CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LỚP 7

Chuyên đề: Bất đẳng thức. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 năm học 20202021.

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (LỚP 7)

Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA Phương pháp:

So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại

với

16

với 96 để được hai phân số

Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A

Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được,

Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n>2 thì

1003

99

3

43

33

23

1

100 99 4

3

2 + − + + − <

−HD:

Đặt A =

100 99 4

3

1003

99

3

43

33

23

2

3

1003

13

1

3

13

13

⇒ 4A <

1-99 98 3

13

1

3

13

13

Đặt B =

1-99 98 3

13

1

3

13

13

⇒ 3B = 2+

98 97

13

1

3

13

2

13

1

3

13

13

1

99 3

2 + + + <

+

98 3

1

3

13

13

1

99

31

12

1

99 <

−

Bài 44: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + + 499, B = 4100 Chứng minh rằng A < 3

=> C

124

<

=> 8A < 4 + 2

124

=

4912

Làm tương tự với biểu thức B, ta có 8B < 4

3

13

+ +

2 4

A =

4

2 3

13

+ +

2 4

=> 9A + A = 1 -

100

31

< 1 => 10A < 1 => A < 0,1

2N - N= 1-

2015

21

+2

12

+……….+

2006

12

2007

-20072

=1+B-2007

20072

(3),

với B=

12

+2

12

+……….+

2006

12

Ta lại có

2B= 1+

12

+2

12

Thay vào (3) ta có:

S=2-2006

12

2007

-20072

<2

Bài 50: Cho B =

98 98

12005

2

12005

21

2005

21

1 2

3 2

2

++

+++

++

++

++

m 2 1 k

m 1 k

m 1

k

m 2 )

1 k )(

1 k (

m mk m mk 1 k

m 1

−

+

− +

= +

2 1

2005

2 1

1 2005

2 1

2005

2 1

2005

2

22

32

22

Tương tự với các số hạng tiếp theo, sau đó thực hiện tính tổng

B<

HD:

Bài 53: Chứng minh với mọi n ∈

11

4

13

12

1

3 3

3

3 + + + + <

=

n A

HD:

Bài 55: Cho

2 2

2

2

7

25

23

Bài 56: Cho

2 2

2 2

2007

2

7

25

23

2

++++

=

A

Chứng minh:

1003A

2008

=>

1003A

2008

>

Bài 57: Cho

2 2

1

9

15

<

HD:

2 2

1

9

15

2

1

8

16

14

9

17

911

95

Bài 60: Cho

2

201

202.200

49

4825

249

Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường

Thấy rằng tổng A có 60 số hạng

TH1: Ta chứng minh

43

A<

, nếu chúng ta làm như trên thì sẽ không chứng minh được

Lý do: vì việc chứng minh nhỏ hơn mà chúng ta so sánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A lớn

Thấy rằng tổng A có 2003 số hạng, số hạng ở giữa là

13005

, nên muốn Chứng minh tổng A lớn hơn 1 số ta nhóm

sao cho phân số có dạng

Làm xuất hiện tổng các phân số có tử bằng 1 và mẫu số tăng đều, thực hiện nhóm các phân số rồi

đánh giá so sánh với phân số

12

M >

b) Chứng minh

58

116

18

14

12

HD:

Đặt A=

6 5 4 3 2

2

12

12

12

12

12

164

132

116

18

14

12

1

−+

−+

−

=

−+

−+

−

⇒ 2A=

5 4 3 2

2

12

12

12

12

1

⇒ 2A+A =3A = 1-

12

122

11.8

68.5

65.2

và chứng tỏ tổng S < 1 ?HD:

3

11.8

38.5

35.2

1

11

18

18

15

15

121

132

116

18

14

12

HD:

Đặt A=

6 5 4 3

12

12

12

12

12

164

132

116

18

14

12

⇒ 2A=

5 4 3

12

12

12

12

122

4321

13

21

1

+++++++++

+++

Theo công thức tổng: 1 + 2 + 3 + + n =

(n 1).n2

101.98

5.4

6.34.3

5.23.2

4

98 1

501

4.3.2

13.2.1

7.5.3

365.3.1

=

B

Chứng minh B < 3HD:

14.11.8

511

.8.5

ta có:

1)45)(

15(

3

24.19

319.14

314

+

n n

23.19

419.15

+

19

+

110

+

141

+

142

với

12

+

18

=

14

và

141

+

142

<

140

+

140

=

120

=> S =

15

+

19

+

110

+

141

+

142

<

15

+

14

+

120

=

4 5 120

+ + =

12

178

1

43

142

1

41

1

++++++

=

161

1

…….+ 80

179

141

712

344

13

180

2060

20

=

+

=+

=+

(3)

179

178

1

43

142

141

312

311

310

Chứng minh rằng : 1< S < 2HD:

315

315

315

315

314

313

312

311

310

=> S >

115

15 = (1)

310

310

310

310

314

313

312

311

310

=> S <

210

2010

23

522

521

520

23

522

521

520

có 30 số hạng

549

5

; ;

50

522

5

;50

521

5

;50

520

=>

350

5

30 = > >

> S S

549

5

; ;

20

522

5

;20

521

5

;20

520

=> S < 20

15020

5

− >

2005

810

−

Vậy: N > M

Dạng 3: TÍCH CỦA 1 DÃY Phương pháp:

2 4 6 8 200

P=

Chứng minh rằng

2 1201

P <

HD :

n n

+ + +

<

++ + + +

−

Bài 9: Thực hiện so sánh: C = 1 3 5 7 … 99 với D = 2

100

2

53.2

52.251

2.3).(

2.2).(

2.1(

00.2.4.6 199

75

3

=

2

2.2.2.50

3.2

1

100

53.52.51.50

2

53.2

52.2

51

=

= D Vậy C = D

14

113

112

1

2 2

2 2

113

112

11

16

119

114

11

11

5.3

114.2

113.1

11

5.4

3.2

6

5.4

3.2

3 5 7 101 2 4 6 100 2.(2.4.6 98).(3.5.7 99).101 202 225

=> D >

115

Bài 17: Cho 199

200

5

6.3

4.1

5

6.3

5

6.3

12

10.9

7.6

4.3

Dạng 4: BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ Phương pháp:

Với chương trình lớp 6-7 các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức chữ, ta thường sử dụng tính

hoặc ngược lại và đưa về cùng mẫu

Bài 1: Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằng:

Bài 2: Cho x, y, z, t là số tự nhiên khác 0, Chứng minh rằng:

Cộng theo vế ta được: 2<A<3

Bài 7: Cho các số x,y,z nguyên dương, CMR:

! 5

! 2

! 4

! 2

! 3

! 2

<

+ + + +

! 5

1

! 4

1

! 3

1

n

= 2!(

n n

(

1

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1

−

− + + +

+

=> P < 2.  + + + + ( n − 1 ) n  

1

5 4

1 4 3

1 3 2 1

<=> P < 2.

1

2 1

1 2

Bài 4: Cho biểu thức: