Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời được biên nhằm giúp người học nắm những kiến thức về đặc điểm bài toán, phương pháp chính xác, phương pháp gần đúng, ứng suất và kiểm tra bền, thanh có độ cong ban đầu; xác định lực tới hạn bằng thực nghiệm thanh liên kết khớp hai đầu; cột chịu nén lệch tâm.
GV: Lê đức Thanh Chương 12 UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI 12.1 ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN Xét chịu uốn tác động đồng thời lực ngang R lực nén dọc P H.12.1 Nếu chuyển vị đáng kể cần phải xét cân sơ đồ biến dạng mômen nội lực bao gồm ảnh hưởng lực R vaø P: (12.1) M(z) = MR + MP = MR + Py(z) MR - mômen uốn riêng tải trọng ngang gây đó: Py(z) - mômen uốn lực dọc gây R P z y(z) Hình 12.1 Uốn ngang uốn dọc đồng thời Bài toán gọi uốn ngang uốn dọc đồng thời Đặc điểm toán: - Mômen M(z) phụ thuộc vào độ võng y(z) - Mômen M(z) phụ thuộc phi tuyến vào lực P độ võng y(z) phụ thuộc vào P Vì vậy, nguyên lý cộng tác dụng không áp dụng cho loại toán 12.2 PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC Để tìm mômen uốn, trước hết cần thiết lập phương trình vi phân đường đàn hồi dầm chịu lực nén P tải trọng ngang Q q(z) q(z) P P y(z) P M + dM M P α dz O Q + dQ Hình 12.2 Thanh chịu uốn nén Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Xét cân sơ đồ biến dạng phân tố dz H.12.2 ∑ Mo = : ý : tgα = M + dM − M − Qdz − Pdz tgα = dy dz dM dy −P = Q dz dz ta có: (12.2) lấy đạo hàm hai vế (12.2), ý dQ = − q(z) , dz d2 M d2 y − = − q ( z) P dz2 dz2 M = − EIy" (*) ta có phương trình: (12.3) vào (12.3) ta thu được: (12.4) EIy IV + Py" = q ( z) Đây phương trình vi phân đường đàn hồi dầm chịu nén uốn Nếu biết tải trọng tác dụng điều kiện biên giải (12.4) để tìm đường đàn hồi, từ suy mômen uốn theo phương trình (*) Trong thực tế, thường có nhiều quy luật tải trọng khác chiều dài nên việc giải phương trình (12.4) phức tạp Vì vậy, người ta thường áp dụng phương pháp gần 12.3 PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG Xét dầm đơn giản chịu tải trọng đối xứng H.12.3 q q P f f0 l l a) Hình 12.3 Đường đàn hồi đối xứng b) Sơ đồ (a) chịu tải trọng ngang, với độ võng nhịp fo Sơ đồ (b) chịu đồng thời tải trọng ngang tải trọng dọc, có độ võng nhịp f Giả thiết đường đàn hồi có dạng hình sine (giống dạng ổn định), ta có phương trình đường đàn hồi hai trường hợp nhö sau: πz yo = fo sin ; y = f sin πz l l Dạng phương trình thỏa điều kiện biên y = y " = hai khớp Mômen uốn nội lực tương ứng sau: M o = − EIyo" = EI π2 πz π2 f sin = EI yo o l l l Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh M = − EIy" = EI π2 πz π2 f sin = EI y l l l Thế kết vào phương trình (12.1) ta có: π2 π2 y = EI yo + Py l2 l2 yo ( z) ra: y( z) = π2 EI 1− P/ l yo ( z) y( z) = P 1− Pth (12.5) EI từ suy hay: với: Pth = π EI l2 (12.6) lực tới hạn ổn định mặt phẳng uốn đạo hàm hai vế (12.6) nhân với –EI ta có: − EIy" ( z) = hay: − EIy0" ( z) P 1− Pth M ( z) = Mo P 1− Pth (12.7) Chú ý: - Nếu tải không đối xứng hướng phía công thức xác dùng - Nếu có liên kết hai đầu khác dùng công thức (12.6), (12.7) cần xét tới hệ số liên kết Pth = μ π EI (μl) công thức Pth: (12.8) 12.4 ỨNG SUẤT VÀ KIỂM TRA BỀN Ứng suất lớn tính theo công thức: max σ = Mo P M P + = + A W A W (1 − P ) Pth (12.9) Vì ứng suất phụ thuộc phi tuyến vào tải trọng nên kiểm tra bền theo ứng suất cho phép không đảm bảo an toàn theo hệ số n dự kiến Trong trường hợp này, người ta dùng điều kiện an toàn theo tải trọng sau: nM o nP + ≤ σo A W (1 − nP ) Pth (12.10) Ví dụ 12.1 Tìm mômen uốn độ võng lớn dầm thép chữ INo36 chịu lực H.12.4 Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh q = kN/m S = 120 kN x y 4m Hình 12.4 Giải Sử dụng bảng tra thép định hình, tương ứng với số hiệu INo36 ký hiệu hình trên, ta có: A = 61,9 cm2; Ix = 516 cm4; Iy = 13380 cm4; E = 2,1.104 kN/cm2 Trị số lớn mômen uốn, độ võng tải trọng ngang gây nhịp: Mo = yo = ql 2.4 = = kNm 8 ql 2.10−2.4004 = = 0,615 cm 384 EI x 384 2,1.104.516 Trị số lực tới hạn: Pth = π EI x (μl) = π 2,1.104.516 (1.400)2 = 668 kN Độ võng dầm, theo công thức gần đúng: yo 0,615 y = = = 0,75cm , tăng 22% so với S 120 1− Pth 1− yo 668 Mômen uốn lớn nhất, theo công thức gần thứ nhất: M = M o + Sy = + 120.0,075 = 4,9 kNm Mômen uốn lớn nhất, theo công thức gần thứ hai: Mo M = = = 4,87 kNm sai số 0,5% so với công thức gần thứ S 120 1− Pth 1− 668 Giá trị mômen trường hợp uốn ngang dọc tăng 22,5% so với mômen lực ngang gây ra, tức thiên an toàn 12.5 THANH CÓ ĐỘ CONG BAN ĐẦU 1- Ảnh hưởng độ cong ban đầu Xét có độ cong ban đầu, chịu lực nén P H.12.5 Giả sử đường cong ban đầu có dạng: πz yo = a sin (12.11) l Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh z P yo a y1 y l/2 l/2 Hình 12.5 Thanh có độ cong ban đầu Do tác dụng lực P, bị võng thêm có phương trình y1(z) Độ võng toàn phần: y = yo + y1 (12.12) Mômen uốn lực P gây ra: (12.13) M = Py = P ( yo + y1 ) Phương trình vi phân độ võng thêm: (12.14) EIy1'' = − M = − P ( yo + y1 ) (12.11) vào (12.14) đặt: y1'' + α y1 = − α a sin α2 = πz l P EI ta có: (12.15) Nghiệm phương trình có dạng: y1 = A sin αz + B cos αz + Các điều kiện biên: Do đó: hay: với: y1 = π −1 α 2l2 y1 (0) = ⇒ y1 (l) = πz = a sin l π2 −1 α 2l2 ⇒ a sin πz l (12.16) B=0 A=0 πz a sin l π2 −1 P l EI πz k a sin 1− k l P P k = = Pth π EI l2 (12.17) y1 = Độ võng toàn phaàn: y hay: y = (12.18) = yo + y1 = (a + yo P 1− Pth a k πz πz = sin a) sin 1− k l 1−k l (12.19) Mômen lớn nhịp: M max = Pymax = Pa P 1− Pth (12.20) Nếu đường cong ban đầu có dạng phân tích thành chuỗi Fourier sau: yo = a1 sin 2πz πz + a2 sin + l l (12.21) (12.13) vào (12.21) giải y1 ta có: Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh πz 2πz a ⎛ a ⎞ + 2 sin + ⎟ y1 = k⎜ sin l l −k ⎝1 − k ⎠ vì: k= P