ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— VŨ THỊ KHUYÊN KHÔNG ĐIỂM CỦA CÁC ĐA THỨC XẤP XỈ TỐT NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— VŨ THỊ KHUYÊN KHÔNG ĐIỂM CỦA CÁC ĐA THỨC XẤP XỈ TỐT NHẤT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phịng Sau Đại học, thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình biến 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.3 Hàm điều hoà 1.4 Hàm đa điều hoà 1.5 Tập đa cực 1.6 Lớp Lelong Cn 1.7 Hàm cực trị toàn cục VE 10 1.8 Bất đẳng thức Bernstein-Walsh 11 1.9 Độ đo thỏa mãn điều kiện Bernstein-Markov 11 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt iii 12 2.1 Đa thức xấp xỉ tốt 12 2.2 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt 17 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 iv Mở đầu Lý thuyết đa vị xem thành tựu sâu sắc Toán học vòng 30 năm trở lại Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết với việc tìm thấy ứng dụng vào lĩnh vực khác Tốn học như: giải tích phức nhiều biến, giải tích Hyperbolic, hình học vi phân phức, Với mục tiêu tìm hiểu ứng dụng lý thuyết đa vị vào tốn truyền thống giải tích lý thuyết xấp xỉ Hàm chỉnh hình địa phương viết thành chuỗi lũy thừa Do ta xấp xỉ cách địa phương hàm chỉnh hình đa thức Tuy nhiên, vấn đề không tầm thường ta muốn xấp xỉ hàm chỉnh hình đoạn đa thức tập compact miền cho Trong số trường hợp đặc biệt xấp xỉ xảy ra, chẳng hạn hàm chỉnh hình lân cận tập liên thông đa thức Vấn đề mà người ta quan tâm liệu tính chất dãy đa thức xấp xỉ có bảo tồn qua phép xấp xỉ hay khơng? Đó lí chọn đề tài: "Không điểm đa thức xấp xỉ tốt nhất" Cho E tập compact CN f hàm liên tục E, chỉnh hình phần E Ta quan tâm tới mô tả không điểm dãy {fn } đa thức xấp xỉ tốt với f Hiển nhiên E ⊂ C f không triệt tiêu E {fn } khơng triệt tiêu E Vậy ta quan tâm tới trường hợp f có khơng điểm E Luận văn trình bày lại số kết Bloom Szczepanski theo hướng nghiên cứu Về cấu trúc luận văn, phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương trình bày tổng quát số kiến thức sở kết bổ trợ để trình bày kết cho chương Chương trình bày khơng điểm đa thức xấp xỉ tốt Trong chương này, em nghiên cứu vấn đề Định lý 2.2.5 Định lý nói khơng điểm hàm f ( hàm cần xấp xỉ ) thực tế giới hạn dãy không điểm đa thức xấp xỉ tốt Chứng minh kết đòi hỏi kiến thức lý thuyết đa vị trình bày chương Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Em xin bày tỏ lòng biết ơn trân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khoa học Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình biến Cho hàm số f xác định miền Ω ⊂ C Xét giới hạn f (z + ∆z) − f (z) , z, z + ∆z ∈ Ω ∆z→0 ∆z lim Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức df f z, ký hiệu f (z) hay (z) dz Như f (z + ∆z) − f (z) f (z) = lim ∆z→0 ∆z Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C− khả vi z Bởi f (z + ∆z) − f (z) ∆z = ∆z→0 ∆z lim [f (z + ∆z) − f (z)] = lim ∆z→0 nên f C− khả vi z lim [f (z + ∆z) − f (z)] = ∆z→0 Nói cách khác f liên tục z Cũng hàm biến thực, quy nạp ta viết f (k) = (f (k−1) ) vế phải tồn gọi đạo hàm phức cấp k f Ω 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.2.1 ([2]) Hàm l : Cn → C gọi R− tuyến tính (tương ứng C− tuyến tính) a) l(z + z ) = l(z ) + l(z ), ∀z , z ∈ Cn b) l(λz) = λl(z), ∀λ ∈ R, z ∈ Cn (tương ứng ∀λ ∈ C) Hiển nhiên hàm l : Cn → C R− tuyến tính C− tuyến tính l(iz) = il(z), ∀z ∈ Cn Trong trường hợp l(λz) = λ(z) ta nói l C− phản tuyến tính Ví dụ 1.2.2 ([2]) Hiển nhiên hàm tọa độ z → zj z → z j C− tuyến tính C− phản tuyến tính Mọi R− tuyến tính l : Cn → C viết dạng l(z) = l (z) + l (z) với l (z) = l(z) − il(iz) l(z) + il(iz) cịn l (z) = 2 C− tuyến tính C− phản tuyến tính Bởi n 2l (z) = n aj zj 2l (z) = j=1 bj z j j=1 Chương Không điểm đa thức xấp xỉ tốt 2.1 Đa thức xấp xỉ tốt Định nghĩa 2.1.1 ([3]) Cho µ độ đo Borel hữu hạn E cho cặp (E, µ) thỏa mãn điều kiện Bernstein – Markov (BM ), tức là, với ε > q, < q < ∞, tồn A = A (ε, q) cho p E ≤ A(1 + ε)deg(p) p µ,q với ∀p ∈ P (CN ), (2.1) 1/q  p µ,q = |p(z)|q dµ (2.2) E Ta biết µ thỏa mãn (BM ) với mũ q, < q < ∞ µ thỏa mãn (BM ) với q, < q < ∞ Kí hiệu Lqp (E, µ), ≤ q < ∞, tập hàm liên tục E mà giới hạn đa thức theo chuẩn µ,q Cho f hàm phân hình lân cận E Ta kí hiệu pn ∈ Pn (tương ứng fn ∈ Pn ) đa thức xấp xỉ tốt theo chuẩn chuẩn 12 µ,q tương ứng, tức f − pn f − fn E µ,q = inf { f − qn E , qn f − qn = inf ∈ Pn } , µ,q , qn (2.3) ∈ Pn (2.4) Đa thức pn thỏa mãn (2.3) (2.4) gọi đa thức xâp xỉ tốt Pn tập đa thức xấp xỉ tốt bậc n Những xấp xỉ tốt không thiết phải Từ định lý Bernstein – Walsh – Siciak bất đẳng thức Bernstein - Walsh (BW ) |p(z)| ≤ p deg p ,z E (exp VE (z)) ∈ CN , ∀p ∈ P (CN ) (2.5) Bổ đề 2.1.2 ([3]) Cho (E, µ) thỏa mãn điều kiện Bernstein – Markov Cho {hn }n=1,2, dãy đa thức bậc n Cho q thỏa mãn ≤ q < ∞ Khi lim sup T chE hn n→∞ 1/n E = lim sup T chE hn n→∞ = lim sup T chµ,q hn n→∞ = lim sup T chµ,q hn n→∞ 1/n µ,q 1/n E 1/n µ,q Chứng minh Từ (BM ) ta có, với ε > T chµ,q hn E ≤ A(1 + ε)n T chµ,q hn µ,q (2.6) Khi T chµ,q hn đối T chE hn ta có ≤ T chµ,q hn E (2.7) ≤ T chE hn µ,q (2.8) T chE hn E T chµ,q hn µ,q Tương tự 13 Khi µ(E) < +∞ ta có T chE hn µ,q ≤ µ(E)1/q T chE hn E (2.9) Từ (2.6) (2.7) ta có lim sup T chE hn n→∞ 1/n E ≤ lim sup T chµ,q hn n→∞ 1/n E ≤ lim sup T chµ,q hn 1/n µ,q ≤ lim sup T chE hn n→∞ 1/n µ,q Kết hợp (2.8) (2.9) ta nhận lim sup T chµ,q hn n→∞ 1/n µ,q ≤ lim sup T chE hn n→∞ n→∞ 1/n E Định lý 2.1.3 ([3]) Cho E ⊂ CN compact quy cho µ độ đo Borel cho cặp (E, µ) thỏa mãn (BM ) Cho ≤ q < ∞ f ∈ Lpq (E, µ) ; R > Khi điều kiện sau tương đương: a) f thác triển giải tích lên ER b) lim sup f − fn n→∞ 1/n µ,q ≤ 1/n c) lim sup T chµ,q fn n→∞ d) lim sup T chµ,q fn n→∞ e) lim sup n→∞ E 1/n µ,q (2.10) R ≤ R ≤ R (2.11) (2.12) (2.13) log fn (z) − log |z| ≤ ρE ([z]) − log R, ∀ z = n (2.14) Trong {fn } dãy đa thức xấp xỉ tốt chuẩn µ,q Chứng minh Giả sử (2.10) Từ định lý Bernstein – Walsh – Siciak ta có lim sup f − pn n→∞ 1/n E ≤ , R (2.15) {pn } dãy đa thức xấp xỉ tốt tới f E Khi ta có f − fn µ,q ≤ f − pn µ,q 14 ≤ (µ (E))1/q f − pn E (2.16) Ta có lim sup f − fn n→∞ 1/n µ,q ≤ , R (2.17) tức (2.11) cố định Tiếp theo, từ định nghĩa đa thức Tchebyshev T chµ,q fn (2.4) ta có T chµ,q fn µ,q ≤ fn − fn−1 µ,q ≤ fn − f + f − fn−1 µ,q ≤ f − fn−1 µ,q µ,q (2.18) Do đó, từ (2.11) (2.13) ta có 1/n lim sup T chµ,q fn µ,q n→∞ ≤ lim sup f − fn n→∞ 1/n µ,q ≤ R Khi cặp (E, µ) thỏa mãn (BM ), từ Bổ đề 2.1.2, điều kiện (2.12) (2.13) tương đương Giả sử (2.13) thỏa mãn Từ định nghĩa đa thức Tchebyshev T chµ,q fn+1 , ta có f − fn µ,q ≤ f − (fn+1 − T chµ,q fn+1 ) ≤ f − fn+1 Khi f − fn µ,q ≥ f − fn+1 µ,q µ,q + T chµ,q fn+1 lim f − fn n→∞ lim sup f − fn n→∞ 1/n µ,q ≤ µ,q , R (2.19) µ,q µ,q = 0, từ (2.13) ta có (2.20) tức (2.11) cố định Tiếp theo, giả sử (2.11) cố định Cố định r, < r < R, cố định ε > ρ cho (1 + ε)r < ρ < R Từ (2.11), tồn no = no (ρ) cho f − fn µ,q ≤ 15 , n ≥ n0 ρn (2.21) Từ (BW ) fn+1 − fn Er ≤ rn+1 fn+1 − fn E (2.22) Tiếp theo, từ bất đẳng thức (BM ), tồn Aε > cho fn+1 − fn E ≤ Aε (1 + ε)n+1 fn+1 − fn µ,q , ∀n (2.23) Khi fn+1 − fn µ,q ≤ fn+1 − f µ,q + fn − f µ,q ≤ f − fn µ,q (2.24) Ta fn+1 − fn Er (1 + ε)r ≤ 2Aε ρ ρ n+1 với n ≥ n0 Do đó, với M, n ≥ n0 , ta có M fk+1 − fk k=n Er (1 + ε)r ≤C ρ n+1 , (2.25) C = 2Aε ρ2 (ρ − (1 + ε)r)−1 Khi (1 + ε)r < ρ, chuỗi fo + ∞ fk+1 − fk hội tụ E r Khi r < R chọn tùy ý, ta kết luận k=0 f thác triển giải tích lên ER Tức là, (2.10) chứng minh Giả sử (2.12) cố định Cố định r cho < r < R Khi n ≥ n1 (r), 1/n ta có T chµ,q fn E ≤ r log r + log T chµ,q fn (z) ≤ 0, ∀z ∈ E n (2.26) Do từ định nghĩa hàm cực trị tồn cục VE , ta có log r + log T chµ,q fn (z) ≤ VE (z), ∀z ∈ CN n (2.27) Lấy hàm Robin vế (2.27) cho log r + log fn (z) − log |z| ≤ ρE ([z]) , ∀z ∈ CN \ {0} n Khi cố định với ∀n > n1 (r) ∀r < R ta có (2.14) 16 (2.28) Bổ đề 2.1.4 ([3]) Cho E ⊂ C N compact quy µ độ đo Borel cho (E, µ) thỏa mãn (BM ) Cho hn dãy đa thức thỏa mãn deg hn = n hn (z) ≡ 0, với n ∈ No , R > ≤ q < ∞ Giả sử lim sup n→∞ log |hn (z)| − log |z| ≤ ρE ([z]) − log R, ∀z ∈ CN \ {0} n (2.29) Khi ta có lim sup T chµ,q hn n→∞ Nhớ lại (2.7) hn (z) ≡ ta đặt n 1/n µ,q ≤ R (2.30) log |hn (z)| − log |z| = −∞ Chứng minh Từ ( 2.29) ta có lim sup T chE hn n→∞ 1/n E ≤ R Từ đánh giá Bổ đề 2.1.2 ta suy điều phải chứng minh Đặt hn ≡ fn Bổ đề cho (2.14) =>(2.13) Điều hồn thành chứng minh Định lý 2.1.3 2.2 Khơng điểm đa thức xấp xỉ tốt Bổ đề 2.2.1 ([3]) Hàm f thác triển đến hàm chỉnh hình lên ER int(Z) ⊃ ER Chứng minh Giả sử ER ⊂ int(Z) Cho < r < R Khi E r ⊂ int(Z) Do lim sup n1 log |pn (z)| ≤ E r n→∞ Ta có bổ đề Hartogs, cho ε> 0, tồn no (ε) log |pn (z)| ≤ ε, n ≥ n0 (ε), z ∈ E r n 17 (2.31) log |pn (z)| ≤ ε + VE r (z), z ∈ CN , n ≥ no n (2.32) Lấy hàm Robin vế bất đẳng thức cho log |pn (z)| − log |z| ≤ ε + ρEr ([z]) , n ≥ no n (2.33) Nhắc lại E quy, VEr (z) = max {VE (z) − log r, 0} (2.34) ρEr ([z]) = ρE ([z]) − log r, ∀z = (2.35) Sử dụng (2.33) (2.35 ) ta log |pn (z)| − log |z| ≤ ε + ρE ([z]) − log r, n ≥ n0 n (2.36) Do đó, với ε > 0, ta có lim sup n→∞ log |pn (z)| − log |z| ≤ ε + ρE ([z]) − log r n (2.37) log |pn (z)| − log |z| ≤ ρE ([z]) − log r n (2.38) Điều kéo theo lim sup n→∞ Khi đó, f thác triển giải tích lên Er Khi (2.38) với r < R, hàm f thác triển giải tích lên ER Tuy nhiên, f thác triển giải tích lên ER , dãy {pn } bị chặn E r , với ∀r < R Do đó, v ≤ E r E r ⊂ ER , ta có v ≤ ER Vậy r Hàm f thác triển giải tích lên ER int(Zµ ) ⊃ ER Chứng minh bổ đề tương tự với chứng minh Bổ đề 2.2.1 Cụ thể hơn, để chứng minh ER ⊂ int(Zµ ), nghĩa f thác triển giải tích lên ER , ta lặp lại từ (2.31) đến (2.38), dùng dãy {fn } thay cho {pn } sử dụng Định lý 2.1.2 (2.38) Bổ đề 2.2.3 ([3]) i) Z ⊃ E Zµ ⊃ E ii) Cho f ∈ W(E) khơng giải tích E Khi ∂Z ∩ E = φ Tương tự với f ∈ Lqp (E, µ) f khơng giải tích E , ∂Zµ ∩ E = φ iii) Cho f ∈ W(E) có thác triển giải tích lên ER (với số R > 1) không lên Es với s > R Khi ∂ER ∩ ∂(int(Z)) = φ ∂ER ∩ ∂(int(Zµ )) = φ 19 Chứng minh (i) Dãy {pn (z)} bị chặn E , lim sup n1 log |pn (z)| ≤ n→∞ E Do tập bỏ đa cực nên ta có v ≤ E\N , N đa cực Vậy v ≤ V ∗ E/N Bởi kết Klimek ta có V ∗ E/N = VE , VE ≡ E Chứng minh Zµ ⊃ E tương tự (ii) ∂Z ∩ E = φ từ sau (i) Bổ đề 2.2.1 ∂Zµ ∩ E = φ từ sau (i) Bổ đề 2.2.2 (iii) Từ sau bổ đề 2.2.1 2.2.2 Ví dụ 2.2.4 ([3]) Cho E ⊂ C tập compact quy cho f ∈ W(E) khơng giải tích E Khi v hàm cực trị toàn cục C\E Z = E Trong trường hợp đa biến đưa số ví dụ f ∈ W(E) khơng giải tích E Z = E ( E lồi đa thức) Cho E hình trịn đơn vị C2 E = (z1 , z2 ) : |z1 |2 + |z2 |2 ≤ cho f = f (z1 ) hàm liên tục ∆1 = {z1 ∈ C : |z1 | = 1} giải tích int (∆1 ) khơng giải tích ∆1 Cho pn (z1 ) biểu thị đa thức xấp xỉ tốt bậc ≤ n tới f ∆1 Khi pn (z1 ) xấp xỉ tốt bậc ≤ n tới f Sử dụng kết Blatt – Saff ta có log |pn (z1 )| = log |z1 | , |z1 | ≥ n→∞ n lim Vậy ta có Z = (z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | ≤ 20 Định lý 2.2.5 ([3]) Cho f chỉnh hình ER cho ER hợp thành phần liên thông ER mà f không đồng Cho {pn } dãy xấp xỉ tốt tới f E Cho zo ∈ ∂ ER ∩∂(int(Z)) Khi tồn dãy điểm {zn } thỏa mãn lim zn = z0 pn (zn ) = n→∞ Chứng minh Chứng minh phản chứng Giả sử z0 điểm giới hạn Khi có hình cầu B tâm z0 cho pn = 1/n B với n ≥ n1 Chọn nhánh giải tích pn B Với số số M1 > ta có v(z) ≤ M1 , ∀z ∈ B Do p1/n n (z) = exp 1/n dãy pn log |pn (z)| ≤ exp 2M1 , ∀n ≥ n2 (M1 ) n (2.40) dãy bị chặn hàm giải tích B Bây B ⊂ int(Z), có điểm zo ∈ B, lim sup n1 log |pn (z1 )| > Khi n→∞ lim sup n→∞ log |pn (z)| = v(z) n trừ tập đa cực Cho dãy J ⊂ No cho lim n→J log |pn (z1 )| > n (2.41) Cho J1 dãy J cho dãy bị chặn hàm giải tích 1/n pn (z) n∈J1 hội tụ tập compact B đến hàm giải tích, kí hiệu g(z) Khi log |pn (z)| , z ∈ B n→J1 n log |g(z)| = lim 21 (2.42) Vậy |g(z1 )| > |g(z)| ≤ với ∀z ∈ int(Z) ∩ B Do g khác số B theo nguyên lý modun cực đại |g(z)| < int(Z) ∩ B Điều nghĩa lim |pn (z)|1/n < 1, n∈J1 với {pn } hội tụ tới f tập compact Do f ≡ B ∩ ER , điều mâu thuẫn với giả thiết f không đồng với thành phần ER Hệ 2.2.6 ([3]) Cho f chỉnh hình ER cho ER hợp thành phần liên thông ER , f khơng đồng Cho {fn } dãy xấp xỉ tốt tới f E chuẩn µ,q Cho zo ∈ ∂ ER ∩ ∂(int(Zµ )) Khi tồn dãy điểm {zn } cho lim zn = zo fn (zn ) = n→∞ Định lý 2.2.7 ([3]) Cho f ∈ W(E) giả sử f khơng giải tích E Giả sử E thỏa mãn với ∀z ∈ E hình cầu B tâm z , có thành phần liên thơng E B ∩ E đa cực Cho zo ∈ ∂Z ∩ E cho f (zo ) = Khi tồn dãy điểm {zn } cho lim zn = zo n→∞ pn (zn ) = 0, với n = 1, 2, Chứng minh Chú ý với f ∈ W(E), f khơng giải tích E Khi từ Bổ đề 2.2.3, ∂Z ∩ E = φ Giả sử z0 điểm giới hạn Căn vào chứng minh Định lý 2.2.5, ta giả sử có hình cầu B, với tâm z0 , bán kính đủ nhỏ số nguyên n1 cho |f (z) − f (zo )| < f (zo ) ,z ∈ E ∩ B 22 (2.43) |pn (z) − f (zo )| < f (zo ) , z ∈ E ∩ B, n ≥ n1 (2.44) Hơn ta giả sử pn (z) khơng có khơng điểm B với n ≥ n1 Với n ≥ n1 ta chọn nhánh giải tích log pn (z) B Như chứng minh Định lý 2.2.5, ta giả sử có dãy J1 ⊆ N cho g1 (z) := lim exp n∈J1 log pn (z) n (2.45) giải tích khác B Cho log1 nhánh giải tích hàm logarit tập G= τ ∈ C ||τ − f (z0 )| < f (z0 ) Khi log1 (pn (z)) định nghĩa với z ∈ E ∩ B n ≥ n1 Bây [log1 (pn (z) − log(pn (z))] 2πi liên tục E ∩ B nhận giá trị nguyên Do phải số E Cho tn ∈ Z biểu thị giá trị Sau chúng tơi muốn xem xét hàm log(pn (z) + 2πitn ) ta chọn dãy J2 ⊂ J1 cho g2 (z) := lim exp n∈J2 (log(pn (z) + 2πitn )) n (2.46) giải tích B Nhưng Im(log(pn (z) + 2πitn )) bị chặn E E khơng phải đa cực, g2 (z) = với ∀z ∈ B Kết hợp g1 (z) = cg2 (z) với số c, |c| = Do g1 (z) số B 23 Kết luận Mục đích luận văn trình bày số kiến thức lý thuyết đa vị số kết Bloom Szczepanski Cụ thể, luận văn trình bày số nội dung sau đây: Trình bày tổng quát số kiến thức hàm chỉnh hình biến, hàm chỉnh hình nhiều biến, hàm điều hịa dưới, hàm đa điều hòa dưới, tập đa cực, lớp Lelong Cn , hàm cực trị toàn cục VE , bất đẳng thức Bernstein-Walsh, độ đo thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov Trình bày vấn đề đa thức xấp xỉ tốt nhất, không điểm đa thức xâp xỉ tốt với Định lý 2.2.5 24 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2014), Cơ sở lý thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc Gia Tài liệu Tiếng Anh [3] Bloom T., Szczepanski J (1999), "On the Zeros of Polynomials of Best Approximation", J Approx Theory 101, 196-211 [4] Bernstein S N (1952), "Complete Works I", pp 443-451 [5] Boom T (1997), "Orthogonal polynomials in CN ", Indiana Univ Math J 46(2) [6] Boom T (1998), "Some applications of the Robin function to multivariable approximation theory", J, Approx Theory, 92, 1-21 [7] Borwein P B (1984), "The relationship between the zeros of best approximations and diferentiability", Proc Amer Math Soc, 92, 528-532 25 [8] Blatt H-P., Saff E B (1986), "Behaviour of zeros of polynomials of near best approximation", J Approx Theory, 46, 323-344 [9] Klimek M (1991), "Pluripotential Theory", Clarendon Press [10] Plesniak W (1981), "On the distribution of zeros of the polynomials of best L2 − approximation to holomorphic functions", Zeszyty Nauk Uniw Jagiellon 22, 29-35 [11] Siciak J (1962), "On some extremal functions and their applications", Trans Amer Math Soc 105(2), 322-357 [12] Siciak J (1981), "Extremal plurisubhrmonic function in CN ", Ann Polon Math 39 [13] Siciak J (1997), "A remark on Tchebysheff polynomials in CN ", Univ Jagiellonian Acta Math [14] Szczepanski J (1997), "Zeros of polynomials approximating analytic funxtions", IM UJ Preprint 23 [15] Walsh J L (1959), "The analogue for maximally convergent polynomials of Jentzsch’s theorem", Duke Math J 26, 605-616 [16] Wójcik A (1988), "On zeros of polynomials of best approximation to holomorphic and C ∞ functions", Monatsh Math 105, 75-81 26 ... 11 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt iii 12 2.1 Đa thức xấp xỉ tốt 12 2.2 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt 17 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 iv Mở đầu Lý thuyết đa vị... ∈ Pn (2.4) Đa thức pn thỏa mãn (2.3) (2.4) gọi đa thức xâp xỉ tốt Pn tập đa thức xấp xỉ tốt bậc n Những xấp xỉ tốt không thiết phải Từ định lý Bernstein – Walsh – Siciak bất đẳng thức Bernstein... mà người ta quan tâm liệu tính chất dãy đa thức xấp xỉ có bảo tồn qua phép xấp xỉ hay khơng? Đó lí chúng tơi chọn đề tài: "Không điểm đa thức xấp xỉ tốt nhất" Cho E tập compact CN f hàm liên tục