ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Ninh Tiến Nam DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TẮT DẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Ninh Tiến Nam DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TẮT DẦN Chuyên Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8640101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn TS Trịnh Viết Dược Hà Nội - 2019 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.Các khái niệm lí thuyết ổn định 1.2.Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3.Đặc trưng tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4.Phương pháp hàm Lyapunov 1.5.Bổ đề Gronwall-Bellman 10 Chương Dao động điều hòa tắt dần 11 2.1.Giới thiệu toán 11 2.2.Sự ổn định tiệm cận dao động điều hoà tắt dần 14 2.2.1 Tính ổn định 14 2.2.2 Tính ổn định tiệm cận 16 2.3.Xây dựng phản ví dụ 26 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến Sĩ Trịnh Viết Dược, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2019 Học viên Ninh Tiến Nam LỜI MỞ ĐẦU Dao động lắc đơn dao động lò xo nằm ngang điều kiện lý tưởng khơng có lực ma sát dao động điều hịa Về mặt tốn học, nghiệm dao động điều hịa hàm tuần hồn Do đó, dao động điều hịa ln ổn định theo nghĩa Lyapunov không ổn định tiệm cận Tuy nhiên, thực tế chuyển động chịu tác động lực ma sát Vì vậy, mơ hình dao động lắc đơn dao động lò xo nằm ngang có tính đến lực ma sát trở thành dao động điều hòa tắt dần Điều phù hợp với hệ chuyển động thực tế, sau thời gian chuyển động khơng có ngoại lực tác động vào hệ hệ chuyển động chậm dần theo thời gian Về mặt toán học, hệ chuyển động ứng với khái niệm ổn định tiệm cận lý thuyết ổn định Lyapunov Trong luận văn này, chúng tơi xét dao động điều hịa tắt dần mơ tả phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sau x + h(t)x + ω x = 0, x ∈ R, hàm h : [0, ∞) → [0, ∞) hệ số ma sát tác động vào mơ hình theo thời gian ω > chu kỳ dao động Khi hệ số ma sát h hàm nghiệm tầm thường phương trình dao động điều hịa tắt dần ổn định tiệm cận, khẳng định kiểm tra trực tiếp thơng qua việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số Về mặt logic, thấy hệ số ma sát h nhỏ (theo nghĩa lực ma sát tác động vào mơ hình khơng đáng kể) nghiệm tầm thường phương trình dao động điều hịa tắt dần khơng ổn định tiệm cận Do đó, tốn đặt tìm điều kiện hàm h để nghiệm tầm thường phương trình dao động điều hịa tắt dần ổn định tiệm cận Bài tốn thu hút đơng đảo nhà tốn học lĩnh vực lý thuyết ổn định tìm hiểu nghiên cứu Có thể kể đến kết tiêu biểu Levin Nohel năm 1960 xét hàm h có giá trị bị chặn phần dương thực đường thẳng thực Sau đó, toán tiếp tục nghiên cứu nhằm cải thiện điều kiện hàm h Theo hướng này, điều kiện đặt lên h xây dựng với đóng góp số nhà tốn học tiêu biểu Smith, Artstein, Inftante, Pucci, Serrin, Sugie, Hatvani, Bên cạnh đó, số nhà tốn học nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình dao động điều hịa tắt dần xem xét mơ hình dạng phương trình vi phân cấp hai phi tuyến Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết kết Hatvani năm 2018 Hệ số ma sát h báo Hatvani xem tổng quát theo hướng nghiên cứu đặc trưng tính ổn định tiệm cận phương trình dao động điều hịa tắt dần thơng qua điều kiện đặt lên hệ số ma sát h Vì vậy, bố cục luận văn chia thành hai chương • Chương trình bày kiến thức lý thuyết ổn định kết tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov • Chương nội dung báo Hatvani [2] Chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh báo có lời bình, nhận xét để kết nối kết lại với nhằm tạo tranh tương đối đầy đủ kết đạt theo hướng nghiên cứu bên Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2019 Học viên Ninh Tiến Nam Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm lí thuyết ổn định Xét hệ phương trình vi phân thường dyj = fj (t, y1 , y2 , , yn ), dt j = 1, n, (1.1.1) t biến độc lập (thời gian) y1 , , yn hàm cần tìm, fj hàm xác định bán trụ T = It+ × Dy , It+ = {t0 < t < +∞}, Dy ⊂ Rn miền mở t0 thời điểm ban đầu Hệ phương trình vi phân (1.1.1) viết thu gọn thành phương trình vi phân nhận giá trị Rn sau dY = F(t, Y), dt   y1     Y =   ≡ colon[y1 , , yn ],   yn F (t, Y ) = colon [f1 (t, Y ), , fn (t, Y )] , dY dy1 dy2 dyn = colon , , , dt dt dt dt (1.1.2) Để tốn Cauchy phương trình (1.1.2) tồn nghiệm, ta giả thiết hàm vectơ F (t, Y ) đạo hàm riêng cấp theo biến y1 , , yn liên tục miền T Tiếp theo khái niệm ổn định phương trình vi phân theo nghĩa Lyapunov Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) phương trình (1.1.2) gọi ổn định theo Lyapunov (hay ngắn gọn ổn định) với > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ( , t0 ) > cho nghiệm Y = Y (t) phương trình (1.1.2) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ (1.1.3) Y (t) − Z(t) < (1.1.4) với t ≥ t0 Nói cách khác, nghiệm Z(t) ổn định nghiệm Y (t) gần thời điểm ban đầu t0 hoàn toàn nằm ống tùy ý dựng quanh nghiệm Z(t) Từ bất đẳng thức (1.1.3) (1.1.4), ý nghĩa ta chọn δ ≤ Trường hợp đặc biệt, phương trình có nghiệm tầm thường (cịn gọi trạng thái cân bằng), tức F(t, 0) ≡ Nghiệm tầm thường Z(t) ≡ (a < t < ∞) ổn định với > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ( , t0 ) > cho Y (t0 ) < δ Y (t) < với t ≥ t0 Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) gọi không ổn định theo Lyapunov với > 0, t0 ∈ (a, ∞) với δ > tồn nghiệm Yδ (t) thời điểm t1 = t1 (δ) > t0 cho Yδ (t0 ) − Z(t0 ) < δ Yδ (t1 ) − Z(t1 ) ≥ Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) gọi ổn định tiệm cận i Z(t) ổn định ii Với t0 ∈ (a, ∞), tồn ∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm Y (t), t0 ≤ t < ∞ thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < ∆ lim Y (t) − Z(t) = t→∞ Như vậy, ổn định tiệm cận ổn định có tải, tức ổn định kèm theo điều kiện Hình cầu mở B(Z(t0 ), ∆(t0 )) với t0 cố định gọi miền hút nghiệm Z(t) 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Trong phần này, chúng tơi trình bày khái niệm ổn định, không ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ phương trình vi phân tuyến tính đưa số kết liên hệ tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng Xét hệ vi phân tuyến tính dY = A(t)Y + F (t), dt (1.2.5) ma trận A(t) vectơ F (t) liên tục khoảng (a, ∞) Hệ vi phân tuyến tính tương ứng dY˜ = A(t)Y˜ dt Định nghĩa 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (1.2.5) gọi ổn định (hoặc không ổn định) tất nghiệm Y (t) tương ứng ổn định (hoặc khơng ổn định) theo Lyapunov Định nghĩa 1.2.2 Hệ vi phân tuyến tính (1.2.5) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận Chú ý khái niệm định nghĩa cho hệ vi phân tuyến tính nghiệm hệ vi phân tuyến tính đồng thời ổn định đồng thời không ổn định, kết phát biểu định lý Tuy nhiên, hệ vi phân phi tuyến tồn đồng thời nghiệm ổn định nghiệm không ổn định Ví dụ cho hệ vi phân phi tuyến xây dựng [1] Định lý 1.2.1 Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.2.5) ổn định với số hạng tự F (t) nghiệm tầm thường hệ tương ứng ổn định Định lý 1.2.2 Hệ vi phân tuyến tính (1.2.5) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định tiệm cận Hệ 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính ổn định nghiệm ổn định khơng ổn định nghiệm khơng ổn định Hệ 1.2.2 Hệ vi phân tuyến tính ổn định (ổn định tiệm cận) hệ vi phân tương ứng ổn định (ổn định tiệm cận) 1.3 Đặc trưng tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Trong mục trước, biết tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính tương đương với tính ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết đặc trưng cho tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dY = A(t)Y dt (1.3.6) A(t) liên tục (a, ∞) Các định lý sau cho ta thấy mối liên hệ tính ổn định hệ (1.3.6) với dáng điệu tập nghiệm Định lý 1.3.1 Hệ vi phân tuyến tính (1.3.6) ổn định theo Lyapunov nghiệm Y (t) hệ bị chặn nửa trục [t0 , ∞) Hệ 1.3.1 Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng ổn định tất nghiệm giới nội không giới nội [t0 , ∞) Định lý 1.3.2 Hệ vi phân tuyến tính (1.3.6) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y (t) dần tới khơng t → ∞, tức lim Y (t) = t→∞ Suy ra, x(t) − x(µ) ≥ ωd(t − µ) Điều mâu thuẫn với x∞ ∈ R Vậy, y∞ = Với t∗ đủ lớn, ta có (xy) (t) = x (t)y(t) + x(t)y (t) = −h(t)x(t)y(t) − ω x2 (t) − y (t) x2∞ ≤ −h(t)x(t)y(t) − ω , t ≥ t∗ Áp dụng Bổ đề 1.5.1, t x2 x(t)y(t) ≤ eH(t∗ )−H(t) x(t∗ )y(t∗ ) − ω ∞ e−H(t) eH(u) du, t ≥ t∗ t∗ Bới (2.1.2) ta có, ∞ x − x2 (t∗ ) = ∞ ∞ x(t)y(t)dt = −∞ (vô lý) x(t)x (t)dt = ω t∗ t∗ TH2: Nếu x(t) dao động Do x(t) dao động nên ta có lim p(t) = 0, lim k(t) = v∞ Khi đó, tồn dãy t→∞ t→∞ {(αn , βn , γn )}∞ n=1 thoả mãn điều kiện sau: αn < βn < γn < αn+1 ; v(α1 ) < v∞ + ω2 5K + 6ω = v∞ (1 + σ) k(αn ) = k(γn ) = κ := v∞ , αn ≤ t ≤ γn ⇒ k(t) ≥ κ; ω2 ; 5K + 6ω 2 k(βn ) > v∞ = 2κ; σ := γn ≤ t ≤ αn+1 ⇒ x(t) = k v∞ 2v∞ v∞ O α n βn γn 19 αn+1 t (2.2.13) (2.2.14) (2.2.15) Do đó, k dao động [ 13 v∞ , v∞ ] t ∈ [αn , γn ] Ta có, p(αn ) ≥ p(γn ) = v(γn ) − k(γn ) ≥ v∞ − κ, p(βn ) = v(βn ) − k(βn ) ≤ v∞ (1 + σ) − 2κ Suy ra, p(αn ) − p(βn ) ≥ p(γn ) − p(βn ) ≥ −v∞ σ + κ = v∞ ω2 − 5K + ω ≥ v∞ Mặt khác, |p (t)| = ω |x(t)||x (t)| = ω |x(t)||y(t)| ≥ ωv(t) ≥ ωv∞ (1 + σ) ≤ 7ω v∞ Từ ta có βn − αn ≥ v ∞ v ∞ = δ = 7ω δ := 7ω , (2.2.16) δ γn − βn ≥ ⇒ γn − αn ≥ δ Ta có, ∞ γn −∞ < v∞ − v∞ (1 + σ) ≤ v (t)dt n=1 α n γn ∞  γn ∞ h(t)k(t)dt ≤ −2κ  = −2 n=1 α h(t)dt n=1 α n n γn ∞ γn h(t)dt < ∞ Suy ra, lim Từ (2.2.17) v∞ > 0, ta có αn n γn lim h(t)dt = Do đó, n→∞ n=1 α n→∞ αn −δ (2.2.17)  γn h(t)dt ≤ lim h(t)dt = n→∞ (2.2.18) γn Tuy nhiên, h khả tích dương yếu ta dẫn đến mâu thuẫn cách tồn số ∆ > cho αn+1 − γn ≤ ∆ với n Thật vậy, áp dụng Bổ đề 2.2.2 với tn := γn , δ := 7ω Điều kiện (a) bổ đề thoả mãn (2.2.18) Ta cần điều kiện (b) thoả mãn Với n, ta có r(tn ) = 2v(γn ) ≤ ω √ 2v∞ (1 + σ) = r∞ + σ ≤ r∞ ω 20 1+ ω2 , 5K 2k(γn ) y(αn ) y(γn ) ≤ = x(αn ) x(γn ) 2p(γn ) √ ≤ = √ < 2(v∞ − κ) 2κ Do y khơng có khơng điểm khoảng (αn , γn ) nên ta có ϕ(αn ), ϕ(γn ) ∈ 3π π , π ∪ 0, 4 (mod π) Mặt khác, x(αn )y(αn ) < nên ta có π 3π , π , ϕ(tn ) = ϕ(γn )] ∈ 0, 4 ϕ(αn ) ∈ (mod π) Điều có nghĩa điều kiện (b) Bổ đề 2.2.2 thoả mãn Với T xác định γn ∞ h(t)dt = ∞ Bổ đề 2.2.2, ta chọn ∆ := T Vì h khả tích dương yếu nên n=1 α n (vô lý) Tiếp theo số hệ Định lý 2.2.1, dễ kiểm tra điều kiện i thực hành Hệ 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i’ Tồn K > cho với dãy {tn , Sn }∞ n=1 thỏa mãn điều kiện sau: lim tn = ∞, lim h(tn ) = lim Sn = ∞, n→∞ n→∞ n→∞  lim  n→∞ Sn tn +Sn  h(t)dt < K tn ii h khả tích dương yếu Khi đó, nghiệm tầm thường (2.1.1) ổn định tiệm cận điều kiện (2.1.2) thỏa mãn Chứng minh Ta chứng minh điều kiện i Định lý 2.2.1 suy từ điều kiện i’ hệ Thật vậy, lấy dãy {tn , Sn }∞ n=1 thỏa mãn điều kiện tn lim tn = ∞, lim n→∞ n→∞ tn −δ h(t)dt = với δ > lim Sn = ∞ Khi đó, tồn n→∞ ξn ∈ [tn − δ, tn ] cho lim h(ξn ) = Mặt khác, n→∞ tn +Sn Sn2 tn (tn − ξn + Sn )2 h(t)dt ≤ Sn (tn − ξn + Sn )2 21 ξn +(tn −ξn +Sn ) h(t)dt ξn (δ + Sn )2 ≤ Sn (tn − ξn + Sn )2 ξn +(tn −ξn +Sn ) h(t)dt ξn Áp dụng i’ cho {ξn , tn − ξn + Sn }, suy ξn +(tn −ξn +Sn ) tn +Sn lim n→∞ Sn h(t)dt ≤ lim n→∞ tn (tn − ξn + Sn )2 h(t)dt < K ξn Vậy điều kiện i Định lý 2.2.1 thỏa mãn Hệ 2.2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i” Tồn C, K > cho với T > t thỏa mãn h(t) < t+T h(t)dt ≤ CT + KT t ii h khả tích dương yếu Khi đó, nghiệm tầm thường (2.1.1) ổn định tiệm cận điều kiện (2.1.2) thỏa mãn Chứng minh Ta chứng minh điều kiện i” hệ suy điều kiện i’ Hệ 2.2.1 Thật vậy, lấy dãy {tn , Sn }∞ n=1 cho lim tn = ∞, lim h(tn ) = n→∞ n→∞ lim Sn = ∞ Vì lim h(tn ) = nên tồn N ∈ N cho h(tn ) < với n→∞ n→∞ n > N Áp dụng i” với T = Sn > 0, ta có tn +Sn h(t)dt ≤ CSn + KSn2 tn với n > N Do đó, tn +Sn lim n→∞ Sn h(t)dt ≤ K < 2K tn Vậy, điều kiện i’ Hệ 2.2.1 thoả mãn Hệ kết Sugie, công bố năm 2016 báo tạp chí Qualitative Theory of Dynamical Systems Thực ra, kết suy từ Hệ 2.2.2 22 Hệ 2.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (a) Tồn > δ0 > cho t, s ∈ R+ thoả mãn |t − s| < δ0 |h(t) − h(s)| < (b) h khả tích dương yếu Khi đó, nghiệm tầm thường (2.1.1) ổn định tiệm cận điều kiện (2.1.2) thỏa mãn τ −t Xét dãy τk = t + kδ1 δ1 = τ Mặt khác, h(t) < ta có Chứng minh Lấy δ1 ∈ (0, δ0 ) Với τ > t, đặt n = với k = 0, , n τn+1 n h(τk+1 ) − h(τk ) h(τ ) = h(t) + k=0 ≤ + (n + 1) ≤1+ + (τ − t) δ1 Do đó, t+T h(τ )dτ ≤ (1 + )T + T2 2δ1 t Vậy điều kiện i” Hệ 2.2.2 suy từ điều kiện (a) Trong kết tính ổn định tiệm cận phương trình dao động điều hồ tắt dần trình bày, số điều kiện hàm h tính ổn định tiệm cận phương trình (2.1.1) tương đương với điều kiện tăng trưởng (2.1.2) Tuy nhiên, việc kiểm tra điều kiện tăng trưởng thực hành khó khăn Định lý cung cấp cho cách khác để kiểm tra điều kiện (2.1.2), định lý lấy [5] Định lý 2.2.2 Điều kiện cần đủ để (2.1.2) thỏa mãn ∞ H −1 (i) − H −1 (i − 1) = ∞, H −1 (i) = min{t ∈ R+ : H(t) ≥ i} i=1 Chứng minh Điều kiện đủ Đặt, si = min{t ∈ R+ : H(t) ≥ i}, 23 ai+1 := si+1 − si , (2.2.19) Ti+1 = {(t, s) ∈ R+ × R+ : i ≤ H(t) − H(s) ≤ i + 1} , với i = 0, 1, 2, Với độ đo Lebesgue µ(Tn ) khơng gian hai chiều, ta có µ(Tn ) ≤ a1 (an + an+1 ) + a2 (an+1 + an+2 ) + · · · a2 a2 a2 a2 ≤ a21 + n + n+1 + a21 + n + n+1 2 2 + ··· ∞ a2i , ≤ n = 1, 2, i=1 µ(T1 ) ≥ ∞ a2i i=1 s tn−1 T1 T2 T3 t··· T··· Tn−1 t3 Tn t2 Tn+1 t1 O a1 a2 t1 a3 an−1 a··· t2 t3 t··· an+1 an tn−1 tn tn+1 Do đó, ∞ e−H(t) I := ≥ ∞ t e−(H(t)−H(s)) dsdt eH(s) dsdt = 1 µ(T1 ) ≥ e 2e ∞ a2i i=1 ∞ a2i = ∞ nên I = ∞ Vì t i=1 Điều kiện cần 24 t i/ Nếu µ(Tn ) = ∞ với n từ ước lượng µ(Tn ) điều kiện đủ suy ∞ a2i = ∞ i=1 ii/ Nếu µ(Tn ) < ∞ với n ∞ ∞ −(n−1) ∞=I≤ e µ(Tn ) ≤ i=1 ∞ a2i e i=1 −(n−1) i=1 2e = e−1 ∞ a2i i=1 ∞ a2i = ∞ Do đó, i=1 Từ Hệ 2.2.3, kết Sugie yếu Định lý 2.2.1 Bên cạnh đó, mệnh đề cho thêm so sánh điều kiện i Định lý 2.2.1 điều kiện (a) Hệ 2.2.3 Mệnh đề 2.2.1 Điều kiện (a) Hệ 2.2.3 suy điều kiện (2.1.2) Chứng minh Bởi Định lý 2.2.2, ta (2.2.19) suy từ điều kiện (a) Hệ 2.2.3 Thật vậy, giả sử ∞ (si − si−1 )2 < ∞, si = H −1 (i) := min{t ∈ R+ : H(t) ≥ i} i=1 Khi đó, với α, tồn N ∈ N cho N +p (si − si−1 )2 < α, (p ≥ 1) i=N +1 T Đặt, T := sN +p − sN , T˜ : = δ0 Ta có sN +p h(t)dt ≤ (h(sN ) + p = ) δ0 + · · · + h(sN ) + (T˜ + 1) sN = h(sN )(T˜ + 1)δ0 + + + · · · + (T˜ + 1) (T˜ + 1)(T˜ + 2) = h(sN )(T˜ + 1)δ0 + δ0 ≤ c1 (T˜)2 ≤ c2 (sN +p − sN )2 , 25 δ0 δ0 với c1 , c2 không phụ thuộc vào p Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có N +p (si − si−1 ) ≤ sN +p − sN = √ N +p p i=N +1 (si − si−1 )2 i=N +1 Do đó, p ≤ c2 (sN +p − sN )2 ≤ c2 p(si − si−1 )2 < c2 pα với p ≥ Điều vơ lý α nhỏ tùy ý Mệnh đề giả thiết (a) (b) Hệ 2.2.3 điều kiện đủ để nghiệm tầm thường phương trình (2.1.1) ổn định tiệm cận Qua cho thấy điều kiện i Định lý 2.2.1 tổng quát khơng bao hàm điều kiện (2.1.2) 2.3 Xây dựng phản ví dụ Trong mục này, chúng tơi trình bày cách xây dựng hàm h thỏa mãn giả thiết điều kiện đủ Định lý 2.2.1 ngoại trừ điều kiện i Với hàm h vậy, phương trình (2.1.1) khơng ổn định tiệm cận Từ đó, thấy điều kiện i Định lý 2.2.1 khơng thể bỏ qua Vì vậy, điều kiện xem tổng quát cho lớp hàm khả tích dương yếu nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình dao động điều hòa tắt dần Dưới cách xây dựng hàm h nhằm thu phản ví dụ Ví dụ 2.3.1 Ta xây dựng hàm h : R+ → R+ có tính chất sau: a h khả tích dương yếu ∞ t e−H(t) b t eH(s) dsdt = ∞, H(t) = h(τ )dτ c Phương trình (2.1.1) với hàm h có nghiệm x cho x(t) t → ∞ 26 0, x (t) Bằng cách xét giá trị lớn hàm sin 2ϕ − 2αϕ với α = π đoạn [− , 0] π kết hợp với (2.2.7), ta có π ϕ ≥ −ω − αh(t)ϕ đoạn [− , 0] (2.3.20) Đặt, h(t) = M với M số Xét ϕ∗ : [t∗ , ∞) → R nghiệm toán giá trị ban đầu sau: ϕ = −ω − M sin 2ϕ, ϕ(t∗ ) ≡ (mod π) Áp dụng Bổ đề 1.5.1 cho (2.3.20), thu ϕ∗ (t) − ϕ∗ (t∗ ) ≥ − ω − e−αM (t−t∗ ) αM (2.3.21) với giá trị t thỏa mãn − ω π − e−αM (t−t∗ ) ≥ − αM (2.3.22) ω ωπ Ta thấy vế trái bất đẳng thức triệt tiêu t∗ đơn điệu giảm tới − αM = − 2M t → ∞ Do đó, (2.3.21) (2.3.22) thỏa mãn với t ≥ t∗ M ≥ 2ω Xét dãy {tn }∞ n=1 xác định sau:   t0 = 0, t1 = π , ω  tn+1 = tn + τn + σn , (2.3.23) τn > thỏa mãn ≤ ω tn + τn (2.3.24) Sau chọn τn , ta chọn σn ≥ cho ϕ(tn + τn + σn ) ≡ (mod π) Tiếp theo, hàm h xây dựng sau   Mn tn ≤ t < tn + τn , h(t) :=   tn + τn ≤ t < tn + τn + σn =: tn+1 , n = 1, 2, tn + τn 27 (2.3.25) (2.3.26) Mn > 2ω với n (2.3.27) Ta có, ω 1 ϕ(t) = −ω − h(t) sin 2ϕ ≤ −ω + ≤− 2 tn + τn (2.3.28) với tn + τn < t < tn+1 Tiếp theo đây, tìm điều kiện để hàm h xác định thỏa mãn tính chất (a), (b), (c) Vì Mn > 2ω với n nên áp dụng (2.3.21) với ϕ∗ = ϕ, t∗ = tn , M = Mn [tn ; tn + τn ], ta thu ước lượng sau ϕ(tn + τn ) − ϕn ≥ − ω − e−αM (t−t∗ ) ; αM tn +τn tn +τn r(tn + τn ) ln =− r(tn ) h(t) sin ϕ(t)dt ≥ −sin ω αMn tn tn ≥− h(t)dt ω τn ; α2 Mn tn +τn +σn r(tn+1 ) r(tn + τn + σn ) ln = ln ≥− r(tn + τn ) r(tn + τn ) h(t)dt = − σn tn + τn tn +τn Do đó, ln r(tn+1 ) ≥− r(tn ) ω τn σn + α Mn tn + τn Ta chứng minh tính chất (c) ∞ i=1 τn σn + Mn tn + τn < ∞ (2.3.29) Thậy vậy, (2.3.29) ∞ n=1 Do đó, ω τn σn + α2 Mn tn + τn ∞ lim ln n→∞ r(tn+1 ) ≥− r(t1 ) n=1 < ∞ σn ω τn + α Mn tn + τn Suy ra, lim r(t) = Vậy tính chất (c) (2.3.29) thỏa mãn t→∞ 28 Bởi Định lý 2.2.2, tính chất (b) tương đương với điều kiện (2.2.19) Vì vậy, ta cần tìm điều kiện τn , σn để (2.2.19) Bởi (2.3.29), tồn N ∈ N cho với n > N σn (∗) tn + τn ≥ Với n > N , ta xét trường hợp sau (i) Tồn số j ∈ N cho sj ≤ tn + τn < tn + τn + σn ≤ sj+1 Suy ra, sj+1 − sj ≥ σn ≥ σn (ii) Tồn i ≥ cho si−1 ≤ tn + τn ≤ si ≤ tn + τn + σn ≤ si+1 Suy ra, σn ,  σn si+1 − si ≥  si − si−1 ≥ Do đó, ta chọn j cho sj+1 − sj ≥ σn (iii) Tồn j ∈ N cho tn + τn ≤ sj < sj+1 ≤ tn + τn + σn Do đó, sj+1 h(t)dt = (sj+1 − sj ) tn + τn sj Mặt khác, ta lại có sj sj+1 h(t)dt = j, h(t)dt = j + Suy ra, sj+1 − sj = tn + τn Từ (∗) ta nhận sj+1 − sj ≥ 29 σn Vậy với n > N , tồn j ∈ N cho sj+1 − sj ≥ σn Vì vậy, ∞ σn2 = ∞ (2.3.30) n=1 (2.2.19) thỏa mãn Do đó, tính chất (b) Ta có đánh giá hàm h(t) sau Nếu t1 ≤ tk ≤ t ≤ tk + τk h(t) = Mk > 2ω > Nếu tk + τk ≤ t ≤ tk+1 h(t) = 1 > ≥ tk−1 + τk−1 tk t 1 ≥ tk + τk t với t ≥ t1 Do đó, h khả tích dương yếu (tính chất (a) đúng) t Cuối cùng, để hồn thành việc xây dựng hàm h điều kiện Vậy, f (t) ≥ (2.3.24),(2.3.27), (2.3.29), (2.3.30) thỏa mãn với hàm mũ Chúng ta chọn dãy sau Mn := nβ , τn := nγ , σn := nκ + O(1) (n → ∞), β, γ, κ > O(1) ≥ số nhỏ cho ϕ(tn + τn + σn ) ≡ (mod π) Các bất đẳng thức (2.3.24), (2.3.27) thỏa mãn với n đủ lớn Để (2.3.29) (2.3.30) thỏa mãn, sử dụng bất đẳng thức sau n iλ ≥ i=1 nλ+1 λ+1 (λ > 0; n ∈ N) Ta có, ∞ n=1 ∞ n=1 τn = Mn σn = tn + τn ∞ nγ−β ; n=1 ∞ σn n−1 n=1 t1 + (τi + σi ) + τn i=1 ∞ ≤ n=1 ∞ ∞ σn2 n=1 nκ + O(1) ; 1 (n − 1)γ+1 + (n + 1)κ+1 γ+1 κ+1 n2κ ≥ n=1 Chúng ta chọn β, γ, κ cho β > γ + < κ < γ điều kiện (2.3.29), (2.3.30) thỏa mãn Vậy hàm h ví dụ xây dựng hoàn chỉnh 30 Chú ý 2.3.1 Trong ví dụ hàm h xây dựng khơng thỏa mãn tính chất T lim T →∞ T h(t)dt < ∞ Do đó, hàm h ví dụ không đủ tốt để trả lời câu hỏi: Liệu định lý Artstein - Infante có cịn h khả tích dương yếu thay khả tích dương? Câu hỏi em tiếp tục nghiên cứu 31 KẾT LUẬN Trong khóa luận chúng tơi trình bày khái niệm lý thuyết ổn định ổn định hệ vi phân tuyến tính phương pháp hàm Lyapunov việc xét tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Bên cạnh làm rõ điều kiện nhẹ để phương trình dao động điều hòa tắt dần ổn định tiệm cận Điều có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu dao động điều hòa tắt dần thực tế Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều cịn có sai sót mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 32 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Thu, “Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định”, NXBGD, 2000 [2] L Hatvani, On the damped harmonic oscillator with time dependent damping coefficient, J Dynam Differential Equations, 30 (2018), 25-37 [3] L Hatvani, On the stability of zero solution of certain second order non-linear differential equations, Acta Sci Math (Szeged), 32 (1971), 1-9 [4] L Hatvani, V Totik, Asymptotic stability of the equilibrium of the damped oscillator, Differ Integral Equ., (1993), 835-848 [5] L Hatvani, V Totik, T Kritin, A necessary and sufficient condition for the asymptotic stability of the damped oscillator, J Differential Equations, 119 (1995), 209-223 [6] R A Smith, Asymptotic stability of x + a(t)x + x = 0, Q J Math Oxf Ser (2), 12 (1961), 123-126 33 ... chuyển động chịu tác động lực ma sát Vì vậy, mơ hình dao động lắc đơn dao động lò xo nằm ngang có tính đến lực ma sát trở thành dao động điều hòa tắt dần Điều phù hợp với hệ chuyển động thực tế, sau... Chương Dao động điều hịa tắt dần Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu dao động điều hịa tắt dần mơ tả phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sau x + h(t)x + ω x = 0, x ∈ R, hệ số tắt dần h... tuyến tính Bên cạnh làm rõ điều kiện nhẹ để phương trình dao động điều hịa tắt dần ổn định tiệm cận Điều có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu dao động điều hòa tắt dần thực tế Tuy nhiên thời