BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH Ngành : Tốn học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Vũ Thị Ngọc Hà PGS TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2020 LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Bách khoa Hà Nội hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà (Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) PGS TS Đặng Đình Châu (Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội) Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai người hướng dẫn mình, người tận tình bảo hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận án Tơi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy, nhà khoa học, người thầy vô mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong thời gian làm nghiên cứu sinh Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, nhận nhiều tình cảm giúp đỡ thầy mơn Tốn Cơ bản, thầy Viện Tốn Ứng dụng Tin học Đặc biệt nhứng đóng góp, chia sẻ, động viên thành viên nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng” Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành, xin chân thành cảm ơn đến thầy cô thành viên nhóm seminar Nhân dịp này, tơi bày tỏ cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên chia sẻ khó khăn sống, giúp tơi vững tâm học tập nghiên cứu Nghiên cứu sinh i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình có trễ trung tính cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà PGS TS Đặng Đình Châu Các kết luận án hoàn toàn trung thực chưa tác giả khác công bố cơng trình nghiên cứu khác Hà Nội, ngày tháng năm Tập thể hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà Nghiên cứu sinh PGS TS Đặng Đình Châu ii Trịnh Xuân Yến MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài 2 Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án Cấu trúc luận án Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 10 Không gian hàm 10 1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận 10 1.1.2 Bất đẳng thức nón 13 Nửa nhóm 14 1.2.1 Nửa nhóm, toán tử sinh giải thức 14 1.2.2 Ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm 15 Nhị phân mũ, tam phân mũ họ tiến hóa 17 Chương ĐA TẠP TÍCH PHÂN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH 20 2.1 Đa tạp ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính nửa trục 2.2 Đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính 2.3 22 39 Đa tạp không ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính iii 42 Chương ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH TRÊN NỬA TRỤC 3.1 70 Sự tồn nghiệm đa tạp ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính 3.2 73 Đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính 91 Chương ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VƠ HẠN 95 4.1 Khơng gian giảm nhớ 96 4.2 Đa tạp ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vơ hạn 4.3 98 Đa tạp tâm ổn định bất biến phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vơ hạn KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 115 119 Những kết đạt 119 Đề xuất số hướng nghiên cứu 119 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 CHỈ MỤC 128 iv MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm Lp (R) := u:R→R: u |u(x)|p dx)1/p < +∞ , ≤ p < ∞ =( p R L∞ (R) := {u : R → R : u ∞ = ess sup |u(x)| < +∞} x∈R L1,loc (R) := {u : R → R | u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R} ω ⊂⊂ R nghĩa bao đóng ω tập compact R t+1 M(R+ ) := |f (τ )|dτ < ∞ , f ∈ L1, loc (R+ ) : sup t≥0 t t+1 với chuẩn f M |f (τ )|dτ := sup t≥0 t EI : không gian hàm Banach chấp nhận I X : không gian Banach C := C([−r, 0], X) không gian hàm u(·) liên tục [−r, 0], r > 0, nhận giá trị X trang bị chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] Cγ : không gian hàm φ(·) liên tục (−∞, 0], nhận giá trị X lim θ→−∞ φ(θ) = 0, trang bị chuẩn e−γθ φ(θ) φ γ = sup −γθ , γ > θ≤0 e Cb (R+ , X) : không gian hàm u(·) liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, xác định R+ trang bị chuẩn u ∞ = sup u(t) t∈R+ MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định đa tạp tâm vấn đề cốt yếu việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình có trễ trung tính Việc nghiên tồn đa tạp tích phân ln thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mặt khác mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến địa phương xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Mặt khác, nhờ tính hút đa tạp bất biến, ta sử dụng nguyên lý thu gọn để đưa việc nghiên cứu phương trình vi phân (đạo hàm riêng) ban đầu phương trình đơn giản đa tạp từ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian đủ lớn Các kết ban đầu thu Hadamard [1], Perron [2, 3], Bigoliubov Mitropolsky [4, 5] tồn đa tạp bất biến phương trình vi phân Rn Sau đó, Daleckii Krein [6] chứng minh tồn đa tạp bất biến nghiệm phương trình nửa tuyến tính khơng gian Banach với tốn tử tuyến tính bị chặn Tiếp theo, Henry [7] phát triển kết tồn đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) tốn tử đạo hàm riêng khơng giới nội Về sau, nhờ phát triển mạnh mẽ giải tích hàm đại lý thuyết nửa nhóm tham số, kết tồn đa tạp tích phân chuyển sang nấc thang cho lớp phương trình tổng quát bao gồm phương trình đạo hàm riêng có trễ trung tính (xem [8, 9, 10, 11, 12]) Huy [13] tồn của đa tạp bất biến phương trình tiến hóa khơng ơtơnơm nửa tuyến tính khơng gian Banach với số hạng phi tuyến ϕ-Lipschitz, q trình khó khăn phức tạp Hơn nữa, Huy [14] chứng minh tồn loại đa tạp bất biến mới, cụ thể đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận Những đa tạp bao gồm quỹ đạo nghiệm thuộc vào lớp không gian hàm Banach chấp nhận được, khơng gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q nhiều không gian khác thường gặp lý thuyết nội suy Nhìn vào lịch sử q trình nghiên cứu đa tạp tích phân nghiệm phương trình vi phân ta nhận thấy có số hướng xử lý điều kiện đây: ❼ Thứ phương pháp nghiên cứu, có hai phương pháp phương pháp Hadamard phương pháp Perron Phương pháp Hadamard tổng quát hóa thành phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng số cơng trình [15, 16] để chứng minh tồn đa tạp tích phân Phương pháp liên quan đến việc lựa chọn phép biến đổi phức hợp đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân Trong đó, phương pháp Perron mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron liên quan đến phương pháp Lyapunov Phương pháp LyapunovPerron tập trung vào việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hóa, để từ tồn đa tạp tích phân (xem cơng trình [17, 18, 6, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 11] tài liệu tham khảo vấn đề này) ❼ Thứ hai điều kiện số hạng phi tuyến Số hạng phi tuyến thời gian đầu hầu hết lựa chọn thỏa mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ nhỏ (xem [8, 17, 23, 6, 16, 11, 24]) Tuy nhiên, với phương trình nảy sinh từ trình phản ứng-khuếch tán, số hạng phi tuyến đại diện cho nguồn vật chất số Lipschitz khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển [25, 26, 27] Do số hạng phi tuyến mở rộng để chúng mơ tả trình phản ứng-khuếch tán Gần đây, Huy [13] sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron không gian hàm chấp nhận để đưa điều kiện tổng quát phần phi tuyến xét tồn đa tạp ổn định bất biến, hệ số Lipschitz phần phi tuyến phụ thuộc vào thời gian thuộc vào không gian hàm Banach chấp nhận Đồng thời sử dụng khơng gian hàm Banach chấp nhận có số kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm công bố thời gian gần [28, 29, 30, 31] ❼ Cuối phương trình có trễ hay trung tính nghiên cứu với trễ hữu hạn (xem [32, 33, 34, 35, 36, 37]) với trễ vô hạn (xem [38, 39, 40, 41]) Từ bối cảnh lịch sử tầm quan trọng việc nghiên cứu đa tạp tích phân nghiệm phương trình vi phân có trễ trung tính, luận án chúng tơi nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính, hệ số Lipschitz số hạng phi tuyến hàm số thời gian Sau trình bày ba lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính trình bày luận án ❼ Dạng Chúng tơi xét phương trình   ∂ F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ≥ s, t, s ∈ I, ∂t  u = φ ∈ C := C([−r, 0], X), (1) s X không gian Banach (chuẩn · ), B(t) tốn tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) không gian Banach X với t ≥ cố định Với r > ta kí hiệu C := C([−r, 0], X) không gian Banach tất hàm liên tục từ [−r, 0] vào X, trang bị chuẩn φ C = sup φ(θ), φ ∈ C θ∈[−r,0] Xét tốn tử tuyến tính bị chặn F : C → X toán tử sai phân, Φ : I × C → X tốn tử phi tuyến liên tục gọi toán tử trễ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz khác R R+ , ut hàm lịch sử xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0], I R+ R ❼ Dạng Chúng tơi xét phương trình   ∂ F ut = B(t)u(t) + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), ∂t  u = φ ∈ C := C([−r, 0], X), (2) X không gian Banach, B(t) : D(B) ⊂ X −→ X toán tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) với t ≥ cố định với chuẩn B(t)x ≤ K x D(B) , x · D(B) ∈ D(B) Xét tốn tử tuyến tính bị chặn F : C → D(B) tốn tử sai phân, Φ : R+ × C → X toán tử phi tuyến liên tục gọi toán tử trễ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz R+ ❼ Dạng Chúng xét phương trình   ∂ F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), ∂t  u =φ∈C , γ (3) với t ≥ s ≥ Tốn tử sai phân F có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ = lδ−1 Ψ ≤ |l| < Ta lấy E = Lp (R+ )1 ≤ p ≤ +∞, toán tử trễ Φ : R+ × Cγ → X xác định |b| (4.21) ϕ-Lipschitz với trễ vô hạn với ϕ(t) = e−αt ∈ E = Lq (R+ ) với γ 1 + = Thật vậy, điều kiện (1) Định nghĩa 4.2.2 hiển nhiên Để p q kiểm tra điều kiện (2) định nghĩa sử dụng bất đẳng thức Minkowski ln(1 + h) ≤ h với h ≥ 0, không tổng quát ta giả sử |φ2 | < |φ1 | Khi Φ(t, φ1 )(x) − Φ(t, φ2 )(x) π = |b| e−αt e2γθ ln −∞ 0 −αt ≤ |b| e π e 0 = |b| e π e ln e 2γθ dθ dθ 2 |(φ1 (θ))(x) − (φ2 (θ))(x)| dx −∞ = |b| e−αt π ≤ |b| e dx |(φ1 (θ))(x)| − |(φ2 (θ))(x)| 1+ dx + |(φ2 (θ))(x)| 2γθ −∞ −αt + |(φ1 (θ))(x)| dx ln + |(φ2 (θ))(x)| 2γθ −∞ −αt + |(φ1 (θ))(x)| dθ + |(φ2 (θ))(x)| 2 dθ e2γθ φ1 (θ) − φ2 (θ) dθ −∞ = |b| e−αt eγθ φ1 (θ) − φ2 (θ) eγθ dθ −∞ ≤ |b| e−αt eγθ φ1 (θ) − φ2 (θ) sup eγθ dθ = −∞ θ∈(−∞,0] |b| −αt e φ1 − φ2 γ γ Do Φ ϕ-Lipschitz với trễ vô hạn Trong không gian Lp (R+ ), số N1 , N2 có giá trị N1 = N2 = Ta có  ϕ E = |b|  γ  1q ∞ e−αqt dt = |b| γ (αq) q Hàm hν (·) Định lí 4.2.6 tính tốn sau hν (t) = e−ν|t−·| ϕ(·) Lq |b| = γ e−νqt − e−αqt e−αqt + (α − ν)q (α + ν)q 114 q với t ≥ Giả sử α > ν Khi ta có ước lượng ≤ hν (t) ≤ |b|e−νt với t ≥ γ ((α − ν)q) q Do hν ∈ Lp hν Lp ≤ |b| 1 p γ(νp) [(α − ν)q] q Theo Định lí 4.2.8 ta thu γ ≥ ν, |b| N (1 + H) 1 < − Ψ − N (1 + H) νp γ(νp) p [(α − ν)q] q p |b| γ(αq) q tồn đa tạp S ổn định bất biến Lp -lớp nghiệm đủ tốt (4.20) 4.3 Đa tạp tâm ổn định bất biến phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vơ hạn Chúng ta thu tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ điều kiện số hạng phi tuyến Φ ϕ-Lipschitz với trễ vô hạn Bài tốn đặt mục chúng tơi chứng minh tồn đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (4.7) điều kiện họ họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ Định nghĩa 1.3.5 số hạng phi tuyến Φ ϕ-Lipschitz với trễ vô hạn Sử dụng phép chiếu tam phân, giống Chueshov [23], xét họ phép chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, Cγ sau: (Pj (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)Pj (t)φ(0) với θ ∈ (−∞, 0] φ ∈ Cγ (4.23) Định nghĩa 4.3.1 Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với phép chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, số N, α, β cho Định nghĩa 1.3.5 Một tập C ⊂ R+ × Cγ gọi đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (4.7) tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz Φt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t) với phép chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, xác định (4.23) , số Lipschitz độc lập với t cho Ct = graph(Φt ) có tính chất: 115 (1) Ct đồng phôi với Im(P1 (t) + P3 (t)) với t ≥ (2) Với φ ∈ Cs tồn nghiệm u(t) phương trình (4.7) R thỏa mãn e−ξ(s+θ) P (s)F us−θ = φ(θ) với θ ∈ (−∞, 0] χ[s,+∞) (t)e−ξ(t+·) ut (·), t ∈ R thuộc vào E, ξ = β+α Hơn nữa, hai nghiệm u(t) v(t) phương trình (4.7) tương ứng với hai hàm giá trị đầu khác φ, ψ ∈ Cs , ta có ước lượng ut −vt γ ≤ Cµ e(ξ−µ)(t−s) P (s)φ (0) − P (s)ψ (0) với t ≥ s, (4.24) µ, Cµ số dương không phụ thuộc vào s, u(·) v(·) đồng thời P (t) = P1 (t) + P3 (t) (3) C F -bất biến dương phương trình (4.7) tức là, u(t) nghiệm phương trình (4.7) thỏa mãn điều kiện hàm e−ξ(s+·) u˜s (·) ∈ Cs χ[s,+∞) (t)e−ξ(t+·) ut (·), t ∈ R thuộc vào E, hàm e−ξ(t+·) u˜t (·) ∈ Ct với t ≥ s, u˜t xác định u˜t (θ) = F ut−θ với θ ≤ t ≥ Định lí sau tồn đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (4.7) Định lí 4.3.2 Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với phép chiếu tam phân {Pj (t)}t≥0 , j = 1, 2, 3, số N, α, β cho Định nghĩa 1.3.5 Cho E E không gian hàm Banach chấp nhận khơng gian liên kết Giả sử Φ : R+ × Cγ → X ϕ-Lipschitz với trễ vô hạn, ϕ hàm dương thuộc vào E Đặt q := β−α sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 := max{N, 2N q}, ν = k := (1 + H)N0 hν (·) (4.25) E Nếu max N02 N1 (1+H) eν 1−k− Ψ E ϕ E , N0 (1+H)(N1 Λ1 T1+ ϕ 1− Ψ ∞ +N2 Λ1 ϕ ∞ )