TRƯỜNG PT THÁI BÌNH DƯƠNG HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN *****===***** CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1 PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Một số nội dung chính cần ôn tập: I. Giải tích: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: • Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 +cx + d (có tìm điểm uốn) • Hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (chỉ tìm điểm uốn khi a.b < 0) • Hàm số nhất biến dcx bax y + + = (ad – bc ≠ 0) • Hàm số dạng edx cbxax y + ++ = 2 (Ban NC) • Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị hàm số: Chiều biến thiên, cực tri, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn, đường tiệm tiệm cận của đồ thị hàm số (tc đứng, tc ngang và tc xiên (NC)), tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm, sự tương giao của hai đồ thị (một đường cong và một đường thẳng), điều kiện tiếp xúc, biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị. 2) Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân: • Tìm nguyên hàm của một số hàm số bằng công thức, bằng phương pháp đổi biến, bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. • Tính tích phân của một số hàm số bằng phương pháp đổi biến, bằng phương pháp tích phân từng phần. • Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 3) Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit: • Một số bài toán về biến đổi luỹ thừa, logarit. • Một số bài toán về đạo hàm hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit. • Phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ, bất phương trình logarit. 2 • Hệ phương trình mũ, logarit đơn giản. 4) Số phức: • Dạng đại số của số phức: Số phức bằng nhau, số phức liên hợp, môđun của số phức, các phép toán trên tập số phức, biểu diễn hình học của số phức, căn bậc hai của số thực âm, căn bậc hai của số phức (NC), phương trình bậc hai với hệ số thực có biệt thức 0 <∆ , phương trình bậc hai với hệ số phức (NC) • Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng: Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và ngược lại, phép nhân, chia và căn bậc hai của các số phức dưới dạng lượng giác. • Công thức Moa-vrơ và ứng dụng. II. Hình học: 1) Hình học tổng hợp: • Khối đa diện: Khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp, phân chia và lắp ghép các khối đa diện, khối đa diện đều, thể tích khối đa diện. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của hai khối đa diện (NC) • Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu, vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và đường thẳng, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ, giao của mặt trụ với mặt phẳng, giao của mặt nón với mặt phẳng. • Thể tích khối đa diện, khối cầu, khối trụ, khối nón, diện tích xung quanh của hình trụ, hình nón 2) Phương pháp toạ độ trong không gian: • Toạ độ điểm, toạ độ vectơ, tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng, phương trình mặt cầu, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng. • Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa mặt phẳng và mặt phẳng, giữa đường thẳng và đường thẳng. • Khoảng cách giữa một điểm và một đường thẳng, giữa một điểm và một mặt phẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 3 CHUYÊN ĐỀ 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN §1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Phần 1 : SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Để xét tính đơn điệu của hàm số ta làm theo quy tắc: • Tìm TXĐ • Tính y’=f’(x). Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó y’=0 hoặc không xác định • lập bảng biến thiên và xét dấu y’ • kết luận y’ từ bảng xét dấu y’ tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến Bài tập: 1)Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x 3 + 3x 2 +1. b) y = f(x) = 2x 2 - x 4 . 4 c) y = f(x) = 2x 3x + − . d) y = f(x) = x1 4x4x 2 − +− . e) y= f(x) = x 3 −3x 2 . g) 1x 3x3x f(x) y 2 − +− == . h) y= f(x) = x 4 −2x 2 . i) y = f(x) = sinx trên [0; 2π]. 2) Cho hàm số y = f(x) = x 3 - 3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1. Định m để hàm số ln đồng biên trên từng khoảng xác định của nó (ĐS:1 ≤ m ≤ 0) 3) Tìm m∈Z để hàm số y = f(x) = mx 1mx − − đồng biên trên từng khoảng xác định của nó. (ĐS:m = 0) 4) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng khoảng xác đònh) của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 1x 1xx y 2 − −− = . c) 1x2 1x y + − = . Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Để tìm cực trị của hàm số ta áp dụng quy tắc 1 sau: - Tìm TXĐ - Tính y’ và tìm các điểm x i (i =1, 2, …)mà tại đó y’=0 hoặc khơng xác định - Lập bảng biến thiên - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các điểm cực trị của hàm số Để tìm cực trị của hàm số ta còn áp dụng quy tắc 2 sau: - Tìm TXĐ 5 - Tính y’ và tìm các điểm x i (i =1, 2, …)mà tại đó y’=0 hoặc không xác định - Tính y’’ và y’’(x i ) - Dựa vào dấu của y’’(x i ) để kết luận các điểm cực trị của hàm số BÀI TẬP: 1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc I: a) y = x 3 . b) y = 3x + x 3 + 5. . 2) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc II: a / 4 2 3 2y x x= − + b) y = x 2 lnx c) y = sin 2 x với x∈[0; π ] . 3) Xác định tham số m để hàm số y = x 3 −3mx 2 +(m 2 −1)x+2 đạt cực đại tại x = 2. ( m = 11) 4) Xác định m để hàm số y = f(x) = x 3 -3x 2 +3mx+3m+4 a.Không có cực trị. ( m ≥1) b.Có cực đại và cực tiểu. ( m <1) 5) Xác định m để hàm số y = f(x) = x1 mx4x 2 − +− a. Có cực đại và cực tiểu. (m>3) b. Đạt cực trị tại x = 2. (m = 4) c. Đạt cực tiểu khi x = -1 (m = 7) 6) Tìm cực trị của các hàm số : a) x 1 xy += . b) 6x2 4 x y 2 4 ++−= . 7) Xác định m để hàm số sau đạt cực đại tại x =1: y = f(x) = 3 x 3 -mx 2 +(m+3)x-5m+1. (m = 4) 8) Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx= − + + − . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. 6 CHUYÊN ĐỀ : GTLN – GTNN – TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ Phần 1: GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên khoảng (a; b) Tính y’. Tìm các điểm x 1 , x 2 ,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’=0 hoặc không xác định Lập bảng biến thiên Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên đoạn [a; b] Tính y’. Tìm các điểm x 1 , x 2 ,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’=0 hoặc không xác định Tính f(a), f(b), tính f(x 1 ), f(x 2 ),…. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên [ ] [ ] ; ; max ( ) ; min ( ) a b a b f x M f x m= = BÀI TẬP 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 -2x+3. ( R Min f(x) = f(1) = 2) 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 -2x+3 trên [0;3]. ( ]3;0[ Min f(x) = f(1) = 2 và ]3;0[ Max f(x) = f(3.) = 6 4) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx. 5) Tìm GTLN: y = −x 2 +2x+3. ( R Max y = f(1 ) = 4) 6) Tìm GTNN y = x – 5 + x 1 với x > 0. ( );0( Min ±∞ y = f(1 ) = −3) 7) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn       − 1; 2 1 ; ( 4)1(fyMax ]1; 2 1 [ == − ; 1)0(fyMin ]1; 2 1 [ −== − ) 8) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x 4 -2x 2 +3. ( R Min y = f(±1) = 2; Không có R Max y) b) y = x 4 +4x 2 +5. ( R Min y=f(0)=5; Không có R Max y) 7 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a. 4 3 2 3 2 9y x x x x= − − + trong đoạn [ ] 2;2− b. 2 1 2 x y x + = − trong đoạn [ ] 3;4 c. [ ] 3 2 6 9 , 0;4y x x x x = − + ∈ d. [ ] 2 2 , 2;2y x x x= + − ∈ − Phần 2 : TIỆM CẬN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÝ THUYẾT BÀI TẬP Bài tập 1 : Chia lớp làm 4 nhóm yêu cầu mỗi nhóm giải mỗi câu sau.Tìm tiệm cận đứng,ngang của đồ thị các hàm số sau : a/ 2 1 2 x y x − = + b/ 3 2 1 3 x y x − = + c/ 5 2 3 y x = − d/ 4 1 y x − = + Gợi ý lời giải : a / 2 1 2 x y x − = + ta có 2 2 1 lim , 2 x x x + →− − = −∞ + và 2 2 1 lim , 2 x x x − →− − = +∞ + Nên đường thẳng x = - 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị. Vì 1 2 2 1 lim lim 2 2 2 1 x x x x x x →±∞ →±∞ − − = = + + nên đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị Bài tập 2 : Tiến hành tương tự cho bài tập 2 như sau : a./ 2 2 12 27 4 5 x x y x x − + = − + b/ 2 2 2 ( 1) x x y x − − = − c / 2 2 3 4 x x y x + = − d / 2 2 4 3 x y x x − = − + Gợi ý lời giải : a./ 2 2 12 27 4 5 x x y x x − + = − + Vì 2 2 12 27 lim 1 4 5 x x x x x →±∞ − + = − + nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị Vì 2 4 5x x− + > 0 , ∀ x nên đồ thị không có tiệm cận đứng 8 KHO ST HM S BC BA V CC BI TON LIấN QUAN Lí THUYT 1. Sơ đồ khảo sát hàm số: 1) Tx 2) S bin thiờn Gii hn v tim cn (Ch xột tim cn ca cỏc hm phõn thc) Bng bin thiờn: 3) Tớnh o hm 4) Tỡm cỏc im x i sao cho phng trỡnh y(x i ) = 0. Tớnh y(x i ) 5) Lp bng bin thiờn. Da vo bng bin thiờn kt lun cỏc khong ng bin v cc tr. 6) V th: - Tỡm giao vi cỏc trc to (Hoc mt s im c bit) - V th 2. PTTT ca th hm s a) PTTT ca hm s (C): y = f(x) ti im M 0 (x 0 ; y 0 ) Bc 1: PTTT cn tỡm cú dng: y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) Bc 2: Tớnh f (x) Bc 3: Tớnh f (x 0 ) Bc 4: Thay x 0 , y 0 v f (x 0 ) vo bc 1 b) PTTT ca (C): y = f(x) bit h s gúc k cho trc Bc 1: Tớnh f (x) Bc 2: Gii phng trỡnh f (x 0 ) = k nghim x 0 Bc 3: Tớnh y 0 = f(x 0 ) Bc 4: Thay x 0 , y 0 v k = f (x 0 ) vo PT: y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) VD1 : Cho hm s y = - x 3 + 3x 2 - 2 1) Kho sỏt hm s. 9 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm y’’=0 Giải: a) Khảo sát hàm số: 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: lim x y →±∞ = ∞m b) Bảng biến thiên: y’ = - 3x 2 + 6x, y’ = 0 ⇔ - 3x 2 + 6x = 0 1 1 2 1 0 2 2 2 x y x y = ⇒ = −  ⇔  = ⇒ =  - Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2) và nghịch biến trên khoảng (-∞ ; 0) và (2 ; +∞) - Cực trị: Điểm cực đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2) 3. Đồ thị : - Điểm uốn : y” = - 6x + 6; y” = 0 khi x = 1 ⇒ y = 0. Ta có điểm uốn là: U(1 ; 0) - Giao Ox : (1 3;0); (1 3;0); (1;0)A B U− + - Giao Oy : D(0 ; -2) Nhận xét : Đồ thi nhận điểm uốn U(1 ; 0) làm tâm đối xứng. b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(1 ; 0) Hệ số góc k = f’(1) = 3 Vậy ta có phương trình tiếp tuyến là : y - y 0 = k(x - x 0 ) hay : y - 0 = 3(x - 1) ⇔ y = 3x - 3 Một số chú ý khi khảo sát hàm số bậc ba : 1. Txđ: R 2. 0 lim ; 0 lim x x a y a y →±∞ →±∞ > ⇒ = ±∞ < ⇒ = ∞m 3. a > 0 : CĐ - CT; a < 0: CT - CĐ (Không có cực trị nếu y’> 0 hoặc X - ∞ 0 2 +∞ y’ - 0 + 0 - y +∞ 2 -2 - ∞ 10 2 -2 y x O [...]... 4 Bi 2: Cho hm s y = 1 3 x x 2 (C ) ( thi TN 2002) 3 1) Kho sỏt v v th (C) 2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) i qua im A(3; 0) Bi 3: Cho hm s y = 1 3 x 3x (C ) ( TN 2001) 4 1) Kho sỏt v v th hm s 2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú honh bng 2 3 (d) Bi 4: ( TN 99) Cho hm s y = x3 - (m + 2)x + m a) Tỡm m hm s cú c i tng ng vi x = 1 b) Kho sỏt hm s tng ng vi m = 1(C) c) Bin lun s giao im ca... sau: Tớnh cht 1: Nu hm s f tng ( hoc gim ) trong khang (a;b) thỡ phng trỡnh f(x) = C cú khụng quỏ mt nghim trong khang (a;b) ( do ú nu tn ti x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thỡ ú l nghim duy nht ca phng trỡnh f(x) = C) Tớnh cht 2 : Nu hm f tng trong khang (a;b) v hm g l hm mt hm gim trong khang (a;b) thỡ phng trỡnh f(x) = g(x) cú nhiu nht mt nghim trong khang (a;b) ( do ú nu tn ti x0 (a;b) sao cho f(x0)... x 1 a) Kho sỏt hm s b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti cỏc giao im ca (C) vi cỏc trc to Bi 3: Cho hm s y = x+4 (C ) 2x a) Kho sỏt hm s b) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi (C) v cỏc trc to Bi 4: ( TN - 99) Cho hm s y = x +1 (C ) x 1 a) Kho sỏt hm s b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) tai im A(0; 1) Bi 5: Cho hm s y = a) b) x2 (C ) x +1 Kho sỏt hm s Chng minh rng ng thng dm: y = 2x + m (m l tham s)... , cn cú giỏ tr õm kớ hiu l - n a S õm khụng cú cn bc chn a Ă ,n Ơ* a n = a.a a (n tha s ) an = a0 1 , a0 = 1 an Lu ý: 00 , 0 n khng cỳ ngha a > 0, r = m , m Â, n Ơ , n 2 n m n a = a = n am r 22 Tnh cht: Cho a > 0, b > 0, , Ă Khi ú: a a = a (a ) = a a = a a + a a ữ = b b (ab) = a b Nu: a > 1 th a > a > Nu: 0 < a < 1 th a > a < V d: Cho a > 0, b > 0 Rt gn biu thc: a b... 2 4 y= y = ( x2 2x + 2) ex y = ( ln x + 1) ln x 8 y = x 2 ln x 2 + 1 9 e x e x e x + e x ln x x y = 3 log 3 x x 28 10 y = x x 11 y=3x 12 y = ln 2 x 3 2 2 Chng minh rng mi hm s sau õy tha món h thc tng ng ó cho 1 y = esin x CMR: y 'cos x y sin x y '' = 0 2 y = ln ( cos x ) CMR: y ' tan x y '' 1 = 0 3 y = ln ( sin x ) CMR: y '+ y ''sin x + tan 4 y = e x cos x CMR: 2 y ' 2 y y '' = 0 5 y = ln 2... lim y = x d c l tim cn ng a a y = l tim cn ngang c c +) Khụng cú tim cn xiờn vd2 Cho hm s y = 3x 1 cú th (C) x3 1) Kho sỏt hm s 2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú honh x = -1 3) Tỡm GTLN v GTNN ca hm s trờn [0; 2] Hng dn gii 1) Hs t kho sỏt th: 19 2) Cú y ' = 10 ( x 3) 2 5 y '( 1) = ; y(1) = 1 8 Phng trỡnh tip tuyn: y = 5 5 3 ( x + 1) + 1 y = x + 8 8 8 3) Ta cú hm s nghch bin trờn . TRƯỜNG PT THÁI BÌNH DƯƠNG HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN *****===***** CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG. số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit: • Một số bài toán về biến đổi luỹ thừa, logarit. • Một số bài toán về đạo hàm hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số