.1 Đối với đường trịn Gallatly có t = , biệt thức 2µ Mệnh đề 3.4.2 F = −2(4µ − λ2 )2 ν < nên ta khẳng định: Khơng có đường trịn Tucker trực giao với đường trịn Gallatly Ví dụ 3.4.2 Đối với đường tròn ngoại tiếp t = Một đường Tucker tham số t trực giao với đường trịn ngoại tiếp √ (4µ − λ2 )t2 − λ νt + 2ν = 61 Phương trình có biệt thức ∆ = λ2 ν − 8(4µ − λ2 )ν = (9λ2 − 32µ)ν Bỏ qua ν = a2 b2 c2 , thay λ = a4 + b4 + c4 , µ = b2 c2 + c2 a2 + a2 b2 ta thu ∆ (a, b, c) = 9(a4 + b4 + c4 ) − 14(b2 c2 + c2 a2 + a2 b2 ) Tùy theo cạnh tam giác cho mà tồn không tồn đường tròn Tucker trực giao với đường tròn ngoại tiếp Chẳng hạn: - Tam giác cạnh (2, 3, 4) có ∆ (2, 3, 4) < nên ta kết luận khơng có đường trịn Tucker trực giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác (2, 3, 4) - Tuy nhiên, tam giác cạnh (2, 4, 5) dễ thấy ∆ (2, 4, 5) > nên có đường tròn Tucker trực giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác (2, 4, 5) - Với tam giác Pythagore (3, 4, 5), ∆ (3, 4, 5) = 8658−10766 < lại khơng có đường trịn Tucker trực giao với đường trịn ngoại tiếp • Trường hợp hai đường trịn tiếp xúc Mệnh đề 3.4.3 Nếu tam giác ABC không ln có hai đường trịn Tucker tiếp xúc với đường tròn Tucker C(t) cho trước Chứng minh Đường tròn Tucker C(t ) tiếp xúc với đường tròn Tucker C(t) (R(t)+R(t ) = d(t, t ))(R(t)−R(t )−d(t, t ))(−R(t)+R(t )−d(t, t )) = Sau nhân vế với R(t) + R(t )d(t, t ) > rút gọn ta 2R(t)2 R(t )2 + R(t)2 + R(t )2 d(t, t )2 − R(t)4 − R(t )4 − d(t, t )4 = (4µ − λ2 )(t − t )2 Biểu thc ú l ì 16S ì(4à − λ2 )t + (λ2 − 2µ)t − λ ν t + (4µ − λ2 )t2 − 2λ νt + 3ν Nhân tử thứ hai tam thức bậc hai theo t có hệ số cao (4µ−λ2 ) = biệt thức √ √ ∆ = (λ2 − 2µ)t − λ ν t − 4(4µ − λ2 ) (4µ − λ2 )t2 − 2λ νt + 3ν √ = 16(λ2 − 3µ)(µt2 − λ νt + ν) = 16(λ2 − 3µ).4S R(t)2 > 0, Vì λ2 − 3µ > (theo Bổ đề 3.1.1) R(t) > với t nên có hai đường trịn Tucker phân biệt tiếp xúc (có thể tiếp xúc ngồi) với đường trịn Tucker C(t) cho trước 62 Hình 3.11: Hai đường trịn Tucker tiếp xúc đường trịn ngoại tiếp Ví dụ 3.4.3 Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có t = Hai đường trịn Tucker tiếp xúc với (ABC) có tham số hóa λ ± λ2 − 3µ √ t = ν, 4µ − λ2 biểu diễn Hình 3.11 Mệnh đề 3.4.4 Phương trình họ đường tròn Tucker tọa độ barycentric (phụ thuộc tham số t): C(t) : (a2 yz + b2 zx + c2 xy)− −(x + y + z) bc ca ab x + y + z t + (x + y + z)2 t2 = a b c (3.12) Chứng minh Từ tọa độ đỉnh lục giác J (t) cho Hình 3.1 ta xác định phương trình đường tròn Tucker dạng (theo [?]): a2 yz + b2 zx + c2 xy − (x + y + z)(px + qy + rz) = 0, p, q, r số Ta biết p, q, r tương ứng phương tích A, B, C đường trịn Tucker C(t) Điều nghĩa p = ABa ABc = b ct ab b bc − at bc = t(bc − at) , a 63 tương tự: q = t(ca − bt) t(ab − ct) ,r= Do phương trình C(t) b c bc − t x+ a ca ab −t y+ −t z + b c (a2 yz + b2 zx + c2 xy) − (x + y + z)t = Từ dễ dàng suy phương trình (3.12) Hệ 3.4.1 Trục đẳng phương đường tròn Tucker phân biệt đường thẳng song song với trục Lemoine Chứng minh Vì tâm đường tròn Tucker nằm trục Brocard nên trục đẳng phương cuả hai đường tròn Tucker đường thẳng vng góc với trục Brocard OL song song với trục Lemoine Rõ ràng việc tổng quát hóa kết Chương để họ đường tròn Tucker C(t) thu nhiều kết mới, đặc biệt ta phát nhiều trường hợp đặc biệt khác đường trịn Lemoine Cơng cụ tọa độ barycentric lần tỏ có ích nghiên cứu đường tròn 64 Kết luận luận văn Luận văn trình bày kết sau: Định nghĩa khái niệm đường đối trung, điểm Lemoine tính chất đặc trưng điểm Khái niệm đường tròn Lemoine thứ nhất, thứ hai thứ ba cách dựng, tính chất chúng Luận văn lưu ý đến số hệ thức hình học liên quan đến tâm bán kính Lemoine Tổng quát hóa đường trịn Lemoine, xây dựng họ đường tròn Tucker xét trường hợp đặc biệt Sử dụng phương trình họ Tucker để tìm đường trịn Tucker nhau, đường tròn Tucker trực giao tiếp xúc Chúng tơi nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: - Nghiên cứu sâu đường tròn Tucker đặc biệt - Mở rộng kết họ đường tròn Tucker phương pháp tọa độ phương pháp khác Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Tác giả mong góp ý, bổ sung thầy cô giáo đồng nghiệp nhằm làm cho kết nghiên cứu hồn chỉnh có ích Xin chân thành cảm ơn! 65 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Dechen, X.J., (Bản dịch tiếng Việt Đoàn Như Kim), 1963, Hình học tam giác, NXB Giáo dục Tiếng Anh [2] Grinberg, D., Ehramn’s Lemoine circle, Mathematical Reflections, Vol [3] Kimberling,C., 2000, Encyclopedia of Triangle Centers, available at http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html [4] Kiss, S., N.,Yiu, P., 2017, On the Tucker Circles, Forum Geom., Volume 17, 157-175 [5] Patrascu, I., Smarandache, F., 2016, Complements to Classic Topics of Circles Geometry, Pons Editions Brussels [6] Yiu, P., 2001, Introduction to the Geometry of the Triangle, Florida Atlatic University Lecture Notes ... chương bao gồm (có tham khảo chọn lọc [4]): 3.1 Lục giác Tucker đường tròn Tucker C(t) 3.2 Một số đường tròn Tucker đặc biệt 3.3 Các đường tròn Tucker 3.4 Các đường tròn Tucker trực giao tiếp xúc... Chương Các đường tròn Lemoine Xây dựng đường tròn Lemoine dựa vào khái niệm đường đối song, đường đối trung, điểm Lemoine, lục giác Lemoine, Phát biểu chứng minh tính chất đặc trưng đường trịn Lemoine. .. bày đường tròn Lemoine gồm đường tròn Lemoine thứ nhất, đường tròn Lemoine thứ hai đường tròn Lemoine thứ ba tam giác ABC Bố cục chung xác định tâm, tính bán kính tính chất đặc trưng đường tròn