ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - TRẦN THỊ MỸ DUYÊN CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - TRẦN THỊ MỸ DUYÊN CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Người hướng dẫn khoa học TS BÙI ĐÌNH HỢI Thừa Thiên Huế, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Trần Thị Mỹ Duyên ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Bùi Đình Hợi - người Thầy tận tình hướng dẫn đóng góp ý kiến q báu cho tơi q trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo khoa Vật Lý phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập vừa qua Cuối xin gởi lời cảm ơn đến bạn học viên Cao học khóa 24 gia đình động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi trình học tập thực luận văn Huế, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Trần Thị Mỹ Duyên iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh sách hình vẽ vi MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE ĐƠN LỚP 1.1 Tổng quan graphene đơn lớp 1.1.1 Cấu trúc mạng tinh thể graphene đơn lớp 1.1.2 Hàm sóng phổ lượng electron graphene đơn lớp khơng có từ trường 1.1.3 Phổ lượng hàm sóng electron graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene 13 1.2 Công thức tổng quát tensor độ dẫn từ 15 Chương BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA ĐỘ DẪN TỪ TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP KHI ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG VNG GĨC VỚI TẤM GRAPHENE 17 2.1 Hamiltonian hệ electron – phonon quang tương tác graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene 17 2.2 Biểu thức giải tích tensor độ dẫn từ 18 iv Chương KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 22 3.1 Khảo sát phụ thuộc độ dẫn từ vào từ trường 22 3.2 Điều kiện cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp 27 3.3 Khảo sát phụ thuộc độ dẫn từ vào nhiệt độ 29 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 PHỤ LỤC P.1 v DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ 1.1 Graphene kết cấu cấu trúc nano carbon khác 1.2 Các liên kết nguyên tử carbon mạng graphene 1.3 Cấu trúc màng graphene, nguyên tử carbon xếp đặn ô lục giác với vector đơn vị mạng thuận l1 l2 1.4 Vùng Brillouin thứ 1.5 Minh họa cấu trúc vùng lượng graphene vùng Brillouin thứ dựa hệ thức tán sắc thu từ phép gần liên kết mạnh 12 3.1 Sự phụ thuộc độ dẫn từ σxx vào từ trường B Ở đây, T = 180 K 23 3.2 Độ dẫn từ hàm số từ trường ứng với dịch chuyển cho đóng góp vào đỉnh cộng hưởng (1) hình 3.1 Các hình a, b, c, d theo thứ tự ứng với dịch chuyển phân tích 24 3.3 Sơ đồ mơ tả trình dịch chuyển mức Landau graphene đơn lớp 28 3.4 Sự phụ thuộc độ dẫn từ σxx vào nhiệt độ T giá trị khác từ trường B 29 vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện giới hình thành ngành khoa học cơng nghệ có nhiều triển vọng dự đốn có tác động mạnh mẽ đến tất lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật đời sống kinh tế - xã hội cơng nghệ nano Trong dạng vật liệu nano graphene xem sở cho thiết bị điện tử nano tương lai Theo tác giả Sarma cộng [17] graphene có cấu trúc hai chiều (two - dimensional material - 2D), phẳng có độ dày lớp nguyên tử carbon, có cấu trúc mạng tinh thể dạng tổ ong Trong graphene, nguyên tử carbon liên kết cộng hóa trị với ba nguyên tử carbon khác hình thành nên mạng phẳng hai chiều với hình lục giác, ngun tử carbon mạng cịn thừa electron, electron cịn lại chuyển động tự mặt phẳng graphene Với cấu trúc thế, graphene có tính chất vật lý tuyệt vời xem vật liệu hoàn hảo tương lai Về mặt học, graphene vật liệu mỏng nhất, cứng nhất, cứng kim cương cứng thép 200 lần Độ linh động electron graphene cao, tính dẫn điện tốt vật liệu nhiệt độ phịng, khơng có vùng cấm lượng Về mặt quang học, graphene gần suốt, hấp thụ 2.3% cường độ ánh sáng chiếu tới [8] Do có tính chất vật lý đặc biệt vậy, graphene vật liệu thu hút quan tâm đặc biệt nhà khoa học Trong số tượng vật lý quan tâm nghiên cứu bán dẫn thấp chiều, hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon (magnetophonon resonance) nhà khoa học quan tâm cơng cụ phổ mạnh để khảo sát tính chất bán dẫn ví dụ đo khối lượng hiệu dụng, xác định khoảng cách mức lượng electron, chế phục hồi hạt tải [3] Hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon xảy có tán xạ cộng hưởng electron hấp thụ phát xạ phonon khoảng cách hai mức Landau lượng phonon quang dọc [1] Hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon Gurevich Firsov tiên đoán lý thuyết lần vào năm 1961, Puri, Geballe, Firsov người khác quan sát thực nghiệm vào năm Cộng hưởng từ - phonon xảy nhiều vật liệu bán dẫn, hợp kim Si, InSb, GaAs, cấu trúc nano thấp chiều Trong năm gần đây, nước ta có số nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon vật liệu bán dẫn thấp chiều khác Cụ thể, năm 2008, tác giả Lê Thị Cẩm Trang với đề tài “Nghiên cứu lý thuyết để phát cộng hưởng từ - phonon dây lượng tử hình chữ nhật quang học” Cũng năm 2008, tác giả Phạm Thị Cẩm Vân với đề tài “Nghiên cứu lý thuyết để phát cộng hưởng từ - phonon siêu mạng bán dẫn pha tạp quang học” Trong năm 2013, tác giả Trần Văn Thiện Ngọc với đề tài “Nghiên cứu lý thuyết để phát cộng hưởng từ - phonon giếng lượng tử quang học” Ở nước ngồi, năm trở lại có số nghiên cứu hiệu ứng quan trọng graphene Cụ thể, nhóm tác giả Borysenko K M [7] khảo sát trình tương tác electron – phonon graphene Nhóm tác giả Deacon R S cộng [10] nghiên cứu cộng hưởng cyclotron để xác định vận tốc electron lỗ trống graphene đơn lớp Hay nhóm tác giả Mori N Ando T [13] nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp sử dụng công thức Kubo Tuy nhiên, hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu sử dụng phương pháp tính tốn khác Từ lý nêu trên, định chọn đề tài Cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp làm Luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene Nội dung nghiên cứu - Tìm hiểu cấu trúc, tính chất điện tử graphene đơn lớp khơng có có mặt từ trường ngồi - Thiết lập biểu thức giải tích tensor độ dẫn từ graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene (xét đến tương tác electron – phonon quang) - Tiến hành tính số, vẽ đồ thị thảo luận phụ thuộc độ dẫn từ vào từ trường nhiệt độ hệ Từ thu điều kiện xảy cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp chiếu Zwanzig gần phản ứng tuyến tính để tính tốn độ dẫn từ - Sử dụng chương trình Mathematica để tính số vẽ đồ thị Chương KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN Trong chương này, thực tính số khảo sát phụ thuộc độ dẫn từ σxx vào từ trường nhiệt độ cho mode phonon quang biên vùng, sau biện luận điều kiện cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp 3.1 Khảo sát phụ thuộc độ dẫn từ vào từ trường Để thấy rõ phụ thuộc độ dẫn từ σxx vào từ trường B, phần này, chúng tơi tiến hành tính số độ dẫn từ graphene đơn lớp sử dụng phần mềm tính số Mathematica, đồng thời xét dịch chuyển electron Các tham số đặc trưng sử dụng sau [13, 16]: kB = 1.3807 × 10−23 J/K, a = 0.246 nm, γ0 = 3.03 eV, Dop = 1.4 × 109 eV/cm, ρ = 7.7 × 10−8 g/cm2 , ω0 = ωK = 162 meV, n = −4 ÷ 4, n = −4 ÷ Hình 3.1 mơ tả phụ thuộc dộ dẫn từ σxx vào từ trường B nhiệt độ T = 180 K Đồ thị cho thấy đỉnh cực đại độ dẫn từ Ta phân tích đỉnh cực đại để đưa ý nghĩa vật lý chúng • Đỉnh xuất B = 1.789 T thỏa mãn điều kiện: |2| − (−1) |−4| ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = −4 22 Hình 3.1: Sự phụ thuộc độ dẫn từ σxx vào từ trường B Ở đây, T = 180 K kèm theo trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: |4| − (−1) |−2| ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = −2 kèm theo trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: (−1) |−2| − |4| ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = −2 n = kèm theo trình hấp thụ phonon có lượng ωK , điều kiện: (−1) |−4| − |2| ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = −4 n = kèm theo q trình hấp thụ phonon có lượng ωK Như vậy, đỉnh tổng đóng góp từ dịch chuyển electron, có dịch chuyển ứng với q trình hấp thụ phonon dịch chuyển ứng với trình phát xạ phonon hình 3.2 23 Hình 3.2: Độ dẫn từ hàm số từ trường ứng với dịch chuyển cho đóng góp vào đỉnh cộng hưởng (1) hình 3.1 Các hình a, b, c, d theo thứ tự ứng với dịch chuyển phân tích • Đỉnh xuất B = 5.167 T thỏa mãn điều kiện: |1| − (−1) |−1| ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = −1 kèm theo q trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: (−1) |−1| − |1| ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = −1 n = kèm theo q trình hấp thụ phonon có lượng ωK Như vậy, đỉnh tổng đóng góp từ dịch chuyển khả 24 dĩ electron, có dịch chuyển ứng với trình hấp thụ phonon dịch chuyển ứng với q trình phát xạ phonon • Đỉnh xuất B = 6.856 T thỏa mãn điều kiện: |3| − |0| ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = kèm theo q trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: |0| − (−1) |−3| ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = −3 kèm theo q trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: (−1) |−3| − |0| ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = −3 n = kèm theo q trình hấp thụ phonon có lượng ωK , điều kiện: |0| − |3| ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = kèm theo trình hấp thụ phonon có lượng ωK Như vậy, đỉnh tổng đóng góp từ dịch chuyển electron, có dịch chuyển ứng với trình hấp thụ phonon dịch chuyển ứng với q trình phát xạ phonon • Đỉnh xuất B = 10.44 T thỏa mãn điều kiện: |2| − |0| ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = kèm theo q trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: |0| − (−1) |−2| 25 ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = −2 kèm theo q trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: (−1) |−2| − |0| ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = −2 n = kèm theo trình hấp thụ phonon có lượng ωK , điều kiện: |0| − |2| ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = kèm theo trình hấp thụ phonon có lượng ωK Như vậy, đỉnh tổng đóng góp từ dịch chuyển electron, có dịch chuyển ứng với trình hấp thụ phonon dịch chuyển ứng với trình phát xạ phonon • Đỉnh xuất B = 20.79 T thỏa mãn điều kiện: |1| − |0| ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = kèm theo q trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: |0| − (−1) |−1| ωB − ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = −1 kèm theo trình phát xạ phonon có lượng ωK , điều kiện: (−1) |−1| − |0| ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = −1 n = kèm theo trình hấp thụ phonon có lượng ωK , điều kiện: |0| − |1| 26 ωB + ωK = 0, mô tả dịch chuyển electron mức Landau n = n = kèm theo q trình hấp thụ phonon có lượng ωK Như vậy, đỉnh tổng đóng góp từ dịch chuyển electron, có dịch chuyển ứng với q trình hấp thụ phonon dịch chuyển ứng với trình phát xạ phonon 3.2 Điều kiện cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp Từ kết thu hình 3.1 kết luận điều kiện tổng quát cho cực đại độ dẫn từ là: εn − εn ± ωK = 0, εn − εn = Sn |n| − Sn |n | (3.1) ωB , (+ ωK ) đặc trưng cho hấp thụ phonon, (− ωK ) đặc trưng cho phát xạ phonon Điều kiện gọi điều kiện cộng hưởng từ - phonon Vì vậy, đỉnh cực đại gọi đỉnh cộng hưởng Kết hợp với kết phân tích mục 3.1 ta thấy trình dịch chuyển mức Landau đầu cuối graphene đơn lớp khơng có tương đồng nên khơng có quy tắc lọc lựa chung cho trình Có thể phân chia dịch chuyển electron thành ba loại: - Dịch chuyển dịch chuyển mức Landau n = n = ±1, ±2, ±3, (hoặc n = n = ±1, ±2, ±3, ) (hình 3.3a), điều kiện (3.1) trở thành −Sn |n | ωB ± ωK = 0, 27 (3.2) Sn |n| ωB ± ωK = (3.3) - Dịch chuyển đối xứng dịch chuyển mức Landau n n = −n (hình 3.3b), điều kiện (3.1) trở thành 2Sn |n| ωB ± ωK = (3.4) - Dịch chuyển bất đối xứng tất dịch chuyển cịn lại (hình 3.3c), điều kiện (3.1) trở thành ∓ |n| + |n | ωB ± ωK = (3.5) Hình 3.3: Sơ đồ mơ tả q trình dịch chuyển mức Landau graphene đơn lớp Các kết thu phù hợp với kết thu nhóm tác giả Mori N Ando T cơng trình [13] sử dụng cơng thức Kubo 28 3.3 Khảo sát phụ thuộc độ dẫn từ vào nhiệt độ Trên hình 3.4, độ dẫn từ σxx vẽ theo nhiệt độ T giá trị khác từ trường B Ta thấy rằng, độ dẫn từ σxx giảm mạnh nhiệt độ tăng đạt giá trị bão hòa nhiệt độ lớn Điều giải thích nhiệt độ tăng, xác suất tán xạ electron - phonon tăng lên làm cho độ dẫn graphene giảm Tính chất phù hợp với tính chất thu nhóm tác giả Kryuchkov S V., Kukhar E I Zav’yalov D V cơng trình [12], tác giả sử dụng phương trình động Boltzmann để tính tốn độ dẫn từ độ dẫn Hall chế tán xạ electron - phonon quang electron - phonon âm Hình 3.4: Sự phụ thuộc độ dẫn từ σxx vào nhiệt độ T giá trị khác từ trường B 29 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene Các tính toán thực tương tác electron phonon quang, bỏ qua tương tác khác Các kết thu luận văn tóm tắt sau Đưa biểu thức giải tích tensor độ dẫn từ σxx phụ thuộc vào từ trường, nhiệt độ thông số vật liệu Sự phụ thuộc độ dẫn từ vào từ trường nhiệt độ thu nhận thảo luận Từ kết tính số, chúng tơi thu điều kiện tổng quát để xảy cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp Từ điều kiện phân tích q trình dịch chuyển electron mức Landau Độ dẫn từ σxx graphene đơn lớp giảm mạnh nhiệt độ tăng đạt giá trị bão hòa nhiệt độ lớn Các kết thu nhận số điều kiện giới hạn định Chẳng hạn xét tương tác electron - phonon quang, bỏ qua tương tác khác, hay xét ảnh hưởng từ trường lên độ dẫn hệ mà chưa xét đến tác dụng điện trường không đổi sóng điện từ Tuy nhiên, kết luận văn tiền đề hữu ích cho nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Chẳng hạn, mở rộng trường hợp có mặt điện trường, xét tương tác electron với phonon khác phonon âm, phonon áp điện, áp dụng phương pháp khác để tiếp cận toán 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Đình (2016), Bài giảng vật lý hệ thấp chiều, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Huế Bùi Đình Hợi (2015), Lý thuyết lượng tử hiệu ứng Hall hố lượng tử siêu mạng, Luận án Tiến sĩ Vật Lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Võ Thành Lâm (2011), Nghiên cứu số hiệu ứng cộng hưởng tương tác electron – phonon hệ chuẩn hai chiều, Luận án Tiến sĩ Vật Lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Huế Tiếng Anh Ado J., Riichiro S., Gene D., and Mildred S S (2011), "Raman Spectroscopy in Graphene Related Systems", Wiley - VCH, pp 2831 Ando T (2007), "Magnetic Oscillation of Optical Phonon in Graphene", Journal of the Physical Society of Japan 76, No 2, p 024712 Bolotin K.I., Sikes K.J., Jiang Z., Klima M., Fudenberg G., Hone J., Kim P and Stormer H.L (2008) "Solid State Commun", 146, pp 351–355 Borysenko K M., Mullen J T., Bary E A., Paul S., Semenov Y G., Zavada J M., Buongiorno N M and Kim K W (2011), “Firstprinciples analysis of electron – phonon interactions in graphene”, Phys Rev B 81, p 121412 31 Bouchiat, "Graphene: fundamental and applications", Courses in 21 Vietnam School of physics Charbonneau M., Van Vliet K M and Vasilopoulos P (1982), "Linear response theory revisited III: One - body response formulas and generalized Boltzmann equations", J Math Phys 23, No 3, p 325 10 Deacon R S., Chuang K C., Nicholas R J., Novoselov K S and Geim A K (2007), “Cyclotron resonance study of the electron and hole velocity in graphene monolayers”, Phys Rev B 76, p 81406 11 Ha N B., Hieu N V and Hoai N T L (2015), "Lectures on electron structures of graphene and graphene bilayer", Advanced Center of Physics Vietnam Academy of Science and Technology, pp 1-4 12 Kryuchkov S.V., Kukhar’ E.I., Zav’yalov D.V (2013), Physica E 53, p 124 13 Mori N., Ando T (2011), "Magnetophonon Resonance in Monolayer Graphene", Journal of the Physical Society of Japan 80, p 044706 14 Morozov S.V., Novoselov K.S., Katsnelson M.I., Schedin F., Elias D.C., Jaszczak J.A and Geim A.K (2008), Phys Rev Lett 100, p 016602 15 Ning M., Shengli Z., Daqing L (2016), "Mechanical control over valley magnetotransport in strained graphene", Physics Letters A, p.4 16 Phuc H.V., Hieu N.N (2015), "Nonlinear optical absorption in graphene via two - photon absorption process", Optics Communications 344 , pp 12–16 32 17 Sarma S D., Adam S., Hwang E H and Rossi E (2011), “Electronic transport in two - dimensional graphene”, Rev Mod Phys 83, p 409 18 Vasilopoulos P., Charbonneau M and Van Vliet C M (1987), "Linear and nonlinear electrical conduction in quasi-two-dimensional quantum wells", Phys Rev B 35, No 3, p 1335 33 PHỤ LỤC Phụ lục Tính σxx σxx βe2 = S0 nζ eq − nζ eq Wζζ (χxζ − χxζ )2 nζ eq − nζ eq gs gυ ζ,ζ = βe S0 ζ,ζ × g (θ) Q (ζ, q → ζ ) Nq eq + Q (ζ → ζ , q) + Nq eq (χxζ − χxζ )2 q βe2 = S0 ×4 q + 2π nζ eq − nζ eq ζ,ζ + cosθ 2π |C (q)|2 |C (q)|2 4πβe2 l4 = S0 ζ e−iqr ζ ζ eiqr ζ δ (εζ − εζ + ωq ) N0 l2 ky − l2 ky δ (εζ − εζ − ωq ) (1 + N0 ) fn,ky − fn ,ky (1 + cosθ) |C (q)|2 n,ky n ,ky q × |Jnn (u)|2 δky ,ky +qy δ (εn − εn + ω0 ) N0 ky − ky + |Jnn (u)|2 δky ,ky −qy δ (εn − εn − ω0 ) (1 + N0 ) ky − ky 2πβe2 l4 Dop = ρL2 ω0 S0 (1 + cosθ) fn,ky − fn ,ky |Jnn (u)|2 n,ky n ,ky q × N0 δky ,ky +qy δ (εn − εn + ω0 ) ky − ky + (1 + N0 ) δky ,ky −qy δ (εn − εn − ω0 ) ky − ky P.1 (P.1) Phụ lục Tính tích phân A B phương trình (2.17) π A= π (1 + cosθ) dθ = π dθ + cosθdθ = π, (P.2) ∞ q |Jnn (u)|2 dq, B= (P.3) Đặt u= 2u du l2 q ⇒ q = ⇒ qdq = 2 l l thay |Jnn (u)|2 từ (2.4) vào tích phân B, ta ∞ B= 2u du 2 m! C C e−u uj Ljm (u) + Sn Sn n n 2 l l (m + j)! ∞ 2Cn2 Cn2 = l4 m! e−u uj+1 (m + j)! +2Ljm (u) Sn Sn 2Cn2 Cn2 = l4 2Cn2 Cn2 2 Sn Sn + l4 2 Ljm (u) + m+j j m+j 2 Lm−1 (u) + Sn Sn Ljm−1 (u) m m m! (m + j)! 2Cn2 Cn2 + 2Sn Sn l4 m+j j Lm−1 (u) m ∞ du e−u uj+1 Ljm (u) du m! (m + j)! m+j m (m − 1)! (m + j − 1)! ∞ ∞ e−u uj+1 Ljm (u) Ljm−1 (u) du e−u uj+1 Ljm−1 (u) du , (P.4) Áp dụng kết tích phân sau [16] B1 ∞ m! = e−u uj+1 Ljm (u) du (m + j)! = 2m + j + 1, B2 = m! (m + j)! = − m+j m ∞ (P.5) e−u uj+1 Ljm (u) Ljm−1 (u) du m (m + j), (P.6) P.2 B3 ∞ (m − 1)! e−u uj+1 Ljm−1 (u) = (m + j − 1)! = (m − 1) + j + = 2m + j − 1, du (P.7) Thay (P.5), (P.6) (P.7) vào (P.4), ta B= 2 C C l4 n n (2m + j + 1) − 2Sn Sn m (m + j) + Sn2 Sn2 (2m + j − 1) (P.8) P.3 ... trống graphene đơn lớp Hay nhóm tác giả Mori N Ando T [13] nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp sử dụng công thức Kubo Tuy nhiên, hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp. .. tốn khác Từ lý nêu trên, định chọn đề tài Cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp làm Luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon graphene đơn lớp đặt từ trường... QUAN VỀ GRAPHENE ĐƠN LỚP 1.1 Tổng quan graphene đơn lớp 1.1.1 Cấu trúc mạng tinh thể graphene đơn lớp 1.1.2 Hàm sóng phổ lượng electron graphene đơn lớp khơng có từ trường